CC BY
18
УДК 621.01
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОБЩЕННОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ «РОТОР-ЖИДКОСТЬ-ФУНДАМЕНТ»
А.Б. Кыдырбекулы, А.Ш. Рахметолла
Казахский национальный университет им. аль-Фараби
Роторлы жуйен1Ц динамикасы толыгымен зерттелгЫ iргетастыц dipi.i есеб1мен бвлшектеп суьщпен толтырылган, "ротор-суйьщтыц-
Ш1ргетас " аналитикалык, динамикальщ жене математикальщ жуйенщ уягхс'тщ uieuiinyi.
Исследуется динамика роторной системы с полостью, частично заполненной жидкостью с учетом вибрации фундамента, решены аналитически динамические и математические модели системы "ротор-жидкость-фундамент ".
The dynamics of rotary system with a cavity partly filled with water is investigated taking into account foundation vibration. The mathematical and dynamic models of "rotor-fluid-foundation " system have been solved.
Совершенствование существующих, создание новых высокопроизводительных роторных систем с меньшими габаритами, металлоемкостью, энергозатратами при одновременном увеличении мощности, быстроходности и их внедрение в промышленность является основной тенденцией развития современного машиностроения. Это невозможно без создания научно обоснованных обобщенных математических моделей, методов их исследования и проведения на их основе глубоких предпросктных исследований и изысканий, включающих как теоретические, так и экспериментальные исследования с учетом новых факторов, существенно влияющих на их динамику. Исследования по данной тематике в мире ведутся широко, что связано с незавершенностью теории и большой важностью и сложностью изучаемой проблемы.
Во многих теоретических и практических исследованиях динамики роторных систем с жидкостью рассматривают только колебания ротора с жидкостью, при этом считается, что станина (корпус, фундамент) неподвижна. Однако такое допущение приводит к существенным погрешностям при оценке дина-
мических и кинематических характеристик роторных систем в целом. Экспериментальные исследования вибрации станины роторных систем показали важность их учета и необходимость разработки мер по их снижению. Здесь исследуется динамика роторной системы с полостью, частично заполненной жидкостью с учетом вибрации фундамента, решены аналитически динамические и математические модели системы <фсггор-жидкость-фундамент», которые яатяются обобщенными и для систем без жидкости и без взаимосвязи ротора и фундамента.
Рассматривается ротор с полостью, частично заполненной идеальной жидкостью, неуравновешенный как статически, так и динамически, устаноыенный на гибком невесомом валу который вращается с угловой скоростью Q0 = const на двух упругих опорах, смонтированных в корпу се. Корт е ротора крепится на фундамент с помощью упругих аморшзаторов. которые имеют различное конструктивное исполнение.
Ось z неподвижной системы координат xvz с началом в центре симметрии недеформированных амортизаторов, направлена вдоль оси симметрии корпуса и она совпадает с осью подшипников и осью вала, когда он недеформирован. Перемещениями корпуса и ротора вдоль оси z пренебрегается. Положение корпуса определяются обобщенными координатами х^ук, q и f, где х^ук - координаты центра тяжести, q, f- утлы поворота корпуса в плоскостях xz, yz.
Положение ротора по отношению к системе координат Exyz определяется через х, у, a, b и углом вращения (р = Qnt, где х, у - координаты точки 0 прикрепления ротора к валу, a, b - утлы Резаля, которые определяют положение касательной к изогнутой оси вала, проведенной в точке 0. Обозначим через е и t линейный и угловой эксцентриситеты ротора, предполагая их малыми. Вычисляя кинетическую энергию Т и потенциальную энергию П системы, а также введя диссипативную функцию Ф, с помощью уравнений Лагранжа второго рода можно получить дифференциальные уравнения движения ротора и корпуса.
