CC BY
46
ГЕОМЕХАНИКА
УДК 622.241.54
Н. В. Черданцев, В.Т. Преслер, В.Ю. Изаксон
КЛАССИФИКАЦИЯ ВЫРЕЗОВ ПО СТЕПЕНИ ИХ ВЛИЯНИЯ НА ОКРУЖАЮЩИЙ МАССИВ
Разработка месторождений полезных ископаемых, в частности угля, горючих сланцев производится в массивах осадочных горных пород. При этом сооружается большое количество вырезов - горных выработок и их систем различных форм поперечных сечений. Такие массивы, как среды, имеющие упорядоченные поверхности ослабления, разрушаются в окрестностях вырезов, прежде всего, по этим поверхностям, образуя зоны нарушения сплошности, в которых условие прочности формулируется согласно теории прочности Мора-
Кузнецова следующи^ об^азом^ К
(1)
где п и К- соответственно коэффициенты внутреннего трения и сцепления поверхностей ослабления, а тп и оп - соответственно касательное и нормальное напряжения по поверхности ослабления, которые определяются с учётом всех компонентов тензора напряжений Одт, действующих в окрестности выреза
&дт1д1т
р1 =
1 1 - Г~2 2
1п1т? Ту = \ ру ау
3
^^(дт1т ) )(р'11/1)
д=2
где /д, 1т - направляющие косинусы углов нормали к поверхности ослабления с координатными осями X], Х2, Хз, ру - полное напряжение по поверхности ослабления.
Задачи о рациональных формах поперечных сечений вырезов с точки зрения меньших значений концентраций напряжений в их окрестностях решались, например, в [2, 3]. Однако для полной оценки состояния породного массива необходимо ещё определить области разрушения или зоны нарушения сплошности. В зависимости от механических характеристик среды и форм поперечных сечений вырезов зоны нарушения сплошности могут значительно отличаться друг от друга.
Задача о напряжённом состоянии в окрестности выреза в геомеханике формулируется следующим образом: на бесконечности действуют вертикальные напряжения ох33= уН и горизонтальные &Х22=0Х11= ЛуН, где X - коэффициент
бокового давления, у - объёмный вес породы, Н -глубина заложения выреза. Требуется найти напряжённое состояние в любой точке массива вокруг выреза (рис. 1).
Породы в окрестности протяжённого выреза находятся в условиях плоского деформированного состояния и поэтому такая задача может быть решена либо аналитическими методами теории упругости, либо численными. Аналитические методы базируются на применении функций комплексного переменного и использовании отображающей функции, вид которой для рассматриваемого выреза иногда оказывается достаточно сложным. Поэтому для некоторых типов вырезов необходимо решать задачу о получении отображающей функции, что лишает аналитический метод универсальности. Для решения поставленной задачи авторы использовали метод граничных интегральных уравнений, который успешно применялся при решении ряда задач [4, 5]. Этот метод даёт непрерывное поле напряжений, что важно для формулирования условий прочности по Мору - Кузнецову в массиве с регулярными поверхностями ослабления.
Сущность данного метода в следующем. К контуру выреза прикладывается компенсирующая (фиктивная) нагрузка, напряжения от которой определяются путём интегрирования решения Кельвина о силе в бесконечном пространстве в преде-
а“=уН
1. Круг
4. Эллиптический свод Д 006.
.-1.006,
-0.833, 0.833,
7. Горизонтальный эллипс
2. Правильный шестиугольник
0.946.;$
-0.45.
-0.56. „0.56.
5.Вертикальный полуэллипс 1.025,
fl-825.
8. Квадрат
Д.732.
г 0.99,
fl-793.
.-1.111,
- 0.745. .0.745.
з. Круговой свод
б. Вертикальный эллипс Д.239. -йй
l 0.9. l|J4ij|j|!l*^'
- 0.902. 0.902.
9. Полукруг
Д.461.
.-1.3.
-1.161. Д. 161.
12. Горизонтальный полуэллипс
1.149. Д. 149.
10. Трапеция 11. Равносторонний
треугольник
Рис. 2. Зоны нарушения сплошности в окрестностях рассматриваемых вырезов
1
лах контура выреза.
