CC BY
13
УДК 514.76
Н. П. Можей, кандидат физико-математических наук, доцент, докторант (КГУ, Россия)
КОГОМОЛОГИИ ТРЕХМЕРНЫХ ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВ
Публикация посвящена изучению трехмерных однородных многообразий и описанию их когомологий. Локальная классификация однородных пространств эквивалентна описанию эффективных пар алгебр Ли. Приведены инвариантные невырожденные симметрические билинейные формы на таких однородных пространствах. Также изучена секционная кривизна римано-вых (псевдоримановых) трехмерных однородных пространств. Рассмотрен случай нетривиальной стационарной подгруппы, поскольку остальные однородные пространства в этой размерности - трехмерные группы Ли. В работе использован алгебраический подход для описания многообразий, методы теории групп и алгебр Ли, однородных пространств.
In this paper we study three-dimensional homogeneous manifolds. Also we describe cohomology this manifolds. The local classification of homogeneous spaces is equivalent to the description of effective pairs of Lie algebras. We described all invariant symmetric nondegenerate bilinear forms on those homogeneous spaces. Also we have found curvature Riemannian (pseudo-Riemannian) three-dimensional homogeneous spaces. We restricted ourselves to the case of a non-trivial stationary subgroup, all other homogeneous spaces in this dimension are three-dimensional Lie groups. We used the algebraic approach for description of manifolds, methods of the theory of Lie groups and Lie algebras and homogeneous spaces.
Введение. Теорема А. Картана сводит алгебру когомологий однородного пространства к алгебре когомологий алгебры Картана, конструируемой целиком в терминах алгебр Ли (соответствующих группам Ли, правда, эти группы предполагаются компактными). За определение алгебры когомологий многообразия принимается ее конструкция согласно теореме де Рама. Алгебра когомологий любого гладкого многообразия М совпадает с алгеброй когомологий внешних форм на М [1]. Однородные римановы пространства изучались с топологической точки зрения. В частности, ряд работ посвящен вычислению кольца когомо-логии этих пространств, основанном на применении теоремы Картана и спектральных последовательностях. Вычисления для неприводимых компактных симметрических пространств проведены еще Борелем в 50-х годах. Ряд утверждений теории Ходжа дает информацию о строении кольца когомологий рима-нова пространства, обладающего нетривиальными параллельными дифференциальными формами и, тем самым, имеющего нестандартную группу голономии. Примерами таких пространств являются кэлеровы многообразия и симметрические пространства. В работе [2] рассматриваются приложения аппарата кого-мологий алгебр Ли к изучению когомологии главных расслоений и однородных пространств. Для когомологии разрешимых алгебр Ли известны лишь немногие сколько-нибудь общие утверждения.
Основная часть. Пусть М - дифференцируемое многообразие, на котором транзитивно
действует группа (М, G ) - однородное пространство, G = Ох - стабилизатор произвольной точки х е М. Проблема классификации однородных пространств (М, G ) равносильна классификации (с точностью до эквивалентности) пар групп Ли ^, G), где G с G, так как многообразие М может быть отождествлено с многообразием левых смежных классов G / G [3]. Изучая однородные пространства важно рассматривать не саму группу G, а ее образ в ^т$(М), другими словами, достаточно рассматривать только эффективные действия группы G на многообразии М. Положим д -алгебра Ли группы Ли G , ад - подалгебра, соответствующая подгруппе G. Пара ( д, д) алгебр Ли называется эффективной, если подалгебра 0 не содержит отличных от нуля идеалов 0 . В дальнейшем будем предполагать, что G -связная подгруппа, что всегда можно сделать, ограничиваясь локальной точкой зрения. Изотропное действие группы G на ТхМ - это фактор-действие присоединенного действия G на д : 5.(х + д) = (Ads)(х) + д, для всех 5 е G, хе д. При этом алгебра Ли д действует на касательном пространстве ТХМ = д /д: х.(у + д) = = [х,у] + д для всех хе д,у е д. Пара (д, д) называется изотропно-точной, если точно изотропное представление подалгебры д. С геометрической точки зрения это означает, что естественное действие стабилизатора Gx произвольной точки х е М на ТХМ имеет нулевое ядро. Псевдориманово однородное пространство задается тройкой М, g), где G - связная группа Ли, М - связное гладкое многообразие с транзитивным действием G, а § - ин-
