Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Л.О. Бабешко доцент кафедры "Математическое моделирование экономических процессов"

КОЛЛОКАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ОСНОВНЫХ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ

ФОНДОВОГО РЫНКА

Аннотация

Данная работа посвящена вопросу прогнозирования характеристик основных финансовые инструментов фондового рынка при помощи модели средней квадратической коллокации . Кол-локационная модель прогнозирования сохраняет основные преимущества классических регрессионных моделей - инвариантность по отношению к линейным преобразованиям исходных данных и результатов, оптимальность решения (в смысле наиболее точного прогноза из всех возможных вариантов линейных решений на основе заданных исходных данных) - и имеет дополнительные достоинства: результат не зависит от числа оцениваемых величин; как наблюдаемые, так и оцениваемые величины могут быть разнородными (иметь различную физическую, экономическую или математическую природу). Коллокационная модель может быть использована не только для построения оптимального прогноза однородных данных, но и для оценивания любых интересующих характеристик финансовых инструментов фондового рынка по неоднородной исходной информации (доходностей, курсов, объемов продаж, индексов и т.д.).

Потребность в прогнозировании как специфическом научноприкладном анализе (нацеленном на будущее или учитывающем неопре-

* Термин “коллокация” (англ. collocation — взаиморасположение; расстановка) после публикации работы советского математика и экономиста Л. В. Канторовича “Об одном методе приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных” (1934) широко используется в современной вычислительной математике для приближенного решения дифференциальных уравнений. Под коллокацией, с математической точки зрения, понимается определение функции путем подбора аналитической аппроксимации к определенному числу заданных линейных функционалов. “Математическая” (“чистая”) коллокация нашла широкое применение в технических приложениях при решении интерполяционных задач. Дальнейшее обобщение теории коллокации связано с применением к объектам стохастической природы и вслед за работами Г. Морица (например: Moritz H. Least-Squares Collocation // Reviews of Geophysics and Space Physics. V. 16. No. 3. Aug. 1978. P. 421-430) под коллокацией понимается обобщение метода наименьших квадратов на случай бесконечномерных гильбертовых пространств.

деленность, связанную с отсутствием или неполнотой информации) возникает со стороны самых разнообразных областей человеческой деятельности - политики, международных отношений, экономики, финансов и т.д.

Предвидение вероятного исхода событий дает возможность заблаговременно подготовиться к ним, учесть их положительные и отрицательные последствия, а если это возможно - вмешаться в ход развития, что особенно важно в финансовой сфере, подверженной различного рода рискам.

В общем виде задачу прогнозирования можно сформулировать следующим образом: по имеющейся информации X (измерениям, наблюдениям) требуется предсказать (спрогнозировать, оценить) некоторую величину У, стохастически связанную с X. Например, по имеющейся информации о динамике цен на ту или иную ценную бумагу оценить ее значение на какой-то период в будущем или оценить доходность одних ценных бумаг, используя информацию о доходности других ценных бумаг, и т.д.

Искомое значение У можно оценить различными способами, но в любом случае это приближенное значение будет базироваться лишь на исходной информации:

У = ф(Х) = фХ X*..., хп).

Различные функции ф определяют различные методики прогноза оценки У. Ниже мы рассмотрим методику линейного стохастического прогнозирования.

Итак, пусть имеется два множества случайных величин: множество значений независимой переменной (измерений) X = (Хь Х2,Хп)', образующих п-мерный вектор-столбец, и множество значений зависимой переменной (сигналов) У = (Ух,У2,Ут)', образующих т-мерный вектор-столбец (значок (') - означает транспонирование).

Предполагается, что каждая из переменных является центрированной случайной величиной, т.е. имеет математическое ожидание равное нулю:

Е{Х} = 0, Е{У} = 0. (1)

Если это не так, то выполняется центрировка, то есть значения Е{Х}ф0 и Е{Х}ф0 вычитаются из заданных значений переменных X и У соответственно.

Пусть имеется дополнительная информация в виде ковариационных функций:

1) автоковариационных функций векторов X и У,

Кхх(т) = Е]Х] • Х] +,} , (2)

Куу(т) = Е{Ук • Ук + г }, (3)

где X) = Х($ - значение переменной в момент §, =1, ... , п,

Ук = У(к - значение переменной в момент ^, к=1, ..., т, т - интервал времени между соответствующими моментами;

2) взаимных ковариационных функций между X и У

КуХ (т) = £{у. • Х;+т}, КХу(т) = е\Х} • У]+Т}. (4)

По данным ковариационным функциям для различных интервалов т можно составить соответствующие ковариационные матрицы:

КХХ(п,п), КУУ(т,т), КУХ(т,п), КХУ(п,т) . (4)'

Предполагается, что данные ковариационные матрицы имеют полный ранг, т.е. ранг равный наименьшему из чисел т и п.

