Коэффициент восстановления скорости при прямом ударе Текст научной статьи по специальности «Физика»

КОЭФФИЦИЕНТ ВОССТАНОВЛЕНИЯ СКОРОСТИ ПРИ ПРЯМОМ УДАРЕ

B. А. Лашков

C.-Петербургский государственный университет,

канд. техн. наук, ст. науч. сотр., зав. лабораторией, [email protected]

Введение. При решении задачи обтекания летательного аппарата потоком газа, в котором содержатся твердые частицы, необходимо описать граничные условия для твердой фазы на поверхности тела. Как правило, частицы, присутствующие в воздухе, представляют собой мелкие обломки породы, которые обладают весьма высокой твердостью и имеют неправильную форму. Они взаимодействуют со стенками канала или тела под разными углами к поверхности в широком диапазоне скоростей (1001000 м/с). Процесс соударения сопровождается внедрением частиц в поверхность тела, их отскоком, разрушением, нагревом частиц и материала преграды.

Для описания характера взаимодействия твердых частиц газовзвеси с поверхностью принято использовать коэффициент восстановления скорости, который определяет как передачу импульса, так и степень трансформации энергии частицы. Очевидно, что коэффициент восстановления скорости не раскрывает всех физических процессов, происходящих при соударении тел. Однако вследствие простоты и удобства применения при решении многих практических задач он широко используется.

Под коэффициентом восстановления скорости при ударе частицы о поверхность тела будем понимать отношение скоростей частицы до У и после V удара:

V

а”~ Уо'

В настоящей работе рассматривается удар, происходящий под прямым углом к поверхности.

Современная теория соударения тел еще не может дать ответ на многие вопросы, касающиеся высокоскоростного удара, который сопровождается сложными процессами упругих и пластичных деформаций, разрушением и нагревом. В работе [1] можно найти современные представления о соударении тел, основанные на теории Г. Герца, исходным положением которой является гипотеза о применимости решения статической контактной задачи теории упругости для расчета близких к месту удара участков, и на волновой теории Буссинеска и Сен-Венана. Пределы применимости теории упругого удара ограничены очень малыми скоростями соударений (5-7 м/с), когда не возникают остаточные деформации в сталкивающихся телах. Задача значительно усложняется при увеличении скорости соударения.

Известны экспериментальные работы, посвященные исследованию коэффициентов восстановления скорости при соударении твердых тел [2-6]. Исследовано влияние на коэффициенты восстановления многих физических параметров. Однако полученные данные относятся к конкретным условиям эксперимента. Критерии, с помощью которых можно было бы обобщить результаты исследований и определить величину коэффициентов восстановления, еще не выработаны. Очевидно, это затрудняет исполь-

© В. А. Лашков, 2010

зование известных опытных данных. Поэтому обобщение экспериментальных данных по коэффициентам восстановления скорости представляет значительный практический интерес.

Эрозия, силовые и тепловые нагрузки на теле, которые возникают в результате ударов твердых частиц, суть стороны одного процесса, следовательно, безразмерные параметры, которые описывают указанные проявления ударного взаимодействия, вероятно, могут определять и коэффициент восстановления скорости. Поэтому поиск основных критериев проводился по работам, посвященным всем физическим явлениям, сопровождающим соударение частиц с поверхностью.

Исследованию газоабразивной эрозии материала преграды посвящено много работ, например [7, 8]. Результаты исследований показывают, что потери материала поверхности тела, подвергаемого воздействию потока твердых частиц, прямо пропорциональны кинетической энергии частиц и обратно пропорциональны твердости материала [8].

Предметом изучения при соударении тела с преградой является также глубина внедрения ударника. В работе [9] приведена эмпирическая зависимость относительной глубины кратера, которая является функцией относительной длины ударника, отношения плотностей материалов ударника и мишени и отношения инерционных сил ударника к твердости материала преграды.