вариантная псевдориманова метрика на M. Инвариантные псевдоримановы метрики g на M находятся во взаимно-однозначном соответствии с инвариантными симметрическими невырожденными билинейными формами B на G-модуле g / g [4]. Билинейная форма B также является инвариантной билинейной формой на g-модуле g/g:
B(x.vl5 v2) + B(vj, x.v2) = 0 (1)
для всех x e g, v1;v2 e g/g. Каждое псевдори-маново однородное пространство (G,M, g), codim-g g < 4 описывается тройкой (g, g, B), где (9, g) - эффективная пара алгебр Ли, а B - инвариантная симметричная невырожденная билинейная форма на g-модуле g/g. Действительно, из [5] следует, что существует единственное (с точностью до эквивалентности) эффективное однородное пространство (G,M), такое, что M односвязно и стационарная подгруппа G связна. Это однородное пространство допускает единственную инвариантную псевдориманову метрику g, соответствующую билинейной форме B, т. е. существует единственное (с точностью до эквивалентности) псевдориманово однородное пространство (G, M, g), соответствующее (g, g, B), такое, что M односвязно и G связна. Будем называть тройку (g,g, B) локально псевдоримановым однородным пространством. Поскольку каждая инвариантная псевдо-риманова метрика определяет инвариантную аффинную связность, g-модуль g/g точен. Обозначим m = g /g. Для нахождения всех изотропно-точных пар нужно классифицировать (с точностью до изоморфизма) все точные трехмерные g-модули U (это эквивалентно классификации всех подалгебр в gl(3, R) с точностью до сопряженности), а далее классифицировать (с точностью до эквивалентности) такие пары (g, g), где g-модули g/g и U эквивалентны. Все такие пары codim^g = 3 найдены в [6], дальнейшая нумерация пар соответствует приведенной там. Ограничимся случаем с ненулевым стабилизатором, так как все остальные псевдорима-новы однородные пространства - только трехмерные группы Ли с инвариантной метрикой. Билинейная форма B является инвариантной билинейной формой на g-модуле g /g . Проверим выполнение условия (1) для всех пар codim-g g = 3 и выберем из них допускающие риманову метрику. Далее опишем все такие формы с точностью до индуцированного действия Aut(g, g). Получим следующий результат:
Теорема 1. Пусть (g, g,B) - локально однородное пространство, допускающее римано-
ву метрику, такое, что сойШдд = 3 и д Ф {0}. Оно эквивалентно одной и только одной из следующих троек:
Таблица умножения В
1.3.1
1.3.2
u1 u2 u3
e1 0 -U2 u1 0
u1 U2 0 0 0
U2 -u1 0 0 0
U3 0 0 0 0
1.3.5
1.3.6
1.3.7
1.3.3
1.3.4
3.5.1
S1 0 0
0 S1 0
0 0 S2
e1 u1 u2 u3
0 -u2 u1 0
u1 u2 0 e + u3 0
u2 -u1 -e - u3 0 0
u3 0 0 0 0
e1 u1 u2 u3
0 -u2 u1 0
u1 u2 0 -в1 + u3 0
u2 -u1 e - u3 0 0
u3 0 0 0 0
a 0 0
B = 0 a 0
0 0 b
e1 e2 e3 u1 u2 u3
0 e3 -e2 -u3 0 u1
-e3 0 e1 -u2 u1 0
e3 e2 -e1 0 0 -u3 u2
u1 u3 u2 0 0 0 0
u2 0 -u1 u3 0 0 0
u3 -u1 0 -Щ 0 0 0
±1 0 0
B = 0 ±1 0
0 0 ±1
e1 u1 u2 u3
e1 0 -u2 u1 0 8 0 0
u1 u2 0 0 u1 0 8 0
u2 -u1 0 0 u2 0 0 a
u3 0 -u1 -u2 0
e1 u1 u2 u3
e1 0 -u2 u1 0 a 0 0
u1 u2 0 e1 0 0 a 0
u2 -u1 -e1 0 0 0 0 ±1
u3 0 0 0 0
e1 u1 u2 u3
e1 0 -u2 u1 0 a 0 0
u1 u2 0 -e1 0 0 a 0
u2 -u1 e1 0 0 0 0 ±1
u3 0 0 0 0
e1 u1 u2 u3
e1 0 -u2 u1 0 8 0 0
u1 u2 0 u3 0 0 8 0
u2 -u1 -u3 0 0 0 0 a
u3 0 0 0 0
3.5.2
3.5.3
e1 e2 e3 u1 U2 u3
e1 0 e3 -e2 -u3 0 u1
e2 -e3 0 e1 -U2 u1 0
e3 e2 -e1 0 0 -u3 U2
Ui u3 U2 0 0 e2 e1
U2 0 -u1 u3 -e2 0 e3
U3 -u1 0 -U2 -e1 -e3 0
e1 e2 e3 u1 U2 u3
e1 0 e3 -e2 -u3 0 u1
e2 -e3 0 e1 -U2 u1 0
e3 e2 -e1 0 0 -u3 U2
u1 u3 U2 0 0 -e2 -e1
U2 0 -u1 u3 e2 0 -e3
u3 -u1 0 -U2 e1 e3 0
a 0 0
B = 0 a 0
0 0 a
Здесь e1,
u, u
- базис,
, e3 - базис д, дополнительный к д в д, е1, е2, е = ±1, ab Ф 0.
