CC BY
35
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И СИСТЕМЫ
УДК 681.518.5:004.052.32 DOI: 10.17586/0021-3454-2015-58-5-333-343
КЛАССИФИКАЦИЯ ОШИБОК
В ИНФОРМАЦИОННЫХ ВЕКТОРАХ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ КОДОВ
В. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников, Д. В. Ефанов
Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I,
190031, Санкт-Петербург, Россия E-mail: [email protected]
Предложена классификация ошибок в информационных векторах систематических кодов, позволяющая учитывать все возможные варианты искажений информационных разрядов и изучать возможности различных систематических кодов по обнаружению ошибок, что может быть использовано при построении надежных систем автоматики и вычислительной техники.
Ключевые слова: техническая диагностика, систематический код, информационный вектор, ошибки в информационных векторах, классификация ошибок, код Бергера, система функционального контроля.
Введение. В задачах построения надежных логических устройств автоматики и вычислительной техники используются разнообразные систематические коды, каждый из которых характеризуется своим показателем избыточности и способностью к обнаружению ошибок [1, 2]. Выбранный на этапе проектирования логического устройства вариант кодирования определяет способ обеспечения контролепригодности устройства. Например, большое значение имеет выбор варианта кодирования при организации систем функционального контроля логических устройств [3, 4]. Известны алгоритмы, обеспечивающие с учетом свойств кодов построение систем функционального контроля со 100%-ным обнаружением любых одиночных неисправностей в контролируемом устройстве [5, 6].
В настоящей статье рассматривается задача определения всех возможных видов ошибок в информационных векторах систематических кодов, или (m^-кодов, где m — длина информационного вектора, а k — длина контрольного вектора. Предложена классификация ошибок в информационных векторах и приведены формулы подсчета ошибок различных типов.
Классификация ошибок в информационных векторах (ш,Л)-кодов. Рассмотрим возможные типы ошибок в информационных векторах кодовых слов длиной m.
Обозначим через d кратность ошибки в информационном векторе (да^-кода. Ошибка — это искажение некоторого количества нулевых и (или) единичных разрядов в кодовом векторе. Если е1 — число искажений типа 0^-1, а е0 — число искажений типа 1^-0, то кратность ошибки может быть представлена в виде суммы d=е0+е1.
Число ошибок кратностью d в информационном векторе длиной m вычисляется по формуле
Nmd = 2mcm, (1)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2015. Т. 58, № 5
334
В. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников, Д. В. Ефанов
где сомножитель 2m определяет общее количество различных информационных векторов; величина Cm — число вариантов ошибок кратностью d.
В информационных векторах длиной т существуют различные виды ошибок в зависимости от соотношений между количеством искажений нулевых и единичных разрядов (значениями е0 и е1) (рис. 1). Если при возникновении ошибки в информационном векторе искажаются только нулевые или только единичные разряды (когда е1=0 при е0^0 или е0=0 при е1^0), то возникает монотонная, или однонаправленная, ошибка. В противном случае, при е1^0 и е0ф0, возникает немонотонная, или разнонаправленная, ошибка. Выделим среди немонотонных ошибок вариант, когда е0=е1. В этом случае число единичных разрядов в информационном векторе не изменяется (т.е. не изменяется вес двоичного вектора). Такие ошибки назовем симметричными. При возникновения немонотонной ошибки, когда е0^^1, вес информационного вектора изменяется. Такие ошибки отнесем к асимметричным.
Ошибки
в информационных векторах
Немонотонные I (разнонаправленные) |
е<#0, е^0
Монотонные I
(однонаправленные) |
"" е0=0, е1^0 или е0ф0, е1=0
Симметричные I
(не меняющие вес) I
е0=е1
Асимметричные I
(меняющие вес) I
е<фе1
Рис. 1
Таким образом, в любом (и,£)-коде среди 2mCm возможных ошибок кратностью d в информационных векторах некоторая часть является ошибками симметричными (symmetric) — s-типа, некоторая часть — асимметричными (asymmetric) — a-типа, некоторая часть — монотонными (unidirectional) — м-типа:
Nmd = Nm ,d + Nam d + Nm d. (2)
В классе монотонных ошибок целесообразно выделить однократные ошибки (когда d=1), обнаружение которых должно осуществляться любыми ^А^-кодами. Если код не удовлетворяет этому условию, то он будет неэффективен при использовании для повышения надежности систем автоматики и вычислительной техники.
