CC BY
79
Том XXXVIII
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
20 0 7
№ 3 — 4
УДК 629.735.33.051 629.735.33.015
КОМБИНАЦИЯ МЕТОДОВ ИНВЕРСНОЙ ДИНАМИКИ И ^-ОПТИМИЗАЦИИ В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ДВИЖЕНИЕМ САМОЛЕТА
Е. Н. КОЛЕСНИКОВ, М. Е. СИДОРЮК
Представлена методика синтеза закона управления ориентацией самолета относительно вектора скорости с использованием инверсной динамики. Метод инверсии состоит в компенсации нелинейностей в уравнениях движения, декомпозиции управляемых форм движения и преобразовании собственной динамики самолета к линейной системе простой структуры. Эта система замыкается линейным регулятором, выбираемым с учетом динамики приводов и фильтров обработки сигналов измерений. Последний может быть получен методом #„-оптимизации, дающим систематический способ достижения заданных свойств робастной устойчивости
и качества управления, а также известным методом РГО-синтеза, обеспечивающим наибольшую простоту регулятора. Синтез по приведенной методике позволяет удовлетворить большинству инженерных требований, предъявляемых к системам управления.
Современный маневренный самолет является нелинейным, многомерным и многорежимным объектом управления, обладающим высоким уровнем неопределенности математической модели. Метод инверсии нелинейной динамики (Nonlinear Dynamics Inversion, NDI) является эффективным инструментом построения законов управления при использовании нелинейных уравнений движения. Его применение значительно уменьшает объем настроек по режимам полета, свойственных методам синтеза управления на основе использования линеаризованных моделей [1]. Существует ряд способов синтеза управления самолетом на основе инверсии динамики. В работе [2] используется метод функций Ляпунова, работы [3 — 5] используют разбиение уравнений движения на иерархию подсистем, вектор состояния каждой из которых выступает в качестве управляющего воздействия для другой подсистемы. В статье рассматривается ставший классическим методом линеаризации обратной связью [6, 7]. В этом методе сначала предусматривается компенсация собственной динамики для упрощенной модели объекта управления, которая сводит динамику замкнутой системы к совокупности цепочек интеграторов. Компенсация производится с использованием всех доступных измерению сигналов, часть из которых содержит информацию о возмущениях модели объекта управления. В частности, использование сигнала перегрузки позволяет избежать явного использования модели сил [4, 8] и необходимости учета силового вклада органов управления. Далее выбирается желаемая динамика управляемых переменных для обеспечения устойчивости замкнутой системы, заданного уровня качества управления и их робастности с учетом модели объекта управления без значительных упрощений. Для разработки регулятора, определяющего желаемую динамику, могут быть применены метод PID-синтеза (использование для обратных связей сигнала ошибки, его интеграла и производной) и Нш-синтеза. Использованию последнего в комбинации с методом инверсной динамики посвящен ряд работ, например [7].
В статье представлены ряд критериев оценки динамики замкнутой системы, которые необходимо учитывать при синтезе практически реализуемого алгоритма управления. Получена структура обратных связей для решения задачи отслеживания эталонных моделей при управлении углами атаки, скольжения и проекцией угловой скорости вращения на направление вектора скорости. Результаты математического моделирования иллюстрируют возможность синтезировать удовлетворительный закон управления, получаемый при комбинировании известных из литературы методов.
1. Постановка задачи. Рассматривается задача синтеза управления гипотетическим маневренным самолетом (структура замкнутой системы показана на рис. 1) с умеренной степенью статической неустойчивости (10%). Доступными из измерений предполагаются сигналы скорости V,
Рис. 1. Блок-диаграмма замкнутой системы для синтеза закона управления, анализа робастной устойчивости
и качества управления
скоростного напора д, числа Маха, углов атаки и скольжения а, в, компонент векторов угловой скорости ю и перегрузки в центре масс п, углов тангажа и крена у. Вектором управляемых
переменных является у = [а, в, О] (О — проекция угловой скорости на направление вектора
* Рассматриваемый метод синтеза возможно модифицировать для управления продольной перегрузкой (для режимов полета с умеренными углами атаки) с использованием оценки угла атаки, основанной на данных о модели нормальной силы, сигнале перегрузки (является более надежным, чем сигнал а) и оценки массы летательного аппарата.
