Классификация узлов в утолщенной бутылке Клейна Текст научной статьи по специальности «Математика»

КЛАССИФИКАЦИЯ УЗЛОВ В УТОЛЩЁННОЙ БУТЫЛКЕ КЛЕЙНА

Статья посвящена составлению таблиц узлов в утолщенной бутылке Клейна К2 хI, минимальные диаграммы которых имеют не более двух перекрестков.

Ключевые слова: бутылка Клейна, узел, диаграмма узла, минимальная диаграмма, полином Кауффмана.

Введение

Пусть К2 — бутылка Клейна и К2 х I — утолщенная бутылка Клейна, т. е. ориентируемое косое произведение бутылки Клейна К2 на отрезок I [1]. Статья посвящена составлению таблиц узлов в К2 х I, минимальные диаграммы которых имеют не более двух перекрестков. Узлы строятся в три этапа (сначала — регулярные графы валентности 4, потом — отвечающие им проекции, затем — диаграммы). Различность полученных узлов доказывается с помощью модифицированного полинома Кауффмана для узлов К2 х I.

1. Основные определения

Под узлом в К2 х I будем понимать непересекающуюся простую замкнутую кривую К в 1п1(К2 хI). Два узла К0,К С 1п1(К2 хI) эквивалентны, если пара (К2 х!,К0) гомеоморфна паре (К2 х^К^.

Рассмотрим прямоугольник Р с вершинами А, В, С, Д. В нем отождествим точки сторон АВ и СД и точки сторон СВ и ДА симметрично относительно центра прямоугольника (рис. 1). Хорошо известно, что отождествление противоположных сторон в прямоугольнике Р представляет собой бутылку Клейна К 2.

с ^ в

Рис. 1. Прямоугольник Р

в

А

Определение 1. Проекцией узла в К2 называется граф в прямоугольнике Р, причем:

Исследования поддержаны грантом РФФИ №. 12-01-00748, грантом НШ-1414.2012.1 по государственной поддержке ведущих научных школ и программы ОМН РАН (проект 12-Т-1-1003/2).

1. Валентность любой вершины равна 1 или 4■ Вершины валентности 4 лежат внутри Р, а вершины валентности 1 лежат внутри сторон Р.

2. Вершины валентности 1 отождествляются с вершинами валентности 1 по указанному выше отображению сторон в прямоугольнике.

3. Если начиная с некоторой точки графа будем двигаться по его ребрам, проходя вершины валентности 4 по правилу «прямо вперед»» и проходя вершины валентности 1 по указанному отождествлению сторон в Р, то получим полный обход графа.

Диаграмма узла в К2 получается из проекции указанием разрывов в точках самопересечения, то есть вершинах валентности 4. Две проекции (диаграммы) считаются эквивалентными, если одна получается из другой при гомеоморфизме бутылки Клейна на себя. Также разрешается одновременно изменять типы всех перекрестков. Как и в классическом случае, две диаграммы эквивалентны тогда и только тогда, когда их диаграммы можно соединить последовательностью ,движений Рейдемейстера и четырех новых движений (рис. 2).

Рис. 2. Движения Д4, Д5, Дб и Д7

Напомним, что утолщенная бутылка Клейна К2 х I получается из прямого произведения Р х I. Многообразие Р х I представляет собой параллелепипед, у которого две противоположные грани отождествляются по параллельному переносу и две противоположные грани — по суперпозиции параллельного переноса и поворота на 180 градусов относительно центра грани. Как и в классическом случае (узлов в Я3), каждая диаграмма узла в Р определяет узел в К2 хI.

Определение 2. Диаграмма узла К называется минимальной, если ее сложность (число перекрестков) не превосходит сложности любой диаграммы любого узла, эквивалентного узлу К. Проекция называется минимальной, если минимальна хотя бы одна из отвечающих ей диаграмм.

Будем называть узел К С К2 хI локальным, если он содержится в некотором шаре V С К2 хI, и составным, если существует такой шар V С К2 хI, что пересечения К П V и К П V', где V' = (К2 х I) \ 1п^, являются нетривиальными дугами (то есть дугами, не параллельными краю шара V). Такие узлы мы не будем включать в таблицу. Узел назывется примарным, если он отличен от локального и составного.

2. Основной результат

Теорема 1. Существуют ровно 22 различных примарных узла в К2 х I, минимальные диаграммы которых имеют не более двух перекрестков. Эти диаграммы изображены в табл. 1.

Таблица 1

Минимальные диаграммы узлов, имеющих не более двух перекрестков на бутылке Клейна, которая представлена в виде прямоугольника с отождествленными противоположными сторонами

01 02 0з 11 12 13

*- ; -« \С т

^

І4 2і 22 2з 24 25

Ї 7 ТУ 1 . К . г* , (ґ* К

2б 27 28 29 210 211

Ч 1І ( #- _ ^ ■л ! П.

212 21з 214 215

Г *- 1 V 1 X А »

Доказательство теоремы состоит из четырех частей. Сначала мы перебираем все регулярные графы с п < 2 вершинами, потом — все минимальные проекции с п < 2 двойными точками, затем — все отвечающие им минимальные диаграммы. На последнем шаге мы путем вычисления модифицированного полинома Кауффмана доказываем, что все отвечающие этим диаграммам узлы в К2 х I различны.

