Классы Ватермана и кусочно-монотонные приближения Текст научной статьи по специальности «Математика»

46

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №6

Краткие сообщения

УДК 517.518

КЛАССЫ ВАТЕРМАНА И КУСОЧНО-МОНОТОННЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ

А. Н. Бахвалов1

Найдено необходимое и достаточное условие того, что класс функций с заданной оценкой скорости убывания кусочно-монотонных приближений вложен в класс Ватермана (функций ограниченной Л-вариации).

Ключевые слова: кусочно-монотонные приближения, обобщенная вариация.

A neсessary and sufficient condition for a class of functions with a given estimate on piecewise monotone approximations to be embedded into the Waterman class (of functions of bounded Л-variation) is obtained.

Key words: piecewise monotone approximation, genezalized variation.

Введем вначале необходимые обозначения. Для промежутка I на прямой через Qn(I) обозначим множество всех систем из п попарно непересекающихся интервалов {Ik}, таких, что /д. С /, и положим Q(I) = U^=1Qn(I). Неубывающая последовательность положительных чисел Л = {An} задает класс функций ограниченной Л-вариации (класс Ватермана), если ^ j- = оо. Далее мы будем рассматривать только

n=1

такие Л.

Л-вариацией функции f на промежутке I называется величина

ВД;/)= sup ^ШМ.

{In}en(i) n A'n

Если она конечна, то говорят, что f принадлежит классу Ватермана ЛБУ(I) (см. [1]). В случае ограниченной последовательности Л мы получаем обычный класс функций ограниченной вариации БУ(I).

Пусть Ф — непрерывная, неубывающая, выпуклая книзу на [0, то] функция, равная нулю в нуле. Ф-вариацией функции f называется величина

y^(f; I)= sup 5>(lf (In)\).

{in}en(i) n

Приведем также определение классов Чантурия (см. [2]). Положим Vf (n,I) = supQn(i)Y^k=i \ f (Ik)\. Это неубывающая, выпуклая вверх последовательность положительных (если f ф const) чисел. Если {v(n)} — неубывающая, выпуклая вверх последовательность положительных чисел, то через У[v,I] обозначается класс функций, для которых supra < оо.

Непрерывная функция на отрезке называется кусочно-монотонной порядка n, если отрезок можно разбить на n промежутков так, что на каждом из них функция монотонна, а на объединении любых двух соседних — не монотонна. Кусочно-монотонными функциями порядка 0 по определению считаются постоянные функции.

Приведем, следуя [3], определение разрывной кусочно-монотонной функции порядка n. Скажем, что f Е D([a,b]), если f определена на [a,b] и имеет в каждой точке конечные пределы слева и справа. Тогда она имеет лишь не более чем счетное число точек разрыва. Возьмем ряд из положительных чисел = 1. Пусть {an} — точки левостороннего разрыва функции, а {bn} — точки правостороннего разрыва функции. Определим отображение

t(x) = x + Y^ Pk +Y1 Pj

a^^x bj <x

1 Бахвалов Александр Николаевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории функций и функционального анализа мех-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №6

47

отрезка [а, Ь] в отрезок [а; Ь*], где Ь ^ Ь* ^ Ь + 2. Положим д(Ь(х)) = /(х), доопределим д по непрерывности на замыкании образа отрезка [а, Ь] и затем по линейности на оставшихся интервалах. Функция / £ 0([а, Ь]) называется кусочно-монотонной порядка п на [а, Ь], если непрерывная на [а; Ь*] функция д является там кусочно-монотонной порядка п.

Для функции / через Мп[/,1] обозначим наилучшее приближение ее кусочно-монотонной функцией порядка не выше п в равномерной метрике на I.

Е. А. Севастьянов [3] доказал следующее утверждение.

Теорема А. Пусть {ак} — невозрастающая последовательность положительных чисел. Для того чтобы каждая функция / на отрезке I, для которой Мк[/,1] ^ ак, имела конечную Ф-вариацию, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие ^Ф(2ак) < те.

В настоящей работе установлен его аналог для классов Ватермана.

Теорема 1. Пусть {ак} — невозрастающая последовательность положительных чисел. Для того чтобы каждая функция / на отрезке I, для которой Мк [/,1] ^ ак, имела конечную Л-вариацию, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие < 00 •

Доказательство достаточности в теореме 1 можно провести по той же схеме, что и в теореме А. Мы же докажем ее другим способом, а именно выведем из результатов о связи указанных выше классов функций. Сформулируем необходимые нам результаты.

Теорема В [4, теорема 2]. Пусть \п — Класс Чантурия V(и,1) вложен в класс Ватермана КВУ{1) тогда и только тогда, когда --л +1 )1/(п) ^ 00 •

Теорема С [3, теорема 2]. Пусть функция / имеет в каждой точке отрезка I конечные пределы слева и справа. Тогда (п, I) = 2 ^П=о Мк [/, I].

Установим вспомогательное утверждение.

Лемма. Пусть функция / на промежутке I такова, что Мп[/, I] — 0 при п — ж. Тогда в каждой точке этого промежутка функция имеет конечные пределы слева и справа.

