CC BY
29
124 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40
MSC 42А38
КЛАССЫ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ для полного ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ-БЕССЕЛЯ
С.А. Рощупкин
Елецкий государственный университет им. И.А.Бунина, ул. Совхозная, 13, Елец, 399761, Россия, e-mail: [email protected]
Ключевые слова: преобразование Фурье-Бесселя, основные функции, интегральное ядро, быстро-убывающие функции.
Основные функции для классического преобразования Фурье-Бесселя (см. [1]), оказались плохо приспособленными при работе с полным преобразованием Фурье-Бесселя (см. [2]). В связи с чем появилась необходимость введения новых классов основных функций, которые частично рассмотрены в этой работе.
Пусть R+ = Rn х Rn-n, x = (x',x"), x' £ Rn, x'' £ RN-n, jv(x) — одно из решений
сингулярного уравнения Бесселя F А рАи = — и, отвечающее индексу 7 = 2v + 1 и удовлетворяющее условиям jv (0) = 1, j'v (0) = 0.
Ядра прямого и обратного полного преобразований Фурье-Бесселя имеют вид:
n и б
k±(x' ,i') = П (jvi (xi^i) Т г У+^щ+УаЩ , Y = (7ь • • •,Yn), Yi > 0, Yi = 2vi + 1
i=1 ' '
Прямое и обратное полные смешанные преобразования Фурье-Бесселя (далее, сокращая, будем писать Fв-преоб^зовангля) функции и задается выражениями:
FB[и](£)= / A+(x',£') e-i(x''Fd u(x) (x')Y dx,
Rn
F-1[u](x) = Cltn,N f h-(x',£') e i(x"A') u(x)(x' )Y dx = Cltn,N Fb [u]( — x).
Rn
Здесь C\n,N = 22(v+2in^(V+p, (x')Y = n(x2yfi/2.
Введем следующие обозначения: a = (a', а''), a' и a" целочисленные мультииндексы, размерности n, N — n соответственно,
D% = « Ц An АФх ,=6%- •••dan , ' в^ i BYn dx^xn+i1 • • •dxN, dxi dxi , г 1 2, • • •,N,
d%‘ = BYi f Бр, ( dx,Бф--)/2, ai = 2ki, ai = 2ki + 1 ki = 0,1, 2,. .••, г = 1,2,•••,n,
гдб Бъ = _- P xYi _x_ xY Ах, i Ах, сингулярный дифференциальный оператор Бесселя, отвечаю-
щий индексу Yi- В классе четных, достаточно гладких интегрируемых функций оператор DB имеет символ (i£)a : DBp=F—-[(i£)aFB ф] (такие операторы рассмотрены в [3]). Введем систему норм
I
\{ф)\к = max ( sup
M+I4l<fc, x&Rn
xa dby A(x)
sup
М+|в|<к, x&Rn
dby (x°A(x))
)■
(1)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 125
где выполнено условие
ai + Д = 2ki, i = 1,...,n, ki = 0,1,2,... (2).
Через Sev (Rn) будем обозначать множество быстро убывающих функций четных по каждой из переменных x\,...,xn с конечными нормами (1) для каждого целого положительного k. Эти нормы определяют топологию в Sev (Rn). В частности, последовательность функций un из Sev (Rn) сходится к функции и в этом пространстве, если сходится к ней по каждой из этих норм, когда индекс k пробегает все неотрицательные числа.
Теорема 1. При выполнении условия (2) F®-преобразование осуществляет непрерывный (в обе стороны) изоморфизм пространства Sev, т.е. для любого неотрицатель-иого целого числа k, найдется число k, что выполняется неравенство \{Fв[ф\ )\к < \{ф)\к1.
Среди основных функций оказывается удобным класс основных функций Л. Шварца S (Rn ), исчезающих на координатных гипер плоскостях xi = 0, i = 1,2,... ,n (типа основных функций П.И. Лизоркина, см. также в [4]):
Ф7(R+ )={ф : фЕ^в, dBBiф(0)=0, вEZ+}, i = 1,...,n, Ф7(R+ )={ф : ф=?вф\, фЕФ7(R+)}.
В классах Ф7(R+ Ф7(R+) символ оператора DB имеет тот же вид, что и в Sev.
Теорема 2. Класс Ф7(R+) состоит из тех и только тех функций ф(x)ES(R+), которые ортогональны (в смысле весового скалярного произведения) всем многочленам:
ip(x)ES(RN) , / (x')m'p(x) xY dx=0, фЕФ1 (R+),
RN
Для четного преобразования Фурье-Бесселя (см. книгу [4]) функции ф Е Ф ортогональны (в смысле весового скалярного произведения) всем многочленам, четным по каждой из переменных x\,... ,xn :
<p(x)eS (rN ),
Д^^фД) xY dx=0,
фЕФ1 (RN),
RN
Литература
1. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи / М.: Наука, 1997.
2. Катрахов В.В., Ляхов Л.Н. Полное преобразование Фурье-Бесселя и алгебра сингулярных псевдодифференциалвных операторов // Дифференц. Уравнен. - 2011. - 47, № 5. - С.681-695.
3 Lyakhov L.N. , Raykhelgauz L.B. Even and odd Fourier-Bessel transformations and some singular differential equations // Cambridge Scientific Publishers. - 2012 / Analytic Methods of Analysis and Differential Equations. AMADE-2009. - C.107-112.
126 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40
4 Ляхов Л.Н. В-гиперсингулярные интегралы и их приложения к описанию функциональных классов Киприянова и к интегральным уравнениям с В-потенциальными ядрами / Липецк: ЛГПУ, 2007. - 232 с.
BASED FUNCTIONS CLASSES FOR COMPLETE FOURIER-BESSEL’S TRANSFORMATION
S.A. Roshchupkin
Elets State University,
Sovkhoznaya Str., 13, Elets, 399761, Russia, e-mail: [email protected]
Key words: Fourier-Bessers transformation, based functions, integral kernel, rapid decreasing functions.