скорости) . Необходимо обеспечить тесное соответствие между его элементами и компонентами
вектора эталонной модели у =
а*, р*, О* в условиях неопределенности модели объекта
управления и действия внешних возмущений, а также удовлетворить требованиям к системам управления. Эталонным моделям для динамики переменных а, в и О соответствуют передаточные функции
К ( 5 ) =
< ( ^ ) =
5 +2^рЮр 5 +Юр
К ( 5 ) = -
(1)
коэффициенты которых юа р, р, кО зависят от режима полета (Н, V, а) и должны быть
выбраны в соответствии с требованиями к пилотажным характеристикам [9].
Необходимо выполнить: а) требования по обеспечению стандартных запасов по фазе и амплитуде; б) требования к робастной устойчивости и робастному качеству управления, которые определяются структурированным сингулярным числом ц [10] (см. Приложение); в) обеспечить работу системы управления при сильной турбулентности, задаваемой по Драйдену.
2. Уравнения движения. Синтез закона управления использует следующую структуру уравнений движения и вспомогательные соотношения:
& gEv (а, р)(п + Ь (3, у)),
О
= Аю
(а, р)ш+V ,
Е(а, р, 3, у, п)
= Вт(3, у)ш, (-шх аш +мас),
(2)
где
Ь (3, у) = [- sin 3 cos 3sin у -cos 3cos у] ,
Ev (а, р) = [cos а cos р - sin а cosP sin р],
- cos а tan р sin а tan р 1
Аш(а, р)= sin а cos а 0
cos а cosP - sin а cosP sin р
sin а cos а 0 cosр cosP
- cos а sin р sin а sin р cosP
0 0 0
Еар (а, р) =
Вш(3, у) =
0 sin у cos у
1 - tan 3 cos у tan 3 sin у
J — тензор инерции, М ас — вектор момента, включающий моменты аэродинамических сил, тяги двигателей и гироскопическое влияние роторов двигателей. Матрица Ли является невырожденной при |р| Ф п/2.
3. Синтез закона управления на основе метода инверсной динамики. Каждая компонента вектора управляемых переменных дифференцируется в соответствии с уравнениями движения (2) до тех пор, пока в правых частях соответствующих выражений не окажется вектор управляющего моментного воздействия [6]:
А
= Л> + £ Е-—Е ( —
¡4444
4444443
(3)
Z(—, а, р, 9, у, и, п, П)
Из (2) и (3) легко увидеть, что следующий выбор вектора момента определяет угловое ускорение, позволяющее свести динамику системы к совокупности интегральных цепочек:
мас (К , 5) = шх Jю + JЛ;01 (и - Z)^с&= Ли1 (и - Z):
= и,
(4)
где и задает так называемую желаемую динамику для управляемых переменных. Задача определения вектора 5 отклонений органов управления для известного вектора момента (задача распределения) является неоднозначной в случае избыточности количества органов управления по отношению к размерности вектора момента. Далее необходимо задать вход и в такой форме,
которая бы позволила обеспечить близость процессов в системе к некоторым идеальным а*( t),
Р*(t), t). Управляющее воздействие и выбирается с учетом расщепления динамики продольного и бокового движений после NDI-компенсации:
иа" "а*"
и = ив = в*
и п. &
К а ( * )
14440444Е
т
ка
т
к( ,)
>4
т к
(5)
где тка, ткра — входы соответствующих линейных регуляторов Ка(*) и Кро(*) (* —
переменная Лапласа). Это регуляторы (рис. 2) выбираются исходя из требований к динамике замкнутой системы.
