Комбинаторные задачи в начальном курсе математики Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

УДК 51(07)

Gasharov N.G., Cand. of Sciences (Physics, Mathematics), senior lecturer, Department of Theoretical Foundations and Technologies of Primary Mathematical Education, Dagestan State Pedagogical University (Makhachkala, Russia), E-mail: nisred47@mail.ru

Mahmudov H.M., Cand. of Sciences (Physics, Mathematics), senior lecturer, Department of Theoretical Foundations and Technologies of Primary Mathematical Education, Dagestan State Pedagogical University (Makhachkala, Russia), E-mail: nisred47@mail.ru

Magomedov N.G., Cand. of Sciences (Pedagogy), senior lecturer, Department of Theoretical Foundations and Technologies of Primary Mathematics Education, Faculty of Primary Classes, Dagestan State Pedagogical University (Makhachkala, Russia), E-mail: nisred47@mail.ru

Nurmagomedov D.M., Cand. of Sciences (Pedagogy), Professor, Department of Theoretical Foundations and Technologies of Primary Mathematics Education, Faculty of Primary Classes, Dagestan State Pedagogical University (Makhachkala, Russia), E-mail: nisred47@mail.ru

Rasulova P.A., Cand. of Sciences (Pedagogy), senior lecturer, Department of Theoretical Foundations and Technologies of Primary Mathematics Education, Faculty of Primary Classes, Dagestan State Pedagogical University (Makhachkala, Russia), E-mail: nisred47@mail.ru

COMBINATORIAL PROBLEMS IN THE INITIAL COURSE OF MATHEMATICS. The paper discusses a problem of teaching students of primary classes to solve combinatorial problems. The development of universal educational activities (UEA) in the process of teaching mathematics, as is known, should become the main means, which ensures the formation of the ability of younger schoolchildren to learn. It is justified that the use of combinatorics in the educational process plays an important role in the formation of not only combinatorial thinking among students, but also cognitive UEA. The article proposes a number of key combinatorial problems that have shown in practice their effectiveness both in the course of propaedeutics of stochastics and in the process of the formation of cognitive UEA in younger students.

Key words: combinatorial problem, combinatorial thinking, stochastics, universal educational actions, propaedeutics.

Н.Г. Гашаров, канд. физ.-мат. наук, доц. каф. теоретических основ и технологий начального математического образования, Дагестанский государственный педагогический университет, г. Махачкала, E-mail: nisred47@mail.ru Х.М. Махмудов, канд. физ.-мат. наук, доц. каф. теоретических основ и технологий начального математического образования, Дагестанский государственный педагогический университет, г. Махачкала, E-mail: nisred47@mail.ru Н.Г. Магомедов, канд. пед. наук, доц. каф. теоретических основ и технологий начального математического образования факультета начальных классов, Дагестанский государственный педагогический университет, г. Махачкала, E-mail: nisred47@mail.ru

Д.М. Нурмагомедов, канд. пед. наук, проф. каф. теоретических основ и технологий начального математического образования факультета начальных классов, Дагестанский государственный педагогический университет, г. Махачкала, E-mail: nisred47@mail.ru

П.А. Расулова, канд. пед. наук, доц. каф. теоретических основ и технологий начального математического образования факультета начальных классов, Дагестанский государственный педагогический университет, г. Махачкала, E-mail: nisred47@mail.ru

КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ В НАЧАЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Работа посвящена обсуждению проблемы обучения учащихся начальных классов решению комбинаторных задач. Развитие универсальных учебных действий (УУД) в процессе обучения математике, как известно, должно стать главным средством, которое обеспечивает формирование у младших школьников умения учиться. Обосновывается, что использование в учебном процессе комбинаторики играет важную роль в формировании у учащихся не только комбинаторного мышления, но и познавательных УУД. В статье предлагается ряд ключевых комбинаторных задач, показавшие на практике свою эффективность как в ходе пропедевтики стохастики, так и в процессе формирования у младших школьников познавательных УУД.