Замечание. Кроме римановой метрики псев-дориманову метрику сигнатуры (2, 1) допускают следующие однородные пространства из приведенных в теореме 2: 1.3.1 при е182 < 0, 1.3.2, 1.3.5, 1.3.6, 1.3.7 при еа < 0, 1.3.3, 1.3.4 при аЪ < 0.
Из пар, приведенных в теореме 1, симметрическое однородное пространство задают 1.3.1, 1.3.5, 1.3.6, 3.5.1-3.5.3.
Из трехмерных римановых однородных пространств следующие 7 соответствуют классификации Терстона:
- если стабилизаторы точек пространства трехмерны (д = во(3)), то тройка 3.5.1 задает евклидово пространство Е3, 3.5.2 - сферу 53, а 3.5.3 - гиперболическое пространство Н3;
- если стабилизаторы одномерны (д = во (2)), то М - G -инвариантное расслоение над одной из двумерных геометрий. На М есть G -инвариантная метрика, определяющая связность. При нулевой кривизне связности тройка 1.3.5 задает 5"2 х Е1, 1.3.6 - Н2 х Е1, а при ненулевой кривизне тройка 1.3.3 задает £Ц2,К), 1.3.7 -нильгеометрию.
- 1.3.1 является подалгеброй в 3.5.1 в базисе (е2, Ир и2, и3), 1.3.2 - подалгеброй в 3.5.2 в базисе
(-е1, е2 + и1,е3 - и3,и2), а 1.3.4 - подалгеброй в ( е - и е - и -е + и >
3.5.3 в базисе
-e,
"ei + U2
Проверим выполнение условия (1) для всех пар codim-gg = 3 и выберем из них допускающие псевдориманову метрику. Далее опишем все такие формы с точностью до индуцированного действия Аи(д, д). Получим следующий результат:
Теорема 2. Пусть (g, д, B) - локально однородное пространство, допускающее только псевдориманову метрику, такое, что codimg g = 3 и g Ф {0}, e1, e2, e3 - базис g, u1, u2, u3 - базис, дополнительный к g в g. Данное пространство эквивалентно одной и только одной из следующих троек:
3.4.1
2.21.1
1.8.1
1.8.3
1.8.4, 1.8.5
3.4.2
3.4.3
e1 e2 e3 u1 U2 u3
e1 0 e2 -e3 u1 0 -u3
e2 -e2 0 e1 0 u1 U2
e3 e3 -e1 0 U2 u3 0
u1 -u1 0 -U2 0 0 0
U2 0 -u1 -u3 0 0 0
u3 u3 -U2 0 0 0 0
e1 e2 u1 U2 u3
e1 0 e2 u1 0 -u3
e2 -e2 0 0 u1 U2
u1 -u1 0 0 0 0
U2 0 -u1 0 0 0
u3 u3 -U2 0 0 0
e1 U1 U2 u3
e1 0 0 u1 U2
u1 0 0 0 0
U2 -u1 0 0 0
u3 -U2 0 0 0
e1 u1 U2 u3
e1 0 0 u1 U2
u1 0 0 0 u1
U2 -u1 0 0 u2 + %e 1
u3 -U2 -u1 -u2 - le1 0
e1 U1 U2 u3
e1 0 0 u1 U2
U1 0 0 0 0
U2 -u1 0 0 ±e1
U3 -U2 0 + e1 0
0 0 1
B = 0 -1 0
1 0 0
e1 e2 e3 u1 U2 u3
e1 0 e2 -e3 u1 0 -u3
e2 -e2 0 e1 0 u1 U2
e3 e3 -e1 0 U2 u3 0
u1 -u1 0 -U2 0 e2 -e1
U2 0 -u1 -u3 -e2 0 -e3
U3 u3 -U2 0 e1 e3 0
e1 e2 e3 u1 U2 u3
e1 0 e2 -e3 u1 0 -u3
e2 -e2 0 e1 0 u1 U2
e3 e3 -e1 0 U2 u3 0
u1 -u1 0 -U2 0 -e2 e1
U2 0 -u1 -u3 e2 0 e3
U3 u3 -U2 0 -e1 -e3 0
е1 е2 и1 и2 и3
в1 0 е2 и1 0 -и3
^2 -^2 0 0 и1 и2
и1 -и1 0 0 и1 и2