Очевидно, что симметричная ошибка (е0=е1^0) может иметь только четную кратность
d е {2; 4;...; m] при четном значении m и dе{2; 4;...; m—1] — при нечетном значении m. При асимметричной ошибке, когда е0фе\Ф-0, значение d лежит в пределах 3<d<m. Монотонные же ошибки могут иметь любую кратность: d е {1; 2;...; m].
Использование возможностей ^А^-кодов по обнаружению ошибок в информационных векторах позволяет обеспечить построение различных по степени сложности, тестируемости, быстродействию, энергопотреблению и другим характеристикам систем функционального контроля логических устройств. Например, классический код с суммированием (код Бергера [7]) обладает способностью обнаружения любых ошибок, нарушающих вес информационного вектора, т.е. всех асимметричных и монотонных ошибок. Такое свойство кода Бергера позволяет использовать его для контроля комбинационных схем, в которых любая одиночная неисправность логических элементов их внутренней структуры может приводить только к мо-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2015. Т. 58, № 5
Классификация ошибок в информационных векторах
335
нотонным искажениям на выходах схемы (такие логические схемы принято называть схемами с монотонно независимыми выходами [6]). Известно, что любую произвольную комбинационную схему можно преобразовать в схему с монотонно независимыми выходами [3, 5, 6].
Код Бергера не обнаруживает все симметричные ошибки кратностью d, где d — четное. Их число при заданном значении m определяется по формуле [8]
к ,d=2m-dcd; 2cm.
(3)
Общее же количество возможных симметричных ошибок вычисляется по формуле
К = £ Nm,d = £ C, (4)
d=2 d=2
где l=m при четном значении m и /=m-l при нечетном m.
Такими же возможностями по обнаружению ошибок, как и код Бергера, обладают, например, неразделимые равновесные коды (только в приложении ко всему кодовому слову) [3]. Другие типы кодов могут не обнаруживать часть монотонных и асимметричных ошибок в информационных векторах.
Определим, сколько монотонных ошибок кратностью d е{1; 2;...; mj может возникнуть
в информационных векторах длиной m. Для этого ^А^-код представим в табличной форме, где множество информационных векторов разобьем на контрольные группы, соответствующие контрольным векторам.
Рассмотрим процесс подсчета числа монотонных ошибок на примере кода со значением m=4. В табл. l для (4,А)-кода представлен результат подсчета возможных монотонных ошибок отдельно для величин е1 и е0 при различных значениях d. Число монотонных ошибок кратностью d=1 при искажениях нулевых разрядов равно С4°С4 + с4с] + С4С2 + C^Cj, а при искажениях единичных разрядов — С С1 + С | С 2 + С 4 С + С4 С 2; при d=2 для искажений ну-
левых и единичных разрядов соответственно имеем
С40 С42 + СС + С 2 С
1^2
-^2п2
'4^4
4^3
с42с22 + с+ с4с2; при d=3 — с0с4 + с4с3 и с3с3 + с4с4; при d=4 - с°с4 и С4С4.
Обобщим расчет для произвольного (и,А)-кода. При кратности d=1 число вариантов
'•4'-2
и
m-1
искажений нулевых разрядов равно ^ CrmCm-r , а единичных разрядов — ^ CmCj. ; при d=2
Г /''i 1
r=0
r=1
m-2
число вариантов искажений нулевых разрядов равно ^ C,mCm-r , а единичных разрядов —
r=0
^ CmСГ ; и т.д. При произвольном значении d е {1; 2;...; mj имеем следующую зависимость:
r=2
m-d
число вариантов искажений нулевых разрядов равно ^ CrmС4п-r , а единичных разрядов —
r=0
^ Cm Cd . Общее число монотонных ошибок кратностью d в ^А^-коде равно сумме
r=d
полученных величин:
m-d m
