Коливання у деяких сильно нелінійних механічних системах із багатьма ступенями вільності Текст научной статьи по специальности «Математика»

5. ШФОРМАЩЙШ ТЕХНОЛОГИ ГАЛУЗ!

УДК 517.95+534.1 Доц. П.Я. Пукач, д-р техн. наук -

НУ "Львiвська полтехшка"

КОЛИВАННЯ У ДЕЯКИХ СИЛЬНО НЕЛ1Н1ЙНИХ МЕХАН1ЧНИХ СИСТЕМАХ 13 БАГАТЬМА СТУПЕНЯМИ В1ЛЬНОСТ1

Аналiтичнi методи для нелшшних систем з одним ступенем вiльностi узагальнено на певний клас нелiнiйних систем зi скшченним числом ступешв вiльностi. Застосуван-ня анал^ичних пiдходiв на базi поеднання класичних методш нелшшно! механики та хвильово! теорн руху дае змогу зробити загальш висновки щодо важливих питань ана-лiзу динамiчних процесiв. Висновки, отримаш за допомогою апарату спещальних функций, дають змогу отримати характеристики динамiки сильно нелiнiйних систем з ба-гатьма ступенями вшьносп, якi випливають з аналiзу розв'язюв вiдповiдних диференщ-альних рiвнянь.

Ключовi слова: нелшшш коливання, сильно нелшшна система, резонанс, спещ-альнi функцн, амплiтудно-частотна характеристика.

Вступ. Актуальнiсть теми та огляд лггератури. Проблема розроблен-ня ефективних аналiтичних методов, яш дають змогу отримати оптимальнi ш-женернi рiшення за рахунок вибору параметров коливально! системи, тiсно зв'язана з проблемою побудови i дослщження розв'язкiв звичайних диференщ-альних рiвнянь, що описують рухи механiчних систем. Цей факт випливае з аналiзу пубткащй, якi стосуються аналiтичних дослвджень коливальних проце-сiв систем iз зосередженими масами [1-3] та ш. Класичнi аналiтичнi методи для нелшшних систем з одним ступенем вшьносп [4] узагальнеш на системи зi скiнченним числом ступенiв вiльностi [5, 6]. Однак зростання кiлькостi ступешв вшьносп системи призводить до значного ускладнення аналiтичних розра-хунтв i не приводить до точшших результатiв. Застосування ж чисельних методов у багатьох випадках не дае змоги зробити загальш висновки щодо важливих питань динамши: стшккть руху, прогнозування резонансних явищ, добiр ращ-ональних параметрiв систем на стадц проектування з метою забезпечення зада-них законiв руху, певних амплiтудно-частотних характеристик (АЧХ) тощо.

Ефективш загальнi висновки щодо характеристик динамiчних процесов можна зробити тiльки за наявносп адекватних математичних моделей шляхом детального аналiзу розв'язкiв вiдповiдних диференщальних рiвнянь. Найбiльш цiлiсну i завершену структуру дослiдження нелiнiйних коливальних систем з малим параметром отримано в [7], де так званий асимптотичний метод КБМ узагальнений на випадок неавтономних систем та систем iз багатьма ступенями вiльностi. Асимптотичний метод КБМ розвинув В.М. Волосов i на випадок складнiших систем [8]. Динамiчнi процеси, якi вiдбуваються у системах зi скш-ченним числом ступенв вiльностi, описуються системами звичайних диференщальних рiвнянь другого порядку [1, 9-12]. Кшьккть рiвнянь тако! системи за-лежить вiд числа ступешв вшьност! Для опису динамiчних процесов у системах з розподшеними параметрами використовують диференцiальнi рiвняння з час-

тинними похвдними. Наявнкть навиь "малих нелМйностей" у вказаних системах стае причиною значних трудношдв !х аналиичного дослвдження. Однак на-явшсть у реальних мехашчних системах дисипативних 1 зовшшшх збурюваль-них сил у багатьох випадках призводить до швидкого затухания коливань з ви-щими частотами 1 встановлення у них динам1чних процеав з частотою, яка близька до одного з1 спектра основних частот (у бшьшосп випадов до першо! основно! частоти чи частоти вимушеного збурення).

