Кодифференцируемые функции в банаховых пространствах: методы и приложения к задачам вариационного исчисления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2013, вып. 3

В. Ф. Демьянов, М. В. Долгополик КОДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ

В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ: МЕТОДЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ*)

1. Введение. В статье [1] понятие кодифференциала (см. [2]) было обобщено на случай функций, определенных на нормированном пространстве. С помощью кодифференциала строится неоднородная аппроксимация приращения функции, при этом можно выделить достаточно широкий класс функций, для которых кодифференциальное отображение является непрерывным.

В настоящей работе установлены конструктивные необходимые условия экстремума кодифференцируемой функции, разработан метод нахождения стационарных точек исследуемой функции. Эффективность предложенной теории демонстрируется на примере некоторых задач вариационного исчисления. С помощью понятия кодифференциа-ла удалось вывести, почти автоматически, известные необходимые условия экстремума в минимаксной задаче вариационного исчисления, а также описать численный метод решения задач вариационного исчисления.

Условимся далее использовать те же обозначения и определения, что ив [1].

2. Необходимые условия экстремума. Здесь будут выведены необходимые условия экстремума и разработан численный метод нахождения стационарных точек ко-дифференцируемой функции. Результаты п. 2 являются непосредственным обобщением теории, изложенной в [2] в конечномерном случае.

Вначале напомним несколько определений и утверждений из [1], которые потребуются в дальнейшем. Пусть везде далее (E, У • ||E) - вещественное банахово пространство, 0e - нулевой элемент пространства E, Se = {х G E | ||x||e = 1} - единичная сфера. Рассмотрим прямое произведение R х E*, где E* - пространство, топологически сопряженное к Е. Пространство R х Е* банахово с нормой ||[а, ^р\\\р = (|а|р + IMI^*)^ где 1 < p < Введем в этом пространстве систему преднорм {|| • ||ж | х G E}, где

|| [а, ||ж = |а| + |у(х)|. Данное семейство преднорм порождает в R х E* топологию, которую будем обозначать т*. Отметим, что множество A С R х E* является т*-компактным тогда и только тогда, когда оно ограничено относительно нормы и замкнуто в топологии т* ([1, теорема 2.1]).

Пусть Q С E - открытое множество, функция f: Q ^ R называется кодифференцируемой на множестве Q, если для любого x G Q существует пара выпуклых множеств df(x), df(x) сШхЕ*, компактных в топологии т*, таких, что для любого допустимого приращения Дх G E соответствующее приращение функции представимо в виде

f(x + Ax) = f(x) + max (а + у>(Дж))+ mm (6 + ф(Ах)) + о(Ах, х),

[a,<p]Edf О) [b,ip]edf(x)

о(аДх,х)/а ^ 0 при а ^ 0. (1)

Демьянов Владимир Федорович — доктор физико-математических наук, профессор, 199034, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: [email protected].

Долгополик Максим Владимирович — аспирант, 199034, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: [email protected].

*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 12-01-00752).

© В. Ф. Демьянов, М. В. Долгополик, 2013

Пара множеств Df(x) = [df(x), df(x)] называется кодифференциалом функции / в точке ж, множество df(x) - гиподифференциалом, а множество df(x) - гипердифференциалом. Ясно, что кодифференциал определяется неоднозначно.

Пусть xo € О. Функция f называется равномерно кодифференцируемой в некоторой окрестности точки xo, если стремление к 0 в (1) равномерно по Дх € SE и x из данной окрестности точки xo. Функция f называется гиподифференцируемой в точке х, если существует кодифференциал вида Df(x) = [df(x), {0rx£*}], и гипердифференцируе-мой в точке х, если есть кодифференциал вида Df(x) = [{0rx£*}, df(x)}]. Не ограничивая общности, далее будем считать, что

max а = min 6 = 0 Ух € Q, (2)

[a,f]edf(x) [b,-ip]Edf (x)

в противном случае можно в качестве кодифференциала функции / взять эквивалентный кодифференциал D'f(x) = [df(x) — [а, О^*], df(x) + [а, О^;*]], где а = max{a | [а, ¡р] G df(x)}, для которого данное условие будет выполнено, поскольку

max а = — min b Ух £ fi.

[<*,¥>] edf(x) [b,ip]edf(x)

Чтобы в этом убедиться, достаточно в разложении кодифференцируемой функции положить Д = 0e .

Отображение x ^ Df (x) называется кодифференциальным; функция f называется непрерывно кодифференцируемой в точке x € О, если она кодифференцируема в некоторой окрестности этой точки и существует непрерывное (по Хаусдорфу) в данной точке кодифференциальное отображение Df. Аналогично определяются непрерывно гиподифференцируемые и непрерывно гипердифференцируемые функции.

Пусть функция f кодифференцируема на множестве О, тогда f квазидифференци-руема на этом множестве и ее производная по направлениям в точке x € О имеет вид (см. [1])

f'(x,g)= max ip(g) + min ф(д) Уд G Е, (3)

<p€df(x) tpEdf(x)

где

dj{x) = W G E* I [0, Lp] G df(x)}, df(x) = {ф £ E* \ [0, ф] G df(x)}. (4)

Выведем необходимые условия экстремума кодифференцируемой функции f. Предположим, что точка x* является точкой локального минимума функции f. По необходимому условию минимума дифференцируемой по направлениям функции имеем (см. (3))

f'(x*,g)= max <р(д) + min ф(д) > 0 Уд G Е,

vedf{x*) xßedf(x*)

откуда для любого ф G df(x*) выполнено неравенство

max w(g) > 0 Уд € E.

Значит, 0e - это точка минимума выпуклой функции

Р.ф{д) = max ip(g) Уф G df(x*).

VEdf(x*)+{i>}

Из теоремы о необходимом и достаточном условии минимума выпуклой функции имеем, что 0^;* G dF^iQß) для любого ф G df(x*). Воспользовавшись формулой для

вычисления субдифференциала функции максимума (см., например, [2, 3]), получим, что 0Е* € дР,ф(0Е) = дЦх*) + {ф} для всех ф € дЦх*).

Аналогично показывается, что если точка х** € Е является точкой локального максимума функции /, то Ое* € <9/(ж) + {95} для любого <р € <9/(ж). Теперь, воспользовавшись формулой (4), легко получаем теорему о необходимых условиях локального экстремума кодифференцируемой функции.

