CC BY
17
УДК 533.9
КОЛЕБАНИЯ ОДНОМЕРНЫХ ПЛАЗМЕННЫХ
КРИСТАЛЛОВ
Н. Г. Гусейн-заде, А. М. Игнатов
Теоретически исследуются колебания и устойчивость линейной цепочки частиц с произвольным взаимодействием, удерживаемой в аксиально-симметричной потенциальной яме. Проанализированы частные случаи одноименных зарядов в вакууме и макрочастиц в плазме с учетом силы Лесажа. Показано, что непотенциальный характер притяжения приводит к появлению порога неустойчивости Джинса.
В последнее время возрос интерес к изучению квазикристаллических структур в сильно неидеальной плазме. Хотя впервые аналог кулоновского квазикристалла появился в классической модели атома, рассмотренной Дж. Дж. Томсоном более ста лет назад, за последние два десятилетия появилось несколько физических систем, в которых классические частицы образуют упорядоченные структуры. Плазменно-пылевые кристаллы часто образуются в плазме с примесью аэрозольной фазы. Можно сказать, что уже сформировалось новое направление - плазменно-пылевая кристаллография [1, 2]. Упорядоченные структуры также часто возникают в так называемой однокомпонентной плазме, например, в чисто электронной [3] или ионной [4] плазме в электромагнитных ловушках и ионных пучках в накопительных кольцах [5]. Наконец, переход к кристаллической фазе наблюдается в заряженных коллоидных суспензиях [6].
В основном специфика сильно неидеальной плазмы сводится к тому, что средняя энергия взаимодействия частиц может намного превосходить их среднюю тепловую энергию. Свойства такой системы характеризуются параметром неидеальностп Г = Z'2e'2/aT, т.е. отношением потенциальной энергии кулоновского взаимодействия к кинетической энергии теплового движения частицы, где а = (3/47гЛгр)1/'3 - радиус
сферы, приходящейся на одну частицу (радиус Вигнера-Зейца) и Л^ концентрация частиц с зарядом 2е. При определенных значениях Г сильная межчастичная корреляция приводит к фазовым переходам типа газ-жидкость-твердое тело и возникновению про странственно упорядоченных структур. Для простейшей и наиболее изученной модели однокомпонентной плазмы известно, что при Г > 1 в системе появляется ближний по рядок, а при Г ~ 170 однокомпонентная плазма кристаллизуется [7].
Целью данной работы является теоретическое исследование спектров колебаний и устойчивости линейной бесконечной периодической цепочки частиц, как наиболее на глядной и допускающей простое решение конфигурации, с потенциалом взаимодействия и,ти(г), в пределе Г >> 1 когда энергия взаимодействия частиц намного превосходит их среднюю тепловую энергию.
Такие цепочки, разумеется, с конечным количеством частиц, экспериментально получались и исследовались, например, в [2, 8].
Для изучения свойств подобных образований используем следующую идеализиро ванную модель. Пусть в равновесном состоянии частицы расположены вдоль оси г, удерживаются в поперечном направлении параболическим потенциалом и образуют цепочку с постоянным шагом. Внешний удерживающий потенциал может быть записан н виде:
^соп/С®, У) = ^"^о!*2 + У2): (!)
где т - масса заряженной частицы, а и>о - характерная частота поперечных колебаш
Динамика системы частиц с координатами гп = (хп,уп, гп) (п = —оо... — 1,0,1...оо) описывается уравнениями:
(Рг
+ уп) = £ ¥пк, (2)
М кфп
где Епа; - сила, с которой к-я частица действует на п-ю. Если межчастичное взап модействие потенциально, причем потенциал взаимодействия (/¿п<(г) = /(г2), то сила Е = -УСМ г) = —2/'(г2)г.
Уравнения движения теперь записываются в виде:
+ + ^-¿2 /'(К - г*|2)(г„ - г*) = 0, (3)
Л т ££
где г± = (ж, у, 0).
Очевидно, что для любого потенциала взаимодействия существует стационарна)! конфигурация вида г° = (0,0, па), где постоянная решетки а определяется средним числом частиц на единицу длины.