Врахування зазначено!' вище властивосп нелшшних динам1чних систем при побудов1 наближених розв'язюв диференщальних р1внянь, ят описують ко-ливальш процеси систем, ктотно спрощуе застосування математичного апарату (асимптотичних метод1в нелМйно1 мехашки зокрема). Одночастотний метод побудови двопараметрично! множини розв'язюв е ефективним у дослвдженш складних коливальних систем. Для деяких клаав мехашчних систем (сильно нелшшних з п ступенями вшьносп, нелЫйних систем з розподаленими параметрами) цей метод е станом на цей час единим можливим анал1тичним методом дослщження.

Нормальш коливання деяких класiв консервативних систем iз зосе-редженими масами. Анал1тичне досл1дження динам1чних ироцейв сильно нелшшних систем 1з багатьма ступенями вшьносп набагато складшше, шж для квазшншних !х аналопв чи нав1ть сильно нелшшних систем 1з одним ступенем вшьност! Це зв'язано 1з тим, що для сильно нелшшних коливальних систем не мае мкця принцип суперпозицп коливань, а отже, анал1з динам1чного процесу можна проводити тшьки на баз1 частинних розв'язюв або застосування чисель-них методав штегрування в1дпов1дних диференщальних ршнянь. Прикладами сильно нелМйних систем, для яких вдаеться застосувати аналггичш методи побудови розв'язюв ввдповщних математичних моделей процесу, можуть бути системи, потенщальна енерпя яких визначаеться в1дпов1дно до залежностей

р( Х1 x2,..., Хп ) = ^ с^г2...гпх1/1х22...хПпп (1)

або Р= X су(Хi -хр)п+2. (2)

/,р=0

У сиiввiдношениях (1) та (2) х1,х2,...,хп- узагальнеш координати, ст..п,

ср, п1,п2,...,пп,п - стал^ причому =у + 2, а п +1 = 2р +1 (р,д = 0,1,2,...). По-

2Ч +1

тенщальна енергiя у обох випадках е однорщною функцiею узагальнених координат. Беручи до уваги, що кшетична енергiя, як функщя узагальнених швид-костей, визначаеться залежнктю

Т ( dx1 dx2 dxn ^ = 1 ( dxi^ 2

V dt ' dt dt ) 2 = \ dt

де Шг - маса /'-то!' точки, диференщальш ршняння, якi описують динамiчний процес незбуреного руху набувають вiдповiдно вигляду

d 2Хi V V V V 1 V V

Ш/ ^ 2 +Vi<^ ^..Гп^^...^-^^? Х1+11...Хяп = 0 (3)

М 2Х-

або тг + (V +1) 2 ер(х, - хП = 0.

М у=о

Розглянемо спочатку рiвняння (3). Покажемо, що, незважаючи на його сильну нелiнiйнiсть, динамiчний процес у ввдповвднш йому механiчнiй системi можна описати за допомогою перiодичних Ateb-функцiй. Для цього формально вважатимемо, що фазовi координати зв'язанi спiввiдношеннями:

х, = Ьх, " = 2,3,...,п , (4)

де Ь - невiдомi сталi, а сmввiдношення для зв'язку мiж ними будуть встановленi нижче. Фiзичний змiст останнього такий: у механiчнiй системi вщбуваються нель нiйнi коливання, якi за формою збкаються iз формою першо!' узагальненою координати. Наведенi вище залежностi трансформують вихiднi ршняння до вигляду: М 2х

т ^+хп+ЧЕ ст..Тп1(Ь2 V ...(Ьп V = 0, Ь2т2^ +П2Хп+1^ет..п1(Ь2Г- (Ьз)Пз...(Ьп)"" = 0 ,

М 2

Ьзтз + т-1Пэхп+1Х ^(Ь V (Ьз)П3-1 (Ь4 )\...(Ьп )"" = 0, (5)

ЬтпМ-Х + Ппхп+1Ест..г,1(Ь2V (Ьз)Пз...(Ьп-1)Пп-1 (Ьп)""-1 = 0 .