Выбор регуляторов К а( *) и К рй( *). Желаемая динамика синтезируется с
использованием ошибок отслеживания эталонных процессов, их производных и ошибок отслеживания командных сигналов . В этом случае вопросы обеспечения пилотажных характеристик и устойчивости / робастности разделяются: первые обеспечиваются, в основном, правильным выбором идеальной модели желаемого процесса, вторые — выбором регуляторов К а ( * ), Кра( * ).
РЮ-синтез. Типичная структура PID-регуляторов такова:
* Сигналы (& & вычисляются в соответствии с (2) на основе информации о сигналах —, а, р, 9, у, и, п, поступающей из блока «Фильтры» (см. рис. 1).
Рис. 2. Структура регулятора
Введение интегральной обратной связи является широко известным способом уменьшения статических ошибок при действии возмущений. Из (4), (5) видно, что ошибки отслеживания эталонных сигналов углов атаки, скольжения и угловой скорости зависят от коэффициентов 1а 2а, 1 2р, к0п которые выбираются с учетом динамики приводов и фильтров, исходя
из вышеперечисленных требований к системе управления. Достоинство такого способа заключается в простоте регулятора.
Синтез регуляторов Ка (5) и К(5) методом И -оптимизации. И^-оптимизация —
современный подход к построению робастных систем управления, основанный на минимизации Иш-нормы передаточной матрицы некого обобщенного объекта управления, учитывающего все требования к системе и имеющиеся физические ограничения. Определение Иш-нормы и кратное описание метода дано в Приложении. Построение Иш-закона управления — это задача минимизации влияния наихудшего (в смысле среднеквадратичной величины) возмущения на среднеквадратичную величину ошибки. Решение указанной задачи дано в работах [11, 12]. В настоящей работе используется алгоритм из прикладного пакета МиТоо18 для МЛТЬЛБ [10], основанный на работе [12].
Блок-схема, описывающая постановку задачи ^^-оптимизации, приведена в верхней части рис. 1. Объект управления, к которому применена инверсия (для линеаризации динамики), дополняется описанием возмущений и разброса параметров. Кроме реальных блоков, описывающих определенные компоненты объекта управления (самолет, приводы, датчики, фильтры) и представляющих собой передаточные функции, схема содержит также ряд дополнительных «виртуальных» блоков, позволяющих задать требования к качеству управления в замкнутой системе при наличии внешних возмущений и разброса параметров. Поясним смысл некоторых блоков: А — блок так называемых структурированных неопределенностей, отражающий разброс аэродинамических коэффициентов; Аm — мультипликативная неопределенность (см. Приложение), учитывающая неточность модели; Wnoise — весовая функция, учитывающая ошибки измерений (входной сигнал — «шум»); Wact — весовая функция, ограничивающая активность привода («штрафные» веса на отклонение привода и его скорость); Wcmd — весовая функция диапазона команд летчика; Wdsb — весовая функция ветровых возмущений, в настоящей работе используется передаточная функция второго порядка, описывающая модель сильной турбулентности
по Драйдену; Wperf — весовая функция робастного качества управления. Качество управления
оценивается как разность между действительной реакцией замкнутой системы на команду летчика и реакцией в идеальной модели, умноженная на весовую функцию Wperf .
Параметры зависящих от частоты весовых функций блок-схемы выбираются так, чтобы удовлетворить предъявляемым к системе требованиям по качеству управления при наличии возмущений и ограничений. К передаточной матрице, полученной из схемы 1 объединением соответственно всех входов и выходов, применяется Нш-оптимизация, которая позволяет получить искомый закон управления (регулятор), минимизирующий отличие реакции замкнутой системы на управляющее воздействие от желаемой идеальной модели при наличии возмущений, не превосходящих заданного уровня.