Доказательство. Предположим для определенности, что функция / не имеет в некоторой точке с предела справа. Тогда найдутся последовательность точек {хк}, Хк ] с и числа а < в, такие, что /(Х2^) ^ а < в ^ /(х2]+\) при любом натуральном ]. Рассмотрим теперь произвольную кусочно-монотонную функцию д. Она имеет в точке с предел слева, который мы обозначим 7. Если ^ > (а + в)/2, то при достаточно больших ] имеем д(х2^) — /(Х2^) > (в — а)/3. Если же 7 ^ (а + в)/2, то при достаточно больших ] имеем /(х2^+1) — д(х2]) > (в — а)/3. Итак, для любой кусочно-монотонной д выполняется оценка \\/ — д\\ > (в — а)/3. Тогда для любого п получаем Мп[/, I] ^ (в — а)/3. Лемма доказана.

Доказательство теоремы 1. Достаточность. Пусть последовательности {ак} и Л = {Хк} удовлетворяют условию ^¡Г = Со < оо. Рассмотрим вначале случай Хп —+оо. Так как на Л было наложено

условие у- = оо, то предел монотонной последовательности {ак} обязан быть равен нулю. Пусть к

п=1

тому же функция / на промежутке I такова, что ее кусочно-монотонные приближения удовлетворяют оценкам Мк[/,! ^ ак. Тогда к функции / применима лемма, и по теореме С получаем, что для любого натурального N ^ 2 выполняется оценка

N

^ у^п + 1,1) -У/(п,Г) ^

п=1

Х

Применяя преобразование Абеля и отбрасывая в левой части положительное слагаемое Vf ^ + 1,I)/ХN, приходим к неравенству

N

£ Мп, I) (т^Ь + ^ = Од).

Хп 1 Хп Х1

п=2

Тем более выполнена оценка

N-1 1 1

—' V Хп Хп+1 '

п=1

Полагая V(п) = Уf(пД), мы видим, что получающийся класс Чантурия удовлетворяет условиям теоремы В, следовательно, вложен в класс ЛBV(I).

48 вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2009. №6

Пусть теперь последовательность Л ограничена. Тогда сходимость ряда YlkLi §¡T эквивалентна сходимости ряда £a,. По теореме C получаем, что любая функция, для которой M,[f,I] ^ a, при всех к, имеет ограниченную вариацию, т.е. попадает в класс ЛBV(I) = BV(I).

Необходим остъ. Пусть последовательности {йк} и {Л^} таковы, что ^fcli §¡; = Обозначим отрезок I через [bo,b] и возьмем на нем строго возрастающую последовательность точек {b,}, стремящуюся к b.

Рассмотрим вначале случай a, — G. Тогда ряд ^?_l(-1)j-1aj сходится по признаку Лейбница, обозначим его сумму через a. Пусть f (bo) = G, f (b,) = Yj¡_l(-1)j-1aj, на [b,-l,b,] зададим функцию линейным образом, и пусть f (b) = a. Мы получили непрерывную на отрезке функцию. С одной стороны, рассматривая системы интервалов {(bj-l,bj)}j_ 1, мы видим, что Л-вариация построенной функции бесконечна. С другой стороны, рассматривая функции

gk (x) = ¡ f (x) x ^ h ;

[f(b,), x > b,,

которые имеют к промежутков монотонности, мы видим, что sup \ f—g,\ = \ f (b,+l) — g,(b,+l)\ = a,+l ^ a,, т.е. функция f имеет подходящий порядок убывания кусочно-монотонных приближений.

Пусть теперь a, — ao > G. Положим тогда f (b, ) = (—1),г-1 ao, на [Ь,-1,Ь, ] зададим функцию линейным образом, и пусть f (b) = G. Тогда M,[f,I] ^ ao ^ a,, что сразу видно, если взять приближающую функцию g,(x) = G, но в то же время f не принадлежит ни одному классу Ватермана, поскольку не имеет предела слева в точке b. Теорема доказана.

Автор признателен профессору М.И. Дьяченко за обсуждение работы.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 08-01-00302) и программы "Ведущие научные школы" (проект НШ-2787.2008.1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Waterman D. On convergence of Fourier series of functions of generalized bounded variation // Stud. Math. 1972. 44, N 1. 107-117.

2. Чантурия З.А. Модуль изменения и его применение в теории рядов Фурье // Докл. АН СССР. 1974. 214, № 1. 63-66.

3. Севастьянов Е.А. Кусочно-монотонная аппроксимация и Ф-вариация // Anal. Math. 1975. 1. 141-164.

4. Avdispahic M. On the classes ЛBV and V[v] // Proc. Amer. Math. Soc. 1985. 95, N 2. 230-234.

Поступила в редакцию 28.11.2008

УДК 519.6

ПРИМЕНЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПРЕДОБУСЛОВЛИВАТЕЛЯ CPR К ЗАДАЧЕ ФИЛЬТРАЦИИ ВЯЗКОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

И. Г. Горелов1

Рассмотрен метод предобусловливания СРИ применительно к решению систем с матрицей, возникающих при аппроксимации систем дифференциальных уравнений в частных производных для задач фильтрации многокомпонентной смеси в пористой среде. Предложены новые версии алгоритма. Проведены численные эксперименты в составе российского промышленного комплекса гидродинамического моделирования на параллельных ЭВМ

1 Горелов Илья Геннадьевич — асп. каф. вычислительной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].