CC BY
38
ТЕХНОЛОГИИ ЛЕГКОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ
УДК 685.34.052.8.001.63
КЛАССИФИКАЦИЯ ЗОН НА ОБУВНОЙ КОЛОДКЕ В ЗАВИСИМОСТИ
ОТ КРИВИЗНЫ ПОВЕРХНОСТИ
© 2010 г. К.Н. Замарашкин, Н.В. Замарашкин
Санкт-Петербургский ГУП Saint-Petersburg State Enterprize «Saint-Petersburg
«Информационно-аналитический центр» Information and Analytical Center»
Санкт-Петербургский государственный Saint-Petersburg State University
университет технологии и дизайна for Technology and Design
Автоматизация процесса получения развертки с локальных участков поверхностей обувных колодок при проектировании деталей верха и низа для обуви возможна только при аналитическом представлении объемной, несимметричной формы колодки и определении на ее поверхности классифицирующих параметров: кривизны, зон, состоящих из точек кривизны одного типа: параболических, эллиптических или гиперболических. Определена кривизна поверхности обувной колодки, представленной бикубическим сплайном. По типу кривизны в окрестности каждой точки построена классификация участков поверхности колодки.
Ключевые слова: обувь; проектирование; колодка; кривизна поверхности.
Automation of the process of caclulation of the development of the local zones of last surfaces onto the plane while constructing the details of the upper and bottom parts of a shoe is possible only if analytic description of the last surface is considered and the classifying parameters are defined on its surface, among them are the point curvature and zones of the points of one type of curvature. The curvature of the last surface represented by the bicubic parametric spline is determined and calculated. According to the type of the point curvature the zones on the last surface are described.
Keywords: shoe; design; last; surface curvature.
В математическом представлении поверхности тела сложной формы особая роль принадлежит классификации точек по типу кривизны поверхности в их окрестности. В дифференциальной геометрии существует набор инструментов аналитического представления и исследования поверхности - например, первая квадратичная форма, которая описывает внутреннюю геометрию поверхности. Однако в отсутствие исходных функциональных зависимостей, описывающих поверхность, а также в тех случаях, когда исходная модельная поверхность представлена в численном виде, единственный способ аналитического описания поверхности, например аппроксимация участка поверхности сплайнами, в итоге сводится к оперированию числовыми матрицами. Ситуация в некотором смысле обратная той, когда поверхность задана аналитически, для нее определяются основные зависимости и характеристики, и затем можно получить необходимые численные оценки тех или иных параметров. В этих условиях возрастает роль классифицирующих параметров, которые наиболее полно описывают поверхность, позволяют проводить качественный анализ и вместе с тем просто вычисляются по исходным числовым данным. Один из таких параметров - тип точки на поверхности: гиперболический, параболиче-
ский или эллиптический. Понятие типа точки тесно связано с основным параметром, характеризующим поверхность локально, - с кривизной в данной точке. Название типа точки определяется сходством достаточно малой окрестности данной точки со стандартной поверхностью, чей тип фигурирует в названии. Выражение «достаточно малая окрестность» может быть сформулировано математически строго, но на практике под этим следует понимать, что поверхность должна быть представлена как можно большим количеством точек, для того чтобы на реальной поверхности окрестность точки была действительно малой, и, следовательно, уменьшалась ошибка, связанная с заменой аналитических выражений производных (с помощью которых и вычисляется кривизна поверхности) их разностными аппроксимациями. С другой стороны, если для определения типов точек производные вычисляются с помощью коэффициентов аппроксимирующего поверхность сплайна, количество точек на поверхности (колодки) также следует выбирать оптимально.
Определив типы всех точек для данного численного представления поверхности, можно выделить участки поверхности, состоящие из точек одного типа. Выявленные таким образом участки поверхности
колодки (стопы) будут иметь внутреннюю геометрию, сходную с геометрией более простой поверхности -эллипсоида, гиперболоида или параболоида. Сходство внутренней геометрии при надлежащем выборе параметров стандартной поверхности, аппроксимирующей данный участок поверхности колодки, означает изо-метрию двух этих поверхностей, и, следовательно, возможность замены участка колодки участком поверхности стандартного вида при решении ряда прикладных задач, например при построении развертки участка поверхности на плоскость. Следует особо подчеркнуть, что изометричные поверхности не обязаны иметь внешнего сходства; важно, что их свойства «в малом» похожи.