В результате условия на контуре приводятся к интегральному уравнению [4]
1 с
2 aq (QO ) - J rqm (QO ,MO )am (MO )dLM( 2L
Г =
qm
4 n(1 -u) r
2
O (2)
f(1 - 2u)
= nq(QO)^qm - Fq(QO)
где Гqm(Qo,Mo) - тензор влияния [4]:
xqnm xmnq,
+
( 2v)5 qm + 2
xr,x
qm
xtnt
Здесь u - коэффициент Пуассона, индексы q,
X
2
r
r
т, ^ =2, 3 -номера координатных осей (Х=Х1, у=Х2, 2=Хз), Qo и Мо - соответственно точки на контуре исследуемого выреза, г - расстояние между точками Qo и Мо , 8дт - символ Кронекера (8 дт=1 при q = т, 8дт=0 при q ^т), аддх - тензор напряжений на бесконечности, Ь - длина контура выреза, Пд, пт - направляющие косинусы нормалей к контуру выреза в точках Qo , Мо, ¥д ш - вектор реакции крепи, если она установлена.
Уравнение (2) решается численно. Сначала контур выреза заменяется конечным числом N линейных элементов, а интеграл заменяется суммой [4, 5]. Затем производится интегрирование по каждому элементу, при этом считается, что в его пределах интенсивности а и ^ постоянны. В результате этой процедуры интегральное уравнение (2) приводится к следующим N векторным уравнениям:
водится по всем точкам контура за исключением і = і. В уравнении (3) (также и дальнейшем) индексы тензоров и векторов отделены точками от индексов точек контура.
После решения уравнений (3) относительно
ад,і тензор напряжений СГдт в любой точке к расчётной области массива, построенной вокруг выреза в виде сетки, определяется на основе принципа суперпозиции:
_ * , О
&дт.к _ &'дті.ііаі.і +&дд.к-
Здесь Сдт - тензор напряжений от единичной нагрузки (тензор Кельвина), определяемый как [4,
5]
* 1
а
1 * — а 2
д. і
— V *
V Гдт. і ат.і ^і І _1 і *і
дтї ~ т Л
4п( 1 -и)г (1 — 2и)(&тґхд + ^дїхт — 2ХдХтХ{ 8дт ) + ‘
(3)
пд. і^дт. і ^д. і’
где і номер точки на контуре выреза, в которой формулируется граничное условие, і - номер текущей точки на контуре, а суммирование произ-
г2
Разрушенные области или зоны нарушения сплошности вокруг выреза находятся как совокупность точек, в которых произошло разрушение по поверхностям ослабления пород по критерию прочности (1). Степень нарушенности массива в окрестности выреза определяется коэффициентом нарушенности: отношением площади зоны нарушения сплошности к площади поперечного сечения выреза.
а)
в)
•е*
•в*
В!
.95 1 1 05
периметр сечения, отнесённый к периметру квадрата
а® |;
п А,- 2- ,Д ..а
□ ъ О с
г)
периметр сечения, отнесенный к периметру квадрата
Рис. 4. Графики изменения коэффициентов нарушенности в зависимости от изменения периметров вырезов при некоторых вариантах (комбинациях) перехода одного выреза к другому
Проведён вычислительный эксперимент на ряде вырезов единичных поперечных сечений (площади поперечных сечений равны 1). Параметры среды следующие: поле напряжений
гидростатическое (Л=1), поверхности ослабления горизонтальные, коэффициент сцепления принят K=0, угол внутреннего трения (р=20°.
На рис.2 приведены зоны нарушения сплошности для вырезов с двенадцатью формами поперечных сечений в виде типичных геометрических фигур, расположенных в порядке возрастания их периметров (P):
1) круг - Г = 1 / 4П, P = 2пГ = 24П;
2) правильный шестиугольник со стороной
h ^-1 I 2 , P=6b;
43 Ь+47
3) круговой свод - радиус полукруга свода
Г = h = 2 , P = пг + 4h = (п + 4)г , h -
V 4 + п
высота его прямолинейной части;
4) горизонтальный эллиптический свод
(a/h=2, h=a) h = 1 / -J2 + п / 2, P=4h+Pe/2 , где a и h горизонтальная и вертикальная полуоси эллиптической части свода, h - высота вертикальной прямолинейной части, Pe- периметр эллипса, вычисляемый через эллиптический интеграл;
5) вертикальный полуэллипс (h/a=2),
h = 2 / л/П, P = Pe / 2 + h, где a и h -горизонтальная и вертикальная полуоси эллипса;
6) вертикальный эллипс (h/a=2) -
h = 4 2/п ;
7) горизонтальный эллипс (a/h=2) -
h = 1 / 42П;
8) квадрат - h=1, P=4;
9) полукруг радиуса Г = 42 / П , Р=(п+2)г;
10) равнобедренная трапеция (a/h=2, h=a),
a = 2 / -\/з , р = 3 + . a, где a, h, h- нижнее
2
и верхнее основания трапеции и её высота;
11) равносторонний треугольник - h = 2 / ^3 ,
P=3h;
12) горизонтальный полуэллипс (a/h =2),
a = 2 / 4~П, P = Pe / 2 + 2a.