Представляя координаты частиц в виде г„ = + ¿г„, и ограничиваясь линейными по 6гп членами, получаем систему зацепляющихся уравнений
^ + ш206г±п + - £ П(п - 1)2а2)(8гп - 6п) = 0, (4)
171 1фп
+ ^ £[/'((" - О2«2) + 2(п - /)2а2/"((га - 1)\2)}(6гп - = 0. (5)
[фть
Используя трансляционную инвариантность системы и представляя решение уравнений (4, 5) в виде
£г„(<) = Аке~Мяп,
б2п(г) =
где безразмерное волновое число 5 принадлежит первой зоне Бриллюэна, — тг < 5 < 7Г, получаем искомые выражения для спектров поперечной
и2 = + ПЦз) (6)
•2 = Ц(*) (7)
и продольной
а;
мод колебаний, где
о оо
= (8) ш /=1
я 00
= - Е(/'(/2«2) + 2/2а2/"(/2а2)) 8Ш2(/З/2). (9)
т /=1
В силу очевидной симметрии поперечные колебания двукратно вырождены, так что в общем случае поперечная волна может быть представлена как суперпозиция двух линейно поляризованных волн.
Отметим некоторые общие свойства выражений (б, 7), следующие из вида сумм (8, 9). Любые неустойчивости в рассматриваемой системе могут быть только апериодическими. Поскольку обе функции Г^ц ~ 52 при 5 —¥ 0, в длинноволновом пределе может быть неустойчивой только продольная волна. Это может случиться, если меж частичный потенциал на больших расстояниях носит притягивающий характер, и соответствует неустойчивости типа Джинса. Структурному фазовому переходу соответствует обращение в нуль одной из частот (б, 7) при 5^0. Очевидно, что для потенциала общего вида неустойчивой может оказаться как продольная, так и поперечная волна.
Рассмотрим несколько частных случаев.
Одноименные заряды. Линейные цепочки одноименно заряженных ионов, взаимодействующие между собой посредством кулоновского потенциала, формируются в ячейках Пеннинга, в высокочастотных ловушках Пауля и в накопительных кольцах. Поскольку потенциал Uint(r) = q2/r, где q - заряд иона, f(x) = q2 / л/х и собственные частоты (6, 7) принимают вид
"i = ^(1 - TjS(s)), (10)
<4 = 2ufoS(s), (11)
где безразмерный параметр Т] = Aq2/та3ш^, а функция
(12)
¿=1 1
график которой изображен на рис. 1, периодична с периодом 2тт и принимает максимальное значение, равное Smax = 7£(3)/8 и 1.0518, при s — г. Здесь £(п) функция Римана. Функция S (s) всегда положительна, причем при s —> 0
S(s) и (| - \lns) s2. (13)
S (s)
Рис. 1. Безразмерная частота продольных колебаний кулоновской цепочки.
Поскольку 5(5) > 0, продольные колебания цепочки ионов всегда устойчивы. В то же время, при достаточно большой величине параметра 77 770 — 1 / ^тпаж ~ 1, поперечные колебания с 5 ~ тг становятся неустойчивыми. В точке бифуркации 77 = 7?0, з = 7г
поляризация стационарной (ш = 0) поперечной волны соответствует зигзагообразному смещению частиц, например, хп ~ (—1)", уп = 0.
Как численное моделирование [9], так и результаты экспериментов [10] показывают, что с изменением внешних управляющих параметров (будь то параметр ловушки или линейная плотность), линейная цепочка действительно теряет устойчивость и превращается в зигзаг, при этом параметр 7/ и 1.
Потенциал Юкавы и сила Лесажа. В некоторых случаях взаимодействие между макрочастицами описывается экранированным кулоновским потенциалом, или потенциалом Юкавы. Помимо электрического взаимодействия макрочастиц, существенную роль могут играть и другие силы. В частности, притягивающее взаимодействие, называемое силой Лесажа, возникает из-за асимметричной бомбардировки ионами поверхности макрочастиц [1, 11]. Такое неэлектрическое притяжение не экранируется плазмой, его сила обратно пропорциональна квадрату расстояния. Оно может быть достаточно сильным для того, чтобы сформировать связанные комплексы макрочастиц.