и2 0 -и1 -и1 0 и3
и3 и3 и 2 -и2 -и3 0
0 0 а
В = 0 -а 0
а 0 0
в] и1 и2 и3
е1 0 0 и1 и2
и1 0 0 и1 и2
и2 -и1 -и1 0 и3
и3 -и2 и 2 -и3 0
0 0 а
В = 0 -а 0
а 0 е
и1 и2 и3
0 и1 -и2 0
и1 -и1 0 0 0
и2 и2 0 0 0
и3 0 0 0 0
0 1 0
В = 1 0 0
0 0 ±1
в1 и1 и2 и3
е1 0 и1 -и2 0
и1 -и1 0 0 0
и2 и2 0 0 и2
и3 0 0 -и2 0
в1 и1 и2 и3
е1 0 и1 -и2 0
и1 -и1 0 и3 0
Щ и2 -и3 0 0
и3 0 0 0 0
0 1 0
В = 1 0 0
0 0 а
в1 и1 и2 и3
е1 0 и1 -щ 0
и1 -и1 0 0
Щ и2 -в1 0 0
и3 0 0 0 0
0 а 0
В = а 0 0
0 0 ±1
в1 и1 и2
е1 0 и1 -щ
и1 -и1 0 в1 + и3
и2 и2 -в1 - и3 0
и3 0 0 0
0 а 0
В = а 0 0
0 0 Ь
и3
0 0 0 0
Здесь аЬ Ф 0, е = ±1,0. Из пар, приведенных в теореме 3, симметрическое пространство задают 1.1.1, 1.1.5, 1.8.1, 1.8.4, 1.8.5, 2.21.1, 3.4.1-3.4.3.
Обозначим через й(а) внешнюю производную дифференциальной формы а, через С1 -множество (р — 1)-форм на д, С2 - множество /»-форм, С3 - множество (р + 1)-форм и т. д., пусть С - множество {С1,С2,С3,...}, пустое множество будем записывать {}. Пусть Ар(д,д) - пространство внешних /-форм, /-форма а из Ар(д,д) замкнутая, если й(а) = 0, и точная, если а = й (в) для некоторой (р — 1)-формы в из А(р—1)(д,д). Алгебра Ли когомологий Нр(д, д) степени р - векторное пространство замкнутых /-форм из Ар (д, д) по модулю точных /-форм из Ар (д, д). Обозначим через Н1 - множество /форм на д, образующих базис когомологий С2, Н2 - множество (р + 1)-форм на д, образующих базис когомологий С3 , и т. д., т. е. Н = {Н1, Н2, Н3,...} - множество всех замкнутых форм на д, задающих базис когомологий на д.
Теорема 3. Когомологии трехмерных однородных римановых (псевдоримановых) много -образий имеют следующий вид:
римановы: 3.5.1, 3.5.2, 3.5.3:
С = {{},{},{},{—0, а 02 А03},{}};
Н ={{},{},{—0! А 02 А 03}}; 1.3.1, 1.3.5, 1.3.6:
С = {{},{03},{—01 А 02},{—01 А 02 А 03},{}};
Н ={{03},{—01 А02},{—01 А 02 А 03}}; 1.3.2:
С = {{},{03},{—01 А 02},{—01 А 02 А 03},{}};
Н = {{03},{},{}}; 1.3.3, 1.3.4, 1.3.7:
С = {{},{03},{—01 А 02},{—01 А 02 А 03},{}};
Н = {{},{},{—01 А 02 А 03}};
псевдоримановы: 3.4.1, 3.4.2, 3.4.3, 2.21.1, 2.21.4:
С = {{},{},{},{—01 А 02 А03},{}};
Н = {{},{},{—01 А 02 А 03}}; 1.1.1, 1.1.5:
С = {{},{03},{—01 А 02},{—01 А 02 А 03},{}};
Н ={{03},{—01 А02},{—01 А 02 А 03}}; 1.1.2:
С = {{}, {03}, {—01 А02},{—01 А 02 А03},{}};
Н = {{03},{},{}};
1.1.6, 1.1.7:
С = {{},{0з},{-01 л 02},{-01 л92 Л 0з),{}};
Н = {{},{},{-01 л 02 л0з}};
1.8.1, 1.8.3, 1.8.4, 1.8.5: С = {{},{0з},{-02 л0з},{-0! л 02 л0з},{}};
Н ={{0з},{-02 л0з},{-0! л 02 л0з}}; 1.8.2:
С = {{},{0з},{-02 л 0з},{-0! л 02 л 0з},{}};
Н = {{},{},{-0! л 02 л0з}}.
