KO‘PHADNING HAQIQIY ILDIZLARI. KO‘PHADLARNING KELTIRILMASLIK ALOMATLARI Текст научной статьи по специальности «Гуманитарные науки»

Razoqova M.S. 3-kurs talabasi O'zbekiston-Finlandiya pedagogika instituti

Otamurodov M.B. 3-kurs talabasi O'zbekiston-Finlandiya pedagogika instituti

Sodiqov SH. A.

Jahon iqtisodiyoti va diplomatiya universiteti akademik

litseyi Matematika fani o 'qituvchisi

KO'PHADNING HAQIQIY ILDIZLARI. KO'PHADLARNING KELTIRILMASLIK ALOMATLARI

Annotatsiya: Ko 'phadlar nazariyasida "tub son '' vazifasini o 'taydigan ko 'phadlar keltirilmaydigan ko 'phadlar deyiladi. Quyida ko 'phadlarning keltirilmaslik alomatlari bilan tanishamiz.

Kalit so'zlar: haqiqiy ildizlari, ko'phad, koeffitsent, keltirilmaydigan ko 'phad, keltirilmaslik alomatlari, ildiz, segment.

Razokova M.S.

3rd year student of Uzbekistan-Finland Pedagogical Institute

Otamurodov M. B.

3rd year student of Uzbekistan-Finland Pedagogical Institute

Sodikov SH.A. Teacher

of mathematics at the Academic Lyceum of the World Economy and Diplomacy University

THE TRUE ROOTS OF THE POLY. INCREDIBLE SYMPTOMS OF MULTIPLES

Abstract: In the theory of polynomials, polynomials that act as "prime numbers" are called irreducible polynomials. Below we will get acquainted with the symptoms of polynomials.

Key words: real roots, polynomial, coefficient, irreducible polynomial, signs of irreducibility, root, segment.

Ko'phadning haqiqiy ildizlari

Asosan quyidagi ikkita teoremadan foydalanamiz:

Teorema 1. Faraz qilaylik, f(x) funksiya [a'b] segmentda berilgan bo'lib, quyidagi shartlarni bajarsin:

1) f (x)e C [a b\>

2) Segmentning chetki nuqtalari a va b larda har xil ishorali qiymatlarga ega,

ya'ni:

f ( a )< 0 < f (b) yoki f ( a )> 0 > f (b) bo'lsin.

U holda shunday c e(a'b) nuqta topiladiki, f (c) = 0 bo'ladi.

Teorema 2. Faraz qilaylik, f (X) funksiya [a'b segmentda berilgan bo'lib, quyidagi shartlarni bajarsin:

1) f (X)e C [a b\>

2) Vx e( ab) da f'(x) mavjud va chekli;

3) f (a ) = f (b) bo'lsin;

U holda shunday c e( a'b) nuqta topiladiki, f'(c ) = 0 bo'ladi. Biz qaraydigan masalalar faqat ko'phadlarga doir bo'lganligi uchun keyingi qatorlarda Teorema 1 ni 1- sharti, Teorema 2 ni esa 1- va 2 - shartlarini tekshirmaymiz.

Lemma 1. Ixtiyoriy toq darajali ko'phad kamida bitta haqiqiy ildizga ega.

Isbot. Bizga toq darajali p(x) ko'phad berilgan bo'lsin. Umumiylikka ziyon yetkazmagan holda uning bosh koeffitsientini musbat deb faraz qilishimiz mumkin. U holda quyidagi munosabatlarga egamiz:

lim p ( x) = -w va lim p ( x) = +rc>.

n—>-co ^ ' n—>+co ^ '

Bundan uzluksiz funksiyalarda limit xossalariga ko'ra shunday a <0 va b >0 sonlari topiladiki, ular uchun mos ravishda p (a)<0 va p (b)>0 munosabatlar o'rinli bo'ladi. Demak f (X) = p(X) funksiya [a'b segmentda Teorema 1 ning barcha shartlari qanoatlantirar ekan, bundan biror c e( a'b) soni uchun p (c)" f (c)" 0 tenglik o'rinli bo'lishi kelib chiqadi.

Lemma 2. Agar p(X) ko'phad n ta haqiqiy ildizga ega bo'lsa, u holda p (x) ko'phad kamida n-1 ta haqiqiy ildizga ega bo'ladi.