Для учета как притягивающих, так и отталкивающих сил между макрочастицами в плазме часто вводится модельный потенциал:
Щг) = Ч-(е-''" - /?), ' (14)
г
где параметр ¡3 характеризует величину силы притяжения.
Суммы (8, 9) теперь принимают вид:
Г21 = о;0277(№)-^(5,А)), (15)
= Ч^(-2 №{а) + А)), (16)
где
°° 1 I /\
А) = Е «па(Ь/2), . (17)
(=1 1
Д) = Е 1 + (1 + /А)2е-" *т\Ь/2) (18)
/=1 '
и А = а/г^.
Графики сумм (17, 18) для различных значений А изображены на рис. 2. Как можно видеть из приведенных графиков, при увеличении А устойчивость поперечных колебаний улучшается, тогда как частота продольных колебаний уменьшается. Более того, легко убедиться, что вследствие логарифмической зависимости в (13), вполне естественной для дальнодействующего потенциала, всегда существует область достаточно малых
Б,,(з)
Рис. 2. Зависимости ¿^(й, Л) и А) для потенциала Юкавы и силы Лесажа. А = 0.1
сплошная линия, А = 1 - пунктир, X — 2 ~ штрих-пунктир.
№
Рис. 3. Порог неустойчивости Джинса /Зо(А).
з, в которой Щ<0 (16). Эта длинноволновая неустойчивость является аналогом извест ной гравитационной неустойчивости Джинса.
Как отмечалось в [11], взаимодействие Лесажа не является потенциальным. В частности, это проявляется в том, что если все частицы находятся на оси г, то на любую из них действует сила Лесажа лишь со стороны ближайших соседей. Если же частицы смещаются в поперечном направлении на расстояние, большее их размера, то вероятность затенения частицами друг друга мала, и для расчета силы необходимо учитывать влияние всех частиц. Таким образом, выражение (15) описывает в действительное I и поперечные колебания достаточно большой амплитуды. Что же касается продольнь:
колебаний, то учет притяжения только ближайших соседей приводит к следующему выражению для частоты:
<4 = - 2/?8ш2(5/2)). (19)
Условие < 0 теперь может быть выполнено лишь при достаточно большой силе притяжения /? > /?о(А); график (Зо(\) изображен на рис. 3. Таким образом, непотенциальный характер силы Лесажа приводит к появлению порога неустойчивости Джинса.
Работа выполнена при поддержке Нидерландской научной организации грант 047-008-013) и программы Интеграция, проект А0029.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Ц ы т о в и ч В. Н. УФН, 167, 57 (1997).
[2] Нефедов А. П., Петров О. Ф., Фортов В,Е. УФН, 167, 1215 (1997).
[3] М а 1 га Ъ е г g J. Н. and О ' N е i 1. Phys. Rev. Lett., 39, 1333 (1977).
[4] Bollinger J.J. and Wine land D.J. Phys. Rev. Lett., 53, 348 (1984).
[5] R a h m a n A. and S h i f f e г J. P. Phys. Rev. Lett., 57, 1133 (1986).
[6] Clark N. A., Hurd A. J., and Acker son B.J. Nature, 281, 57 (1979).
[7] I s h i m a r u S. Rev. Mod. Phys., 54, 1017 (1982).
[8] Ф о p т о в В. E., Нефедов А. П., Торчинский В. М. и др. Письма в ЖЭТФ, 64, 86 (1996).
[9] S с h i f f e r J. P. Phys. Rev. Lett., 70, 818 (1993).
[10] R a i z e n M. G., Gilligan J. M., Bergquist J. C., Itano W. M., and W i n e 1 a n d D. J. Phys. Rev., A45, 6493 (1992).
[11] Игнатов A. M. Физика плазмы, 22, 648 (1996).
Институт общей физики РАН Поступила в редакцию 12 сентября 2001 г.