М 2

Вище у ршняннях (5) шдекс, який вказуе на "моду" базово!' координати, опущений, а самi диференцiальнi рiвняння вiдрiзняються тшьки коефщентами при шуканiй функцií та при ц другiй похiднiй. Це дае змогу записати вказанi ршняння у вигляд

М2х

т1М4 + Ь,0хп+1 = 0, (6)

"Л2 "

де: Ь0 = п£ ст..п1(Ь2уг...(ЬпУп,

Ь0 = (Ь2)-1П2Хет.,п 1(Ь2)*-1 (Ьз)Пз...(Ьп)п , Ьз0 = (ЫЩс«.., 1(Ь2Г (Ьз)пз-1 (Ь4)П4....(ЬпV ,

Ьп0 = (Ьп)-1Пп! сч,,.,1(Ь2 )п (Ьз)Пз...(Ьп-1)Пп-1 (Ьп )"" -1.

Як випливае iз наведеного вище, коефщенти Ь0 у диференщальному рiвняннi (6) виражаються через сталi Ь,, а тому залишаються невiдомими. З ш-шого боку, узагальнена сила, яка вiдповiдае г -й узагальненiй координатi, визна-чаеться вiдповiдно до виразу

ЭР(х1,х2,...,хп) = Ь ЭР(х,Ь2х,...,Ь„х) (7)

Эх,- Эх

На базi виразу (7) отримуемо такi алгебричш рiвняння вiдносно невiдо-

мих Ьг :

ЪЯто^Ъг Т (¿3)П3...( Ъп )Т =

Ъ^лъЛЪТ (Ъ3)П3...(Ъ1-1.)п-'(Ъ,)п-1(Ъ1+1.)п+1...(Ъи)Пп.

(8)

Отже, питання про правомiрнiсть кнування формально!' замiни змiнних (4) рiвнозначне до питання про iснування дшсних коренiв системи алгебричних рiвнянь (8). У робоп [13] показано, що у випадку, коли Р(хьХ2,...,хп) - однорiдна парна функция, то система алгебричних рiвнянь (8) мае розв'язки, до того ж !х не менше нiж п. 1з питаниям iснування декшькох дiйсних розв'язюв системи рiвнянь (8) пов'язане явище "перескокiв", а також стшккть нормальних мод ко-ливань. 1снування декiлькох дiйсних розв'язюв вказано! системи свiдчить про принципову рiзницю мiж нормальними коливаннями сильно нелМйних систем iз багатьма ступенями вшьносп та лiиiйними коливаннями систем iз такою ж кiлькiстю ступенiв вшьностг якщо у лiнiйних системах кнуе одна форма коли-вань, то у сильно нелМйних !х кшьккть визначаеться числом дiйсних коренiв системи рiвнянь (8). Отже, нормальнi форми коливань сильно нелМйних авто-номних консервативних систем, потенцiальна енергiя яких визначаеться (1), описуються за допомогою перюдичних Ateb-функцiй у виглядi:

а Ъ е одним iз розв'язкiв системи алгебричних рiвиянь (8).

Зауважимо, що рiвняння системи (8) для визначення коефiцiентiв Ъг можна трактувати i як умови рiвностi частот нормальних форм коливань меха-шчно! системи. Таким чином, для дослщження коливань сильно нелiнiйиих систем як автономного, так i неавтономного титв розвиваеться принцип, ввдо-мий у [14] як принцип одночастотносп коливань у нелшшних системах. Дшсно, частота коливань довшьно! узагальнено! координати хг (г = 2,3,...,п) розглядуваних систем визначаеться вiдповiдно до залежносп (10). Формально, записавши частоту для довшьного рiвияния iз системи (5), маемо

Використовуючи принцип одночастотносп коливань, адаптований до розглядуваного у роздш типу сильно нелiнiйних систем, шляхом приршнюван-ня частот рiзних мод нормальних коливань отримаемо систему алгебричних рiвнянь для визначення Ъг. Вона спiвпадае iз системою алгебричних рiвнянь (8), якщо за базову частоту прийняти частоту першо! узагальнено! координати.