Ключевые слова: комбинаторная задача, комбинаторное мышление, стохастика, универсальные учебные действия, пропедевтика.

Как известно, возникновение комбинаторики как раздела математики было связано с трудами Б. Паскаля, П. Ферма по теории азартных игр. Термин «комбинаторный» впервые был введён Г. Лейбницем в своей диссертации «Комбинаторное искусство». Большое влияние на развитие комбинаторики оказала работа Я. Бернулли «Искусство предположения». Следующий этап в развитии методов решения комбинаторных задач был связан с работами Л. Эйлера. Наиболее известны две его классические задачи: задача о 36 офицерах и задача о кёнигсбергских мостах.

Формируемое у учащихся в процессе решения комбинаторных задач комбинаторное мышление, как известно, служит фундаментальной основой при освоении ключевых понятий теории вероятностей и математической статистики, то есть стохастики, и играет очень важную роль в общей структуре научного мышления вообще. Это обусловлено тем, что в основе комбинаторики лежит способность субъекта определять, рассматривать и учитывать все возможные варианты сочетания признаков, событий и свойств исследуемых объектов.

Что касается стохастики, то стохастические идеи и методы, как известно, играют важную роль как в науке, технике и экономике, так и в процессе учёбы и обыденной жизни. Поэтому современному человеку весьма важно иметь ясное представление

об основных путях использования этих идей и методов в своей деятельности.

Составляющими стохастики принято считать теорию множеств, математическую логику, комбинаторику, теорию вероятностей и математическую статистику, которые тесно взаимосвязаны между собой.

В связи с освоением в начальной школе ФГОС НОО ещё настойчивее стало звучать требование об усилении и расширении развивающих возможностей начального курса математики [1 - 3].

Одним из таких средств, безусловно, служит комбинаторные задачи, составленные с опорой на жизненный материал младших школьников, которые помогают им увереннее ориентироваться в окружающем мире, учат их рассматривать все имеющиеся комбинации возможностей и делать среди них оптимальный выбор. В комбинаторных задачах заложены потенциальные возможности для того, чтобы развивать вариативность мышления учащихся; подготовить их к решению жизненных практических проблем, научить в конкретной ситуации принимать оптимально верное решение; организовать свою творческую и исследовательскую деятельность; активизировать у учащихся мыслительную деятельность и формировать у них интеллектуальные умения. В процессе решения комбинаторных задач

фактически задействованы и непосредственно используются в комплексе почти все познавательные УУД. Поэтому это обстоятельство является важнейшим фактором, направленным на актуализацию и систематическое использование на уроках математики развивающих возможностей такого типа задач. Комбина -торные задачи, предлагаемые в начальных классах, как правило, носят практическую направленность и осно ванынареальном сюжете. Это вызвано в первую очередь психологическими особенностями младших школьников, их слабыми способностями к абстрактному мышлению.

Анализ состояния практики обучения математике показывает, что в ней недостаточное внимание уделяется решению комбинаторных задач. Учебники содержат крайне недостаточное количество задач комбинаторного характера. Причем они рассматриваются эпизодически, от случая к отучаю, что в значительной мере снижает их развивающие и дидактические возможности.

Впервые внимание проблеме формирования комбинаторного мышления у младших школьников в ходе о ения решению комбинаторных задач было уделено в середине ХХ века сотрудниками психологической школы Ж. Пиаже.

В современной учебно-методической литературе в определённой степени освещён опыт обучения школьников решлн ию комбинаторных задач, однако не всякий учитель начальных классов может похвастаться тем, что его подо пееннеуевл|иеня способны с легкостью решать такого типа задачи.

Обучать решению комбинаторных задач учащихся ненег-ко, так как это связано с развитием у школьников приёма абстрагирования, перенесением практических даНсшепйвпллн умственных, а также с логическими УУД анализа, синтеза, классификации объектов и аналогии представляющих асё-токиопрео делённую сложность на начальном этапе обучения.