Nu = "V CrCd + ^Г CrCd (5)
m,d Z-u ^m^m-r ' Z-u ^m^r ■ v~v
r=0 r=d
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2015. Т. 58, № 5
336
В. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников, Д. В. Ефанов
Таблица 1
Контрольные группы по весу r информационных векторов
0 1 2 3 4
0000 0001 0011 0111 1111
0010 0101 1011
0100 0110 1101
1000 1001 1110
1010
1100
Число информационных векторов в группе
C0 C1 C2 C3 ^4 C4
е1, d=1 для каждого вектора
C1 C1 И C1 ^2 C1 0
е1, d=2 для каждого вектора
C2 C2 ^3 C2 ^2 0 0
е1, d=3 для каждого вектора
C3 C3 ^3 0 0 0
е1, d=4 для каждого вектора
C4 0 0 0 0
е0, d=1 для каждого вектора
0 C1 C1 ^2 C1 И C1
Число е0, d=2 для каждого вектора
0 0 C2 ^2 C2 ^3 C2
е0, d=3 для каждого вектора
0 0 0 C3 ^3 C3
е0, d=4 для каждого вектора
0 0 0 0 C4
Общее число монотонных ошибок в информационных векторах
130
Можно показать, что слагаемые в выражении (5) равны между собой:
m—d m
z crm cm =z cm c. (6)
r=0 r=d
Тогда выражение (6) позволяет упростить подсчет числа монотонных ошибок в информационных векторах длиной m:
m-d m
^r /~rd о x 1 r*r r*d
nu = 2 X-* c r С d = 2 X-1 С r С d Nm,d = 2 2—* cmcm-r = 2 2—i cmcr • r=0 r=d
(7)
Рассмотрим более подробно формулу
rn s
nu ___2 \ 1 cr Сd о l СdСd i СdH cd i , Сm—1cd i cmcd
Nm,d ~ 2 2—i cmcr _cmcd cm cd +1+...+ cm cm —1 "1" cm cm
r=d
(8)
и преобразуем выражение в скобках к следующему виду:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2015. Т. 58, № 5
Классификация ошибок в информационных векторах
337
/~id/~id . /~id+1^rd . s~id +2s^id . . /~im—2/~*d ./~im—1/"id . /"ims~id
CmCd _l~ Cm cd +1 _l~ Cm cd +2+-" + Cm Cm—2+ Cm Cm — 1 _l~ Cm Cm ~
m!
d!
m!
(d +1)!
m!
(d + 2)!
d!(m — d)! d!• 0! (d + 1)!(m — d — 1)! d!-1! (d + 2)!(m — d — 2)! d!• 2!
m! (m — 2)! m! ( —1—
+ ...
...+
(m — 2)!(m — m + 2)! (m — 2 — d).d! (m — 1)!(m — m + 1)! (m — 1 — d)d!
+ ...
...
m!
m!
m!
m !• 0!(m — d )d! d !(m — d)!
f
\
1 (m — d) (m — d )m — d — 1) (m — d )m — d — 1) (m — d) 1
v 0! 1! 2! ”. 2! 1! 0!y
(9)
Выражение в скобках в последней строке формулы (9) является биномиальным
разложением величины 2m d . Таким образом, формула подсчета числа монотонных ошибок кратностью d в информационных векторах (”,А)-кода принимает вид
2 х cm cd =2 (
r=d
nu ____^ v 1 сr Сd 2 / СdСd + Сd +1сd + +С”—1cd +Сm-Сd\
d ' ” d ^ I'M 'V ^ I I'M /7 Wi /7 -1-1 Wi J-M_1 J-M Wi I
m^d ''-'m d +1
"m m — 1 ' '-'m'-'m
_ 2 2m—d cd _ 2m +1—d cd _ 2 •2 cm _ 2 cm.
(10)
Общее же число монотонных ошибок равно
m m
m +\—dr^d n,m +1^^ ^,—d^d
< _x Nm ^ _ х 2”+1—d cm _ 2m+1 х 2—' c
d _1 d _1 d _1
(11)
откуда следует, например, что для любого (”,А)-кода общее количество однократных ошибок в информационных векторах (d=1) равно
1Г __ г\” /"11 _ г\”
Nm1 _ 2 Cm _ 2
m!
1!-(m — 1)!
_ m • 2m.
(12)
Учитывая выражения (1)—(3) и (10), нетрудно найти число асимметричных ошибок в информационных векторах (”,А)-кодов. При четных и нечетных значениях d данная величина будет вычисляться по-разному (вследствие того, что при четных значениях d существуют симметричные ошибки, а при нечетных — нет):
— при нечетных значениях d
№ _ 2” Сd — 2”+1—d Сd _ 2” Сd 11 —
Nm,d _ 2 cm 2 cm _ 2 cm I 1
(1 — 21—d ),
(13)
— при четных значениях d
Na _ о” c d — о”+1—d
m, d m
С” — 2m~dCdJ2C” _ 2” С” (1 — (21—d +2—dcd)). (14)
Число немонотонных ошибок равно
fnu, _ N d — Nu d
ym,d iym,d iym,d
Nnu _ N — A[U _ o”cd — 2” +1—d cd _ 2” Сd
d-' и» /7 d' и» /7 d v -yyf ^ V—.- ” ^ V—-1 m ^ V—-1 ”
(1 — 21—d ).