Теорема 1. Пусть (Е, У • I) - банахово пространство, П С Е - открытое множество, функция /: П ^ М кодифференцируема на множестве П. Для того чтобы точка х* € П была точкой локального минимума (максимума) функции /, необходимо, а если функция / выпукла (вогнута), то и достаточно, чтобы

оихв* е Ш(х*) + [о,ф]}У[о,ф] е71Цх*) (5)

(Окхв* € {¿¡(х*) + [0,ср}}У[0,ср] е<а(х*)).

Замечание 1. В случае, когда функция / гиподифференцируема (гипердифферен-цируема), необходимое условие минимума (максимума) упрощается и принимает вид Окхв* е^/(х*) (оКх_е* е^/(х*)).

Точку х* € П, в которой выполнено необходимое условие минимума функции ], будем называть шЛ-стационарной точкой функции f, а точку х** € П, в которой выполнено необходимое условие максимума, - вир-стационарной точкой функции ]. Ниже будет показано, что если х € П не шЛ-стационарная точка функции f, то найдется направление д € Е, являющееся направлением спуска функции ], т. е. такое, что f'(х, д) < 0.

3. Метод кодифференциального спуска. Предположим, что функция /: Е ^ М кодифференцируема на Е. Опишем теоретическую схему алгоритма нахождения ш£-стационарных точек функции ] на всем пространстве Е (схема для вир-стационарных точек аналогичная).

Зафиксируем любые ¡л > 0 и 1 < р < Выберем произвольное хо € Е. Пусть уже построено хк € Е. Если в точке хк выполнено необходимое условие минимума (5), то точка хь - шЛ-стационарная, и процесс прекращается. В противном случае для каждого т € где

(¿м/(ж) = {ю е (1/(х) I и) = [6, ф], 0 < Ъ < /л},

находим

здесь ук (ш)

||vk(w)||p,

[ай(гу), 1рк{-\г«)], Ь(хк,и)) = ¿¡(хк) + {«;}. Далее имеем

/п >||

(6)

Ш (Д; ш) = (Ахь(ш); ш)

АхЕ$е

(7)

(если срк(-;ги) = Ое*, то положим Ахк(т) = Ое)- Теперь для каждого и> € хк)

получим

а затем

М /(хк + а.Дхк(ш)) = /(хк + ак(т)Дхк(т)),

а>0

/(хк + ак(т)Ахк(т)) = /(хк + акАхк)

(здесь предполагаем, что все соответствующие inf достигаются). Положим

xfc+1 = xk + a.k Дxk.

Далее продолжаем аналогично. В результате построим последовательность точек {xk}.

Замечание 2. Если функция f гиподифференцируема (гипердифференцируема), то к ней также можно применить метод кодифференциального спуска (подъема), который в этом случае целесообразно называть методом гиподифференциального спуска (гипердифференциального подъема). Отметим, что в этом случае будет dßf(x) = {0rxe*}, и поэтому алгоритм в данном случае упрощается.

Естественным образом возникают следующие вопросы: при каких условиях точные нижние грани в (6) и (7) достигаются, каковы свойства последовательности {xk} и когда эта последовательность сходится к inf-стационарной точке функции f. Решение таких вопросов будет проведено далее.

Специальный вид теоремы об отделимости. Задача (7) является задачей нахождения точной нижней грани значений линейного непрерывного функционала ф € E* на единичной сфере Se . Укажем условия, при выполнении которых эта точная нижняя грань достигается.

Пусть E - пространство, сопряженное к некоторому банахову пространству X, а функционал ф входит в образ X при каноническом вложении X в X** = E* (тогда функционал ф непрерывен в слабой* топологии). Единичный шар в E = X* компактен в слабой* топологии по теореме Банаха-Алаоглу, а тогда по теореме Вейерштрасса ф достигает минимума на данном шаре, а следовательно, и на сфере. В частности, если пространство E рефлексивно, то минимум заведомо существует. При этом ясно, что

minyesB ф(У) = -||ф||.

Для того чтобы получить условия, при которых точная нижняя грань в (6) достигается, и исследовать свойства элемента, на котором она достигается, нам потребуется специальная форма теоремы об отделимости (точнее, теоремы о существовании опорной гиперплоскости). В свою очередь, для ее доказательства потребуются два общеизвестных факта. Первый из них касается свойств нормы в сопряженном пространстве, а второй - элементарных свойств строго выпуклых пространств.

Лемма 1 (см. [3]). Пусть E - нормированное пространство. Тогда норма || • ||E* в сопряженном пространстве слабо полунепрерывна снизу.

Напомним, что нормированное пространство E называется строго выпуклым (или строго нормированным), если любой непустой шар в нем является строго выпуклым множеством. Нетрудно показать, что пространство E строго выпуклое тогда и только тогда, когда в неравенстве треугольника для нормы равенство достигается только на пропорциональных элементах, т. е. для любых x,y из E равенство Hx + уЦ = ||x|| + ||y|| равносильно тому, что существует число А > 0 такое, что x = Ay.

Теорема 2 (теорема об опорной гиперплоскости). Пусть (E, || • ||E) - строго выпуклое рефлексивное нормированное пространство, выпуклое множество A С E* слабо

компактно и 0E* € A. Пусть min ||ф|| = ||фо|| и max ф0(у) = ф0(у0). Тогда для любого

peA yesE

ф € A выполняется неравенство

Ф(Уо) > ЦфоУ = фо(У0).

Доказательство. Поскольку норма || • ||E* слабо полунепрерывна снизу, а множество A слабо компактно, то infpeA ||ф|| достигается. Обозначим элемент, на котором достигается эта нижняя грань, через фо € A. Так как 0e* € A, то фо = 0e* .

Поскольку нормированное пространство E - рефлексивно, то существует yo G Se такое, что supyeSß уo(y) = у0(y0) = ||ус)||, а поскольку пространство E - строго выпукло, то yo единственно. Введем множество A = (1/|po|e*)A. Ясно, что оно выпукло, слабо компактно и miricpeA> IMI-E* = 1 = Н^Н-Е*, гДе ^Р = (^/Н^оНе*)^ € А'. Обозначим открытый единичный шар в пространстве E* через B = {у G E* | ||у||е* < 1}. Ясно, что множества A и B не пересекаются.

Определим множество С = В — А! + {у}. Очевидно, что оно выпукло и Ое* € int С (здесь внутренность множества понимается относительно топологии, порожденной нормой), поскольку B С C.

Рассмотрим функцию Минковского множества C

р: E* ^ R, р(ф)=Ш{t> 0 | ф/t G C}.

Учитывая свойства множества C, получаем, что р - это калибровочная функция. Так как множества А! и В не пересекаются, то у ф С, откуда p(jp) ^ 1. Заметим, что р(ф) ^ 1 для всех ф G C.