Практическое определение типа точки на поверхности связано с определением знака дискриминанта второй квадратичной формы поверхности.
Второй квадратичной формой поверхности, заданной радиус-вектором г (и, у), называется скалярное произведение векторов d2 г и п (п - единичный вектор нормали к поверхности).
Для второго дифференциала радиус-вектора справедливо [1]
d2 г = г„,4и2 + 2r,n,dudv + г„4у2 .
L _ (ruu , ru , rv ) M _ (ruv , ru , rv ) N _ (^W , , rv )
л/ EG —
F2
4eg-
F 2
4eg-
F 2
где (..., ..., ...) - обозначение смешанного произведения векторов.
При подстановке гу, ги в векторное произведение получим
r r — {—r —r 1}
u v ( u ' V ) '
Рассмотрим представление поверхности (участок поверхности) обувной колодки в виде бикубического параметрического сплайна:
3 3 .
Г (и, V) = ^ Е а^У1 ,
1=01=0
где г (и, у) - радиус-вектор точки на поверхности, и,
V - параметры; ау - коэффициенты сплайна.
В этом случае для коэффициентов первой квадратичной формы поверхности получены выражения [2]:
E _if 1 _ 1+
. du
3 3
Е Е a,,iu' —1vJ V i—i J_о
(Здесь, как и везде далее, нижний индекс обозначает частную производную по соответствующей координате.)
Тогда выражение для второй квадратичной формы примет вид
(d 2 г, п ) _ (гш, п)du 2 + 2 (rm, п)dudv + (rw, n) dv2
II _
Для коэффициентов второй квадратичной формы приняты следующие обозначения:
I = (Ги, п), М = (и, п), N = (ГУУ, п).
Тогда выражение для второй квадратичной формы примет вид
G _lfl_ ■ +
33
Е Е a,jJulv
V о J_1
v—1
' dr dr ^ 3 3 .33
F _ | ^, dr|_EE ajiu'—lvJ Е Е ajJuV
i _о j _1
du' dv ) 1 j_о j
Тогда, с учетом того, что, например, Гии ={0,0, гии}, значение коэффициентов II квадратичной формы после подстановки ранее полученных значений будет равно:
L _
3 3
ЕЕ
i_2 j_о
ЕЕ i(i — 1)ui—2vJaj
■<jeg —
F2
II _ Ldu 2 + 2Mdudv + Ndv2 .
Для единичного вектора нормали справедливо
ЕЕй^^'—1a
M _
i_1 j _1
Jeg —
F2
n _ 1
4 EG —
F2
где х - знак векторного произведения; Е, G, ^ - коэффициенты первой квадратичной формы, которые определяются уравнениями
_ E, ()_ F' Fv2 _ G .
Е Е j( j—1)uV—2a
N _
i_о j_2
Jeg—
F2
После несложных преобразований получим формулы для вычисления коэффициентов М, N второй квадратичной формы:
Таким образом, получены все коэффициенты II квадратичной формы поверхности, представленной в виде бикубического параметрического сплайна, полностью определяющие внешнюю геометрию исследуемого объекта. Коэффициенты Е, G, М, N определяются коэффициентами бикубического интерполяционного сплайна.
Выше было отмечено, что существует определенный субъективизм в выборе вида аппроксимирующей
2
2
2
функции для поверхности. Если для плоских кривых некоторое представление о кривых дает даже расположение нескольких точек, то в 3-мерном случае весьма часто трудно выявить, например, какое из достаточно изученных тел наиболее точно подходит по форме данному. В геометрии подобное сходство формы называется изометрией. Изометрию еще можно охарактеризовать как возможность путем изгибания придать одной поверхности форму другой, не растягивая их в процессе изгибания. Изометрия иногда может характеризовать глубокое родство совсем не похожих внешне поверхностей.