Лемма 1. Существуют ровно 4 регулярных связных графа, имеющих не более двух вершин (рис. 3).

Доказательство. Этот результат получается путем очевидного перебора всех графов. □

Лемма 2. Существует ровно 18 различных минимальных проекций узлов в К2 х I с не более чем двумя двойными точками (табл. 2).

ОСХЭ ООО

л • с

Рис. 3. Регулярные графы с п < 2 вершинами

Таблица 2

Минимальные проекции узлов, имеющих не более двух перекрестков на бутылке Клейна, которая представлена в виде прямоугольника с отождествленными противоположными сторонами

Доказательство. Графу А отвечает только три проекции нетривиальных узлов 01, 02, 03 (с точностью до эквивалентности), так как известно, что бутылка Клейна содержит только три нетривиальных простых замкнутых кривых.

Все вершины графов В, С являются разбивающими. Тогда подходящие разрезания по всем вершинам проекций, соответствующих графам В и С, дадут две и три окружности. Окружности, отвечающие петлям графа, нетривиальны. Оставшиеся окружности могут быть как тривиальными, так и нет. Перебирая все комбинации их типов, мы получаем проекции 11,12,13,14 для п =1, проекции 21 — 28 для п = 2 (см. табл. 2).

Рассмотрим граф Д, его можно представить как объединение двух окружностей с двумя общими точками. В одной из этих точек окружности пересекаются трансверсально (по отношению к тому, как они располагаются на бутылке Клейна), в другой нет, так как в случае двух трансверсальных точек получаем зацепление из двух компонент. Разрезав граф по нетрансверсальной точке, получим две окружности с одной оставшейся трансверсальной точкой пересечения.

Легко проверить, что существуют два случая расположения двух окружностей с одной трансверсальной точкой: 01 и 02, 02 и 02. Тогда графу Б соответствуют три проекции 29, 210, 211 (см. табл. 2). □

Рассмотрим узел К. Каждый перекресток делит плоскость на два дополнительных угла, один из которых мы назовем углом типа А, а другой — углом типа В. Угол типа А - это тот угол, который мы видим сначала справа, когда проходим перекресток по верхней ветви; угол типа В — это тот угол, который мы сначала видим справа, когда проходим перекресток по нижней ветви. Состоянием Б называют выбор в каждой двойной точке диаграммы расщепления типа А или типа В. Если в каждой двойной точке применить одно из двух возможных преобразований расщепления А или В, то получем набор попарно не пересекающихся замкнутых кривых [2].

Определение 3. Для ориентированной диаграммы Б узла в К2 х I определим модифицированный полином Кауффмана (М) от четырех переменных А, г, f по формуле

(М(Б)) = (—А3)-^ ^ А“^-^)(—А-2 — А2)^)#(^Л(5),

где а(Б) и в (Б) — количество расщеплений типа А и В в состоянии Б; 7(Б), ^(Б), V(Б), А(Б) — соответственно число простых замкнутых в бутылке Клейна состояния Б и ш(Б) — число скрученности диаграммы узла.

Данный полином является инвариантом узлов в К2 х I. Проверяется аналогично как для узлов в Я3. Теперь мы перейдем к доказательству основной теоремы 1.

Доказательство. Восстановим из минимальных проекций (см. лемму 2) диаграммы узлов, указав тип каждой двойной точки. Из получившегося списка мы уберем эквивалентные диаграммы. Таким образом, получили 22 диаграммы узлов (см. табл. 1). Для доказательства различности всех этих диаграмм узлов посчитаем модифицированный полином Кауффмана. В результате получаем 22 различных полинома. □

3. Пример вычисления модифицированного полинома Кауффмана

Вычислим модифицированный полином Кауффмана для узла 21.

Найдем число ш(21), для этого ориентируем узел (см. рис. 4), и получаем ш(21) = —2. Узел 21 имеет два перекрестка, следовательно, 4 состояния: АА, АВ, ВВ, ВА. В состоянии АА получаем тривиальную кривую и кривую типа 02. В остальных состояниях получаем кривые типа 02 (рис. 4). Тогда,

(М(Б)) = М(Б; АДг^) = — А-3(-2) ^ Аа(5)-в(5)(—А2 — А-2)7(5)#(5)г^^Л(5) =

5=1

-А6[А2(-А2 - А-2)г + г + А-2г + г] = -А6(-А-4 - 1 + 1 + А-2 + 1)г = -А6(-А-4 + А-2 + 1)г = (А2 - А4 - А6)г.

7

'Ъу

в I

ПИ

А , В

Г

Рис. 4. Узел 21

Список литературы

1. Матвеев, С. В. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии / С. В. Матвеев, А. Т. Фоменко. — 2-е изд., перераб. и доп. — М. : Изд-во МГУ, 1991. — 304 с.

2. Прасолов, В. В. Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия / В. В. Прасолов, А. Б. Сосинский. — М. : МЦНМО, 1997. — 352 с.