(15)
Классификация ошибок в информационных векторах (”,А)-кодов с указанием формул расчета их количества по каждому типу и кратности d приведена на рис. 2.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2015. Т. 58, № 5
338
В. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников, Д. В. Ефанов
Рис. 2
Свойства (т,£)-кодов. Полученные выше формулы расчета числа ошибок в информационных векторах (т,к)-кодов позволяют установить ряд особенностей каждого из существующих типов ошибок.
На основе анализа соотношения величин (1) и (10) приходим к следующему положению.
Теорема 1. Доли монотонных (od) и немонотонных (pd) ошибок кратностью d в информационных векторах (т,к)-кодов от общего количества ошибок данной кратностью являются постоянными величинами при любых значениях т:
od =
К ,d
N,
m,d
2т+1—d с d ______Ст = 2
2m cm ~
1—d
Nпи, 2т cm (l — 21—d)
_у m,d = т\_______)_ = 1 — 21-
“ Nm С 2т cd ~
d
(16)
(17)
С увеличением кратности значение ud уменьшается и, например, при d=10 составляет 0,00195 (т.е. 1,95 % от общего числа ошибок), значение же pd, наоборот, увеличивается и составляет 0,99805 при d=10 (99,805 %).
Таким образом, при большом значении d число монотонных ошибок невелико по сравнению с числом немонотонных ошибок.
Немонотонные ошибки классифицируются на симметричные и асимметричные. Используя выражения (1) и (3), установим следующую закономерность.
Теорема 2. Доля симметричных ошибок (od) кратностью d, где d — четное, в информационных векторах (т,к)-кодов от общего количества ошибок данной кратностью является постоянной величиной при любом значении т:
о d =
Ns d
14 m,d
N
2m—d cd/2cd 2 cd Cm = 2—d cjd/ 2
m,d
2m С
d
(18)
Из выражения (18) следует свойство 1 [8].
Свойство 1. С увеличением значения d величина ad уменьшается и при d^« стремится к нулю:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2015. Т. 58, № 5
Классификация ошибок в информационных векторах
339
lim ad = lim 2 d CdJ2 = 0. (19)
d ^x d ^x
Значение cd уменьшается не столь быстро, как величина ud; для сравнения: о10=0,24609 (24,609 %), тогда как ию=0,00195 (1,95 %).
Используя выражения (1), (13) и (14), запишем следующее положение.
Теорема 3. Доля асимметричных ошибок (ad) кратностью d в информационных векторах (да,£)-кодов от общего количества ошибок данной кратностью является постоянной величиной при любых значениях т:
— при нечетном значении d
N
a d =
— при четном значении d
m,d
N,
m,d
2m Cm (1 - 21-d )
2m с d 2 Cm
= 1 - 2
1-d
N
a d =
m,d
2mCt (1 -(21
d ^ 2 d
cd2))
N
m,d
2m c d
2 Cm
= 1 -
(d + 2-dCdJ2 ).
(20)
(21)
Поскольку число асимметричных ошибок в (и,Л)-кодах представляет собой разность между общим числом немонотонных и симметричных ошибок, характер изменения величины ad с увеличением значения d прямо противоположен характеру изменения величины Od. Асимметричные ошибки характеризуются следующей закономерностью.
Свойство 2. С увеличением значения d величина ad увеличивается и при d^-ro
стремится к единице:
lim ad = 1 (22)
d ^x
Рассмотренные свойства различных типов ошибок в информационных векторах, проявляющиеся при увеличении значения d, иллюстрируются табл. 2 и графиками на рис. 3.