Що стосуеться сильно нелшшних систем, потенщальна енерпя яких визначаеться функщею (2), то замшою змiнних (4) для описання "нормальних" форм коливань отримуються диференщальш рiвияния

х = аса(п,1,«(а)г + 0), хг = аЪгса{у,1,т (а)г + 0), (' = 2,3,...,п ). (9)

Параметри а та 0 у (9) е сталими величинами, а частота

(10)

^2(а) = с^Ж2 ЪТ • • • ЪЦ • ЪТ-1 • • • • ЪТп.

ах

тг—т

а 2х

а2

+ (V +1) х^12 Щ-(Ъ, - ЪГ1, г = 2,3,..., п ,

]=0

(11)

в яких невiдомi коефiцieнти b визначаються i3 системи алгебричних рiвнянь

b I cjfi - bj)v+1 = I jb, - bj)n+1. (12)

j=0 j=0

Розв'язки диференцiальних рiвнянь (11) виражаються за допомогою пе-рiодичних Ateb-функцiй у виглядi (9) з ткю тшьки рiзницею, що для розгляду-ваного випадку b, зв'язанi системою алгебричних рiвнянь (12).

Вплив перiодичного збурення на нормальш коливання сильно нель ншних систем i3 багатьма ступенями вшьносп. Викладенi вище результати е базою для дослвдження впливу малого збурення неавтономного типу на системи, "близью" до розглянутих вище. Отже, предметом розгляду роботи е дина-мiчнi системи, рух яких описуеться диференщальними рiвняннями вигляду:

cm..Tnx\1xv:!2..xvl-j1xn-lxvl+1i..xvn' = ef(x,хъ.,xn,dx2,...,^,/) (13) dt dt dt dt

або m,^ + (v +1)2 Cjix, - xj)v = ef (x,, x,.., xn, % %.., % ,/). (14)

dt j=o dt dt dt

Правi частини наведених вище диференщальних рiвнянь, тобто функцií

dx1 dx2 dxn „

ef(xi,x2...,xn,—,—,...,—,/) е аналiтичними 2ж-перюдичними за змiнною /. dt dt dt

У вказаних неконсервативних системах будемо розглядати коливання, як близькi до нормальних коливань вщповвдних незбурених консервативних систем. Шдставою для вказаного твердження е той факт, що малi збурення неавтономного типу у нелшшних систем з одним чи багатьма ступенями вшьносп за наявносп малих перюдичних збурень у нерезонансних випадках спричиняють незначнi змiни визначальних параметров динамiчного процесу незбурено!' системи. Виявляеться, що у режимах нормальних коливань сильно нелшшних систем iз скшченим числом ступенiв вiльностi вказана властивкть зберiгаеться. Тому вiдповiдно до загально!' схеми побудови асимптотичних наближень систем з малим збуренням формально можна розв'язки неконсервативних ршнянь подати у виглядi x,(t) = x0(t) + eu(t), де: x,0(t) - розв'язок незбурено!' системи, який визначаеться за отриманими вище залежностями (9), (10), eu,(t) - вдаи-лення розв'язку, зумовлене наявнктю малих неконсервативних сил. Очевидно, що останнш доданок визначаеться виглядом правих частин диференцiальних спiввiдношень (13) та (14), а також незбуреним рухом, тобто залежностями (9). У випадку коливань, за формою близьких до нормальних коливань незбурено!' системи x0(t)= ab,ca(v + 1,1,w(a)t + 0), b = 1, а b2,b3,...,bn - сталi, яю визначаються iз вiдповiдноí системи алгебричних ршнянь, u,(t) - обмеженi аналиичш функцií сво!'х аргументiв. Отже, x, (t)® x0(t) при e® 0. Таким чином, шдставляючи у (13) i (14) замкть x,(t) та dx, / dt спiввiдношення, mi узгоджуються iз (9), отри-