При синтезе управления продольным движением используется один орган управления — симметрично отклоняемый стабилизатор 5e, а при синтезе бокового регулятора — элероны 5a и руль направления 5г . Модели приводов для всех органов управления при синтезе взяты
одинаковыми, описываемыми передаточной функцией второго порядка (
2 2 * + + ю
параметрами ю = 30.74, Е = 0.509. Модели фильтров выбраны для простоты одинаковыми для всех сигналов измерений: 1/(0.05* + 1). Производные измеряемых сигналов определяются с помощью фильтров-оценивателей, передаточные функции которых взяты равными */(0.1* + 1). Входом продольного регулятора является вектор
т
а -а
а бокового — вектор
"Р-Р*, &-|&, О-О*, Р-Рст, О-^с
т
к,
ро
Переменные аст, Рст и Ост соответствуют выходам блока «Префильтр». В процедуре синтеза корректирующего регулятора этот блок принимается равным единичной матрице. При моделировании в прямую цепь регулирования вводилось некоторое запаздывание: в качестве префильтров использовались апериодические звенья с постоянными времени, зависящими от скоростного напора.
Для продольного движения синтез регулятора методом Нш-оптимизации проведен для двух режимов полета: Н = 5000 м, М = 0.6 и Н = 5000 м, М = 0.3 с одинаковым выбором весовых функций. Этого оказалось достаточно для приемлемого качества управления в дозвуковой
области режимов полета (благодаря инверсии динамики), а в боковом движении оказалось
достаточно одного корректирующего регулятора, построенного для режима И = 5000 м, М = 0.6.
Весовые функции качества управления в продольном и боковом канале управления
, ш 0.025 +1 „
выбраны в виде п^ =—---, где параметр с, характеризующий требования к точности в
с( 25 + 1)
статике, равен 0.25° для а, р и 2°/с для О. Весовая функция Пста соответствует амплитудам командных сигналов по а, р и О, равным 10°, 5° и 50°/с, соответственно. Весовые функции Ппо/5е, задающие уровень шумов измерений, соответствуют 0.1° для а, р, 0.1°/с для юху2 и
0.004 для пх у 2. Идеальная модель выбрана в соответствии с требованиями к пилотажным характеристикам (1). Весовая функция П¥ас( выбрана в соответствии с физическими ограничениями приводов (матрица Пас( содержит на диагонали величины, обратные максимальным ходу и скорости перекладки привода). Для привода стабилизатора ограничения по ходу составляют [-10.5°К 20°], для элеронов и руля направления — [-30°К 30°]. Скорость
перекладки принималась равной 80°/с для всех органов управления. Разброс параметров модели самолета при синтезе не учитывался.
Полученные в результате Иш-оптимизации корректирующие регуляторы имеют достаточно высокий порядок. Так, продольный регулятор имеет 13-й порядок, для режима М = 0.6, И = 5000 м его полюса равны:
-0.026, -0.404, -1.046, -3.85, -9.96, -20.02, -28.36, -39.97 ± 20.67/, -105.7 ± 41.88/.
Корректирующие Иш-регуляторы упрощены с помощью методов понижения порядка передаточных матриц [10]. В результате получены регуляторы второго порядка для продольного и третьего порядка — для бокового движения. После процедуры понижения порядка и сокращения близких нулей и полюсов передаточная матрица продольного регулятора для М = 0.6, И = 5000 м имеет вид:
К а ( 5 ) =
0.06545 +1 0.2545 +1 ,0.6045 +1
-196-, - 89.5-, 16.2-
2.485 +1 2.485 +1 2.485 +1
В продольном движении используется интерполяция по скоростному напору выходов регуляторов, полученных для двух режимов полета. После понижения порядка бокового корректирующего регулятора КрО его структура упрощена диагонализацией: удалены
перекрестные взаимосвязи каналов управления углом скольжения и угловой скоростью крена (в канале управления углом скольжения используются первые три сигнала вектора измерений
(р-р*, &-&, Р-Рсот), в канале угловой скорости — последние два (О-О*, О-Осот)). Передаточная матрица полученного в результате корректирующего регулятора имеет вид:
„ , л ^ 0.265 +1 0.825 + 1 0.85 + 1 0.55 + 1 0.865 + 1^
КвО(5) = а/а%I -35-, -22-, 2.3-, -33-, 4.1-I.