__________________________________Таблица 2
d Ud nd Od ad
1 1 0 0 0
2 0,5 0,5 0,5 0
3 0,25 0,75 0 0,75
4 0,125 0,875 0,375 0,5
5 0,0625 0,9375 0 0,9375
6 0,03125 0,96875 0,3125 0,65625
7 0,01563 0,98438 0 0,98438
8 0,00781 0,99219 0,27344 0,71875
9 0,00391 0,99609 0 0,99609
10 0,00195 0,99805 0,24609 0,75196
11 0,00098 0,99902 0 0,99902
12 0,00049 0,99951 0,22559 0,77392
13 0,00024 0,99976 0 0,99976
14 0,00012 0,99988 0,20947 0,79041
15 0,00006 0,99994 0 0,99994
16 0,00003 0,99997 0,19638 0,80359
17 0,00002 0,99998 0 0,99998
18 0,00001 0,99999 0,18547 0,81452
19 0 1 0 1
20 0 1 0,1762 0,8238
50 0 1 0,11228 0,88772
100 0 1 0,07959 0,92041
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2015. Т. 58, № 5
340
В. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников, Д. В. Ефанов
Исследуем характер изменения количества ошибок различных типов при увеличении длины информационного вектора и фиксированном значении кратности ошибки.
Рассмотрим и (m+1, k^-коды. Сравнивая соотношения количества необнаружи-
ваемых ошибок различных типов в (m+1, k2)-кодах и в (т,^)-кодах (величины xJ, xnd , xd и
xd для монотонных, немонотонных, симметричных и асимметричных ошибок соответственно), отметим следующее:
— при нечетном значении т
U „пи „s п,
xd =xd =xd = 2
т +1 т - d +1’
Na
a _ Nm+1,d Xd ='
2m++m+1 (1 -(2l-d + 2= 2 m +1
,-d
К ,d
при четном значении m
Nam+1, d
2m Cdm (1 - 21-d )
m - d +1
1 --
Cd/ 2
1 - 2
1-d
xa = xd =
2m+1 cm +1 (1 - 21-d )
Na
m,d
2m cm (1 -(21
- d + 2-d
cl2)
= 2-
m +1 m - d +1
1 -
1 - 2
-d
1-d ^
C^2
d J
(23)
(24)
(25)
Рассмотрим также соотношения между общим количеством ошибок в информационных векторах (m,k1)- и (m+1, k^-кодов при постоянном значении d:
Nm+1, d 2m+1cm+1 - m +1
xd =
N
= 2-
m,d
r\fn a 2 C и
m - d +1
(26)
Из сравнения выражений (23) и (26) следует, что xd =xJ = хпф = xSj . Вычислим предел
величины xd :
,• ,• ~ m +1 „ 1 +1/m „
lim xd = lim 2----= 2 lim----+—-— = 2. (27)
m^® m^® m - d +1 m^® 1 - djm +1j m
Таким образом, приходим к следующему свойству.
Свойство 3. При m^-ro число ошибок различных типов в информационных векторах (m+1, k^-кода увеличивается в 2 раза по сравнению с аналогичным показателем (ти,^)-кода вне зависимости от кратности ошибки.
Свойство 3 нетрудно обобщить и на случай сравнения количества ошибок в (m,k1)- и (m+j, k^-кодах. С учетом того, что количество ошибок различных типов для некоторых
значений m и d есть величина 2mC^^, умноженная на некоторый постоянный коэффициент (ud, nd, ®d или ad), имеем:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2015. Т. 58, № 5
Классификация ошибок в информационных векторах
341
Xd, j
N 2m+j Cd
ly m+j,d '~'m+j _ 2 j
(m + l)(m + 2)-...-(m + j)
N
m,d
2m cd 2 cm
(m - d +1 )m - d + 2)-...-( - d + j)' (m +1)(m + 2)•...•(m + j) _ 2j
lim xd j _ lim 2J — m^x m^x (m - d + 1)m - d + 2)-...-(m - d + j )
(28)
(29)
Свойство 4. При m^-ro число ошибок различных типов в информационных векторах
(m+j Л2)-кода увеличивается в 2J раз по сравнению с аналогичным показателем (т^Л^-кода вне зависимости от кратности ошибки.
Рассмотрим далее, как изменяется общее количество ошибок всех кратностей в информационных векторах с увеличением значения m [8].
Общее количество ошибок определяется по формуле
mm
Nm _Z Nmd _z 2mcm _ 2m (2m -1),
d _1
тогда
N
sm
m+1
d _1
2m+1 ( 2m+1 -1)
’(2m -1)
_ 2
2m+1 -1 2m -1
и при m имеем
2m+1 - 1
lim sm _ lim 2------
m^x m^x 2m -1
>m+1
_ 2 lim :
m^x
/2m - 1/2и
_ 4.