Определим линейный функционал fo(Xy) = А = Ху(уо) для любого Л G М на одномерном подпространстве L = Ип{^}. Покажем, что калибровочная функция р мажорирует функционал /о- Если А ^ 0, то fo(Xy) = А ^ Лр(у) = p(Xip); если же Л < О, то fo(Xy) < 0 ^ р(Ху). Итак, /о - линейный функционал, определенный на линейном подпространстве L, р - калибровочная функция и fo ^ р на L, тогда по теореме Хана-Банаха функционал fo можно продолжить до линейного функционала f на E*, удовлетворяющего неравенству f (ф) ^ р(ф) Уф G E*. В частности, f (ф) ^ 1 на C и поэтому f (ф) > —1 на —C, а поскольку B С C, то lf (ф)1 < 1 на B. Отсюда f G E** и 11/1Ы- ^ 1.

Пусть у G А!, ф G В, тогда ф — у у С и

1(Ф)~ f(y) + i = 1(Ф-у + у) <Р(Ф-у + у)< 1,

так как f(jp) = 1. Таким образом,

f (ф) < f (у) Уу G A, ф g B. (8)

Поскольку пространство E - рефлексивно, то существует xo G E такое, что f (у) = y(xo) для любого у G E*. Отметим, что ||xo||e = Hf||e** ^ 1. Покажем, что xo = yo. Допустим противное. Пусть xo ^ у о- Из определения уо следует, что у(уо) = = 1)

откуда с учетом определения функции f имеем

/ОЙ = v(xo) = 1 = ll^lb* = Щуо)- (9)

Так как справедливо неравенство \у(хо)\ ^ Ц^Цв*||жо||_е = Ц^оЦв ^ 1, то из (9) следует, что ЦхоЦв = 1, т. е. xo G Se- Значит, supyeSii; \у{у)\ = достигается на хо и на у о,

откуда, в силу строгой выпуклости пространства E, будет yo = xo. Учитывая (8), имеем, что

у^) > фЫ) Уу G A, ф G B.

Откуда

уМ > sup ф(yo) = ||yo|| = 1 Уу G A,

Фея

а тогда

ф(уо) > УфоУ = фо(уо)

для любого ф A, что и требовалось доказать.

Замечание 3. Условие строгой выпуклости пространства E в теореме отбросить нельзя. Покажем это на примере. Возьмем в качестве пространства E плоскость R2 с нормой ||x||i = |x1| + |x2|, тогда E* изометрически изоморфно пространству R2 с нормой ||x||TO = max{|xi|, |x21}. В качестве множества A возьмем множество функционалов, соответствующих на плоскости отрезку {(1, -1), (1,1)}.

Ясно, что множество A - выпукло и слабо компактно. В качестве функционала с минимальной нормой, очевидно, можно взять любой функционал из A. Положим фо^) = xi — x2. Нетрудно понять, что уо есть любая точка из отрезка {(1,0), (0, — 1)}. Возьмем уо = (1/2, —1/2), фо(уо) = 1. Пусть ф^) = x1 + x2, ф € A, но тогда ф(уо) = 0 < фо(уо).

Получим с помощью теоремы 2 условия, при которых точная нижняя грань в (6) достигается, а также опишем важные свойства элемента, доставляющего минимум. Если 0rxe* € L(xk,w), то нижняя грань в (6), очевидно, достигается на элементе 0rxe*. Если же 0RxE* € L(xk,w), то ответ на поставленный вопрос дает следующее

Следствие 1. Пусть (E, || • ||E) - строго выпуклое рефлексивное нормированное пространство, выпуклое множество A С R х E* компактно в топологии т*, 0RxE* € A. Пусть также

min \\[а,ср]\\р = ||[ао,^о]||р = (|«оГ + 1Ы|Е*)^

[a,p\eA

min фо (у) = фо(уо) = —ЦфоЦе* yesE

(1 <p < Тогда для любых [а,ф] € A выполняется неравенство

— (ао)Ыр-1 a — ||фоГ-1фЫ < — (||[ао,фо]||p)p.

Доказательство. Рассмотрим пространство R х E с нормой

||[c,x]||RxE = (|cr + ||x|||)i

где 1 < q < +оо, ^ + i = 1. Ясно, что это пространство, как и пространство Е, является строго выпуклым и рефлексивным.

Нетрудно понять, что любой функционал F € (R х E)* представим в виде

F([c,x]) = ас + ф^) V[c,x] € R х E, (10)

где а € R, ф € E, при этом

HF || (rxe)* = sup ^с + ф(x)| = ||[а,ф]||р.

[c,i\esIXB

Отсюда получаем, что отображение i: R х E* ^ (R х E)*, сопоставляющее паре [а, ф] R х E* функционал F, определенный по формуле (10), является изометрическим изоморфизмом.

Также легко показать, что топологическое пространство ((R х Е)*, w) гомеоморфно пространству (R х Е*,т*) (здесь надо учитывать, что поскольку пространство E рефлексивно, то в нем слабая и слабая* топологии совпадают). Значит, вложение множества A в пространство ((R х Е)*,w) будет выпуклым слабо компактным множеством, не содержащим нуля. Тогда по предыдущей теореме infFei(A) ||F ||(Rx£)* достигается. Обозначим элемент, на котором достигается минимум, через Fo. Из того, что i - это изометрия, устанавливаем, что минимум нормы достигается и на множестве A, причем элемент с минимальной нормой в множествах A и i(A) будет один и тот же с точностью до изоморфизма. Обозначим i-1(F0) через [a0,y0] G A. Также из теоремы 2 получаем, что

F([c',x']) < Fo([c',x']) VFei(A),

где

min Fo([c,x]) = Fo([c',x']) = -||Fo||(RxE)*.

[c,i]eSix£

Так как F0 = i([a0, y0]) (см. (10)), то

а отсюда для любого [а, у] G A

-(ao)|ao|p-1 а + ШЦ-'уЫ < -(||[ao,yo]llp)p,

что и требовалось доказать.

Замечание 4. Любое гильбертово пространство является строго выпуклым рефлексивным нормированным пространством. Отметим, что пространства Lp при 1 < p < тоже строго выпуклые и рефлексивные (доказательство см., например, в [4]).

Исследование метода кодифференциального спуска. Изучим свойства последовательности, определяемой по методу кодифференциального спуска для функции f, для чего предположим, что пространство E рефлексивно и строго выпукло.

