CC BY
0
УДК 004.75
КЛАССИФИКАЦИЯ NK-ПОДОБНЫХ АВТОМАТОВ
Е. А. Кольчугина1, В. А. Стежка2
1 Пензенский государственный университет, Пенза, Россия 2АО «Радиозавод», Пенза, Россия
1 [email protected] 2 [email protected]
Аннотация. Представлено краткое описание NK-автомата Кауфмана. Приведены его отличительные характеристики: изменяемость и приспособленность. Описаны свойства, связанные с аттракторами. Проанализированы работы исследователей, изучающих NK-автоматы. Составлена классификация модификаций, в различной степени изменяющих базовые характеристики NK-автомата.
Ключевые слова: булевые сети, NK-автомат, аттрактор, степень эпистатичности, приспособленность автомата, модифицированный NK-автомат
Для цитирования: Кольчугина Е. А., Стежка В. А. Классификация NK-подобных автоматов // Вестник Пензенского государственного университета. 2024. № 4. С. 70-74.
Введение
В работе С. Кауфмана [1] для исследования процессов естественной самоорганизации и эволюции клеток живых организмов предлагается использовать модель NK-автомата. Она позволяет определить внутреннюю взаимосвязь элементов, описать порядок функционирования и спрогнозировать дальнейшее развитие с учетом ограничений, устанавливаемых самой моделью. N - это количество элементов в исследуемой модели, например, количество генов в генотипе или аминокислот в протеинах. K - это степень связанности элементов между собой. С точки зрения генетики, K - это степень эпистатичности. На рис. 1 представлен NK-автомат Кауфмана (А), в котором N = 4 и K = 2.
Процессы изменения (мутаций) в структуре NK-автомата приводят к появлению новых вариантов, для сравнения которых используется понятие «приспособленность» (fitness). Приспособленность f(x) NK-автомата — это среднее значение приспособленности каждого элемента.
f(x) = (1)
где N - количество элементов; f(x), f;(x) - приспособленность всего автомата, каждого элемента; x - текущее состояние.
NK-автомат, как и все автономные бинарные сети, имеет конечный набор состояния своих элементов. И с учетом того, что сеть замкнута, неизбежно образуются циклические последовательности состояний, которые с течением времени повторяются. Такие циклы называются аттрактором, а последовательность состояний, приводящих к повторению, называется длиной аттрактора. Длина аттрактора варьируется от 1 до 2N, причем чем меньше значение длины, тем более система устойчива к возмущениям, а долгое недостижение аттрактора интерпретируется как пе-
© Кольчугина Е. А., Стежка В. А., 2024
реход к хаосу. Аттракторы играют важную биологическую роль, так как они являются тем, что делает система. Аналогами аттракторов в биологическом смысле, например, являются различные типы клеток в организме. Для нейронной сети это память или категории, по которым сеть «узнает» окружающий мир.
Рис. 1. NK-автоматы (ЫК-автомат Кауфмана (А), NKCS-автомат (Б), NKa-автомат (В), ЫЮ-автомат (Г),
NKd-автомат (Д), ЫК-подобный автомат (Е))
Базовый ЫК-автомат Кауфмана намеренно упрощен, благодаря этому в распоряжении исследователей появился простой, доступный и легко воспроизводимый аналитический инструмент. Как эволюция движется путем постепенного увеличения сложности, так и базовый ЫК-автомат в научном сообществе приобрел дополнительные свойства и особенности, в результате чего появился ряд модификаций, подражающих реальным системам.
Цель работы: провести обзор и классификацию модифицированных ЫК-автоматов, которые предлагается обобщить в следующие группы:
- блочные ЫК-автоматы; в структуре таких автоматов образуются обособленные независимые регионы, состоящие из подмножества элементов и связей между ними;
- комплементарные ЫК-автоматы; в таких автоматах степень эпистатичности элементов может быть различной;
- неравномерные ЫК-автоматы; вклад каждого элемента в общую приспособленность автомата может быть различным.
Предлагаемая классификация
Блочные NK-автоматы. Анализируя коэволюцию нескольких биологических видов, С. Кауфман и С. Йонсен предложили использовать ЫКС8-автомат [2], состоящий из нескольких (8) ЫК-автоматов, элементы которого (Ы), помимо внутренних связей (К), имеют и внешние связи (С). На рис. 1 показан ЫКС8-автомат (Б) с Ы = 8, К = 2, С = 2, 8 = 1. В общем случае процесс коэволюции связанных ЫК-автоматов имеет два состояния:
1) локальный оптимум одного «партнера» критически влияет на локальный оптимум связанных «партнеров», и система находится в постоянном изменении, продолжает «танцевать»;
2) система достигает устойчивого равновесия, в котором локальный оптимум каждого «партнера» согласуется с локальными оптимумами всех остальных «партнеров».
