CC BY
22
УДК 303.094.5:330.133.2:330.133.7
Ю.В. ПОЗДНЯКОВ
ведущий эксперт-оценщик Украинского общества оценщиков, представитель Экспертного Совета УТО
Статья поступила 2 апреля 2018г.
КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ОЦЕНОЧНОГО МЕТОДА ДИСКОНТИРОВАННЫХ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ
Аннотация. Статья относится к области независимой экспертной оценки стоимости недвижимости. Работа посвящена вопросу исследования абсолютной методической погрешности, которая возникает при расчете стоимости по методу дисконтирования денежных потоков (ДДП) в тех случаях, когда продолжительность периода прогнозирования выражена числом, имеющим целую и дробную части. На конкретных численных примерах рассмотрены результаты исследования функциональных зависимостей указанной методической погрешности от дробной части числа, определяющего продолжительность прогнозного периода. Получены семейства характеристик функциональных зависимостей при различных значениях ставки дисконтирования. Рассмотрено значение проведенных исследований для развития информационно-метрологической парадигмы независимой оценки.
Ключевые слова: оценка недвижимости, дисконтирование денежных потоков, метод непрямой капитализации, абсолютная методическая погрешность, прогнозный период.
QUANTITATIVE ASSESSMENT OF THE ACCURACY OF THE DISCOUNTED CASH FLOW PROCESS
Abstract. The article deals with the independent expert real estate appraising/valuation. The article is devoted to the methodological error of discounted cash flows (DCF) method researching, especially in cases when the forecasting period duration is obtained by a number having an integer and fractional parts. The research results of mentioned methodical error functional dependences from fractional part of that number are obnained on concrete numeral examples. Descriptions families of functional dependences are got at the discounting rate different values. The undertaken studies and researches importance for the further development of the independent property valuation information-metrological paradigm is considered.
Keywords: real estate appraising/valuation, discounting tion, absolute methodological error, forecast period.
Введение. В наших ранее опубликованных работах [1, с. 134; 2, с. 172; 3, с. 123; 4, с. 20] были рассмотрены отдельные аспекты исследования методических погрешностей, возникающих при расчете стоимости объекта
of cash flows, the method of indirect capitaliza-
оценки по методу ДДП. На наш взгляд, наибольший интерес представляет абсолютная методическая погрешность, возникающая в наиболее общей ситуации, когда продолжительность прогнозного периода определя-
ется произвольным числом, содержащим целую и дробную части. Случай, когда она выражена целым числом, можно рассматривать как частный - с нулевой дробной частью [3, с. 123; 4, с. 20]. Проблематику количественной оценки отдельных составляющих общей погрешности результата оценочных работ мы считаем шагом в направлении дальнейшего развития информационно-метрологической парадигмы экономических измерений, которая основана на бесспорном факте зависимости точности результата определения ценового показателя объекта оценки от количества и качества информации, полученной в ходе выполнения оценочных работ [5, с. 96; 6, с. 23].
Цель работы. Ранее было установлено, что во всех трех возможных случаях практического использования известной формулы (1) [4, с. 21] в рассматриваемом случае имеет место методическая погрешность результата, причем в каждом случае различная, в зависимости от предварительно принятых допущений. Она может быть количественно определена по формулам (3) - (5) [6, с. 25]. Дальнейшей актуальной задачей является исследование зависимостей этой погрешности от дробной части продолжительности прогнозного периода. Представляется целесообразным подробнее рассмотреть вид и характеристики указанных выше функциональных зависимостей при различных значениях ставки дисконтирования. Интерпретация и научное осмысление полученных результатов позволяет сформулировать выводы и разработать практические рекомендации, направленные на минимизацию влияния исследуемой погрешности на результат оценочных работ. Предложенное направление исследований является элементом более общей задачи -теоретического обоснования базирующейся на элементах теории информации, метроло-
гии и теории погрешностей измерений общей теории независимой оценки на основе информационной парадигмы.