маемо нелшшш рiвняння m, d2x + b0xv+1 = eF,(x,—,/t), де

dt2 dt

dx dx dx dx

eF,(x,—,/Ut) = ef (x^x..., Kx,—, b^—,..., b^—,/). dt dt dt dt

Висновки. У робоп розроблено методику дослiдження динамiчних про-цесiв неавтономних сильно нелшйних систем i3 багатьма ступенями вшьност! Характерною особливiсть розглядуваних систем е те, що: коливальний процес незбурених до них аналогiв вдаеться описати за допомогою спецiальних перь одичних Ateb-функцш; частота (перiод) вказаного вище процесу залежить вiд амплiтуди. 1з останшм пов'язанi основнi труднощi дослвдження впливу на процес неконсервативних, а особливо перюдичних сил. З щею метою розроблено методику асимптотичного iнтегрування (побудови розв'язкiв) вiдповiдних сильно нелшшних диференцiальних рiвнянь другого порядку неавтономного типу. Наведено окремi класи сильно нелiнiйних систем iз багатьма ступенями вшь-ностi, для яких динамiчний процес вдаеться описати за допомогою перюдичних Ateb-функцш; для них отримано аналiтичнi залежностi, ят описують закони змiни визначальних параметрiв незбуреного руху вказаних систем; для близь-ких до вказаного вище типу неавтономних неконсервативних систем отримано залежносп, яш визначають вплив на динамшу процесу малих за величиною збурень. Розроблена методика дослiдження коливальних процесiв сильно нель нiйних систем iз зосередженими масами дае змогу розв'язати не тшьки задачi аналiзу, але i не менш важливi задачi синтезу коливних систем ще на стадй' про-ектування, вибрати таю пружш характеристик динамiчних систем, яш унемож-ливлюють у них резонансш явища.

Лiтература

1. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний : учебник [для студ. ВУЗов] по спец. "Динамика и прочность машин" / В.Л. Бидерман. - М. : Изд-во "Высш. шк.", 1980. - 408 с.

2. Кузмак Г.Е. Асимптотические решения нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами / Г.Е. Кузмак // ПММ. - 1959. - 23, № 3. - С. 515-526.

3. Самойленко А.М. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием / А.М. Са-мойленко, Н.А. Перестюк. - К. : Изд-во Киев. ун-та, 1980. - 80 с.

4. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний / Я.Г. Пановко. - М. : Изд-во : Изд-во "Наука", 1991. - 651 с.

5. Ловейкин В.С. Проектирование и оптимизация режимов движения грубых нелинейных механических систем / В.С. Ловейкин, Ю.В. Човнюк, М.Г. Диктерук // Вiбрацií в техншд та технологах : зб. наук. праць. - Дншропетровськ. - 2007. - № 3(48). - С. 68-71.

6. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах : пер. с англ. Б.А. Болдова и Г.Г. Гусева / под ред. В.Е. Боголюбова / Тихиро Хаяси. - М. : Изд-во Мир, 1968. - 268 с.

7. Митропольский Ю.А. Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения / Ю.А. Митропольский. - К. : Вид-во 1н-ту математики НАН Украши, 1994. - 231 с.

8. Волосов В.М. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем / В.М. Во-лосов, Б.И. Моргунов. - М. : Изд-во МГУ. - 1971. - 507 с.

9. Андронов А.А. Теория колебаний / А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин. - М. : Изд-во "Наука", 1981. - 568 с.

10. Бабаков И.М. Теория колебаний / И.М. Бабаков. - М. : Изд-во "Наука", 1965. - 560 с.

11. Филлипов А.П. Колебания деформируемых систем / А.П. Филлипов. - М. : Изд-во "Машиностроение", 1970. - 736 с.

12. Флоров К.В. Вибрация в механизмах и машинах / К.В. Флоров, В. А. Никонорова. - М. : Изд-во МВТУ, 1988. - 69 с.