Задача состоит в оценке вектора У по измеренным значениям вектора X. Причем связь между векторами будет определяться не через

функциональное соотношение, а только через ковариационные матрицы

(4)'.

Ограничиваясь методикой линейного прогноза, будем искать оценку вектора У в виде

У = НХ,

(5)

или в координатной форме:

У =Ъ,Х, ■ ...т,

]=1

т.е. каждый элемент вектора У аппроксимируется линейной комбинацией исходных данных X = (Х1, Х2, ..., Хп)'.

Ошибка аппроксимации (вектор ошибок) определяется как разность между истинным значением переменной и оценкой

в = У - У . (6)

Ковариационная матрица и дисперсии ошибок определяются по формулам

Квв = осу(в,в) = Е{вв'}= Е{(У - У)(У - У)'}, (7)

о* = е{:*}= е{у - У)2 } (8)

соответственно. Согласно общей теории статистического оценивания наилучшая (оптимальная) линейная оценка определяется как несмещенная ли-

нейная оценка с минимальной дисперсией. Несмещенность линейной оценки (5) проверяется непосредственно

е{г }= е{нх }= не{х }= 0 = е{у },

с учетом (1) и свойств математического ожидания.

Для того чтобы дисперсия линейной оценки (5) была минимальной, матрица Н должна определяться из следующих соображений.

Ковариационная матрица ошибок для произвольной матрицы Н имеет вид:

Кее = Е(ее'} = Е{(У - НХ)(У - НХ)'} = Е{(У - НХ)(У' - ХН')} =

= Е{НХХ'Н} - Е{УХН} - Е{НХУ} + Е{УУ} = НКХН' - КУХН' - НКУХ + КУУ . Вычитая из правой части квадратичную форму КухКхХКху и добавляя ее, а также домножая члены КУХН' НКУХ на единичную матрицу Е = КХХКХХ, можно представить ковариационную матрицу ошибок в виде суммы двух матриц:

Кее = Куу - КухКХХКху + КухКХХКху + НКххН ' - КухКХХК ххН ' - нкхХк ххКух =

= (Куу - КуХКхХК ху) + (Н - КуХКхХ)К хх(Н - КухКХх)' = Л + 5 , где Л = Куу - КухКXXК ХУ , В = (Н- КухКXX)К хх(Н - КухКХХ)'.

Матрица Л одинакова для всех линейных оценок, так как она не зависит от матрицы Н. Заметим, что элементы матрицы В являются неотрицательными числами (поскольку ковариационная матрица Кхх является невырожденной, а как известно, все невырожденные ковариационные матрицы положительно определены), поэтому диагональные элементы матрицы Квв , представляющие собой дисперсии ошибок, будут наименьшими только в том случае, когда матрица В является нулевой

В = (Н - КухКхХ)Кхх(Н - КухКхХ)' = 0. (9)

Отсюда следует, что дисперсии ошибок будут минимальными, если матрица Н определяется выражением

Н = КухКхХ . (10)

Таким образом, выражение для оптимальной (несмещенной, с минимальной дисперсией) линейной оценки получается подстановкой в формулу

(5) выражения (10):

У = НХ = КШКхХ X. (11)

При этом ковариационная матрица ошибок прогнозирования переменной У с учетом (9) принимает вид

Кєє= Kyy- KyxKxXKxy . (12)

При практической реализации алгоритма прогнозирования (11) целесообразно сначала вычислить вектор C

с = KXXX, (13)

поскольку сомножители в данном выражении не зависят от значений переменной Y, а затем выполнять умножение на матрицу взаимных ковариаций

Y = KyXC .

Если выполняется прогноз одного значения переменной Y, например на момент t = p, Yp, то вектор C умножается на вектор-строку ковариаций

Kp'= (Kpl,Kp2, Kpn) ,

где Kpi= covYpX } ' = l,...,n) ,

Yp = KpC. (14)

Данный метод может быть использован при прогнозировании значений переменных как по пространственным данным (пространственный срез) (cross-sectional data), например, по набору сведений о доходностях разных ценных бумаг (X и Y) за один и тот же период (момент) времени, так и по данным временных рядов (time-series data), например, доходности ценной бумаги данного вида (Y) за несколько лет.