Пусть на k-м шаге кодифференциального спуска была получена точка xk и при этом необходимое условие минимума (5) не выполнено. В соответствии с методом для построения следующей точки необходимо для любого w G dßf(xi~) найти

min JHP = ||vk(w)||p, (11)

где vk(w) = [ak(w),yk(■;w)]. Как уже отмечалось, если 0RxE* G L(xk,w), то, очевидно, vk(w) = 0rxe*. Если же 0rxe* G L(xk,w), то по следствию из теоремы 2 минимум в (11) достигается. Далее необходимо установить, что

min yk(Ax; w) = yk(Axk(w); w). (12)

По предположению пространство E строго выпукло и рефлексивно, поэтому минимум в (12) достигается, причем Axk(w) единственно. Напомним, что если yk(■; w) = 0e*, то по определению Axk (w) = 0e .

Покажем, что среди всех Axk (w) существуют такие, которые являются направлениями спуска функции f. Так как в точке xk не выполнено необходимое условие минимума (5), то существует w' = [0, ф'к] G df(xj.) такое, что Окхе* ф df(xj.) + {[0, ф'к]} = L(xk,w'). Из этого, в частности, вытекает, что [ak(w'),yk (■; w')] = 0RxE*.

По следствию 1 имеем, что для любых [а, у] G L(xk,w') выполняется неравенство

-к (w' )Ж (w' )\p-1a + \\ук (■; w' )\Е-1у(Ахк (w')) < -(У [ak(w'), ук (■; w')]\\p )p < 0.

Отсюда получаем, что для любых [0, у] G df(xk) + {[0, гф'к]} справедливо неравенство

\\ук(■; w')\рЕ-1у(^хк(w')) < -(У [ak(w'),ук(■; w')]\\p)p < 0, (13)

значит, у к (•; w') = 0 e* и Ахк (w') = 0Е (то, что пара [0,у] G L(xk ,w') существует, следует из предположения (2)).

Поскольку функция f кодифференцируема, то она и квазидифференцируема и ее производная по направлениям имеет вид (3). С учетом (4) и (13) находим

f'(xk, Axk(w')) = min max y(Axk(w')) ^ max y(Axk(w')) ^

ipedf(xk) v^-QJOfc)+№ veö/Ofc)+Wfc}

^ -и , 1/,i,p-i(ll [ak{w'),pk{-,w')]\\PY < 0, \\ук(w')\\E *

т. е. Ахк (w') является направлением спуска функции f. В итоге получаем справедливость следующего утверждения.

Предложение 1. Если точка xk G Е не является inf-стационарной, то существует w' G [0,ф'к] G df(xk) такое, что f'(xk,Axk(w')) < 0; откуда, в частности, следует, что

f (хк+i) < f (хк).

Теперь оценим убывание функции f вдоль каждого направления Ахк (w), что понадобится при исследовании сходимости метода кодифференциального спуска. По предположению функция / кодифференцируема, поэтому для любого w = [Ъ,ф] G d^fi^Xk) выполняется

f (хк + а Ах к (w)) = f (хк)

к (w))) +

[Ь,*

[а + b + ау(Ахк(w))] + о(а, хк) < f (хк)

+ max (а + y(Axk(w))) + min (6 + ф(Ахк(ии))) + о(а, хк) = f{xk) +

[a,tp]Edf(xk) [b,ip]edf(xk)

+ тах [а + Ь + ау(Ахк (ад))] + о(а,хк), (14)

где о(а,хк)/а ^ 0 при а ^ 0. Предположим, что 0кхЕ* € Ь(хк,ад), тогда по следствию 1 для любых [а, у] € Ь(хк,ад) выполняется неравенство

-(акП)\ак (ад)\р-1 а + \\ук(-, ад)\Е-1у(Ахк (ад)) < -(\\[ак(ад),ук (■; ад)]\\р )р. (15)

Если же 0кхе* € Ь(хк,ад), то неравенство (15) очевидно. Для упрощения записи положим

£к (ад) =[1/\\Ук(; w)\\E-1, если \\Ук(; ад)\\Е* = °

I 1, в противном случае,

и

ад) [-(ак(ад))\ак(ад)\р-1 /\\ук(■; ад)\\р-1, если \\ук(-, ад)\\ =0, I -(ак(ад))\ак(ад)\р-1, в противном случае.

Из неравенства (15) получаем, что для любого и> € й^/(хк) выполняется соотношение

<£>(Дхк(ад)) < (ад)(\\[ак(•; ™)]\\р)Р - Пк(^)а € Ь(хк, ад).

Используя его, из (14) находим, что для любого ад € (¡^¡(хк) справедливо неравенство

/(хк + аЛхк(ад)) < /(хк) +

+ тах [а + Ь - а£кМ(\\[ак(ад),^к(•; ^)]\\р)р - а-ЦкЫ(а + Ь)] +

+ о(а,хк) = / (хк) - а^к (ад)(\[ак (ы),фк (•; ^)]\\р)р +

+ тах [(а + Ь)(1 - а^к(^))] + о(а,хк). (16)

При достаточно малых а > 0 будет (1 - ащ(™)) > 0, отсюда

/(хк + аДхк(ад)) < /(хк) - а£к(ад)(\\[ак(ад), ^к(•;^)]\\р)р +

+ (1 - апк(ы))Ь + о(а,хк). (17)

В итоге получаем справедливость следующего утверждения.

Предложение 2. Если точка хк € Е не является т/-стационарной, то для любого ы £ существует ат > 0 такое, что справедлива оценка

/ (хк + аДхк (ад)) < / (хк) - а£к (ад)(\\[ак (ад), ^к (•; ^)]\\р )р +

+ (1 - апк(ы))Ь + о(а,хк) Vа € (0,аш).

Отметим, что в (17) выполнено Ь € [0,^], поэтому направление Дхк (ад) может и не быть направлением спуска функции / (даже если || [ак(т), ¡рк(-', ад)]|| > 0). Но, как было показано выше, найдется хотя бы одно ад' € для которого направление Ахк(и)')

будет направлением спуска.

Замечание 5. Ясно, что в методе кодифференциального спуска направление движения на каждом шаге (хк+1 - хк) может и не быть направлением спуска (в этом направлении функция может вначале возрастать, а затем убывать, т. е. алгоритм позволяет «выходить» из некоторых точек локального минимума).

Исследование сходимости. Покажем, что если последовательность, построенная по методу кодифференциального спуска, сходится, то при некоторых предположениях относительно функции / предельная точка этой последовательности будет ш£-стационарной точкой рассматриваемой функции.