Для того чтобы определить участки поверхности разной формы (в смысле изометрии), их необходимо классифицировать с помощью определения понятия эллиптической, параболической и гиперболической точек. В выражении для дискриминанта II квадратичной формы поверхности LN -Мг
LN - M
2
о,
называются
точки, в которых эллиптическими,
LN - М2 < 0 - гиперболическими, LN -М 2 =0 - параболическими (или точками уплощения). Названия точек связаны с поведением поверхности в их окрестности. Например, параболические точки (точки уплощения) - это точки, в достаточно малой окрестности которых поверхность более всего походит на параболоид (плоскость). Вычисление областей с точками разного типа на поверхности позволит выбрать стандартную поверхность наилучшего приближения для того или иного участка поверхности. Вторым, чрезвычайно важным следствием классификации областей, является тот факт, что существует возможность по-разному строить развертки гиперболических и эллиптических типов областей на плоскость.
Приведем примеры параболических, эллиптических и гиперболических форм поверхности.
Параболические формы: плоскость, тор, круглый цилиндр; эллиптические формы: сфера, эллиптическая плоскость; гиперболические формы: все замкнутые поверхности, кроме указанных выше параболических и эллиптических.
Наличие коэффициентов I и II квадратичных форм поверхности позволяет вычислить кривизну поверхности в любой точке. Существует несколько типов кривизны поверхности, среди которых наибольшее значение имеет гауссова кривизна. Формула для ее вычисления имеет вид:
K =
LN - M EG - F2
2
Запишем эту формулу для поверхности, представленной бикубическим сплайном, в явном виде:
3 3
K = -
ZZ i(i-Фи1'-. ZZ J( J - i>v
i=2 j=0
U>j-2
i=0 j=2
Помимо важного значения для теоретических исследований, полученная формула имеет прикладное значение, в частности, для определения типов точек на поверхности обувной колодки.
Для определения знака дискриминанта (числителя в формуле для вычисления кривизны) необходимо или вычислить вторые производные от функции координат в данной точке, или оценить знак числителя в выражении для гауссовой кривизны через коэффициенты бикубического сплайна. Проиллюстрируем работоспособность методики определения типов точек с помощью прямого расчета кривизны по коэффициентам бикубического сплайна, однако далее будем пользоваться менее трудоемким методом определения типов точек с помощью численного расчета производных.
На рис. 1 приведен результат расчета знака кривизны для пяточно-геленочного отдела поверхности мужской колодки с помощью прямого расчета кривизны по коэффициентам бикубического сплайна: изображены гиперболические точки.
Рис. 1
Вычисления производных для нескольких моделей колодок производились численно по стандартным разностным формулам [3]. Приведем формулу для вычисления второй производной по одной из координат
Ги = [г (и + к, V) - 2г (и, у) + г (и - к, V)] . к
Остальные выражения получаются вполне аналогично. Затем определялся знак второй квадратичной формы поверхности колодки в каждой точке. Результаты расчетов для одной из колодок - мужской колодки (размер 27, фасон 912232) - приведены на рис. 2. На каждом из рисунков изображены точки только одного типа, т. е. общее изображение поверхности разложено на три рисунка по типу точек: а - гиперболические; б - параболические; в - эллиптические.
Анализ
üij -
Z ZiU -V
,i=l j=1
1 +
33
z z j
i=1 j=0
2
i-1vj
1+
33
2
ZZ ajUv i=0 j=1
-1
33
Z Z j
i=1 j=0
i-1vj
33
Z Z
i=0 j=1
-1
полученных результатов свидетельствует о том, что на поверхности колодки существуют протяженные зоны точек одинакового типа.