С течением времени поведение любого NKCS-автомата стремится к равновесию Нэша, и важной характеристикой становится время, за которое оно будет достигнуто. При К > SC система быстро достигает равновесия Нэша, а, если К < SC, система функционирует в хаотическом режиме, а равновесие становится трудно достижимым, причем, если значение К будет увеличиваться по отношению к С, система придет к уравновешенному состоянию быстрее.
RMNKCS-автоматы [3] являются результатом комбинации случайных булевых сетей (ЯБЯ) и NKCS-автоматов. Получившаяся модель позволяет исследовать взаимосвязь между фенотипи-ческими признаками и сетью генетической регуляции, посредством которой они продуцируются. Например, возникающие мутации могут изменять логическую функцию случайного узла либо случайно изменять связи для этого узла. Изменение сети происходит до момента достижения аттрактора. На каждом шаге рассчитывается общая приспособленность, и, если получившееся значение выше, чем приспособленность другого вида, состояние становится родительским для последующих мутаций, в противном случае сеть возвращается к предыдущему состоянию. Таким образом у коэволюционирующих видов поддерживается максимум приспособленности.
NKа-автомат [4] добавляет параметр А, определяющий количество аффекторных элементов, которые будут влиять на всю модель. На рис. 1 показан NKа-автомат (В) с N = 4, К = А = 1, в котором выбран один аффектор и вклад каждого элемента в общую приспособленность зависит от внутреннего состояния и от состояния аффектора. Другое крайнее состояние А = N в таком случае для каждого элемента выбирается К аффекторов из А. Особенность NKа-автомата заключается в том, что в модели будет не более 2А локальных максимумов приспособленности, а по сравнению с базовым NK-автоматом количество шагов для достижения локального максимума уменьшается по мере увеличения числа аффекторных элементов. Кроме того, динамика уменьшения количества шагов оказывается более крутой для больших значений К.
Комплементарные NK-автоматы. Одно из упрощений базового NK-автомата заключалось в том, что все N элементов имеют одинаковую степень связанности К. Например, в цепочке ДНК вклад каждого локуса в общую приспособленность зависит от его аллелей и от К связей с другими локусами. Таким образом стоит предположить, что степень такого влияния для разных локу-сов может быть различной.
Для определения степени эпистатичности каждого локуса ДНК был предложен NKi-автомат [4] (см. рис. 1, NKi-автомат (Г) с N = 4, К = 2). Особенность NKi-автомата в том, что все NK связи распределены неравномерно, сосредоточены между некоторыми элементами. Например, для автомата с N = 14 и К = 4 число связей будет равно 56, а их распределение представлено в табл. 1.
Таблица 1
№ варианта Количество связей элементов
1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14
1 0 0 0 0 0 14 14 14 0 0 0 0 0
2 0 0 0 0 8 10 10 10 8 0 0 0 0
3 0 0 0 7 7 7 7 7 7 7 0 0 0
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Результаты работы семейства NKi-автоматов показывают, что чем более однородно распределение эпистатичности, тем выше ожидаемая приспособленность локального максимума.
В базовом ЫК-автомате реализуется схема глобального управления: изменения принимаются на основе анализа состояния всех Ы элементов. В ЫКё-автомате [5] обобщается подход, используемый в ЫКС8-автомате, добавляя распределенное управление, каждый элемент из Ы получает дополнительный параметр Э, обозначающий степень связанности с другими элементами (см. рис. 1, ЫКё-автомат (Д) с Ы = 4, К = 2, Э = 1). Решение о принятии очередного изменения принимается на основе приспособленности Э + 1 связанных элементов. Следовательно, в классическом ЫК-автомате Э = Ы - 1, а в ЫКС8 автомате Э равняется количеству элементов каждого из 8 блоков. ЫКБ-автомат показывает оптимальные показатели общей приспособленности модели при Э к 0,8Ы независимо от количества Ы.
Неравномерные NK-автоматы. Так как модель ЫК-автомата связана с определением общей приспособленности системы, существуют модификации, меняющие характер ее расчета. Согласно модели, предложенной Кауфманом, приспособленность определяется по формуле (1). Для определения параметра перейдем к виду
«X) = ?1(Х)+Н+%(Х) = £ Ъ(Х) + ... + £ Ь(х). (2)
Вклад каждого элемента в общую приспособленность зависит от одинакового параметра, найденного по формуле
w = —. (3)
Ы
Таким образом базовый ЫК-автомат является частным случаем NKw-автомата [4], для которого 0 < wi < 1 и wi + ...wN = 1. Отличительные особенности появляются если сильно увеличить различие w между элементами, тогда элемент с наибольшим значением, называется «сильно взвешенным». В автомате с одним «сильно взвешенным» элементом более высокое эпистатиче-ское взаимодействие приводит к более высокой приспособленности. В автомате с двумя независимыми «сильно взвешенными» элементам для любых значений К среднее значение приспособленности локального максимума также будет выше, чем у обычного ЫК-автомата.