Основная часть. Общей методологической основой исследования стали методы теории погрешностей и теории информации. Как основной метод практических исследований был использован метод математического моделирования с обоснованием постановки и решением экспериментальных численных задач, последующим обобщением полученных результатов и проведением их теоретического анализа.
Ниже приведены представляющие определенный теоретический интерес результаты исследования зависимостей абсолютной методической погрешности дисконтированной стоимости ожидаемых денежных потоков от дробной части {п} продолжительности прогнозного периода при различных значениях ставки дисконтирования /. В случае, когда продолжительность прогнозного периода выражена нецелым числом, с использованием формул (3) - (5) [6, с. 25] представляется возможным получение семейств характеристик зависимостей ЛОСЕнп ({п}) при ступенчато изменяющихся значениях ставки дисконтирования 7 = var. Результаты расчета значений абсолютной методической погрешности для этих трех рассмотренных случаев представлены ниже. Исходные данные использованы те же, что и в рассмотренном в [2, с. 178] примере из реальной оценочной практики.
Зависимости абсолютной погрешности ЛЮС¥нп от дробной части {п} продолжительности прогнозного периода для случая 1, при разных значениях ставки дисконтирования г, ступенчато изменяющейся с шагом 0,02 в диапазоне от 0,20 до 0,28, показаны ниже в таблице 1.
Значение дробной части {п} продолжительности прогнозного периода Значения абсолютной методической погрешности ЛОСЕнп, грн., при разных значениях ставки дисконтирования 1
1 = 0,20 Ряд 1 1 = 0,22 Ряд 2 1 = 0,24 Ряд 3 1 = 0,26 Ряд 4 1 = 0,28 Ряд 5
0,00 109 832,39 98 251,80 88 051,64 79 048,95 71 087,37
0,05 104 803,30 93 789,32 84 084,32 75 515,28 67 934,26
0,10 99 728,15 89 282,26 80 074,10 71 940,53 64 742,00
0,15 94 606,53 84 730,15 76 020,52 68 324,24 61 510,09
0,20 89 438,00 80 132,56 71 923,10 64 665,92 58 238,04
Таблица 1 - Значения абсолютной методической погрешности ЛЮС¥нп в зависимости от дробной части {п} продолжительности прогнозного периода (случай 1, формула (3) [6, с. 25])
Ончание таблицы 1
Значение дробной части {п} продолжительности прогнозного периода Значения абсолютной методической погрешности ЛDCFнп, грн., при разных значениях ставки дисконтирования i
i = 0,20 Ряд 1 i = 0,22 Ряд 2 i = 0,24 Ряд 3 i = 0,26 Ряд 4 i = 0,28 Ряд 5
0,30 78 958,52 70 799,11 63 594,85 57 221,22 51 571,53
0,35 73 646,70 66 062,32 59 363,07 53 433,85 48 176,05
0,40 68 286,23 61 278,20 55 085,52 49 602,46 44 738,40
0,45 62 876,66 56 446,28 50 761,72 45 726,55 41 258,05
0,50 57 417,56 51 566,07 46 391,16 41 805,58 37 734,48
0,55 51 908,47 46 637,10 41 973,34 37 839,04 34 167,15
0,65 40 738,47 36 630,92 32 993,86 29 767,12 26 899,03
0,70 35 076,63 31 552,72 28 431,17 25 660,67 23 197,13
0,75 29 362,95 26 423,78 23 819,13 21 506,48 19 449,25
0,80 23 596,94 21 243,58 19 157,23 17 304,01 15 654,83
0,85 17 778,12 16 011,63 14 444,91 13 052,70 11 813,28
0,90 11 906,02 10 727,40 9 681,63 8 751,98 7 924,02
0,95 5 980,14 5 390,36 4 866,85 4 401,27 3 986,46
1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
Семейство графиков зависимостей абсолютной методической погрешности от параметра {п} при различных значениях ставки дисконтирования I
3 20 000,00
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00
Численные значения параметра {п}, лет
Рисунок 1 - Семейство характеристик зависимостей лdcfнп ({п}) (случай 1, формула (3) [6, с. 25])
100 000
На рисунке 1 верхняя кривая соответствует значению i = 0,20, нижняя кривая - i = 0,28. Как видно из полученных выше семейств характеристик зависимостей ЛDCFнп ({п}), эти зависимости для рассмотренного примера весьма близки к линейным. При этом более высоким численным значениям ставки дисконтирования соответствуют более низкие численные значения абсолютной методической погрешности определения дисконтированной стоимости ожидаемых денежных потоков. Это означает, что с возрастанием численных значений ставки дисконтирования значения исследуемой абсо-
лютной методической погрешности снижаются - при этом абсолютные изменения погрешности носят несущественный характер. Иначе говоря, рассматриваемая в настоящей работе методическая погрешность, как показывают материалы исследования, оказалась достаточно некритичной к значению ставки дисконтирования. Указанный результат является вполне предсказуемым на основании поверхностного анализа формулы (3) [6, с. 25], в правой части которой параметр i встречается трижды.