р1 ^ 2.135 +1 2.135 +1 2.135 +1 25 +1 25 +1 )
4. Анализ замкнутой системы. Переходные процессы в замкнутой системе, линеаризованной около горизонтального режима полета И = 5000 м, М = 0.6, при ступенчатых командах летчика и годограф Найквиста в продольном и боковом движении, приведены на рис. 3 и 4 соответственно. Как видно из рисунков, переходные процессы близки к желаемым идеальным процессам, а стандартные требования к запасам по амплитуде и фазе выполнены (годограф на рис. 3 не попадает
в «запретную» для линеаризованной разомкнутой системы область). Здесь же приведены
зависимости от частоты структурированных сингулярных чисел (см. Приложение), показывающих робастную устойчивость (ц) и робастное качество управления (ц,р). Для
анализа робастной устойчивости и качества управления использовалась та же блок-схема, что и для синтеза (см. рис. 1), но некоторые параметры изменены. Так, разброс аэродинамических коэффициентов при анализе робастности принимался равным 30%, неструктурированные аддитивные возмущения моментных характеристик соответствуют разбросу безразмерных аэродинамических моментов 0.002 для тх у
и 0.005 для т2. Мультипликативная неопределенность на входе в каждый из приводов соответствует 20% абсолютной величины входного сигнала (блок Ат), а все остальные весовые функции блок-схемы, представленной на рис. 1, включая весовые функции качества управления, взяты
такими же, как при синтезе. Робастная устойчивость при данных возмущениях обеспечена, поскольку ц^ < 1, а требуемое робастное качество управления не достигается (цР > 1) на частотах
Рис. 3. Результаты анализа для продольного N0! + Нш-регулятора (Н = 5000 м, М = 0.6)
Рис. 4. Результаты анализа для бокового NDI + #ш-регулятора (Н = 5000 м, М = 0.6) привода в продольном движении, а также на низких частотах в боковом движении. Однако, расчеты показывают, что если снизить требования к робастности (10%-ный разброс аэродинамических коэффициентов) или снизить требования к точности управления (примерно в 2.5 раза уменьшить Wperf ), то в этом случае не только робастная устойчивость, но и требуемое
робастное качество управления будет достигнуто.
5. Нелинейное моделирование. При проведении нелинейного моделирования процедура распределения управляющего момента использует левую и правую половины стабилизатора, а также отклоняемый вектор тяги. На рис. 5 показаны результаты нелинейного моделирования маневра с выходом на большие углы атаки для режимов полета Н = 5000 м, М = 0.6. Здесь beL,
SeR, 8в, 5Г, S оперения,
TVPL>
S
TVPRi
Stvy — отклонения левой и правой половин горизонтального
дискретность вывода маркера I Рис. 5. Результаты нелинейного моделирования (Н = 5000 м, М = 0.6)
элеронов и рулей направления, сопл левого и правого двигателей по тангажу, и координированное отклонение сопл по рысканию. Как видно из рисунка, качество выполнения маневра является достаточно высоким. Как показывает моделирование, на других режимах полета в дозвуковой области также достигается вполне приемлемое качество управления.
ПРИЛОЖЕНИЕ
В теории классического Иш-синтеза рассматриваются линейные системы следующего вида:
х&= Ах + В^ + В2и, е = С1х + Бпа + Б12и, (6)
у = С2х + Б21^
Здесь х — фазовый вектор, и, а, у, е — векторы управления, возмущений (включая команды), измерений и ошибок (подлежащих минимизации) соответственно. Размерности матриц А, В1, В2, Сь С2, Бц, Б12, Б21 совместимы с размерностями соответствующих векторов. Иш-синтез основан на понятии Иш-нормы передаточной матрицы. Иш-норма устойчивой передаточной матрицы
С (5 ) = Б + С (51 - А) 1 В, соответствующей линейной системе
&=Ах+Ва,
(7)
е = Сх + Ба,
определяется как операторная норма, порожденная линейным отображением е = С (5) а
и и е Г
l|G| L= , (8)
d*0 lldll
Г
2
где || • ||2 — L2 -норма функции, определяемая стандартным образом. Можно доказать, что Я-норма матрицы, определяемая формулой (8), совпадает с нормой, определяемой в частотной области:
||G| |w = sup с( G (/ю)),
ю
где с — максимальное сингулярное число матрицы; c(G) = ^p(G*G), р — спектральный
радиус симметричной матрицы G*G, т. е. ее наибольшее собственное значение.