>
2
2
2
Таблица 1
Распределение типов точек в разных зонах поверхности женской колодки, %
а б в
Рис. 2
Видно, что некоторые из визуально обнаруживаемых областей соответствуют представлению о них и без расчетов. Например, узкие зоны в области следа, ориентированные вдоль продольной оси следа и расположенные по обе стороны от него, состоящие из параболических точек, видны также и на рис. 2 б. В то же время зоны, обнаруживаемые на двух других рисунках (в частности, большое количество гиперболических точек в области пяточного закругления), не всегда подтверждают интуитивное представление о кривизне поверхности колодки. Дополнительной иллюстрацией к сложностям трехмерного восприятия кривизны поверхности тела сложной формы (колодки) служит рис. 3. На рисунке представлено поперечное сечение колодки с отмеченными на нем типами точек; каждый тип точек изображен своим символом. Видно, что для интуитивного отождествления типов некоторых точек недостает информации о соседних сечениях. Выделение границ областей точек одного типа требует специального исследования. Предварительную количественную оценку для целей приближения участка поверхности можно получить, подсчитав процентное соотношение типов точек в стандартных зонах поверхности колодки. Некоторые результаты подсчетов приведены в табл. 1 и 2. Количество участвовавших в расчетах точек, равномерно распределенных по поверхности колодки, около 10 тыс. для каждой колодки.
Зона колодки Тип точек
Гиперболические Параболические Эллиптические
Носочная 36 34 3о
Пучковая 37 31 32
Геленочная 27 36 37
Пяточная 39 34 27
Пяточное закругление 32 27 41
Таблица 2
Распределение типов точек в разных зонах поверхности мужской колодки, %
Зона колодки Тип точек
Гиперболические Параболические Эллиптические
Носочная 48 15 37
Пучковая 41 26 33
Геленочная 26 26 48
Пяточная 41 16 43
Пяточное закругление 56 4 4о
Рис. 3
На рис. 3 показаны типы точек в отдельном поперечном сечении «0» - параболические; «+» - эллиптические; «-» - гиперболические (следует иметь в виду, что тип точек определяется на основе трехмерной характеристики поверхности в их окрестности).
Полученные результаты свидетельствуют о следующем. Поверхность колодки, проектируемая и изготавливаемая как тело вращения, в целом допускает приближение любым типом поверхности, как эллипсоидом, так и гиперболоидом. В локальных зонах свойства участков поверхности различаются. В частности, свойства пучковых зон и мужской, и женской колодок сходны со свойствами гиперболоида; геленок соответствует участку поверхности эллипсоида. Пользуясь таблицами, при проектировании деталей верха (построении разверток деталей верха) можно выбрать наиболее приемлемый тип аппроксимирующей поверхности. Обращает на себя внимание существенное различие в пропорциональной доле параболических точек в мужской и женской колодках; это означает, что участков, близких по форме к плоским, на поверхности женской колодки больше.
Выводы
1. Определена кривизна поверхности обувной колодки, представленной бикубическим сплайном. Кривизна поверхности является одной из главных инвариантных характеристик геометрии колодки.
2. По типу кривизны в окрестности каждой точки построена классификация участков поверхности колодки. Выявленные зоны, состоящие из точек одного типа, создают благоприятные условия для решения задач по поиску поверхностей, приближающих участки поверхности колодок для последующего построения разверток обувных деталей.
Поступила в редакцию
3. Анализ кривизны поверхности в колодках мужской и женской групп подтвердил ранее сделанные выводы о существенных различиях в формообразовании этих изделий.
Литература
1. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М., 1984.
2. Замарашкин К.Н. Математические методы в проектировании обуви и технологической оснастки. СПб., 2005.
3. Численные методы / Н.И. Данилина [и др.]. М., 1976.
22 апреля 2010 г.
Замарашкин Кирилл Николаевич - д-р техн. наук, гл. специалист, СПб ГУП «Информационно-аналитический центр» при Правительстве Санкт-Петербурга. Тел. 7 (921) 964-16-86.
Замарашкин Николай Васильевич - д-р техн. наук, профессор, СПб государственный университет технологии и дизайна. Тел. 7(904)335-27-82.
Zamarashkin Kirill Nikolaevich - Doctor of Technical Sciences, main Specialist, Saint-Petersburg State Enterprize «Saint-Petersburg Information and Analytical Center». Ph. 7 (921) 964-16-86.
Zamarashkin Nikolay Vasilevitch - Doctor of Technical Sciences, professor, department «Design and Construction of Leather and Fur Goods», Saint-Petersburg State University for Technology and Design. Ph. 7(904)335-27-82._