На рис.3 приведены графики изменения коэффициента нарушенности в зависимости от периметра выреза, приведённого к периметру квадрату. Хорошо видно, что фигуры по степени нару-шенности располагаются на четырёх уровнях. Первый уровень (I) со слабой степенью нарушен-ности массива в окрестности вырезов формируют
фигуры в форме круга, шестиугольника, прямоугольно - сводчатого сечения (с круговым и эллиптическими сводами), вертикального эллипса, квадрата (коэффициент нарушенности около единицы). Второй уровень (II) со средней степенью нарушенности массива образует трапеция и вертикальный полуэллипс - коэффициент нарушен-ности 1,ЗЗ. На третий уровень (III) с сильной на-рушенностью массива располагаются горизон-
8 0.9 1 1.1 1.2 13
периметр сечения, отнесённый к периметру квадрата
Рис. З. Классификация вырезов по коэффициентам нарушенности
тальный эллипс с и полукруг - коэффициенты на-рушенности около двух единиц. Четвёртый уровень (IV) с аномально высокой нарушенностью представляют равносторонний треугольник и горизонтальный полуэллипс коэффициенты нару-шенности около 4 единиц. В то время как периметры фигур уровня I отличаются от периметров фигур уровня IV в среднем в 1,2В раза коэффициент нарушенности отличается уже в 4 раза. Периметры фигур уровней II и III в среднем совпадают, но коэффициент нарушенности вырезов уровня III превосходит коэффициент нарушенности вырезов уровня II в среднем в 1,З раза. Следует отметить кратность возрастания коэффициента нарушенно-сти от уровня I к уровням III и IV - 2 и 4 раза.
На рис. 4 построены графики зависимостей коэффициентов нарушенности от значений периметров вырезов, отличающиеся плавностью коэффициентов при переходе от одного выреза к другому.
Анализ этих результатов позволяет сделать следующие выводы.
1. Понятия “зона нарушения сплошности” и “коэффициент нарушенности” достаточно полно характеризуют степень разрушения массива с поверхностями ослабления.
2. Довольно широкое многообразие вырезов с различными формами поперечных сечений может быть классифицировано на четыре уровня (категории) по степени нарушенности массива в их окрестностях: от слабо нарушенного массива до аномально высокой степени нарушенности.
3. Наименьшее значение коэффициента на-рушенности, равное 0,971, относится к вырезу с круглым поперечным сечением, а наибольший коэффициент нарушенности, равный 4,09З, вокруг
0 20 40 60 80
Время I (циклы)
Рис.1. Типы внешней нагрузки
Г.А. Казунина МОДЕЛИРОВАНИЕ КИНЕТИКИ НАКОПЛЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПОВРЕЖДЕНИЙ под действием периодической внешней НАГРУЗКИ
В работах [1 - 2] предложен метод исследования кинетики накопления элементарных повреждений в нагруженных материалах при помощи вероятностного клеточного автомата, реализованного на основе описанных в [3] объектных моделей алгоритмов роста кластеров Хаммерсли - Лиса - Александ-ровица и многократной маркировки кластеров Хошена - Ко-пельмана. Построенное программное решение позволяет моделировать кинетику накопления элементарных повреждений для различных режимов нагружения материала. Так в работах [1,2,4, 5] был подробно рассмотрен режим однородного нагружения материала, описывающий эволюцию кластерной структуры при переходе к разрушению.
В настоящей работе исследуется кинетика накопления
повреждений в режиме периодического нагружения материала. Изменение механических напряжений в ходе моделирования достигается включением временной зависимости средних напряжений о(х,1) в формулу для вероятности образования нового элементарного повреждения
Росс(х> {) =
= Росс (Т)ехр(уа(х,г)/кТ), где сомножитель
„ / Гр \_ -и / кТ
Росс(Т) = р0 е
определяется энергетическим барьером.
Рассматриваются следующие конкретные виды изменения внешнего напряжения от
минимального Отт до максимального Отах значения (рис.1): ^ симметричный знакопеременный режим нагружения,
характеризуемый чередованием растягивающей и сжимающей
нагрузки: o(t) = ^о sin П. В
этом режиме рост числа элементарных повреждений происходит только при растягивающем напряжении (рис.1.1);
S пульсационный знакопостоянный режим нагружения, определяемый нулевым сжимающим напряжением
°(t) = °о (1 + sin nt)
(рис.1.2) ;
S асимметричный знако -постоянный режим нагружения, который характеризуется ненулевым минимальным значением растягивающего напряжения
°(t) = °0 ( + sin nt)
(рис.1.3).
Такая задача представляет интерес, например, при исследовании роста усталостных трещин в нагруженных мате-