Во втором случае, т.е. в случае, когда прогноз Y переменной Y в момент t = p выполняется по данным временного ряда Y = (Yl,Y1 ,...Ym)', формула (11) принимает следующий вид

Yp = Kp'KYY , (14)

гдеKp = (Kp1,Kp2,... ,Kpm) - вектор-строка ковариаций, с элементами Kpi = covY^Y-}, (i= 1, ■■■, m); KYY- автоковариационная матрица вектора Y.

При этом формулу для дисперсии ошибки прогноза в момент t = p (с учетом выражения (12)) можно переписать следующим образом

D(P) = Dy - KpK-\ Kp , (15)

где Dy - дисперсия случайного процесса Y.

Поскольку ковариационная матрица положительно определена и, следовательно, квадратичная форма KpK-lYKp в выражении (15) принимает

неотрицательные значения, любой прогноз будет уменьшать исходную дисперсию Dy. В худшем случае, когда точка р, в которой выполняется

прогноз, настолько удалена от ординат Y, /=1, 2, ..., m с заданными значе-

f

ниями, что вектор ковариаций Kp = (KpVKp2,...,Kpm) является нулевым

вектором, дисперсия прогноза будет равна дисперсии исходного процесса Dy:

D(P) = Dy.

Если момент t = р, на который выполняется прогноз переменной Y,

совпадает с моментом t = /, на который известно ее значение Y, элемен-

f

ты вектора ковариаций Kp = (Kp1,Kp2,...,Kpm) будут совпадать с элементами /-й строки (Kil,Ki 2 ,...,Kim)' и элементами /-го столбца (Kli,K2i,...,Kmi) ' матрицы автоковариаций KYY. Поэтому в соответствии с (14) значение прогноза будет в точности совпадать с заданным значением переменной

Yp = Y , (16)

и в соответствии с (15) ошибка дисперсии прогноза D^P) = 0, так как квадра-

f

тичная формаKp KyYKp при р = i достигает своего максимального значения,

равного дисперсии Dy.

Формулы (10) и (14) называются средним квадратическим прогнозом или коллокацией [1] и представляют собой аналог формулы прогноза Колмогорова-Винера, известной из теории стохастических процессов. И как показано выше, вся методика линейного прогноза сводится к простейшим матричным операциям.

Используя данные временных рядов по годовым доходностям долгосрочных облигаций корпораций США и доходностям рыночного портфеля (портфеля, включающего акции 500 фирм и выбранного корпорацией Standard & Poor's для характеристики рынка в среднем) за период исследования (с 1984 по 1993 г.) [2], выполним сравнительный анализ результатов прогнозирования, полученных при помощи парной регрессионной модели и модели коллокации (табл. 1).

Таблица 1

t Год Долгосрочные облигации корпораций Yt, % Портфель обыкновенных акций Xt, %

1 1984 16,39 6,27

2 1985 30,90 32,16

3 1986 19,85 18,47

4 1987 -0,27 5,23

5 1988 10,70 16,81

6 1989 16,23 31,49

7 1990 6,78 -3,17

8 1991 19,89 30,55

9 1992 9,39 7,67

10 1993 13,19 9,99

В качестве исходных данных будем использовать значения доходностей за девять лет (с 1984 по 1992 г. включительно), а последнее значение, соответствующее 1993 г., будем использовать для контроля качества прогноза, поэтому число данных п в обеих моделях будем принимать равным 9.

Регрессионная модель прогноза, с оцененными по методу наименьших квадратов параметрами, имеет вид:

У, = а + ЪХ, = 6,0119 + 0,5207Хг. (17)

Для определения точностных характеристик модели (оценка дисперсии параметров модели, дисперсии прогноза и т.д.) вычисляются остатки регрессии в, = У, - У, и находится сумма их квадратов (табл. 2).