(30)
(31)
(32)
1 -1/ 2m
Свойство 5. При m^-ro общее число ошибок в информационных векторах (m+1,k2)-кода увеличивается в 4 раза по сравнению с аналогичным показателем (mk^-кода.
Формулы (31) и (32) можно обобщить на случай сравнения общего количества ошибок в (m+j, Л2)-коде и в ^Л^-коде:
SmJ N
Nm+j _ 2m+ j ( 2m +j -1)_ 2j 2^^
(m -1)
2m -1
. 2m+j -1
lim sm ,■ _ lim 2j----_ 4j.
m^x m^x 2 -1
(33)
(34)
Свойство 6. При m^ro общее число ошибок в информационных векторах (m+j, Л2)-кода
увеличивается в 4 раз по сравнению с аналогичным показателем ^Л^-кода.
Определим, как изменяется общее количество монотонных ошибок с увеличением длины информационного вектора. Используя формулу (11), запишем отношение числа монотонных ошибок в (m+1, Л2)-коде к аналогичной величине в ^Л^-коде: sm _ Nm +1/Nm ; при m^-ro получим
m +1 m+1 m +1
Z^m+2—d сd 2m+2 v 1 2—d сd v 1 2—d сd
2 Cm+1 2 2—i 2 Cm+1 2 Cm +1
lim sm _ lim d_1--------_ lim---------------_ 2 lim d_1------.
m^x
m^x
12'
d _1
m+1-d сd Cm
m^x 2m+1
(35)
Z2 - d с d 2 Cm d _1
m^x
Z2 - d с d 2 Cm d _1
Положим f (m) _ ^ 2 d C<m , тогда выражение (35) преобразуется к виду d _1
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2015. Т. 58, № 5
342
В. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников, Д. В. Ефанов
lim ги„
т^ю
т+1
Z2~d сd 2 С;
т+1
2 lim
т^ю
d =1
т
Z2~d с d 2 Ст
d =1
2 lim
т^ю
f (т+О f (т)
(36)
отсюда следует, что
f 0) = 2, f (2)=4, f (3)=f, f (4)
211
'з2, '",
а отношения гит равны соответственно
2 А5)* 3,2462,..., 2 AM * 3,0267, ...,2 f (20) * 3,0005, f(4) f(9) f(19) ' ’
2 Z£50l
, f (49)
3.
Свойство 7. При m^-ю общее число монотонных ошибок в информационных векторах (т+1, k^-кода увеличивается в 3 раза по сравнению с аналогичным показателем (т,^)-кода.
Аналогично установленным ранее свойствам при сравнении монотонных ошибок в (т+j, k2)- и (т,^)-кодах справедливо следующее.
Свойство 8. При т^-ю общее число монотонных ошибок в информационных векторах
(т+j, k2)-кода увеличивается в 3J раз по сравнению с аналогичным показателем (т,^)-кода.
Подобным образом можно установить и свойства, присущие другим типам ошибок (т^)-кодов. Так, по аналогии со свойством 8, отношение общего числа немонотонных, симметричных и асимметричных ошибок в (т+1, k2)-коде к соответствующим величинам в
(т,^)-коде (величины , ssm и &т ) характеризуется следующим свойством.
Свойство 9. При m^-ю общее число немонотонных ошибок (как симметричных, так и асимметричных) в информационных векторах (т+1, k2)-кода увеличивается в 4 раза по сравнению с аналогичным показателем (т,^)-кода.
Свойство 9 обобщается и на случай сравнения немонотонных ошибок в информационных векторах (т+j, k2)- и (т,^)-кодов.
Свойство 10. При т^ю общее число немонотонных ошибок (как симметричных, так и
асимметричных) в информационных векторах (т+j, k^-кода увеличивается в 4 раз по сравнению с аналогичным показателем (т,^)-кода.
Заключение. Предложенная классификация ошибок в информационных векторах систематических кодов позволяет более детально изучать свойства (т^)-кодов, часто используемых в задачах построения надежных логических устройств, а также новых кодов, разрабатываемых для этих целей [9, 10]. В свою очередь, использование на практике возможностей (т^)-кодов по обнаружению ошибок различных типов позволяет синтезировать алгоритмы построения систем технического диагностирования, обладающих способностью 100%-ного обнаружения одиночных неисправностей и оптимальными показателями аппаратурной избыточности. Учет возможностей (т^)-кодов по обнаружению ошибок в информационных векторах также может быть полезен при организации контроля логических устройств без изменения их внутренней структуры.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. McCluskey E. J. Logic Design Principles: With Emphasis on Testable Semicustom Circuits. N. J.: Prentice Hall PTR, 1986. 549 p.