Модель ЫК-автомата Кауфмана не предусматривает конкурентный доступ к элементам при одновременно выполняемых вычислениях и подразумевает параллельный режим функционирования (все элементы срабатывают одновременно). Для устранения вышеперечисленных недостатков Е. А. Кольчугина предложила модификацию - ЫК-подобный автомат [6]. В ЫК-автомат добавлен управляющий элемент (8), определяющий порядок вычисления функциональных элементов (см. рис. 1, ЫК-подобный автомат (Е), Ы = 8, К = 2). Все выходы управляющего элемента соединены со всеми функциональными элементами (А, В, С, Э), таким образом, что в каждый момент времени происходит вычисление только тех элементов, для которых значение управляющего входа активно (равно «1»). Дополнительно в автомат добавляются элементы, играющие роль замедлителя, хранящие состояние связанных элементов в предыдущий момент времени (АВ, ВС, ЭС, АЭ), позволяющие разделить процесс вычисления состояния автомата на отдельные параллельные цепочки.
В статье М. Ю. Бабича и А. М. Бабича [7] рассматривается модифицированный ЫК-автомат как «основа аппарата моделирования функций сложных систем, чьи изменения состояний пред-ставимы в виде ориентированного графа». Модификация заключается в изменении свойств элементов, выражающихся логическими функциями «И» и «ИЛИ», в процессе функционирования автомата. Модификация несколько изменяла численные характеристики ЫК-автомата Кауфмана, поэтому для определения приблизительного равенства состояний использовался параметр и. В результате исследования автоматов со сменой состояния подтвердилось основное свойство: начиная с К = 3, наблюдалось резкое увеличение длины аттракторов, что имитирует возникнове-
ние периода хаоса. Также было подтверждено, что возрастание параметра U ожидаемо увеличивает длину циклов управления.
Заключение
Модели NK-автоматов находят свое применение не только в теории искусственной жизни, для исследования механизмов поддержания упорядоченного и устойчивого состояния (гомеоста-за) цифровых организмов, но и в экономике для модификации бизнес-процессов в организации [8], в физике для исследования свойств разбавленных магнитных сплавов (спиновые стекла). Благодаря упрощениям, принятым в NK-автоматах, например, дискретность, бинарность и детерминизм [9], базовый NK-автомат привлекателен своей лаконичностью и простотой, позволяющей доступно продемонстрировать процессы спонтанной самоорганизации.
Список литературы
1. Kauffman S. A. The Origin of Order: Self-Organization and Selection in Evolution. New York : Oxford University Press, 1993. 710 p.
2. Kauffman S. A., Johnsen S. Coevolution of the Edge of Chaos: Coupled Fitness Landscapes, Poised States, and Coevolutionary Avalanches // Journal of Theoretical Biology. 1991. № 149. P. 467-505.
3. Bull L. Coevolving Boolean and Multi-Valued Regulatory Networks. Bristol, UK : Computer Science Research Centre. University of the West of England, 2023. 21 р.
4. Solow D., Burnetas A., Roeder T., Greenspan N. Evolutionary Consequences of Selected Locus-Specific Variations in Epistasis and Fitness Contribution in Kaufman's NK-model. Cleveland, USA : Case Western Reserve University, 2001. 20 p.
5. Bull L. Exploring Distributed Control with the NK Model. Bristol, UK : Computer Science Research Centre. University of the West of England, 2020. 17 р.
6. Кольчугина Е. А. Исследование свойств цифровых организмов с помощью NK-подобных автоматов // Вестник компьютерных и информационных технологий. 2011. № 11. С. 20-24.
7. Бабич М. Ю., Бабич А. М. Возможности модифицированного NK-автомата Кауфмана при имитации особого периода функционирования систем // Технические науки. Информатика, вычислительная техника. 2018. № 4 (48). С. 17-27.
8. Levinthal D. A. Adaptation on Rugged Landscapes // Management Science. 1997. Vol. 43, № 7. P. 934-950.
9. Sansom R. Ingenious Genes: How Gene Regulation Networks Evolve to Control Development. Cambridge, Massachusetts : The MIT Press, 2011. 128 p.
Информация об авторах
Кольчугина Елена Анатольевна, доктор технических наук, доцент, профессор кафедры «Математическое обеспечение и применение электронных вычислительных машин», Пензенский государственный университет.
Стежка Владимир Андреевич, начальник программного отдела, АО «Радиозавод» (г. Пенза).
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