В связи с этим возникает необходимость миеооишескноХо-снованного включения задач комбинаторного характера в процесс обучения с постепенным нарастанием уложнивли нутом предоставления учащимся максимальной возможности проявить инициативу и самостоятельность в поисках способов решения таких задач.

На первоначальном этапе внимание детей надо уденеть решению задач, направленных на формирование приёма простого перебора объектов, рассматриваемых в задаче.В качестве примера приводим несколько типов задач, вполне подходящие на этом этапе:

1. Аня и Саша гуляют с мамой в парке, держа последовательно друг друга за руки. Как это может происходипь?

2. Учитель выставил трём ученикам по математике и русскому языку положительные оценки. Какими могли быть эти иомет-ки?

3. Ученику необходимо покрасить три разпын игершек.ле-пользуя синюю и красную краски. Как это можно сделать? Сколько вариантов возможно?

4. Миша выполнил домашнее задание по математике, русскому языку и чтению. В какой последовательноетиенмог это выполнить?

5. Сколько трёхзначных чисел можно записать, ирпемиоео цифры 0, 4, 5?

Уже на следующем этапе при решении комбинаторных задач необходимо использовать в полной мере возмижноспнмоде -лирования и прибегать к построению различных видов вспомогательных моделей (чертежей, схем, таблиц, гршфпв.де^лнев возможностей и т. д.), используемых при решении задач в начальных классах. Приводим несколько типичною приме.ув таких задач, удобных в методическом плане использовать на этом этапе:

1. Запишите всевозможные двухзначные и трёхзначные числа при помощи цифр 2, 4, 5. Сколько их может быть соответственно?

2. Шестеро ребят участвуют в шахматном турнире, играя между собой по одной партии. Сколько партий будет сыграно в этом турнире?

Библиографический список

3. Задача Л. Эйлера: Трое господ при входе в ресторан отдали швейцару свои шляпы, а при выходе получили их обратно. Сколько существует вариантов, при которых каждый из них получит чужую шляпу?

4. ЗодачаА.В.Белошиетсм: Ишеютенаорандаши фконото и синего цвета. Сколько карандашей нужно взять, не глядя, что-«ы иотибы 2 (ишеи) изних были одного цвета?

5. Найдите на данном чертеже треугольники в возможно большем количестве. Сколько их может быть? (Ответ: 14)

Мо-лбъясменмо лешепияпосуомжей зкдачх ложоо троОег-нуть к приёму последовательного усложнения чертежа.

ПосмтотраЛотхи этого чтапа необходимо реализовать следующий этап, закрепляющий умение решать комбинаторные за-дачч.Минлом эмиоееажнмотрчботка учиьцимлсяемениянешатв комбинаторные задачи несколькими способами, используя при иоом рамличмыеупуснбы солоавлесоя вепомогахельнр1х модемой и осуществляя при этом действие самоконтроля, которое являет-слвашмейшим ^(^л^пи^^н^чимсоеб^Кч^ечхел ьоенти.

На этом же этапе уместно обсуждать с детьми различные снпецеиоз н0ыичпlнoйлезнп,когБaтчл ваомьлиеноммжде имеют дело с элементами комбинаторики. Например, это может нетысен-ко,пнOенковпкyTкеpтеl,воpнестыyо«eтиесa вопросы телевизионной игры «Кто хочет стать миллионером?»,

тaМомиlП1l^oroснaчлвlе чиике,зучлси нлум, аoмepсткллфоюoм,

даты рождения людей и т. д.

Отоелим, лтоpaзшлл«KoБМинитуpике. Смалиолиои ^^лрие вероятности» уже включен в содержание курса математики ос-аовного и следнегообщегч оиразнеанин.ж с н011юода зчшлчия из этой темы включены в содержание ОГЭ и ЕГЭ по математике для 9 и 11 еас^схмтониче-^ст^^ннн.

Поэтому включение элементов комбинаторики в начальный «уреоепемачики сМусловолео нюмолькл и рмзвивающимися возможностями комбинаторных задач и пропедевтикой стохастики, ной с счкумна циеОпиееостеенлнсти курсив мaлклзтиеигaчель-ной и основной школы.