Для того чтобы получить представление о количественной характеристике степени нелинейности полученных зависимостей, при-
ведем ниже расчет их погрешности нелинейности. Расчет погрешности нелинейности выполнен при условии аппроксимации полученных зависимостей ЛОС¥нп ({п}) линейно зависящими от дробной части {п} функциями, узлы аппроксимации которых соответствуют точкам начала и конца диапазона изменения параметра {п}.
В следующей таблице приведены максимальные значения погрешности нелинейности для всего полученного семейства зависимостей ЛОС¥нп ({п}) при различных значениях ставки дисконтирования /. Из полученного результата нетрудно сделать вывод о том, что при ступенчато изменяющихся значениях ставки дисконтирования 7 = var, лежащих в диапазоне изменения реальных численных значений ставки дисконтирования, встреча-
ющихся в оценочной практике (от 7 = 0,20 до 7 = 0,28), степень нелинейности зависимостей ЛОС¥нп ({п}) монотонно возрастает с увеличением численного значения ставки дисконтирования г, причем это изменение носит характер, весьма близкий к линейному.
Иллюстрацией сделанного вывода может служить приведенный ниже график зависимости максимальной погрешности нелинейности зависимостей ЛОС¥нп ({п}) от численного значения ставки дисконтирования г.
Значения абсолютной погрешности для случая 2, определенные по формуле (4) [6, с. 25], при разных значениях ставки дисконтирования г, приведены в таблице 3.
Таблица 2 - Максимальные значения погрешности нелинейности семейства зависимостей ЛОС¥н ({п}), % (случай 1, формула (3) [6, с. 25])
Значения ставки дисконтирования 7 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28
Максимальные значения погрешности нелинейности семейства зависимостей ЛDCFнп ({п}), % 4,55 4,97 5,37 5,77 6,16
График зависимости степени нелинейности функциональной зависимости абсолютной методической погрешности от параметра {п} при различных значениях ставки дисконта
Рисунок 2 - График зависимости максимальных значений погрешности нелинейности, %, зависимостей АОСЖнп ({п}) (случай 1, формула (3) [6, с. 25]) от ставки дисконтирования i
Таблица 3 - Значения абсолютной методической погрешности ЛОС¥нп в зависимости от дробной части {п} продолжительности прогнозного периода (случай 2, формула (4) [6, с. 25])
Значение дробной части {п} продолжительности прогнозного периода Значения абсолютной методической погрешности ЛОС¥нп, грн., при разных значениях ставки дисконтирования 7
I = 0,20 Ряд 1 I = 0,22 Ряд 2 I = 0,24 Ряд 3 I = 0,26 Ряд 4 I = 0,28 Ряд 5
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,05 -410,83 -395,53 -378,46 -360,35 -341,77
Окончание таблицы 3
Значение дробной части {п} продолжительности прогнозного периода Значения абсолютной методической погрешности ЛDCFнп, грн., при разных значениях ставки дисконтирования i
i = 0,20 Ряд 1 i = 0,22 Ряд 2 i = 0,24 Ряд 3 i = 0,26 Ряд 4 i = 0,28 Ряд 5
0,15 -1 116,17 -1 075,76 -1 030,43 -982,16 -932,47