2. Fujiwara E. Code Design for Dependable Systems: Theory and Practical Applications. John Wiley & Sons, 2006. 720 p.
3. Согомонян Е. С., Слабаков Е. В. Самопроверяемые устройства и отказоустойчивые системы. М.: Радио и связь, 1989. 208 с.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2015. Т. 58, № 5
343
Классификация ошибок в информационных векторах
4. NicolaidisM., Zorian Y. On-line testing for VLSI — a compendium of approaches // J. of Electronic Testing: Theory and Applications. 1998. N 12. P. 7—20.
5. Busaba F. Y., Lala P. K. Self-checking combinational circuit design for single and unidirectional multibit errors // J. of Electronic Testing: Theory and Applications. 1994. Iss. 5. P. 19—28.
6. Self-checking combinational circuits with unidirectionally independent outputs / A. Morosow, V. V. Saposhnikov, Vl. V. Saposhnikov, M. Goessel // VLSI Design. 1998. Vol. 5, iss. 4. P. 333—345.
7. Berger J. M. A note on error detection codes for asymmetric channels // Information and Control. 1961. Vol. 4, iss. 1. P. 68—73.
8. Ефанов Д. В., Сапожников В. В., Сапожников Вл. В. О свойствах кода с суммированием в схемах функционального контроля // Автоматика и телемеханика. 2010. № 6. C. 155—162.
9. Low cost concurrent error detection based on modulo weight-based codes / D. Das, N. A. Touba, M. Seuring, M. Gossel // Proc. of IEEE 6th Intern. On-Line Testing Workshop (IOLTW), Palma de Mallorca, Spain, July 3—5, 2000. P. 171—176.
10. О кодах с суммированием единичных разрядов в системах функционального контроля / А. А. Блюдов, Д. В. Ефанов, В. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников // Автоматика и телемеханика. 2014. № 8. C. 131—145.
Сведения об авторах
Валерий Владимирович Сапожников — д-р техн. наук, профессор; ПГУПС, кафедра автоматики и телемеханики на железных дорогах; E-mail: [email protected] Владимир Владимирович Сапожников — д-р техн. наук, профессор; ПГУПС, кафедра автоматики и телемеханики на железных дорогах; E-mail: [email protected] Дмитрий Викторович Ефанов — канд. техн. наук; ПГУПС, кафедра автоматики и телемеханики на
железных дорогах; E-mail: [email protected]
Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию
автоматики и телемеханики 04.12.14 г.
на железных дорогах
Ссылка для цитирования: Сапожников В. В., Сапожников Вл. В., Ефанов Д. В. Классификация ошибок в информационных векторах систематических кодов // Изв. вузов. Приборостроение. 2015. Т. 58, № 5. С. 333—343.
ERRORS CLASSIFICATION IN INFORMATION VECTORS OF SYSTEMATIC CODES
V. V. Sapozhnikov, Vl. V. Sapozhnikov, D. V. Ephanov
Petersburg State Transport University, 190031, Saint Petersburg, Russia E-mail: [email protected]
A classification of errors in information vectors of systematic codes is proposed. The classification allows to account all the possible variants of information distortion and enables investigation of abilities of various systematic codes in the error detection. Applications of the approach to development of reliable automation systems and computer technique are discussed.
Keywords: technical diagnostics, systematic code, information vector, errors in information vectors, errors classification, Berger code, functional control system.
Data on authors
Valery V. Sapozhnikov — Dr. Sci., Professor; PSTU, Department of Automation and Tele-
mechanics on the Railways; E-mail: [email protected] Vladimir V. Sapozhnikov — Dr. Sci., Professor; PSTu, Department of Automation and Tele-
mechanics on the Railways; E-mail: [email protected] Dmitry V. Ephanov — PhD; PSTU, Department of Automation and Telemechanics on the
Railways; E-mail: [email protected]
Reference for citation: Sapozhnikov V. V., Sapozhnikov Vl. V., Ephanov D. V. Errors classification in information vectors of systematic codes // Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy. Priborostroenie. 2015.
Vol. 58, N 5. P. 333—343 (in Russian).
DOI: 10.17586/0021-3454-2015-58-5-333-343
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2015. Т. 58, № 5