^-синтез — это построение регулятора K (s), обеспечивающего устойчивость и
минимизирующего Я-норму передаточной матрицы замкнутой системы. Это может быть интерпретировано как минимизация влияния наихудшего (максимизирующего отношение ||d||2/||е|| ) возмущения d на величину ошибки е. Поэтому Яш-норма позволяет получать
II II2 /II 112
гарантированные оценки ошибки управления при действии произвольных возмущений ограниченной нормы. Если передаточная функция Tde от возмущения d к ошибке е в замкнутой
системе (6) с управлением u = K (s) y удовлетворяет условию
llTde| L<Y
то ошибка ограничена величиной у| |d|| Задача нахождения стабилизирующего (субоптимального) регулятора K (s) такого, что передаточная функция замкнутой системы
ограничена величиной у, сводится к решению двух алгебраических уравнений Риккати, зависящих от параметра у, [12], и имеет точное решение (в виде конечного набора алгебраических матричных операций). Итерациями по у находится оптимальный регулятор, обеспечивающий минимальное значение у. Порядок регулятора равен порядку исходной системы управления.
ц-Анализ — исследование робастной устойчивости и робастного качества управления в линейных системах. Робастная устойчивость — естественное обобщение понятия асимптотической устойчивости на неопределенные системы, позволяющее учесть неточность математической модели, описывающей реальную физическую систему. Система робастно устойчива, если асимптотическая устойчивость сохраняется при возмущении системы.
Возмущение, или неопределенность в динамической системе может иметь различную физическую природу: она может быть связана как с упрощением динамики, так и с разбросом физических параметров. Неопределенную матрицу М можно схематично представить в виде, изображенном
на рис. 6, а. ц-Анализ основан на понятии структурированного сингулярного числа ц (structured singular value) [10] матрицы. Пусть в контуре на рис. а M е Cnхm — известная постоянная матрица, а матрица Д = diag (А1, K , An ) — структурированное возмущение; при этом понятие
«структурированное возмущение» включает в себя описание следующих факторов:
— какова размерность каждого блока Дг-;
— является ли матрица Дг- комплекснозначной или действительной;
— является ли Дг- произвольной полной матрицей или матрицей вида Дг- =5г- х I — с повторяющимися элементами на диагонали.
Рис. 6. К определению структурированного сингулярного числа ц
Обозначим через А множество всех возмущений указанной структуры. Контур на рис. 6, а корректно определен тогда и только тогда, когда матрица I - МД является обратимой. Нахождение минимального возмущения АеД , нарушающего корректность указанного контура, и есть задача ц-анализа. Формально структурированное сингулярное число ц определяется следующим образом:
цА(М ) = min {с (А) : АеА, det (I-МД) = 0} \
Если же не существует такого АеД, что det ( I - МД) = 0, то ц( M ) = 0. Другими словами, ц — это величина, обратная к ^-норме с (А) минимального возмущения А из множества заданной структуры такого, что матрица I - МА становится сингулярной.
Величина ц существенно зависит от структуры множества А. Если А — полная комплексная матрица (т. е. произвольное возмущение, не имеющее никакой структуры), то из определения легко следует, что ц — сингулярное число матрицы М. Если А — диагональная матрица, то ц равно спектральному радиусу матрицы М. В общем случае структурированное сингулярное число не может быть точно вычислено. Вместо этого вычисляют его верхнюю и нижнюю границы, что обычно достаточно для большинства приложений.