Таблица 2

t V, е, 2 в,

1 16,39 9,277 7,113 50,598

2 30,90 22,758 8,142 66,293

3 19,85 15,629 4,221 17,813

4 -0,27 8,735 -9,005 81,094

5 10,70 14,765 -4,065 16,525

6 16,23 22,409 -6,179 38,181

7 6,78 4,361 2,419 5,850

8 19,89 21,920 -2,030 4,119

9 9,39 10,006 -0,616 0,379

Е 280,853

Оценка дисперсии ошибок регрессии и оценки дисперсии параметров модели для данных табл. 2 соответственно равны: <г2 = 40,122; <гЪ = 0,0294; д2а = 12,128. Коэффициент детерминации И2, характеризующий качество подгонки регрессионной модели к наблюденным значениям У, , (, = 1, ..., 9) и Р - статистика, используемая для проверки его значимости (Я2=0,506, Р=9,237 > Ра(к1, к2) = Ра(1,7) = 5,59, где Ра - критическое значение критерия при пятипроцентном уровне значимости а = 5%, и уровней свободы к1 = 1 и к2 = п-2 = 7), свидетельствуют о том, что есть основания полагать, что между переменными имеется корреляционная зависимость.

При помощи регрессии (17) выполним прогноз доходности долгосрочных облигаций корпораций на 1993 г. У93 по значению доходности рыночного портфеля на этот год Х93=9,99:

У93 = 6,0119 + 0,5207Х93 = 11,214, и, таким образом, отклонение от истинного значения составляет

У93 - У3 = 13,19 - 11,21 = 1,98, (18)

а оценка дисперсии прогноза индивидуального значения о\ = 45,699.

Теперь выполним прогноз, используя модель коллокации (11). Для этого необходимо построить модели ковариационных функций: автокова-риационной функции вектора X, взаимной ковариационной функции между X и У, взаимной ковариационной функции между У и X.

Первым шагом при построении ковариационных функций является вычисление оценок ковариаций по данному динамическому ряду:

€ 1 п-т _ _

Кхх(т) =------IX - Х)(Х(+х - X) ,

п - т ,=1

€ 1 п~х — —

Кху(т) =------I (Х( - Х)(У(+х - У) ,

п - т ,=1

€ 1 п-т _ _ € 1 п-т _ _

Кух(т) =-I (У - У)Х+т - X) , Кху(т) =---------------I (Х( - Х)(У+т - У) ,

п -т ,=1 п -т ,=1

1 п 1 п

где X = — IХ(; У = — IУ - выборочные средние.

п(=1 п,=1

Вторым шагом является выбор подходящей аппроксимирующей функции, и если нет каких-либо дополнительных соображений теоретического характера, то в качестве таковых обычно выбирают непрерывные функции вида:

К( т) = К( 0) • е а1 т1, а > 0 ,

К(т) = К( 0) • е~а|т| еоэр I , а > 0 , (19)

где а, Д К(0) = йУ - параметры модели. Поскольку члены последовательностей КХХ(т), КХУ(т), КУХ(т), (т = 0, ..., к) для данных табл. 1 ме-

няют знак, то в данной работе воспользуемся выражением (19).

На третьем шаге выполняется оценка параметров модели ковариационной функции (например, по методу наименьших квадратов). В данной работе воспользуемся методом, основанным на использовании "существенных" параметров:

1) дисперсии процесса К(0) = 0У;

2) радиуса корреляции т0 5 - значение аргумента т ковариационной функции, при котором ее значение равно половине дисперсии, т.е.

К(т0,5) = 2 К (0);

3) наименьшего положительного корня т уравнения: К(т) = 0. Связь параметров модели с существенными параметрами устанавливается следующим образом:

П

в =----, где п = 3,14. (20)

2т 0

а =

1п [2 сое (в • Г0_5)]

(21)

Значения существенных параметров и параметров моделей ковариационных функций представим в табл. 3.

Таблица 3

Г

0.5

Ковариационная функция Существенные параметры то То,5 Параметры модели а в

Кхх(т) 0,6193 0,3096 1,1193 2,5366

Куу(т) 1,0293 0,5054 0,7133 1,5261

Кух(т) 0,7417 0,3709 0,9345 2,1177

Кху(т) 0,6619 0,3310 1,0472 2,3731

По построенным ковариационным функциям, для различных интервалов т (т = 0, ..., 9) между моментами 4 §, і = 1, ..., 9, } = 1, ..., 9 рассчитаем соответствующие ковариационные матрицы:

Л

к

XX

- 45,883 6,430 1,438 - 1,458 0,630 - 0,183 0,031 0,003

170,856 - 45,883 6,430 1,438 - 1,458 0,630 - 0,183 0,031

170,856 - 45 ,883 6,430 1,438 - 1,458 0,630 - 0,183

170,856 - 45,883 6,430 1 ,438 - 1,458 0,630

170,856 - 45,883 170,856 6,430 - 45,883 170,856 1,438 6,430 - 45,883 170,856 - 1,458 1,438 6,430 - 45,883 170,856