Особый интерес представляют работы Н. А. Златина и др. [10, 11], в которых проводились измерения сопротивления внедрению ударника в полупространство в широком диапазоне скоростей (до 1000 м/с) методом внедрения недеформируемого конуса. Установлена зависимость силы сопротивления металла полупространства для ряда материалов от мгновенной скорости.

В работе [12] исследовалась зависимость силы, действующей в месте контакта, от глубины внедрения при скоростях удара до 100 м/с.

Целью работы является определение основных критериев и проведение обобщения имеющихся экспериментальных данных по коэффициентам восстановления скорости при прямом ударе.

Поиск основных критериев. Анализ экспериментальных данных и описание основных закономерностей процесса эрозионного разрушения материалов под воздействием потока, несущего твердые частицы, представлены в работе [7]. В этой работе отмечено, что интенсивность эрозионного разрушения не удается связать напрямую с каким-либо известным параметром теории упругости и пластичности.

Однако следует обратить внимание на такую характеристику материала как твердость на вдавливание. При измерении этого параметра на поверхности материала происходят процессы, подобные тем, которые наблюдаются при соударении твердой частицы газовзвеси и тела. Основное отличие состоит в скорости прохождения процесса внедрения. Известно также, что твердость материала определенным образом связана с его механическими свойствами.

На основе введения понятия эффективной энтальпии эрозионного разрушения в [8] предложена зависимость, определяющая потери относительной массы материала поверхности. Нетрудно видеть, что потери материала пропорциональны безразмерному комплексу Р1У)2/Н, где р^ —плотность материала преграды, Уо —скорость удара, Н — твердость материала преграды.

Вопрос об основных закономерностях деформирования твердых тел в процессе их соударения изучался многими авторами. На основе большого количества экспериментов в работе [10] установлена эмпирическая зависимость силы сопротивления внедрению Г недеформируемого конуса в металлическое полупространство от мгновенной скорости

ударника:

Г =(Н1 + рУ 8Ш2 а)Б, (1)

где р1 — плотность материала полупространства, V — скорость внедрения, а — полуу-гол конуса, Б — площадь проекции контактной поверхности на преграду. В качестве простой характеристики сопротивления деформированию предлагается использовать динамическую твердость материала Н1. Исследовался прямой удар.

Можно отметить, что выражение для силы сопротивления внедрению состоит из двух слагаемых, первое из которых принимается постоянным для области скоростей 100-1000 м/с [10]. Это слагаемое не зависит от угла конуса головной части внедряемого тела (угол заточки конуса в экспериментах изменялся в широком диапазоне от 37 до 180°) и определяется только механическими характеристиками материала преграды. Второе слагаемое, характеризующее инерционное сопротивление материала преграды, зависит как от кинематических параметров удара, так и от формы головной части внедряемого тела. Причем коэффициент сопротивления головной части определяется по Ньютону [11]. Этот экспериментальный факт позволяет предположить, что для определения силы сопротивления внедрению тела с формой, отличной от конической, можно использовать метод локальных конусов. Эта гипотеза была подтверждена путем сравнения результатов измерения глубины внедрения сферы, взятых из [12], с расчетными данными.

Рассмотрим инерционное внедрение абсолютно жесткой сферы радиуса Я, изготовленной из материала плотностью р2, в полупространство, материал которого обладает плотностью р1 и прочностной характеристикой Н1. Начальная скорость сферы Уо направлена по нормали к поверхности. Схема внедрения представлена на рис. 1.

Рис. 1. Схема внедрения недеформируемой сферы в полупространство.

Пусть в некоторый момент времени сфера внедрилась в полупространство на глубину х. Скорость внедрения в этот момент времени обозначим через V. Сопротивление каждого элемента сферического ударника определим с использованием формулы для сопротивления внедрению конуса (1).

В этом случае силу сопротивления, действующую на кольцевой элемент контактной поверхности сферы, можно представить в виде

dF = (Hi + pV sin2 a)dS,

где dS = 2nR2 sin в sin add — площадь проекции элемента контактной поверхности на плоскость, перпендикулярную вектору скорости. Тогда с учетом того, что sin a = cos в,

полная сила сопротивления внедрению сферы Г при х < Я имеет вид

Fs = (Hi + piV2 sin2 a)2nR2 sin в cos ede.