Неопределенные линейные динамические системы принято преобразовывать к виду, схематично изображенному на рис. 6, б (отдельно этот контур обратной связи показан на рис. 6, в), где передаточная матрица P(*) представляет собой известную часть системы (модель самолета с системой управления), а через А обозначена имеющаяся неопределенность. Матрица P(*) разбита на блоки
Pli (*) Pl2 (5) P21 (* ) P22 (* )_
P ( * ) =
в соответствии с размерностями сигналов z, d, w, e. Простое алгебраическое соотношение между входным d и выходным e сигналами имеет вид так называемого верхнего LFT-преобразования (Linear Fractional Transformation — дробно-линейное преобразование)
e = Fu (P, A)d = (P22 + P21A(I - PUA)-1 P21)d.
Рассмотрим один пример описания неопределенностей в динамической системе. Типичным возмущением является разброс параметров, или неопределенность матриц A, B, ^ D линейной системы (7). Возмущенная линейная система (7) может быть представлена в виде
e
A B C D
f
Ao Bo Co Do
"I
,=1
A; B;
C, D,
Л
(9)
где для каждого , = 0, 1, ..., m
A, B; C, D,
R
( n+nd )x( n+ne
п, пс!, пе — размерности векторов x, d и e соответственно. Обозначим через г ранг матрицы и представим каждую матрицу в виде сомножителей
A, B, C, D,
" A, B,
C, D, _ _ F _
[G, H, ],
E,.
R
(n+nd)x
[G, H, ] e Rr
< (n+ne
Введем новые переменные z = Gx + Hd, w = Az, где
" G1" " H1"
E = [E1 K Em], F = [F1 K Fm], G = K , H = K
_Gm _ _ H m _
A = (diag
51Ir1, K , 5mIrm
: 5, e RI
Тогда система (9) может быть записана в виде системы с дополнительными входами w и выходами z
& " Ao Bo E" x
e = G H o d
z _ Co Do F w
которые замкнуты обратной связью А: w = Таким образом, возмущенная система (9) может быть представлена в виде контура с внутренней обратной связью А, показанного на рис. 6, б.
Модели неопределенностей не ограничиваются параметрическими неопределенностями (разбросом параметров). Обычно в качестве объекта управления используется модель низкого порядка, учитывающая динамику объекта лишь в диапазоне низких и средних частот, а высокочастотная составляющая неизвестна или ею пренебрегают (например, упругие тона самолета
по сравнению с динамикой твердого тела). В этом случае, даже если действительный порядок
динамической модели неизвестен, можно ввести модель неопределенности, дающую лучшее описание реальной физической системы, чем просто разброс параметров. Общий подход в этом случае — использовать модель «мультипликативной неопределенности». Чтобы задать множество таких неопределенностей, нужно задать:
— номинальную передаточную функцию G (5 );
— зависящую от частоты весовую функцию мультипликативной неопределенности W (5). При этом множество мультипликативных неопределенностей формально определяется как
^ Wu (
с дополнительным условием, что число полюсов в правой полуплоскости для номинального объекта и возмущенного должно совпадать. Аналогично вводится аддитивная неопределенность с весовой функцией, зависящей в общем случае от частоты. Как и в случае разброса параметров, зависимость системы от этих двух неопределенностей можно преобразовать к блочно-диагональному виду. Пусть Д(5) = diag(Д1 (5), K , Дп (5)) — множество возмущений некоторой
заданной структуры. Справедлива следующая теорема [12].
Робастная устойчивость. Система с передаточной матрицей P, изображенная на рис. 6, в, асимптотически устойчива для всех возмущений Д(5) заданной структуры, удовлетворяющих
неравенству ЦдЦ^ < 1, тогда и только тогда, когда P11 (/ю))< 1 для Ую.