\

К

УХ

88,966 - 18 ,174 - 6,301 5,378 - 1,225 - 0,329 0,324 - 0,081 - 0,017

- 22,446 88,966 - 18,174 - 6,301 5,378 - 1 ,225 - 0,329 0,324 - 0,081

0,370 - 22,446 88,966 - 18 ,174 - 6,301 5,378 - 1 ,225 - 0,329 0,324

2,578 0,370 - 22,446 88,966 - 18 ,174 - 6,301 5,378 - 1,225 - 0,329

- 1,346 2,578 0,370 - 22,446 88,966 - 18,174 - 6,301 5,378 - 1 ,225

0,362 - 1,346 2,578 0,370 - 22,446 88,966 - 18 ,174 - 6,301 5,378

- 0,017 0,362 - 1,346 2,578 0,370 - 22,446 88,966 - 18 ,174 - 6,301

- 0,036 - 0,017 0,362 - 1,346 2,578 0,370 - 22,446 88,966 - 18 ,174

0,020 - 0,036 - 0,017 0,362 - 1 ,346 2,578 0,370 - 22,446 88,966

Обращая матрицу Кхх и перемножая обратную матрицу К]Х на вектор центрированных значений переменной X, а затем, умножая произведение С = К^X на матрицу КУх, получим центрированные значения прогнозов переменной У на моменты

t = 1, ..., 9, соответствующие периоду исследования (с 1984 по 1992 г.). Добавляя к центрированным значениям прогнозов среднее по выборке У = 14,429 и вычисляя отклонения прогнозов от истинных значений переменной, найдем сумму квадратов отклонений (табл. 4).

Таблица 4

У, У е, е2

1 16,39 9,232 7,158 51,232

2 30,90 23,498 7,402 54,786

3 19,85 15,769 4,081 16,652

4 -0,27 7,407 -7,677 58,935

5 10,70 16,226 -5,526 30,535

6 16,23 21,489 -5,259 27,653

7 6,78 4,933 1,847 3,411

8 19,89 21,459 -1,569 2,462

9 9,39 10,436 -1,046 1,093

Е 246,760

Для прогнозирования доходности долгосрочных облигаций корпораций на 1993 г. У93(ї = 10) вектор значений ковариаций (14)

(-0,006 0,020 -0,036 -0,017 0,362 -1,346 2,578 0,370 -22,446),

вычисленный по моделям взаимных ковариационных функций КУХ,КХУ (см. табл. 3), умножается на вектор С = КХХX в результате получается значение

У93 = 14,903,

и, таким образом, отклонение от истинного значения составляет

У93 - У93 = 13,19 - 14,903 = -1,71.

Продемонстрируем работу модели (14) для прогнозирования значений временного ряда - доходности долгосрочных облигаций корпораций США на 1992 г. и 1993 г. по данным за девять лет (с 1984 по 1992 г. включительно).

Элементы ковариационной матрицы КУУ и вектора К вычислим при помощи модели автоковариационной функции вида (19) с параметрами а = 0,7133, р = 1,5261 (см. табл. 3):

К

УУ

81,432

- 19,475 - 1,280 4,620 0,510 - 1,087 - 0,170 0,254

1,782 - 19,475 - 1,280 4,620 0,510 - 1 ,087 - 0 ,170

81,432 1,782 - 19 ,475 - 1,280 4,620 0,510 - 1,087

81 ,432 1,782 - 19 ,475 - 1,280 4,620 0,510

81,432 1,782 - 19 ,475 - 1 ,280 4,620

81,432 1,782 - 19 ,475 - 1,280

81 ,432 1,782 - 19 ,475

81,432 1,782

81 ,432

70 - 1,087 0,510 4,620 - 1,280 - 19,475 1,782 81,432)

Умножая вектор К9:

к9 = (0,254 - 0,1'

на вектор К-У, получим прогноз доходности долгосрочных облигаций корпораций США на 1992 г. В данном случае результат прогноза в точности совпадает с заданным значением, и этот факт был отмечен выше (см. (16)):

У92 = У92 = 9,390 .

Умножая вектор К1'0 :

К10 =(0,052 0,254 - 0,170 - 1,087 0,510 4,620 - 1,280 - 19,475 1,782)

на вектор К-У, получим прогноз доходности долгосрочных облигаций корпораций США на 1993 г. - У93 = 13,021, который отличается от истинного значения на величину в = 0,169.