Теорема 3. Пусть Е - строго выпуклое рефлексивное нормированное пространство, функция /: Е ^ М непрерывно кодифференцируема на Е и МхеЕ /(х) > -то. Предположим также, что последовательность {хк}, построенная по методу кодифференциального спуска для функции /, сходится к точке х* € Е, а функция / равномерно кодифференцируема в некоторой окрестности точки х*. Тогда точка х* является стационарной точкой функции / на Е. Если, кроме того, функция / выпукла, то х* - точка глобального минимума функции /.

Доказательство. Будем считать, что точка х* не является стационарной, тогда существует адо = [0, фо] € (¿/(ж*) такое, что 0цх_е* ^ (¿/(ж*) + {[0, фо]} = Ь(х*, адо). Определим, что

1ШП \И\р = \\[а* ,^*]\р.

Поскольку 0кхЕ * € ¿(х*,то), то \\[а*, ^*]\\р > 0 и нетрудно показать, что \\у>*\\ > 0 (см. (13)).

По предположению кодифференциальное отображение непрерывно, поэтому найдется последовательность {и>(к)} такая, что

го{к) = [Ък,Фк] €1/(хк), 0 ™{к) = [0, ^о]- (18)

Из непрерывности ¿/(ж) вытекает, что —► ||[а*, ¥>*]||р. При этом

ясно, что \\^>к (•; и)(кк) )\\Е * ^ \\^*\е * и ак(ад(к)) ^ а*, а тогда, начиная с некоторого номера, имеем \\^к(•;ю(к))\\Е * > 0 и

-| / * \ I * |р— 1

—- £(«;„) = ——г, щМк)) —- п{ъ>0) = „ „Д • (19) \\ф* цЕ.1 Н^НЕ*1

Из (19) следует: существует такое а* > 0, что при достаточно больших к будет (1 -а*Пк("ш(к))) > 0 (см. (16) и (17)) и поэтому для любого а € (0, а*)

/(хк + аДхк(п,(к))) < /(хк) - а^к(^(к))(\\[ак(ш(к)),^к(•; ^(к))]\\р)р +

+ (1 - апк(ы(к)))Ьк + о(а,хк).

Также из (19) получаем, что, начиная с некоторого номера,

/(хк + аАхк(т^)) < /(хк) - ^М(||К>*]|1р)р + (1 " Ък + о(а,хк).

Поскольку функция / равномерно кодифференцируема в некоторой окрестности точки х*, то найдется 0 < ао < а* такое, что при достаточно больших к будет

¡(хк+а0Ахк^)) < /Ы - у£М(||К>*]|1р)р + (1 " ^("о)) Ьк. Так как Ьк ^ 0 (см. (18)), то при к больше некоторого ко € N имеем ¡(хк + аоАхк(гиМ)) < /(хк) - <р*]\\ру.

Тем более ¡{хк+\) < /(хк) — ^■£(м;о)(||[а*, 1р*]\\р)р. Отсюда следует, что при к —> оо будет /(хк) ^ -то, а это противоречит предположению М /(х) > -то.

хЕЕ

4. Метод гиподифференциального спуска в классической задаче вариационного исчисления. Рассмотрим вопрос о применении общей теории кодифференцирования в нормированных пространствах к задачам вариационного исчисления. Основные результаты п. 4 являются обобщением результатов В. Ф. Демьянова, изложенных в [5].

Вначале дадим необходимые определения. Пусть вещественное число Т > 0, ! € N

( т \ 1/р

и 1 <р< +то фиксированы. Пространство (£р[0,Т])^ снормой \\х\\р = ( /0 | х(^) |р Л)

(х = (х(1),... ,х(а)) € (Ьр[0,Т])а), обозначим через Ьр[0,Т] (здесь и далее | • - евклидова норма в пространстве М^). Пространство Ь^[0,Т] является рефлексивным строго выпуклым нормированным пространством. Символом 1 [0,Т] обозначим банахово пространство абсолютно непрерывных отображений отрезка [0, Т] в М^, производная

которых принадлежит Ь^,[0,Т]. Норма в пространстве 1[0,Т] задается равенством \\х\\ = \х(0)\ + \\х\\р. '

Зафиксируем х0,х1 € М^. Положим И = {х € ШР^1[0,Т] \ х(0) = х0, х(Т) = х1}. Рассмотрим функционал

т

1 {х)=!¥ м*™ *

о

(интеграл здесь понимается в смысле Лебега), определенный на пространстве ШР^ 1 [0, Т], где функция ¥: М^ х М^ х [0,Т] — М удовлетворяет условию Каратеодори, т. е. функция (х,г) — ¥(х,г,г) непрерывна при почти всех г € [0,Т], а функция г — ¥(х,г,г) измерима для всех х, г € М^ х М^, и условию роста с показателем р, т. е. для любого N € N существуют СN > 0 и неотрицательная функция аN € Ь1[0, Т] такие, что

\¥(х,г,г)\ < СN\г\р + а(г) Ух, г € М^, \х\ < N и почти всех г € [0,Т].

Как обычно, простейшей задачей вариационного исчисления назовем следующую задачу:

I(х) = ¥(х(г),х(г),г) *г — м . J

о

Замечание 6. По поводу задач вариационного исчисления в различных постановках см. [5-9].

Переформулируем поставленную выше задачу. Положим

^ = ^г € Ьр[0,Т] \ Т г (г) *г = х1 - х0

(здесь интегрирование отображения г производится покомпонентно). Введем функцио-

нал

т I

/(г) = J ¥(х0 ^У г(т)*т,г(г),г) ¿г

о о

на пространстве Ьр[0,Т]. Нетрудно проверить, что задача I(х) — Шхеа эквивалентна задаче /(г) — infв том смысле, что ШI(х) = М/(г), и х* € О является решением исходной задачи тогда и только тогда, когда функция г* = х* (г) € Z есть решение задачи /(г) — М.

Применение точных штрафных функций к простейшей задаче вариационного исчисления. Будем решать задачу минимизации функционала / на множестве Z с помощью теории точных штрафных функций.

Замечание 7. Идея точных штрафов была высказана И. И. Ерёминым в [10]. Подробное изложение теории штрафных функций можно найти в [5] (см. также [11]). Там же рассмотрено применение этой теории к вариационному исчислению, теории оптимального управления и некоторым другим разделам оптимизации.

Множество Z можно представить в виде Z = {г € Ь^[0,Т] \ у (г) = 0}, где

у(г) = $3 У1(г) = X ¿=1 ¿=1

1г <"(" *- А<"

А = (А(1) ,...,А<а)) = х1 - хо, (20)

z(-) = (z(1)(-),...,z(d)(-)), y,(z

(d)(.)

z(i)(t) dt - A(i)

Ясно, что функция у: Ьр[0,Т] ^ М неотрицательна. Покажем, что при некоторых предположениях функция ] + Ху будет точной штрафной функцией.