Наиболее важной и интересной задачей ри-мановой геометрии в целом является задача о нахождении связей между геометрическими и топологическими характеристиками римано-вых многообразий и их локальной характеристикой - кривизной. Секционная кривизна ри-мановых однородных пространств вычисляется по формуле
В( Я(У, 2 )У, 2)
К (х, Е) = -
В(У, У)В(2,2) - В(7,2)2
где х е М, Е - невырожденное плоское сечение в М {У, 2} - базис в Е.
Для псевдоримановых однородных пространств понятие секционной кривизны может быть введено уже не для всех двумерных направлений, так как определитель Грама (стоящий в знаменателе определения секционной кривизны), обращается в нуль для изотропных двумерных направлений (т. е. таких, на которых индуцируется вырожденная метрика, если в этом случае обращается в нуль и числитель, то понятие секционной кривизны можно сохранить с помощью продолжения по непрерывности). Выпишем секционные кривизны римановых (псев-доримановых) однородных пространств.
Теорема 4. Секционные кривизны римано-вых однородных пространств:
Номер I II III
з.5.1 0 0 0
з.5.2 1 1 1
а а а
з.5.з 1 1 1
а а а
1.з.1 0 0 0
1.з.2 1 1 1
а а а
1.з.з з/ 4Ь + а а2 ь 4а2 ь 4а2
1.з.4 з/ 4Ь - а а2 Ь 4а2 Ь 4а2
1.з.5 1 а 0 0
1.з.6 1 а 0 0
1.з.7 3 — а 4 а 4 а 4
Здесь
I =
В( Я(и1, м2)м1, и2)
II =
III =
ВЦ, и1) В(и2, 2 ? и2) - В(и1, и2)
В( Я(иу ,из)и1, из) ;
В(и1 , и1) В(из, 2 ' из) - В(и1, из)
В (Я(и2 , из)и2, из)
В(и2, и2)В(из, из) - В(и2, из )2
Секционные кривизны псевдоримановых однородных пространств:
Номер I II III
з.4.1 0 0 0
з.4.2 1 1 1
а а а
з.4.з 1 1 1
а а а
2.21.1 0 0 0
2.21.4 1 1 1
4а 4а 4а
1.8.1 0 0 0
1.8.2 1 1 5
4а 4а 4а
1.8.з 0 0 а /0 = ^
1.8.4 0 0 1/0 = -
1.8.5 0 0 -1/0 = -
1.1.1 0 0 0
1.1.2 1 1 1
4а 4а 4а
1.1.5 1 а 0 0
1.1.6 3 — а 4 1 — а 4 1 — а 4
1.1.7 з / 4 Ь - а Ь Ь
-а2 4а2 4а2
Заключение. Описаны когомологии трехмерных однородных римановых (псевдорима-новых) многообразий. Также найдена секционная кривизна римановых (псевдоримановых) однородных пространств. Полученные результаты могут быть использованы для решения различных геометрических задач, также открываются широкие возможности для приложения результатов исследования псевдоримановых многообразий в физике и механике. Предложенная методика может быть использована для других размерностей.
Литература
1. Рашевский П. К. О вещественных кого-мологиях однородных пространств // Успехи математических наук. 1969. Т. 24. Вып. 3 (147).
2. Greub W., Halperin S., Vanstone R. Connections, curvature and cohomology. N. Y.; L., 1975. Vol. 3: Cohomology of principal bundles and homogeneous spaces.
3. Онищик А. Л. Топология транзитивных групп Ли преобразований. М.: Физ.-мат. лит., 1995.
4. Kobayashi S., Nomizu K. Foundations of Differential Geometry. N. Y.; L. Vol. I, 1963. Vol. II, 1969.
5. Mostow G. D. The extensibility of local Lie groups of transformations and groups on surfaces // Ann. Math. 1950. Vol. 52, No. 3. P. 606-636.
6. Komrakov B., Tchourioumov A., Mozhey N. Three-dimensional isotropically-faithful homogeneous spaces. Oslo: Preprints Univ., 1993. Vol. 13, No. 35-37.
Поступила 27.02.2014