Isbot. Ko'phadning haqiqiy ildizlari Xl'X2'X3''"'Xn bo'lsin. Umumiylikka

ziyon yetkazmagan holda Xl ~X2 ~X3 ~ " ~Xn deb faraz qilishimiz mumkin. Quyidagi ikkita holat bo'lishi mumkin:

1) Biror ' (lar) uchun X <X'+i' U holda pC p) = 0 ekanligini inobatga olsak, Teorema 2 ko'ra shunday y'e(X''X'+1) topiladiki, bu uchun p (y') = 0 munosabat o'rinli bo'ladi;

2) Biror i (lar) uchun X =X¿+1' U holda Bezu teoremasiga ko'ra

ushbu p(X^ = (X X'^ q(X^ tenglikni qanoatlantiruvchi q(X) ko'phad mavjud bo'ladi. Bundan:

p' ( x ) = ( x - x )( 2 • q (x) + (x-xi) q' (x))

tenglikka ega bo'lamiz. Demak yi = Xi (= Xi+1) soni uchun p (y) = 0 tenglik o'rinli ekan.

Har ikkala holatda ham p (yi)_ 0 tenglikni qanoatlantiruvchi yi Xi'x+1 ] soni topiladi, bu yerda 1 = 1 n -1 (jami n -1 ta).

Misol 1. Ul'a2' "'an noldan farqli turli haqiqiy sonlar uchun quyidagi -1--1--2--H ... H--n— = n

a + x a h x a + x

tenglama n ta haqiqiy ildizga ega ekanligini isbotlang. Yechim. Tenglamani boshqacha ko'rinishda yozib olamiz:

jEi--1 + --1 h ... H-^-n--1 = o.

a, + x a + x a + x

12 n

yoki

x

' 1 1 1 A

-+-+... +-

= 0.

^ a^ h x a h x a^ h x ^

Endi

p (x)=( x+a )•( x+a )•... •( x+a)

deb belgilash kiritsak, tenglamani quyidagi:

x • p(x) = 0 p (x)

ko'rinishga kelishini ko'rish qiyin emas. Bu yerda p (x) aniqlanishiga ko'ra

n ta turli haqiqiy ildizga ega ((-a'") lar), demak Lemma 2 ga ko'ra, p (x) ko'phad n -1 ta turli

haqiqiy ildizga ega bo'ladi, bundan p (x)ni ildizlari lar turli bo'lganligi uchun ular bilan ustma-ust tushmaydi va turli bo'ladi (Lemma 2 ni

isbotini 1- holi). Demak suratidagi p (x) ko'phad hisobiga tenglamada n-1 ta turli haqiqiy ildiz bor (yechimlar ichida 0 yo'qligini ko'rsatish oson), va n - ildiz esa ko'paytmadagi x hisobiga 0 bo'ladi.

Masala 2. a1'a-'".'an noldan farqli turli haqiqiy sonlar uchun quyidagi:

p (x) = x" + a2xn-2 +... + an_xx + an

tenglama n ta haqiqiy ildizga ega bo'lsa, a2 ~ 0 ekanligini isbotlang.

Yechim. Teskarisini faraz qilamiz, ya'ni a2 > 0 bo'lsin. Endi Lemma 2 ni n - 2 marta quyidagicha qo'llaymiz:

p (x) dan n ta haqiqiy ildiz ^p (x) da (kamida) n -1 ta haqiqiy ildiz

v" (x) => => v(n-2)(x)

p ( ' da (kamida) n - 2 ta haqiqiy ildiz ." p ( ' da esa (kamida) 2 ta

haqiqiy ildiz. Boshqa tomonidan farazimizga ko'ra (a >0)'

(n-2)/ \ n!

P (X)=-^

f \

x2 + 02 v n (

n! a 2 .

>---, 2 s > 0.

! (n -1)) 2 n (n -1)

P(n-2) (x)

Tengsizlik bizda bor (ya'ni p ( > ko'phad haqiqiy ildizga ega emas). Bu esa ziddiyat, demak a ~ 0 bo'lishi kerak ekan.

Ko'phadning keltirilmaslik alomati

Bizga koeffitsentlari butun sonlardan iborat ko'phad berilgan bo'lsin.