Пусть г € Z, значит, у(г) > 0, т. е. существует ко € {1, такое, что уи0 (г) > 0.

Введем вектор-функции V € Ьр[0,Т], у которых все компоненты, кроме г-й, равны нулю, а

(i)

v =

T T

(f z(i) (t) dt - A(i)), если / z(i)(t) dt - A(i) = 0,

0 0 0, в противном случае.

Определим а = (а\,..., ay), za = z — агЩ- При оц G [0, «¿] для всех i G {1,..., <i} где Щ = уi(z)/T, будет

y(za

Е

i=i

z(i)(t) dt - A(i) - aiTv((

(i)

y(z) - E aiT.

(21)

i=i

Отметим, что поскольку yi~0(z) > 0, то ако > 0. Нетрудно заметить, что

za z p

Г V

/ \а\р dt J =\а\Тр.

(22)

Из очевидного для неотрицательных чисел неравенства ^¿=1 а^ ^ |а| следует, что (см. (21) и (22)) для всех z / Z

уНг)= < Нтт(

\\y - z

ilo,ie{i,...,d} \\za - z\\

Откуда, воспользовавшись леммой 3.6.1 и теоремой 3.6.2 из [5], получаем справедливость следующего утверждения.

Теорема 4. Пусть z0 G Z - точка локального минимума функции f на множестве Z и предположим, что функция f удовлетворяет условию Липшица в некоторой окрестности точки z0. Тогда найдется X* < такое, что при X > X* точка z0 является точкой локального минимума функционала ФА^) = f (z) + Xy(z) на Ld[0, T].

Тем самым задачу условной минимизации функционала f на множестве Z удалось свести к задаче безусловной минимизации функционала Фа на Lp[0,T].

Замечание 8. Величина y^ (z) (см. раньше) была введена под названием «slope» в работе [12] и в настоящее время является удобным инструментом, используемым при исследовании различных классов задач (см., например, [5, 13]).

Гиподифференцируемость функционала Фа. Покажем, что при некоторых ограничениях функционал Фа^) = f (z) + Xy(z) является гиподифференцируемым. Укажем без доказательства условия, при которых функционал f дифференцируем по Гато в любой точке пространства Lp[0, T].

Теорема 5 (см. [10]). Пусть функция F(x, z,t) удовлетворяет условию Каратеодо-ри и условию роста с показателем p и пусть для любых x,z G Rd и почти всех

а

Р

Р

Ь € [О, Т] существуют частные производные -^щ, у, удовлетворяющие условию Каратеодори, г,] € {1,...,!}. Предположим также, что для любого N € N существуют Сдг > 0 и неотрицательные функции адг € [О, Т] и /Здг € Т] такие, что для любых х,г € Яр, 1х1 ^ N и почти всех £ € [0, Т] выполняются неравенства

№х(х,г,±)1 < Ок 1г1р + ак(I), Г(х,г,1)1 < Ок 1г1р—1 + р„(*),

(23)

где Гх и Гг - векторы, составленные из частных производных

д£_ д£_

; дzi

соответствен-

но. Тогда функционал / дифференцируем по Гато в любой точке г € ¿р[0,Т], и его градиент Гато имеет вид

т , г г

/'[г]Н = I ( ^х(хо + 1 г(т)!т,г(Ь),Ь)^ Н(т+

о о о

г \

+ ^Г(хо + I г(т)!т,г(Ь),Ь),Н(Ь)^ \ УН € Ьр[0,Т],

о

где (•, •) обозначает скалярное произведение в Мр.

Преобразуем градиент Гато функции /. Проинтегрировав первое слагаемое под интегралом по частям, получим

Т / Т т

/ '[г]Н = ! {/ I Гх (хо + 1 г(£)!£,г(т ),т)!т,Н(^ +

о г о

г \

+ ^Г(хо + 1 г(т)!т,г(1),1),Н(1)^ \ Л УН € Ьр[0,Т].

Обозначим

тогда

1 т г

Q(t,z) = J Гх (хо + I г(С)!£,г(т),т)!т + Г (хо + ^ г(т)!т,х(1),1), г о о

т

/'[г]Н =УШг),Н(£)) А УН € Ьрр[0,Т].

о

Отметим, что из (23) следует, что г) € Т], где 1 < q < +оо, А + А = 1.

Теперь покажем, что функция ф гиподифференцируема в каждой точке г € Ьр[0, Т]. Зафиксируем произвольное г € Ьр[0,Т]. Для любого Дг € Ьр[0,Т] имеет место равенство

ф + Дг) = ^

к=1

/ ! - + / ДгкИ ,= ± *Дгк« !

к=1

где

т

Л1)

*м = /г<"М* -А<к>. Дг = (Дг<1'.....^

Напомним, что А = х1 - хо. Если фк(г) = 0 для некоторого к, то

фк(г + Дг) =

т

у Дг<к)(£) ^

о

т т

= тах (/^ /Дz<H(t> *|; (24)

оо если же фк (г) = 0, то нетрудно проверить, что

фк(г + Дг) = фк(г) + тах < J Дг<к)(£) (г),

о

т 1

- 2фк(г) -I Дг<к)(£) (г) I, (25)

о

откуда получаем, что функция ф гиподифференцируема.

Рассмотрим теперь функцию Фл. Положим ек = (0,..., 0,1, 0,..., 0), где единица стоит на к-м месте (к € {1,...,!}). С учетом дифференцируемости по Гато функционала /, представления функции фк (24), (25) и того, что ф = ^р=1 фк, находим

Фл(г + Дг) = / (г + Дг) + Хф(г + Дг) = Фл(г) +

+ тДг(£)) А + тах | J Хфк (г){ек, Дг(£)) о к=1 о

т 1

- 2Хфк(г) - I Хфк(г){ек, Дг(£)) ^ I + о(Дг, г) (26)

(в (26) для удобства полагаем фк(г) = 1 при фк(г) =0, к € {1,..., !}), где о(аД, г)/а ^ 0 при а ^ 0. Значит, функция Фл является гиподифференцируемой, причем гиподиф-ференциал функции ФЛ

¿Ф\(г) = | [0, д(-, г)] | + { [°> *Фк{г)ек], [-2\<рк{г), -Хфк(г)ек] |.

Замечание 9. Поскольку пространство (Ьр[0,Т])* изометрически изоморфно

Ьд[0, Т], где 1 < д < +оо, А + А = 1, то удобно считать, что ¿Фл(-г) С М х 0, Т].