0,20 -1 409,18 -1 358,90 -1 302,34 -1 241,99 -1 179,77
0,25 -1 661,40 -1 603,01 -1 537,11 -1 466,66 -1 393,90
0,30 -1 872,08 -1 807,27 -1 733,90 -1 655,31 -1 574,01
0,40 -2 165,62 -2 092,95 -2 010,15 -1 921,08 -1 828,63
0,45 -2 246,90 -2 172,69 -2 087,87 -1 996,41 -1 901,34
0,50 -2 283,43 -2 209,23 -2 124,13 -2 032,17 -1 936,41
0,55 -2 274,38 -2 201,69 -2 118,03 -2 027,42 -1 932,90
0,60 -2 218,92 -2 149,19 -2 068,65 -1 981,21 -1 889,84
0,65 -2 116,20 -2 050,83 -1 975,06 -1 892,58 -1 806,25
0,70 -1 965,36 -1 905,70 -1 836,29 -1 760,56 -1 681,14
0,75 -1 765,52 -1 712,88 -1 651,40 -1 584,14 -1 513,48
0,80 -1 515,80 -1 471,42 -1 419,38 -1 362,31 -1 302,24
0,85 -1 215,30 -1 180,38 -1 139,26 -1 094,04 -1 046,36
0,90 -863,12 -838,79 -810,01 -778,28 -744,76
0,95 -458,33 -445,66 -430,61 -413,96 -396,34
1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
Семейство графиков зависимостей абсолютной методической погрешности от параметра {п} при различных значениях ставки дисконтирования i
-Ряд1 -Ряд 2 -Ряд3 -Ряд4 -Ряд5
Рисунок 3 - Семейство характеристик зависимостей лdcfнп ({п}) (случай 2, формула (4) [6, с. 25])
На рисунке 3 нижняя кривая соответствует значению i = 0,20, верхняя кривая - i = 0,28. Из полученных выше семейств характеристик зависимостей лdcfнп ({п}) очевидно, что степень нелинейности зависимостей лdcfнп ({п}) для второго случая монотонно
снижается с возрастанием численных значений ставки дисконтирования.
Значения абсолютной погрешности для случая 3, определенные по формуле (5) [6, с. 25], при разных значениях ставки дисконтирования i, приведены в таблице 4.
Таблица 4 - Значения абсолютной методической погрешности ЛОС¥нп в зависимости от дробной части {п} продолжительности прогнозного периода (случай 3, формула (5) [6, с. 25])
Значение дробной ча- Значения абсолютной методической погрешности ЛОС¥нп, грн., при разных
сти {п} значениях ставки дисконтирования 7
продолжительности / = 0,20 I = 0,22 I = 0,24 I = 0,26 7 = 0,28
прогнозного периода Ряд 1 Ряд 2 Ряд 3 Ряд 4 Ряд 5
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,05 462,53 450,11 435,26 418,77 401,26
0,10 879,00 855,63 827,62 796,48 763,37
0,15 1 249,00 1 216,12 1 176,62 1 132,63 1 085,83
0,20 1 572,09 1 531,12 1 481,78 1 426,76 1 368,15
0,25 1 847,85 1 800,19 1 742,63 1 678,36 1 609,83
0,30 2 075,85 2 022,85 1 958,70 1 886,96 1 810,37
0,35 2 255,64 2 198,65 2 129,50 2 052,04 1 969,26
0,40 2 386,79 2 327,12 2 254,53 2 173,09 2 085,98
0,45 2 468,85 2 407,79 2 333,31 2 249,62 2 160,00
0,50 2 501,37 2 440,17 2 365,33 2 281,10 2 190,80
0,55 2 483,90 2 423,79 2 350,10 2 267,01 2 177,84
0,60 2 415,97 2 358,16 2 287,08 2 206,82 2 120,57
0,65 2 297,13 2 242,79 2 175,78 2 099,99 2 018,45
0,70 2 126,92 2 077,18 2 015,67 1 945,98 1 870,92
0,75 1 904,85 1 860,83 1 806,22 1 744,24 1 677,41
0,80 1 630,46 1 593,22 1 546,90 1 494,22 1 437,36
0,85 1 303,26 1 273,86 1 237,16 1 195,36 1 150,18
0,90 922,78 902,22 876,47 847,09 815,29