После несложных преобразований получим

Fs = тгД2Яі(1 — cos2 вт) + ^nR2piV2(l — cos4 вт).

В соответствии со 2-м законом Ньютона, используя полученное выражение для Г8, можно записать

где m — масса сферы.

Перейдя к безразмерным переменным, в которых за масштабы длины и скорости выбраны R и V0 (а масштаб времени t = R/Vo), сохраняя прежние обозначения, с учетом того, что cos вт = 1 — х, уравнение движения сферы при х < 1 можно получить в виде

решение. Первый из них характеризует соотношение сил инерции падающего тела и прочностных свойств материала полупространства, а второй — соотношение плотностей материалов соударяемых тел.

Рассмотрим начальные условия задачи: при £ = 0 безразмерная глубина внедрения х = 0, безразмерная скорость Уо = 1. Таким образом, глубина внедрения является функцией двух безразмерных параметров х = ](Ен, Кр).

На рис. 2 представлены результаты расчета максимальной относительной глубины внедрения Н сферы. Максимальная глубина внедрения определялась из условия, что скорость сферы V = 0. Там же точками нанесены экспериментальные данные глубины внедрения, полученные в работе [12].

Сфера была изготовлена из закаленной стали. Удар производился по поверхности стержня, изготовленного из стали, дуралюмина и свинца. Испытания проводились для двух сортов стали и двух сортов дуралюмина, которые отличались друг от друга твердостью. Наблюдалось удовлетворительное согласие результатов расчета с экспериментальными данными работы [12], что подтверждает правомерность использования зависимости (1) и метода локальных конусов для определения силы сопротивления внедрению сферического ударника.

Анализ процесса соударения деформируемых тел и предложения по его моделированию представлены в работе [11]. Методами теории размерностей найдена неявная форма уравнений, описывающих процесс деформирования пластичного полупространства при ударе по нему пластичного тела вращения. Авторы [11] приходят к выводу, что если рассматривать удар, не сопровождающийся явлениями взрыва, т. е. величина скорости удара меньше 1000 м/с, то глубину внедрения недеформируемого тела в металлическое полупространство можно представить в виде

Здесь Eh = P2Vo2/Hi, Kp = pi/p2 —два безразмерных параметра, от которых зависит

Ен

Рис. 2. Глубина внедрения сферы в полупространство.

1 — Кр=0,5; 2 — Кр=5; 3 — Кр=1; 4 — сталь Кс64; 5 — сталь Ко 10; 6 — дюралюмин Кв74; 7 —

дюралюмин Кв 24; 8 — свинец.

где Ь — конечная глубина внедрения, Я — характерный размер тела, р1, р2 —соответственно, плотности материалов полупространства и внедряемого тела; С — коэффициент сопротивления головной части внедряемого тела.

В экспериментальном исследовании [9] получен аналогичный вывод — глубина кратера зависит от параметров Р2/Р1 и р^о2/Н1.

Таким образом, анализ критериев, описывающих эрозионное и силовое взаимодействия твердых частиц с поверхностью тела, приводит к выводу, что, вероятно, поведение коэффициента восстановления скорости может быть описано с помощью безразмерных параметров Ен и Кр.

Оценим, какой диапазон изменения параметров Ен и Кр может наблюдаться в случае полета летательного аппарата в пылевом облаке. Рассмотрим скорости полета до 1000 м/сек. Плотности материалов частиц пыли находятся в диапазоне от 1600 кг/см3 для сухого песка до 4000 кг/см3 для корунда. Поверхность летательного аппарата обычно изготавливается из алюминиевых сплавов с плотностью 2700 кг/см3, некоторые элементы конструкции могут быть изготовлены из различных сортов стали, например, лопатки турбин, плотность которой 7800 кг/см3. Твердость на вдавливание этих материалов может находиться в диапазоне от 6 х 108 Н/м2 для дуралюмина до 65 х 108 Н/м2 для стали. Следовательно, параметр Кр может принимать значения от 0,5 до 5. Изменение параметра Ен следует ожидать в диапазоне от 0,01 до 6.