Поскольку функционал ФЛ гиподифференцируем, то необходимое условие минимума в точке г* для него имеет вид

[0,0[0,Т]] е^Фл(^), (27)

где 0[о,т] - нулевой элемент пространства Ь^[0,Т]. Предположим, что z* G Z, т. е. ripk(z*) = 0 для любого к, тогда, учитывая вид гиподифференциала и выраже-

ние для Q(t, z*), получаем, что существуют ак G [0,1], к G {1,..., d}, такие, что

t T т d

Fz (хо + j z*(r )dr,z* (t),t) + J Fx (xo + J z*(£)d£,z * (т),т) dr = Xj^ (1 - 2afc)efc, 0 t 0 k=1

т. е. z* удовлетворяет интегральному уравнению Эйлера. Тем самым, если в точке z* выполнено необходимое условие минимума функционала ФА и z* G Z, то функция z* удовлетворяет интегральному уравнению Эйлера.

Метод гиподифференциального спуска для задач вариационного исчисления. Поскольку функция ФА гиподифференцируема, то для нахождения ее inf-стацио-нарных точек можно применить метод гиподифференциального спуска. Напомним, что пространство Lp[0,T], на котором задан функционал, является рефлексивным строго выпуклым нормированным пространством. Опишем этот метод подробнее для функционала ФА.

Пусть точка zo G Lp[0,T] - произвольная и уже построена точка zk. Если в точке zk выполнено необходимое условие минимума и y(zk) = 0, то процесс останавливается, точка zk inf-стационарна. Если же в точке zk не выполнено условие (27), то найдем

r min Л[a,g]\\RxLdlo,т], (28)

где ||[а,gr]||RXLd[o,T] = (Н9 + (1Ы1д)9)4 ■ Отметим, что учитывая вид гиподифференциала функции ФА, нетрудно показать, что задача (28) эквивалентна следующей задаче минимизации:

h(a) ^ min ,

(ai,...,ad)e[0,1]d

в которой а = (ai, ..., ad) и

1 q т

h(a) =

^(1 - a.i)(-2Xyi(zk))

+

0

J Q(t,zk)+^2(2ai - 1)X^i(zk)ei

ч

dt.

Предположим, что минимум в (28) достигается на элементе [акПоскольку в точке zk не выполнено необходимое условие минимума, то = 0[0,т]. Далее вычислим

i

min f(g*k(t), Az(t)) dt.

-Ldt0,T] J

AzeSbp[0,T] о

Нетрудно понять, что минимум достигается на элементе

AzM)- №)M(t)\q-\*(t)

Теперь найдем

min ФА^к + aAzk) = ФаЫ + ak Azk)

a>0

(здесь будем предполагать, что минимум достигается) и положим гд+1 = гд + ад Дгд.

Из общей теории метода кодифференциального спуска получаем, что выполняется неравенство ФА(гк+1) < ФА(гк) и имеет место следующая

Теорема 6. Пусть функция Г(х,г,£) удовлетворяет условиям теоремы 5, функционал / непрерывно дифференцируем по Гато и предположим, что последовательность гк сходится к точке г * € Ьр[0,Т], т^^рт] ФА(г) > —ж, а функция Фа ко-дифференцируема равномерно в некоторой окрестности г*. Тогда точка г * является стационарной точкой функции Фа на Ь^[0,Т]. Если же г * € Z, то в точке г* выполнено интегральное уравнение Эйлера.

Следствие 2. Если в условиях теоремы 6 г* € Z и функция (х, г) ^ Г(х,г,г) выпукла на хМр для почти всех г € [0, Т], то г * - это точка глобального минимума функционала / на множестве Z.

Замечание 10. В случае р = 2 можно явно вычислить направление спуска Дгд. Действительно, в этом случае

Т (I

Н(а) = J (^(г,гк)+^2(2аг — 1)Ав^ ¿г, а = (а1,...,а,1).

о 4=1

Учитывая, что функция к выпукла, нетрудно проверить, что точка а = («1,..., аа), где

1 1 ТА

1 1 /"

= 2 + уд / г £ {1,...,4,

является точкой глобального минимума функции к(а). При достаточно больших А, а именно при А > |.|/0 С^^, гк) Л\, будет а» € [0,1]. Тогда = -

1о гк) ^ и' значит) в качестве направления спуска А.гк можно взять

т

Агк = -<5(4, гк) + ^ J <5(4, гк) Л.

о

Отметим, что в данном случае ^ Дгд(г) ¿г = 0. Поэтому, если го € Z, например, г0(г) = (хх — х2)/Т для любого г € [0,Т], то и для любого к будет гк € Z. Более того, если гд сходится к некоторой точке г* по норме в Ь^[0,Т], то очевидно, что в этом случае г* € Z.

Замечание 11. Метод гиподифференциального спуска для простейших задач вариационного исчисления был предложен В. Ф. Демьяновым в [5] для случая, когда функционал ] задан на пространстве кусочно-непрерывных функций. По поводу вопросов, связанных с методом гиподифференциального спуска для задач вариационного исчисления, см. также [14, 15].

Замечание 12. Отметим, что метод гиподифференциального спуска представляет собой прямой метод вариационного исчисления, так как он не связан с необходимостью решения системы дифференциальных уравнений. При этом, в отличие от известных прямых методов (Ритца, Эйлера, Галёркина, Канторовича) (см. [16, 17]), основанных на приближенном сведении вариационной задачи к задаче минимизации в конечномерном пространстве, метод гиподифференциального спуска больше походит на метод наискорейшего спуска с поправкой на ограничения в рассматриваемой задаче.

5. Минимаксная задача вариационного исчисления. Пусть Т > 0, п € N

фиксировано. Рассмотрим функционал

I (х) = тах I (х),

геМ

заданный на пространстве ^рд [0, Т]. Здесь М = {1,..., п}, 1г(х) = /от ¥г(х(€), Х(£), ^ Л, функции Гг: М^ х М^ х [0, Т] — М, г € М, удовлетворяют условию Каратеодори и условию роста с показателем р.

Зафиксируем х0 € М^ и Х1 € М^. Положим, как и раньше, П = {х € [0,Т] \ х(0) = хо,х(Т) = х1}. Задача

I (х) —> М

хеп

называется минимаксной задачей вариационного исчисления.

Введем множество Я = |г € Ь^,[0,Т] \ ^ г(Ь) сИ = х1 — хо| и функционал ](г) = тахгем 1г(г), где

т г

1г(г) = ! Ъ(хо + ! г(т)Ст,г(г),г) Л.