Что кеcaкиcялaзвнвеюоеxволмншмуcтеrкoмбснетоpеыx задач, то это в первую очередь относится к познавательным УУД, кyтyоыввдиючеоо в yкОgyбщкочeМныeдeлyтвия, ыугиччукио действия, а также действия постановки и решения проблемы. А к числу логических УУД, как известно, принято отнести приёмы анализа, сравнения, классификации, обобщения, аналогии, под-впдениемуд пунямне, пеоирупнинлогилоукиОилнучки расочжде-е гн-отео и ив обнесyвлвиe.

В ходе обучения учащихся решению комбинаторных задач заде.навованы и фквлпчуютсл,нлноимп. оаете пузнеоалелн ные УУД, как:

- ннщнлен ио.сплв и я, в уп.чнл, даннеж и пукемо1жнвмочи;

- проведение поиска информации необходимой для реше-епооадечн;

- построение различных моделей: чертеж, схема, таблица, граф, дерево возможностей и т. д.;

- выявление причинно-следственных отношений и связей;

- выдвижение гипотез, а также их обоснование;

- сравнение условий различных задач и их решений, выявление между ними различий и сходства;

- анализ решения задачи, логическое обоснование выполненных действий. [4; 5, 6].

1. Бурменская Г.В., Евдокимова Л.В. Формирование комбинаторного мышления у младших школьников и подростков. Вопросы психологии. 2007; 2: 30 - 43.

2. Гашаров Н.Г., Касумова Б.С. Дивергентные задачи в начальном курсе математики. Махачкала, 2010.

3. Гашаров Н.Г., Махмудов Х.М. О развитие стохастической культуры младших школьников. Мир науки, культуры, образования. 2016;

2(57): 61 - 63.

4. Как проектировать универсальные учебные действия в начальной школе. От действия к мысли: пособие для учителя; под ред. А.Г. Асмолова. Москва, 2011.

5. Тонких А.П. Стохастика в начальной школе: пособие для учителя начальных классов, Москва, 2013.

6. Царева С.Е. Методика преподавания математики в начальной школе: учебник для студентов учреждений высшего образования. Москва, 2014.

References

1. Burmenskaya G.V., Evdokimova L.V. Formirovanie kombinatornogo myshleniya u mladshih shkol'nikov i podrostkov. Voprosy psihologii. 2007; 2: 30 - 43.

2. Gasharov N.G., Kasumova B.S. Divergentnye zadachi vnachal'nom kurse matematiki. Mahachkala, 2010.

3. Gasharov N.G., Mahmudov H.M. O razvitie stohasticheskoj kul'tury mladshih shkol'nikov. Mir nauki, kul'tury, obrazovaniya. 2016; 2(57): 61 - 63.

4. Kakproektirovat' universal'nye uchebnye dejstviya vnachal'nojshkole. Ot dejstviya k mysli: posobie dlya uchitelya; pod red. A.G. Asmolova. Moskva, 2011.

5. Tonkih A.P. Stohastika v nachal'noj shkole: posobie dlya uchitelya nachal'nyh klassov, Moskva, 2013.

6. Careva S.E. Metodika prepodavaniya matematiki v nachal'noj shkole: uchebnik dlya studentov uchrezhdenij vysshego obrazovaniya. Moskva, 2014.

Статья поступила в редакцию 06.06.18

УДК 378

Potekhina E.V., Cand. of Sciences (Pedagogy), senior lecturer, Department of Mathematics and Informatics, Stavropol State

Pedagogical Institute (Stavropol, Russia), E-mail: ekapotekhina@yandex.ru

SUPPORT OF THE COURSE OF MATHEMATICAL LOGICS BY MEANS OF INFORMATION TECHNOLOGIES. The work investigates a problem of the use of information technologies in teaching mathematical disciplines to students of humanitarian specializations. The importance of use of the applied mathematical packages, such as Maple, Mathematica, MATLAB, MatCad, etc. has been studied. These systems have the friendly interface, realize a set of standard and special mathematical operations, are supplied with powerful graphic tools and possess own programming languages. The author suggests using mathematical systems, in particular MS EXCEL for the solution of problems of mathematical logics. The course of computer support of mathematical logic represents the discipline directed, on the one hand, to formation of mathematical skills by means of the computer equipment, on the other hand, on mastering students concrete skills of the use of information technologies in mathematics.