Bunday ko'phadlarning hammasi ratsional sonlar maydonidagi ko'phadlar ekanligi ma'lum. Shunday qilib,

f (x ) = a0 + arx + a2x2 +... + anxn

ko'phadning koeffitsentlari butun sonlar deb faraz qilamiz. Barcha

a°,ava3'...'an koeffitsentlarining eng kata umumiy bo'luvchisini d bilan belgilaymiz. Agar d ni qavsdan tashqariga chiqarsak,

f ( X ) = d$( x)

hosil bo'ladi. Bunda x) ko'phadning koeffitsentlari 1 dan iborat eng katta

umumiy bo'luvchiga ega. Agar P maydonda darajasi nolga teng bo'lmagan f (x)

ko'phadni shu P maydonda va darajalari f (x) ning darajasidan kichik ikkita g(x)

va h (x) ko'phad ko'paytmasi sifatida ifodalash (ko'paytmaga keltirish) mumkin

bo'lsa, f(x) ni P maydonda keltiriladigan ko'phad deyiladi. Bunday ko'paytmasi sifatida ifodalash (ko'paytmaga keltirish) mumkin bo'lmasa, u P maydonda keltirilmaydigan ko'phad deyiladi. Har qanday sonlar maydonida birinchi darajali istalgan ko'phad shu maydonda keltirilmaydigan ko'phaddir.

Teorema. (Eyzenshteynning keltirilmaslik alomati). Agar butun koeffitsentli

f (x) = a0 + ax + a2x2 +... + anx"

ko'phadning a bosh koeffitsentidan boshqa hamma koeffitsenti p tub

songa bo'linsa va ozod had p ga bo'lingan holda p ga bo'linmasa, f (x) — ratsional sonlar maydonida keltirilmaydigan ko 'phad bo'ladi.

Misol 3. Berilgan ko'phadning Q maydonda keltiriladimi?

f ( x) = x4 + 3x3 — 15x + 9.

Yechim. f (x) ko'phadning bosh koeffitsentidan boshqa hamma koeffitsenti 3 bo'linadi, ozod hadi esa 32 ga bo'linadi. Demak, Eyzenshteyn alomatiga ko'ra berilgan f (x) ko'phad keltiriladigan ko'phad ekan.

Teorema. (Perronning keltirilmaslik alomati). Agar butun koeffitsentli

f (x) = a0 + ax + a2x2 +... + anxn

an ^ 0 ko'phad quyidagi ikkita shart:

a) k-l >1 +k-l+ -+Kb

b) K- = ^ + K- + - + Ы, / 0

dan birini qanoatlantirsa / (x) butun sonlar maydonida keltirilmaydigan ko'phad bo'ladi.

Misol 4. Berilgan ko'phadning butun sonlar maydonda keltiriladimi?

/ (x) = 2x5 - 4x4 + 9x3 + 5x2 + 7x - 3.

Yechim. Perronning keltirilmaslik alomatining birinchi shartiga ko'ra

tekshiramiz. Berilgan / (x) ko'phad quyidagi \a"— > 1+la"-2l+ ^+bajarilmasligi sababli butun sonlar maydonida keltiriladigan ko'phad ekanligi kelib chiqadi.

Teorema. (Könning keltirilmaslik alomati). Agar p tub soni 10 lik asosga

ko'ra;

p = an 10" + an_ Д0"-1 +... + a 101+ a0

kabi ifodalansa, u holda:

/ (x) = a + ax+ax2+...+a„xn

bunda 0 ~a ~9 butun koeffitsentli ko'phad butun sonlar maydonida keltirilmaydigan ko'phad bo'ladi. Teoremani boshqa asoslarga quyidagicha umumlashtirish mumkin:

Faraz qilaylik b ^ 2 natural son va

p( x) = akxk + ak_xxk-1 +... + axxl + a0,

0 ^ a ^ b-1 qandaydir ko'phad bo'lsin. Agar p(b) tub son bo'lsa, u holda p (x) ko'phad z tx ] da keltirilmaydigan ko'phad bo'ladi.

Foydalanilgan adabiyotlar:

1. Cox, David A. (2011), "Why Eisenstein proved the Eisenstein criterion and why Schönemann discovered it first", American Mathematical Monthly, 118 (1): CiteSeerX 10.1.1.398.3440.

2. Perron, Oskar (1907). "Neue kriterien für die irreduzibilität algebraischer gleichungen" . Matematik jurnali . Valter de Gruyter. 132 : 288-307.

3. Po'latov B., Xurramov Y., Yusupova M. Matematika fanini o'rgatishda tarixiy materiallardan foydalanish //Журнал математики и информатики. - 2022. - Т. 2. - №.

4. Y.Xurramov Mathematical competence degree of technical engineers and future engineering students. Global C.