о о

Как и для простейшей вариационной задачи, показывается, что задача I(х) — Шхеп эквивалентна задаче /(г) — М .

Далее будем рассматривать задачу минимизации функционала ] на множестве Я С Ьр[0,Т]. Как и ранее, множество Я можно представить в виде Я = {г € Ь^[0,Т] \ у (г) = 0}, где функция у определена формулой (20). Аналогично теореме 4 нетрудно установить справедливость следующего утверждения.

Теорема 7. Пусть г0 € Я - точка локального минимума функционала / на множестве Я и предположим, что для любого г € М функционал ¡г удовлетворяет условию Липшица в некоторой окрестности точки г0. Тогда найдется X* < такое, что при X > X* точка г0 является точкой локального минимума функционала Фх(г)= /(г) + Ху(г) на Ьар[0,Т].

Получаем, что при сделанных предположениях исходная задача минимизации функционала I на множестве П эквивалентна задаче минимизации функционала Фа = ]+Ху на всем пространстве Ь^[0, Т] при X > X*.

Предположим, что все функции ¥г удовлетворяют условиям теоремы 5, тогда функционалы /г дифференцируемы по Гато в каждой точке г0 € Ь^[0, Т], а отсюда получаем, что они являются кодифференцируемыми. Обозначим градиент Гато функции ]г в точке г через

т т г

Я&,г)= J Ъх(хо + ! г(£)С£,г(г),г)Ст + (хо + ^ г(т)Ст,г(г),г).

г о о

Функционал ФА, очевидно, кодифференцируем (даже гиподифференцируем), как сумма максимума кодифференцируемых функций и кодифференцируемой функций. При этом, воспользовавшись формулой для вычисления кодифференциала функции максимума и суммы функций (см. [1]), получаем, что гиподифференциал функции ФА имеет вид

d<s>x(z) = {[fi(z) - f(z), Qi(; z)]\ геМ} +

d

+ Y,{[°. Mi{z)ei], [-2\<fii(z), —\ф^)а]}, (29)

i=i

где ф%(г) = /0 г(г\ь) Л — А(г) и для удобства ф%(г) = 1 при фг(г) = 0.

Поскольку функционал Фа гиподифференцируем, то необходимое условие минимума ФА имеет вид [0, О^т]] € Если <р(г*) = 0, т. е. г* € Z, и в точке г* выполнено необходимое условие минимума, то, учитывая вид гиподифференциала для функции Фа (см. (29)), получаем, что существуют числа в ^ 0, { € М, ^"=1 = 1, ак € [0,1] для всех к € {1,..., С}, такие, что для п.в. £ € [0, Т]

п т t

it Fix(xo + j z*(£)d£,z * (t ),t) dT + Fiz (xo + j z*(r )dr,z* (t),t)^j

ix

i=1

t 0

- 2ak)Xek (30)

k=i

и ei(fi(z) — f(z)) = 0. Последнее условие означает, что для тех i, для которых

fi(z) < f (z), будет ei = 0, т. е. в необходимом условии минимума (30) те функционалы, которые не активны в рассматриваемой точке (т. е. fi(z) < f (z)), не влияют на условие.

Можно использовать метод гиподифференциального спуска для нахождения inf-стационарных точек функционала Фа.

6. Заключение. В настоящей работе установлены конструктивные необходимые условия экстремума кодифференцируемой функции и разработан метод нахождения стационарных точек исследуемой функции. С помощью теории кодифференцируемости удалось очень простым образом получить необходимые условия экстремума в классической и минимаксной задачах вариационного исчисления и построить численный метод нахождения inf-стационарных точек изучаемого функционала. Отметим также, что если в качестве пространства, на котором задан функционал, рассматривать не W^ [0, T], а Cd[0,T] - пространство дважды непрерывно дифференцируемых вектор-функций, то можно при гораздо более слабых предположениях установить гиподифференцируе-мость исследуемого функционала и с помощью необходимого условия минимума ги-подифференцируемой функции вывести классические необходимые условия, такие как уравнение Эйлера в интегральной и дифференциальной формах и их обобщения на случай более сложных вариационных задач.

Авторы признательны проф. А. Я. Кругеру и рецензентам за полезные замечания, которые позволили улучшить содержание данной статьи.

Литература

1. Долгополик М. В. Кодифференциальное исчисление в нормированных пространствах // Проблемы математического анализа. 2011. Вып. № 54. С. 3—22.

2. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990. 431 с.

3. Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М.: Физ-матлит, 2007. 440 с.

4. Дистель Дж. Геометрия банаховых пространств: избр. главы / пер. с англ. А. Н. Пличко, Ю. М. Рыжова. Киев: Вища школа, 1980. 216 с. (Diestel Joseph. Geometry of Banach spaces).

5. Демьянов В. Ф. Условия экстремума и вариационное исчисление. М.: Высшая школа, 2005. 335 с.

6. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.

7. Коша А. Вариационное исчисление / пер. с венгр. Д. Валовича; под ред. Ш. А. Алимова. М.: Высшая школа, 1983. 282 с. (Kocha A. Calculus of variations).

8. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления / пер. с англ. М. Г. Элуашвили; под ред. В. М. Алексеева. М.: Мир, 1974. 488 с. (Young L. C. Lectures on the calculus of variations and optimal control theory).

9. Dacorogna B. Direct Methods in the Calculus of Variations. Beglin: Springer-Verlag, 1989. 622 p.

10. Ерёмин И. И. Метод «штрафов» в выпуклом программировании // Докл. АН СССР. 1967. Т. 143, № 4. С. 748-751.

11. Demyanov V. F., Di Pillo G., Facchinei F. Exact penalization via Dini and Hadamars conditional derivatives // Optimization Methods and Software. 1998. Vol. 9. P. 19-36.

12. De Giorgi E., Marino A., Tosques M. Problems of evolution in metric spaces and maximal decreasing curve // Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Fis. Mat. Natur. 1980. Vol. 68, N 3. P. 180-187.

13. Ioffe A. D. Metric regularity and subdifferential calculus // Russian Math. Surveys. 2000. Vol. 55. P. 501-558.

14. Демьянов В. Ф., Тамасян Г. Ш. О прямых методах решения вариационных задач // Труды Ин-та математики и механики Урал. отд. РАН. 2010. Т. 16, № 5. C. 36-47.

15. Demyanov V. F., Tamasyan G. Sh. Exact penalty functions in isoperimetric problems // Optimization. 2010. Vol. 60, N 8. P. 1-25.

16. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физматгиз, 1962. 709 с.

17. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1974. 512 с.

Статья поступила в редакцию 21 марта 2013 г.