Key words: mathematical disciplines, information technologies, professional education, mathematical logics.

Е.В. Потехина, канд. пед. наук, доц. каф. математики и информатики ГБОУ ВО «Ставропольский государственный

педагогический институт», г. Ставрополь, E-mail: ekapotekhina@yandex.ru

ПОДДЕРЖКА КУРСА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ СРЕДСТВАМИ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Статья посвящена проблеме применения информационных технологий в преподавании математических дисциплин студентам гуманитарных специальностей. Рассмотрена важность использования прикладных математических пакетов, таких как Maple, Mathematica, MATLAB, MatCad и др. Эти системы имеют дружественный интерфейс, реализуют множество стандартных и специальных математических операций, снабжены мощными графическими средствами и обладают собственными языками программирования. Автор предлагает использовать для решения задач математической логики использовать математические системы, в частности MS EXCEL. Курс компьютерной поддержки математической логики представляет собой дисциплину, направленную, с одной стороны, на формирование математических умений и навыков средствами компьютерной техники, с другой стороны - на овладение студентами конкретными навыками применения информационных технологий в математике.

Ключевые слова: математические дисциплины, информационные технологии, профессиональное образование, математическая логика.

Вся система высшего профессионального образования в нашей стране состоит из большого количества педагогических подсистем подготовки специалистов самых разных специальностей, среди которых есть педагогическая система подготовки учителей информатики средних школ. Каждая педагогическая система подготовки специалистов, в свою очередь, также состоит из большого количества подсистем, среди которых ведущую роль играют методические системы обучения отдельным предметам (дисциплинам). Наука, занимающаяся изучением и разработкой таких педагогических и методических систем, и есть педагогика высшей школы. Педагогическая система, являясь также элементом более широкой социальной системы, не может не отражать особенности этой системы, и в частности особенности ее становления и развития.

Использование современных информационно-коммуникационных технологий (ИКТ) в образовании способствует постоянном динамическом обновлению цели, содержания, средств, форм и методов процессов обучения и воспитания. Информатизация образования является не только следствием, но и стимулом развития ИКТ, обусловливает ускоренное социально-экономическое развитие общества [1].

Основная цель профессионального образования - подготовка квалифицированного работника соответствующего уровня и профиля, конкурентоспособного на рынке труда, компетентно-

го, ответственного, свободно владеющего своей профессией и ориентированного в смежных областях деятельности, способного к эффективной работе по специальности на уровне мировых стандартов, готового к постоянному профессиональному росту, социальной и профессиональной мобильности; удовлетворение потребностей личности в получении соответствующего образования [2].

Применение ИКТ в образовании считается одним из главных тенденций развития информационного общества. Использование ИКТ в учебном процессе позволяет получить студентам навыки, необходимые для жизни и работы в современном обществе, и формирует предпосылки для изменения технологии приобретения новых знаний посредством более эффективной организации познавательной деятельности [3].

Проблеме применения компьютерных технологий в преподавании математических дисциплин в средней и высшей школах посвящены публикации Е.В. Ашкинузе, Б.Б. Беседина, Ю.Г. Гузуна, В.А. Далингера, Ю.А. Дробышева, И.В. Дробышевой, М.Н. Марюкова, В.Р Майера, И.В. Роберт, А.В.Якубова и других. Основное внимание в этих исследованиях уделяется не только вопросам создания программно-педагогических средств учебного назначения с методикой их применения, но и разработке соответствующих компьютерно-ориентированных методик изучения отдельных тем и разделов школьного и вузовского курсов мате-