0,95 488,53 477,77 464,27 448,83 432,09
1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
Семейство графиков зависимостей абсолютной методической погрешности от параметра {п} при различных значениях ставки дисконтирования I
3 000,00
Е
2 500,00
1 2 000,00
о с а
2
£ 1 500,00 г 5 Ч О
н
Л 1 000,00
к
(3 Е н £
Л 500,00 0,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Численные значения параметра {п}, лет
-Ряд1 -Ряд2 -Ряд3 -Ряд4 -Ряд5
Рисунок 4 - Семейство характеристик зависимостей АОС¥нп ({п}) (случай 3, формула (5) [6, с. 25])
На рисунке 4 верхняя кривая соответствует значению i = 0,20, нижняя кривая - i = 0,28. Полученное в третьем случае семейство характеристик зависимостей лDCFнп ({п}) дает основание утверждать, что влияние значений ставки дисконтирования в третьем случае аналогично наблюдаемому во втором случае. А именно, в третьем случае степень нелинейности зависимостей лDCFнп ({п}) точно так же, как и во втором случае, монотонно снижается с возрастанием численных значений ставки дисконтирования. Во втором и третьем рассматриваемых случаях вызванные варьированием ставки дисконтирования i = var изменения значений абсолютной методической погрешности достаточно малы и их можно признать несущественными.
Выводы. Основной результат, полученный в данной работе, таким образом, состоит в том, что во всех трех рассмотренных случаях рассматриваемая нами методическая погрешность достаточно некритична к значению ставки дисконтирования. На рассмотренном выше численном примере продемонстрирована работоспособность рассмотренной в [1, с. 134; 2, с. 172; 3, с. 123; 4, с. 20] методики определения абсолютной погрешности результата оценочных работ, полученного в рамках подхода доходности по методу ДДП, в широком диапазоне реальных численных значений ставки дисконтирования, встречающихся в оценочной практике (/ = 0,20...0,28).
Таким образом, исследование влияния на результат определения стоимости объекта методической погрешности, возникающей вследствие использования нецелых расчетных значений продолжительности прогнозного периода в периодах, содержащих целую и дробную часть, позволило установить значения этой погрешности и создать математический аппарат, пригодный для практического применения в оценочной практике.
Отметим, что предлагаемое усовершенствования широко используемой в повседневной оценочной практике методики определения стоимости недвижимости по методу ДДП никоим образом не затрагивает общего алгоритма этого метода - предложенные результаты работы лишь открывают перед практикующим оценщиком дополнительные возможности по анализу и установлению количественной оценки возникающих при использовании указанного метода методических погрешностей. Они также дают возможность минимизации влияния методиче-
ских погрешностей для рассмотренного в статье часто встречающегося на практике случая, когда продолжительность прогнозного периода выражена нецелым числом, содержащим дробную часть.