Дифференциальные у равнения движения ротора и корпуса имеют вид:
тру + "п(.У - &)+"п\Р - + РгУ - ЯгР - РгУк ' &гЧ> - теQjsin Q0< + Fy;
Ja + J0Q„$ + nu(x - xk)+n21í(i -в)-r\XrG - r,x + - y,xt -8хв =
= (j0-J1)inlsm(n0t-j3l) + Ma;
jp - J 0 Q0á + пп(у-ук) + пи{р-ф)-nuLpi¡/ - r2y + S2fl - y2yk -ó2 ^ =
= -(л - л W cos(a0í - )+ Mp;
Myt +nuyi +Pyyk+nl](yk-y)+n12(ij/-p)+ n0i// + ri,y + n1yk +кф+к2ц/ -0; J,0 + к0в + Sx0+ns(xt - x) + nj.txt +k5{6 - a) + к,в + n3x + n4xt + k,a + k,0 = 0;
hW + KV + + n,(yk -y)+ nnLkyt + k,(v> - p)+ к,ф + щу + +k,p+kiV/ = 0; где Шр - мас-ca ротора,
J, J - полярный и экваториальный моменты инерции ротора, М - масса корпуса,
J, J, - моменты инерции корпуса относительно главных центральных осей проходящих через точку К параллельно осям х, у; 1, ^ - расстояние ротора от нижней (левой) и верхней (правой) опоры, 1 - расстояние между опорами;
Lr L , - расстояние от начала координат до центров подшипников 1 и 2, Lp=L2+l2,
пп> ni2> n22 ~~ коэффициенты внешнего трения, Zn > %ь> Z12 ~~ коэффициенты внутреннего трения вала, Рх. Ру - жесткости амортизированного устройства по отношению к поступательному перемещению вдоль каждой из осей,
Sx, Sy - жесткости по отношению к угловым перемещениям, nn, kg - коэффициенты сопротивления при линейных и угловых колебаниях корпуса. Приведенные коэффициенты жесткости опор и вала Сх и Су при С=С2С, и Су]=С ,=С2 определяются формулами:
сх = гсха(2сх+с)- су = 2с2с/(х2-нс)
Из данных формул можно получить различные частные случаи: а) когда опоры жесткие (С,=С2 Ф в), б) когда вал жесткий (С® е) и т.д. F, F, Ma, Mb есть составляющие гидродинамической силы и ее момента. Проектируя гидродинамическое уравнение Эйлера на радиальное, тангенциальное и осевое направления, согласно вышеупомянутых допущениями, а также малости величин а и /?, получим линеаризованные уравнения движения идеальной жидкости:
Su/dt - 2О0 V = -(1/р)-(8Р/дг)-хcos(O0t + <р) - у sm(P0t + <р)+ *z\asin(Q„t + q>)~ ft cos(G0t + rzG; cos(G0t + <р- ft);
ev/dt + 2Я0 U = -(1/ pr)-(8P/d<p) + Xsin(£20t + <p)~ у cos(i30t + q>)+ +z[acos(a0t + p) + fisin(n0t + <p)] + TZi2; sin(Q0t + <p-/},); dw/dt = -(ljp) • (5Р/8Г) + Г [a sin(U0t + q>)+ ficos(O0t + <p) -~2Q0acos(Q0t-кр)-2Q0i3sin(Q0t+ ф) + tQ20 cos(&0t + <p- fl,) Уравнение неразрывности при p = const имеет вид:
42
НАУКА И ТЕХНИКА КАЗАХСТАНА
д(ш)/дг + д\/1С(р + г • Эи1/дг = 0. Граничные условия: на стенках ротора
а) Ч,-*-0.
б) =0;
на свободной поверхности жидкости
дР/Щг_г =-РП02г0и\ .
Уравнения движения твердого тела и жидкости с граничными условиями образуют систему дифференциальных уравнений совместного движения системы «ротор-фундамент-жидкость», где и, V, Р - компоненты поля скоростей и давления, р - плотность жидкости. Сила воздействия жидкости, т.е. гидродинамическая сила р определяется интегрированием давления по всем смоченным жидкостью областям полости. Приращение вектора силы действия жидкости равно: <Н1 = пРс$1
и дифференциал вектора момента силы жидкости имеет вид: с1пц ~{гхпР^1,
где (£1 - элементарная площадка поверхности ротора, смоченной жидкостью, п - единичный вектор нормали этой поверхности.
С учетом последних двух формул, комплексные выражения гидродинамической силы и ее момента определяются формулами:
о-п
2к Н , >
М0 ~Ма + 1Мр -/Я Г + <р))(1<рс1г-
а -и
2а в
ч$$г2[Р(г,<р,НЛ)-Р(г,<р,-Ни)уехр(1а01 + <р)с]гс1<р
После решения уравнений движения системы, исследования вынужденных колебаний ротора и корпуса, исследования устойчивости системы сделаны следующие выводы.
1 .Критические скорости ротора с жидкостью меньше, чем критические скорости пустого ротора.
2.Амплитуда вынужденных колебаний ротора А с увеличением отношения жесткости опор фундамента к жесткости опор вала К при наименьшем отношении массы ротора к массе фундамента а уменьшается. При возрастании а амплитуда А сначала убывает, а далее, при наибольших К, возрастает. Чем боль-
ше а. тем больше эта зона возрастания амплитуды. С ростом а, пик амплитуды А смещается в сторону большей угловой скорости ротора. При наименьшем К и при увеличении а, А растет и ее максимальное значение наступит при достаточно высокой угловой скорости ротора.
3.С увеличением внешнего трения амплитуды вынужденных колебаний ротора А и фундамента С уменьшаются.
4.Амплитуды колебаний А и С не зависят от степени заполнения Ротор ведет себя как, если бы его полость полностью заполнена жидкостью.
5 .При всех значениях а, ц и К система имеет две зоны неустойчивости. Первая зона достаточна узкая, она начинается и заканчивается до критической скорости пустого ротора. Эта зона неустойчивости исчезает при увеличении степени заполнения и уменьшении а. С ростом ц при наименьшем К первая зона сначала расширяется, затем сужается, и при дальнейшем возрастании ц она исчезает. При одновременном росте ц, а и К ширина первой зоны расширястся.р.