13. Бондарь Н.Г. Нелинейные стационарные колебания / Н.Г. Бондарь. - К. : Вид-во "Наук. думка", 1974. - 212 с.

14. Митропольский Ю.А. Асимптотические решения уравнений в частных производных / Ю.А. Митропольский, Б.И. Мосеенков. - К. : Изд-во "Вища шк.", 1976. - 596 с.

Пукач П.Я. Колебания в некоторых сильно нелинейных механических системах с многими степенями свободы

Аналитические методы для нелинейных систем с одной степенью свободы обобщены на определенный класс нелинейных систем с конечным числом степеней свободы. Применение аналитических подходов на базе сочетания классических методов нелинейной механики и волновой теории движения дает возможность сделать выводы по важным вопросам анализа динамических процессов. Выводы, полученные с помощью аппарата специальных функций, позволяют получить характеристики динамики сильно нелинейных систем со многими степенями свободы, вытекающими из анализа решений соответствующих дифференциальных уравнений.

Ключевые слова: нелинейные колебания, сильно нелинейная система, резонанс, специальные функции, амплитудно-частотная характеристика.

Pukach P.Ya. Oscillations in Some Strongly Nonlinear Mechanical Systems with Many Degrees of Freedom

Analytical methods for nonlinear systems with one degree of freedom generalized to a class of nonlinear systems with finite number of degrees of freedom are generalised. The application of analytical approaches based on the combination of classical methods of nonlinear mechanics and the wave theory of motion allows drawing general conclusions on important issues analysis of dynamic processes. Conclusions obtained using the apparatus of special features yield characteristics of the dynamics of strongly nonlinear systems with many degrees of freedom arising from the analysis of the solutions of the corresponding differential equations.

Key words: nonlinear oscillations, strong nonlinear system, resonance, special functions, amplitude-frequency characteristic.

УДК 519.711 Доц. А.1. Головатий, канд. техн. наук - Терноптьський НТУ iM. 1вана Пулюя; проф. В.М. Теслюк, д-р техн. наук; асист. А.Я. Зелтський,

канд. техн. наук - НУ '^mienm полтехшка"

МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ П'бЗОРЕЗИСТИВНОГО М1КРОДАВАЧА

ТИСКУ ДЛЯ КОМПОНЕНТНОГО Р1ВНЯ ПРОЕКТУВАННЯ1

Розроблено математичну модель п'езорезистивного МЕМС давача тиску. Змо-дельовано реакцвд мшродавача, спричинену дieю прикладеного тиску, а саме мехашчш напруження в його дiафрагмi, ii максимальний прогин, змшу ош^в вишрювальних п'езорезистс^в, вихщну напругу мостовоi схеми Втетона. Дослщжено вплив геомет-ричноi форми i конструктивних розмiрiв дiафрагми на ii максимальний прогин i чутли-вють мшродавача вщ прикладеного тиску. Побудована модель мшродавача тиску може бути використана для аналiзу його вихщних параметров на компонентному рiвнi проек-тування.

Ключовi слова: мшроелектромехашчш системи (МЕМС), п'езорезистивний МЕМС давач тиску, модель, автоматизоване проектування

Вступ. Технологií МЕМС дають змогу виготовляти пристро!', в яких мь шатюрш мехашчш структури iнтегрованi з м^оелектронними компонентами. Мжромехашчш дaвaчi тиску були одними з найперших пристро'в, виготовле-них за мiкромaшинною теxнологieю [1]. Мiкродaвaчi тиску використовуються в медициш, aвтомобiльнiй промисловостi, як барометр у смартфонах, планшет-них комп'ютерах, спортивних годинниках, метеостанциях, як висотомiр для виз-

1 Acknowledgement. This research was supported by the FP7-PEOPLE "Marie Curie Actions (IRSES)" Project, entitled "Developing Multidomain MEMS Models for Educational Purposes", acronym: EduMEMS, Number: 269295.