Обзор экспериментальных работ, посвященных определению коэффициента восстановления скорости при прямом ударе. В работе [2] описан метод и приведены результаты по определению коэффициента восстановления скорости при прямом ударе стальной сферы в широком диапазоне скоростей удара (до 200 м/с), а также рассмотрены возможности расчетного определения коэффициента восстановления. Приведены результаты исследования коэффициента восстановления скорости для разных материалов: сталь, медь, дуралюмин.

В работе [12] излагаются результаты теоретических и экспериментальных исследований процесса соударения твердых металлических ударников с металлическими

стержнями и балками. Главной целью исследований было установление соотношения между силой и глубиной внедрения, которое описывает взаимодействие ударников разной формы с плоской поверхностью различных металлов. В работе рассматривается ударное взаимодействие тел «классической формы» (сфера, конус, затупленный конус) с плоскими торцами стержней, изготовленных из различных материалов.

Следует заметить, что, используя данные, представленные в статье, можно определить коэффициенты восстановления скорости при ударе упомянутых тел. В работе экспериментально устанавливается зависимость силы Г, действующей в месте контакта, от глубины внедрения Н — общей деформации вдоль общей нормали к поверхности тел в точке контакта. Графики Г(Н) приведены для каждого проведенного эксперимента (см. пример на рис. 3,Ь). Эксперименты показали, что в процессе внедрения ударника сила увеличивается от нуля до максимальной величины, значение которой зависит от условий эксперимента. В процессе разгрузки сила уменьшается до нуля, но при этом наблюдается остаточная деформация.

Процесс разгрузки совершается за счет упругих сил, работа которых идет на то, чтобы оттолкнуть ударник. При этом его скорость увеличивается от нуля до некоторого значения. Если кинетическую энергию ударника в конце удара приравнять работе упругих сил материала при разгрузке,

где Но, Нтах — соответственно, остаточная и максимальная деформации, коэффициент восстановления скорости ап можно представить в виде

где т — масса ударника, Уо — скорость удара. Величина интеграла вычислялась с использованием графиков Г(Н) из работы [12].

На рис. 3 показаны результаты обработки данных, представленных в [12]. Приведены коэффициенты восстановления скорости при ударе сферы о плоский торец стержня в зависимости от скорости соударения (рис. 3,а). Сфера изготовлена из закаленной стали, ее твердость Яс62. В скобках указаны значения твердости материала стержня по шкале Бринеля. Для приведения твердости материалов к единой шкале Бринеля использованы таблицы [13].

На рис. 3Ь показаны результаты расчетов коэффициента восстановления скорости для стального ударника, имеющего форму цилиндра с головной частью в виде конуса. Угол при вершине конуса варьировался. Преградой в экспериментах служил алюминиевый стержень. Результаты расчетов для конуса показали, что коэффициент восстановления скорости практически не зависит от угла при вершине. Величина коэффициента мала, при скоростях удара более 20 м/с коэффициент восстановления не превышает 0,2. Величина коэффициента восстановления скорости для конического ударника при прочих равных условиях лежит ниже, чем для сферического. Коэффициент восстановления зависит от механических свойств материалов, участвующих в соударении. Можно отметить общий характер поведения коэффициентов восстановления скорости — с увеличением скорости удара коэффициент восстановления уменьшается.

Это хорошо согласуется с выводами работы [14], где указывается, что при относительных скоростях больше 2 м/с коэффициент восстановления для различных ма-

1,0

¥0, м/с

■

а) Ь)

Рис. 3. Коэффициент восстановления скорости. а) при ударе сферы: 1 — стальной стержень Яс62 (Нв 627); 2 — стальной стержень Кс 10 (Нв 190);

3 — алюминиевый стержень Кв 24 (Нв 69); 4 — алюминиевый стержень Кв 74 (Нв 126); 5 —

свинцовый стержень Нв 5.