Качество управления в линейной системе общего вида оценивают Н^-нормой ее передаточной функции. Говорят, что система на рис. 6, б достигает робастного качества управления, если она устойчива для всех возмущений Д е Д, удовлетворяющих неравенству
ЦДЦ^ < 1, и, кроме
того, ||Fu (P, Д)|| < 1 для всех таких возмущений. При этом предполагается, что весовые функции
неопределенностей выбраны так, чтобы желаемая норма передаточной функции от возмущения к ошибке была меньше единицы. Анализ робастного качества управления сводится к вычислению робастной устойчивости расширенного контура на рис. 6, г, полученного из контура 6, б введением фиктивного блока неопределенностей для замыкания каналов «возмущение — ошибка» и применением анализа робастной устойчивости полученного контура.
Робастное качество управления. Система с передаточной матрицей P, изображенная на рис. 6, б, достигает робастного качества управления тогда и только тогда, когда P (/ю)) < 1
для Ую, где Д1 = diag (Д, ДP), ДеД, ЦДЦте<1. О структуре ДP не делается никаких
предположений (рис. 6, г).
Заключение. Приведена методика синтеза закона управления движением самолета относительно вектора скорости на основе комбинации методов инверсной динамики и Нш-синтеза. Рассмотрено управление углами атаки, скольжения и проекцией угловой скорости вращения на направление вектора скорости. Показано, что в результате достигаются приемлемые характеристики устойчивости и управляемости. При этом обеспечивается требуемая степень нечувствительности замкнутой системы к возмущениям.
Работа выполнена при финансовой помощи РФФИ (грант поддержки научной школы академика Г. С. Бюшгенса НШ-2001.2003.1). Авторы выражают благодарность М. Г. Гоману, В. М. Кувшинову и А. З. Тарасову за ценные идеи и консультации.
ЛИТЕРАТУРА
1. Enns D., Bugajski D., Hendrick R., Stein G. Dynamic inversion: an evolving methodology for flight control design // Int. J. Control. 1994. V. 1.
M (G, Wu) :JGq
гю)- G (гю)
G (гю)
2. Бюшгенс Г. С., Гоман М. Г., Матюхин В. И., Пятницкий Е. С. Стабилизируемость и универсальные законы управления движением твердого тела при учете аэродинамических воздействий // ДАН РФ. 1995. Т. 342, № 1.
3. Емельянов С. В., Буровой И. А., Левада Ф. Ю. Подход к формализованному синтезу структур систем бинарного управления неопределенными нелинейными объектами. — М.: МНИИПУ. 1987.
4. Goman M. G., Kolesnikov E. N. Robust nonlinear dynamic inversion method for an aircraft motion control // AIAA Paper 98-4208.
5. Steinicke A., Michalka G. Improving transient performance of dynamic inversion missile autopilot by use of backstepping // AIAA Paper 2002-4658.
6. Lane S. H., Stengel R. F. Flight control design using non-linear inverse dynamics // Automatica. 1988. V. 24.
7. Adams R. J., B u f f i n g t o n J. M., Sparks A. G., B a n d a S. S. Robust multivariable flight control // Series «Advances in Industrial Control». — London: Springer-Verlag. 1994.
8. Dang-Vu B., Brocas D. Closed-loop constrained control allocation for a super ma-neuverable aircraft // Proceedings of 21st ICAS Congress, Sept. 1998, Melbourne, Australia.
9. Military specification. Flying qualities of piloted vehicles // MIL-F-8785C. Nov. 1980.
10. Balas G. J., Doyle J. C., Glover K., Packard A., Smith R. Mu-analysis and synthesis toolbox, User's Guide, Math Works Inc., Natick. 1995.
11. Francis B. A. A course in H„ control theory // Lecture Notes in Control and Information Sciences. — New York: Springer-Verlag. 1987.
12. Doyle J., Glover K., Khargonekar P., Francis B. State-space solutions to standard H2 and H„ control problems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1989. V. 34. N 8.
Рукопись поступила 21/12004 г. Переработанный вариант поступил 6/II2007 г.