Казалось бы, в таком случае возникающая методическая погрешность может быть полностью или частично элиминирована переходом от погодичного к поквартальному или помесячному дисконтированию, однако данная процедура требует внесения значительных изменений в используемые оценщиком его собственные программные средства, разработанные для более общего и гораздо чаще применяемого случая указания продолжительности прогнозного периода в годах. Так, переход к помесячному дисконтированию, во-первых, естественным образом требует перехода от годовых денежных потоков к месячным и от годовой ставки дисконтирования также к месячной; во-вторых, этот переход совершенно не исключает влияния рассматриваемой методической погрешности, поскольку в исследуемом в настоящей работе случае, когда продолжительность прогнозного периода в годах выражена нецелым числом, эта же продолжительность совершенно не обязательно будет выражена целым числом месяцев. Хотя такая возможность теоретически существует, и в этом частном случае влияние на результат выполнения оценочных работ исследуемых методических погрешностей для случая, когда продолжительность прогнозного периода в годах выражена нецелым числом, может быть исключено. В-третьих, исследование методических погрешностей для рассматриваемого случая представляет, в конце концов, и чисто теоретический интерес.
Мы рассматриваем настоящую статью и серию предыдущих работ по данной тематике [1, с. 134; 2, с. 172; 3, с. 123; 4, с. 20; 5, с. 96; 6, с. 23] как небольшой шаг в направлении к развитию и внедрению в оценочную практику элементов информационно-метрологической парадигмы оценочных работ. Ибо вопрос исследования методических погрешностей для всего комплекса инструментов независимой оценки на данный момент времени никак нельзя считать решенным - более того, до сих пор его даже нельзя было считать корректно поставленным и достаточно четко сформулированным в качестве актуальной исследовательской задачи. Между тем, погрешность метода в каждом конкретном случае использования каждого
оценочного инструмента существует совершенно объективно, независимо от наших убеждений и желаний, а также и от того, осознается ли оценщиком этот факт, или нет. Подобные исследования, на наш взгляд, должны способствовать дальнейшему развитию и совершенствованию научно-методической базы независимой экспертной оценки и повышению степени алгоритмизации, формализации и математизации оценочных работ.
Список литературы
1. Поздняков, Ю.В. Методична похибка при розрахунку дисконтовано! вартост очшу-ваних майбутшх потоюв доходiв для перюду, що становить нецше число роюв. / Ю.В. Поздняков, М.Л. Латшко, 1.1. Го-хберг.// Розвиток фшансово! системи кра!н Центрально! та Схщно! Свропи : зб. наук. пр./ редкол.; вщп. ред.: д-р екон. наук О. Другов, д-р П. Була; Львiвський iнститут банювсько! справи Нацюнально-го банку Укра!ни (Укра!на); Кракiвський економiчний унiверситет (Республiка По-льща). - Львiв, 2015. - Вип. 5. - 191 с. - с. 134 - 149.
2. Латшко, М.Л. Пщвищення точносп методу непрямо! капiталiзацi! для прогнозного перюду, вираженого нецiлим числом. / М.Л. Латшко, Ю.В. Поздняков, I.I. Го-хберг.// Економiчнi науки. Серiя «Облт i фшанси»: Збiрник накових праць. Луць-кий нацiональний технiчний ушверситет. - Випуск 12 (45). - Ч. 3. - Редкол.: вщп. ред. д.е.н. професор Герасимчук З.В. -Луцьк, 2015. - 412 с., с. 172 - 191.
3. Поздняков, Ю.В. Аналiз абсолютно! методично! похибки при дисконтуванш гро-шових потоюв протягом перюду, вираженого нецшим числом. / Ю.В. Поздняков, М.Л. Латшко, I.I. Гохберг.// Сощально-економiчнi проблеми сучасного перiоду Укра!ни. Збiрник наукових праць. ДУ 1н-ститут регiональних дослщжень iм. М. I. Долiшнього НАН Укра!ни. - Випуск 2 (118). - Редкол.: вщп. ред. В.С. Кравщв. -Львiв, 2016. - 158 с., с. 123 - 127.
4. Поздняков, Ю.В. Методика дисконтированных денежных потоков для нецелого числа периодов. /Ю.В. Поздняков, М.Л. Лапишко // Экономика и банки - 2017, № 1, с. 20 - 25.