Ь) при ударе конуса: 1 — угол при вершине конуса 100; 2 — 300; 3 — 600.

териалов является монотонной медленно убывающей функцией скорости. Результаты вычисления коэффициента восстановления скорости на рис. 3 аппроксимированы с помощью метода наименьших квадратов с использованием эмпирической формулы, предложенной в работе [14]: ап = ехр(—еУо’1), где е, д — эмпирические константы.

В работе [3] экспериментально определены коэффициенты восстановления скорости для частиц разной формы и материалов. Использовались сферические частицы, а также частицы, имеющие неправильную форму. Исследовались скорости удара до 30 м/с.

Экспериментальное исследование траектории частиц при их соударении с образцом, а также определение коэффициента восстановления скорости частиц проводились в ряде работ В. Табакова и др., например, [4, 5].

В работе [6] приведены результаты экспериментальных исследований коэффициента восстановления скорости при ударе частиц из электрокорунда по плоским образцам. В работе представлены данные для различных материалов поверхности (сталь, дура-люмин, медь, свинец) в широком диапазоне скоростей удара (до 300 м/с).

Все перечисленные работы использовали различные технику и методики определения коэффициента восстановления скорости. Размер частиц изменялся в широком диапазоне: от 20 мкм до 1-2 мм.

Зависимость коэффициента восстановления скорости от выделенных критериев. На рис. 4 приведены результаты исследований коэффициента восстановления для сферического ударника от безразмерных параметров Кр и Ен.

■ К р 0,35

о 1,00

А 1,20

V 1,45

Ф 3,05

X 7,30

1Е-6 1Е-5 1Е-4 1Е-3 0,01 0,1 1 10

Ен

Рис. 4- Коэффициент восстановления скорости для сферических частиц.

а

п

На графике нанесены данные по результатам работ [2, 3]. В работе [3] минимальный угол удара относительно нормали к плите составлял 15°, т. е. удар не был строго прямым. Но эксперименты показывают, что величина коэффициента восстановления скорости при углах удара, отличных от прямого не более чем на 15°, практически постоянна. Поэтому эти данные нанесены на график. Там же представлены результаты рассчета коэффициента восстановления скорости по материалам работы [12].

Все точки ложатся на одну кривую с удовлетворительным разбросом (стандартное отклонение в пределах ±0,13). Разброс данных можно отнести к точности измерения коэффициента восстановления скорости. Коэффициент восстановления стремится к единице при малых значениях параметра Ен. В настоящей работе не рассматриваются вопросы адгезии частиц. При значении Ен, близком к единице, коэффициент восстановления уменьшается до нуля. Рассчеты показали, что при Ен = 1 и Кр = 1 относительная глубина внедрения сферического ударника составляет Н « 0, 85, т. е. порядка радиуса. Можно ожидать, что при внедрении ударника на глубину более радиуса коэффициент восстановления скорости ап = 0. Влияние параметра Кр на величину коэффициента восстановления не обнаружено в довольно широком диапазоне изменения (от 0,35 до 7,3).

Полученную зависимость коэффициента восстановления скорости при прямом ударе можно аппроксимировать следующим выражением:

an = exp (-2.93EH0'22) .

На рис. 5 представлены результаты измерений коэффициента восстановления скорости для частиц неправильной формы при прямом ударе по плоскости, изготовленной из разных материалов. Рассматривались частицы из кварца, золы, антрацита, корунда и феррохрома [3-5]. Там же приведены экспериментальные данные для коэффициента восстановления скорости при ударе частиц из электрокорунда [6].

an

1Е-5 1Е-4 1Е-3 0,01 0,1 1 10

Ен

Рис. 5. Коэффициент восстановления скорости для частиц неправильной формы.

Коэффициент восстановления скорости для частиц неправильной формы можно описать с помощью следующей эмпирической зависимости

ап = ехр(-2.41Ен °13)-

Зависимость коэффициента восстановления для сферических частиц проходит выше, чем для частиц неправильной формы. Разница в величине коэффициента восстановления для сферических частиц и частиц неправильной формы увеличивается с уменьшением параметра Ен. Влияние формы частиц на коэффициент восстановления скорости подтверждается результатами исследований, приведенными на рис. 3, где показано, что коэффициент восстановления скорости для ударника с конической головной частью лежит ниже, чем для сферического ударника.

Выводы. Найден безразмерный параметр, определяющий величину коэффициента восстановления скорости при соударении твердых частиц с поверхностью тела. Критерием, который хорошо описывает коэффициент восстановления скорости, является отношение инерционных сил ударника к силам сопротивления внедрению. Известные экспериментальные данные по коэффициенту восстановления скорости обработаны с использованием полученного критерия. Получены эмпирические выражения для коэффициентов восстановления скорости для сферического ударника и частиц неправильной формы.

к р А 1,10 V 2,00 Ф 2,25 X 2,85 ■е> 3,60 ® 5,80 * 6,00 о 10,40

•h

Л Ф

\Я'

V w

1. Зегжда С. А. Соударение упругих тел // СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1997. 316 с.

2. Кангур Х. Ф., Клейс И. Р. Экспериментальное и расчетное определение коэффициента восстановления при ударе // Изв. АН СССР. МТТ. 1988. №5. С. 182-185.

3. Ушаков С. Г., Муромкин Ю. Н., Мизонов В. Е. Об ударе частиц зернистого материала о твердую поверхность // ИФЖ. 1978. Т. 34. №5. С. 839-842.

4. Tabakoff W., Hamed A. Aerodynamic Effects on Erosion in Turbomachinery // Joint Gas Turbine Congress, Tokyo, Japan. May, 1977. JSME and ASME Paper N70. P. 574-581.

5. Табаков В., Мейлэк М. Ф., Хамед А. Измерение лазером характеристик отскакивания твердых частиц при соударении их с поверхностью из алюминиевого (2024) и титанового (6AI-4V) сплавов // Аэрокосмическая техника. 1987. №12. С. 58-64.

6. Лашков В. А. Об экспериментальном определении коэффициентов восстановления скорости частиц потока газовзвеси при ударе о поверхность // ИФЖ. 1991. Т. 60. №2. С. 197-203.

7. Эрозия. Пер. с англ. / Под ред. К. Прис. М.: Мир, 1982. 464 с.

8. Алхимов А. П., Клинков С. В., Косарев В. Ф., Михатулин Д. С., Полежаев Ю. В. Гетерогенные технологии: проблемы взаимодействия частиц с преградой // Теплофизика и аэромеханика. 2005. Т. 12, №3. С. 415-431.

9. Christman D. R., Gehring J. W. Analysis of High-Velocity Projectile Penetration Mechanics // J. of Applied Physics. Vol. 37. N4. 1966. P. 1579-1587.

10. Витман Ф. Ф., Степанов В. А. Влияние скорости деформирования на сопротивление деформированию металлов при скоростях удара 102 + 103 м/с // Некоторые проблемы прочности твердого тела. АН СССР. 1959. С. 207-221.

11. Витман Ф. Ф., Златин Н. А. О процессе соударения деформируемых тел и его моделировании. I // Журнал технической физики. 1963. Т. XXXIII. №8. С. 982-989.

12. Гольдсмит В. Удар и контактные явления при средних скоростях // Физика быстро-протекающих процессов. Пер. под ред. Н. А. Златина. Изд-во «Мир». 1971. Т. 2. С. 153-203.

13. Машиностроение. Энциклопедический справочник / Ред. Акад. Е. А. Чудаков. М.: ГНТИ, 1947. Т. 3.

14. Такэда. О коэффициенте «восстановления» // Механика. 1956. Реф. 1282.

Статья поступила в редакцию 15 июня 2010 г.