5. Поздняков, Ю. В. Значення дослщжень методично! похибки методу дисконтуван-ня грошових потоюв для розбудови ш-
формацшно! парадигми незалежно! ощнки. / Ю.В. Поздняков, М.Л. Латшко, I.I. Гохберг.// Вiсник Унiверситету банювсько! справи. Збiрник наукових праць. №1 (28), 2017. - Редкол.: гол. ред. Т. С. Сможвенко. - Львiв, 2017. - 120 с., с. 96 - 102.
6. Поздняков, Ю.В. Абсолютная методическая погрешность метода дисконтированных денежных потоков в контексте информационного подхода. / Ю.В. Поздняков, М.Л. Лапишко // Экономика и банки.
- 2017. - № 2. - с. 23 - 31.
References
1. Pozdnyakov Yu.V., Lapishko M.L., Gohberg I.I. Metodychna pohybka pry rozrahunku dyskontovanoi ' vartosti ochikuvanyh majbutnih potokiv dohodiv dlja periodu, shcho stanovyt' necile chyslo rokiv [The methodological error in calculating the future cash flows discounted value for the expected period is a noninteger number of years]. Rozvytok finansovoi' systemy krai'n Central'noi' ta Shidnoi' Jevropy. Ed O. Drugov, P. Bula. L'viv, 2015, iss. 5, pp. 134
- 149. (In Ukrainian)
2. Lapishko M.L. Pozdnyakov Yu.V., Gohberg I.I. Pidvyshhennja tochnosti metodu neprjamoi' kapitalizacii' dlja prognoznogo periodu, vyrazhenogo necilym chyslom [Increasing of indirect capitalisation method accuracy for outlook period, expressed by a noninteger number]. Ekonomichni nauky. Serija Oblik i finansy. Ed. Z. Gerasymchuk. Luc'k, Luc'kyj nacional'nyj tehnichnyj universytet Publ., 2015, iss. 12 (45), pp. 172
- 191. (In Ukrainian)
3. Pozdnyakov Yu.V., Lapishko M.L., Gohberg I.I. Analiz absolyutnoyi metodichnoyi pohibki pri diskontuvanni groshovih potokiv protyagom periodu, virazhenogo netsilim chislom [The analysis of absolute methodical error in cash flows discounting during the period, expressed by an unwhole number]. -Sotsialno-ekonomichni problemi suchasnogo periodu Ukrayini. Zbirnik naukovih prats. Ed. V.S. Kravtsiv. Lviv, DU Institut regionalnih doslidzhen im. M. I. Dolishnogo NAN Ukrayini Publ., 2016, iss. 2 (118), pp. 123 - 127. (In Ukrainian)
4. Pozdnyakov Yu.V., Lapishko M.L. Metodika diskontirovannykh denezhnykh potokov dlya netselogo chisla periodov [Methodology of discounted cash flows for unwhole number of
periods]. Ekonomika i banki. [Economy and banks], 2017, no. 1, pp. 20 - 25. (In Russian) 5. Pozdnyakov Yu. V., LapIshko M. L., Gohberg I. I. Znachennya doslidzhen metodichnoyi pohibki metodu diskontuvannya groshovih potokiv dlya rozbudovi informatsIynoyi paradigmi nezalezhnoyi otsinki. [Methodical error of cash flows discounting method researches importance for development of independent valuation informative paradigm]. Visnik Universitetu bankivskoyi spravi. ZbIrnik naukovih prats.
Ed T. S. Smozhvenko. Lviv, 2017. pp. 96 -102. (In Ukrainian) 6. Pozdnyakov Yu.V., Lapishko M.L. Absolutnaya metodicheskaya pogreshnost metoda diskontirovannyih denezhnyih potokov v kontekste informatsionnogo podhoda [Cash flows discounting method absolute methodical error in context of informative approach]. Ekonomika i banki. [Economy and banks], 2017, no. 2, pp. 23 -31. (In Russian)
ABOUT THE AUTHORS
POZDNYAKOV Yu.V., Leading expert appraiser, Ukrainian Appraisers Association (UAA) Member, UAA Expert Council deputy.
Received 2 April 2018
