Классификация квантовых состояний электрона, движущегося в режиме аксиального каналирования в кристалле Текст научной статьи по специальности «Физика»

MS С 78А35

КЛАССИФИКАЦИЯ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ ЭЛЕКТРОНА, ДВИЖУЩЕГОСЯ В РЕЖИМЕ АКСИАЛЬНОГО КАНАЛИРОВАНИЯ

В КРИСТАЛЛЕ

В.В. Сыщенко1, А.И. Тарновский1, А.Ю. Исупов2

1 Белгородский государственный университет,

ул. Студенческая, 14, Белгород, 308007, Россия 2

Аннотация. В работе исследуются возможности так называемохх) сиектральнохх) метода для нахождения решений уравнения Шрсдингсра в условиях задачи об аксиальном каналиро-вании заряженных частиц. С помощью этохх) метода определяются характеристики квантовых состояний на примере электрона, движущм'оея вблизи атомной цепочки [110] кристалла крем-

Ключевые слова: каналирование, спектральный метод, собственные функции, квантовый хаос.

1. Введение. При прохождении заряженных частиц через кристаллы может наблюдаться явление каиалироваиия, заключающееся в увеличении длины пробега частиц вследствие их движения в каналах, образованных кристаллическими осями или плоскостями |1,2|. Движение частицы в аксиальном канапе с хорошей точностью может быть описано как движение в непрерывном потенциале атомной цепочки, то есть в потенциале составляющих цепочку атомов, усредненном вдоль оси цепочки. При движении в таком потенциале будет сохраняться продольная компонента импульса частицы рц, вследствие чего задача о движении частицы сводится к двумерной задаче о движении в поперечной плоскости. При этом могут оказаться существенными квантовые эффекты, в частности, квантование значений энергии поперечного движения частицы |1|. Сложный характер рельефа потенциальной энергии в рассматриваемых сну чаях не допускает аналитического интегрирования уравнения Шрсдингсра. Это делает необходимым развитие высокоэффективных численных методов нахождения уровней энергии поперечного движения и других квантовых характеристик движения частиц в кристалле.

Цолыо настоящей работы является исследование возможностей так называемого спектрального метода |3| для нахождения решений уравнения Шрсдингсра применительно к кананированию быстрых электронов, движущихся в поло атомной цепочки (на примере цепочки |110| кристалла кремния). Ранее этот метод был успешно использован для нахождения уровней энергии поперечного движения электрона в этой ситуации 14 61,

2. Связанные состояния частицы в двумерном центрально-симметричном потенциале. Поперечное движение электрона в непрерывном потенциале цепочки бу-

дот описываться двумерным уравнением Шредипгера

д

НЧ>(х,у,1) = гН — Ч>(х,у,1)

с гамильтонианом

Н=-

п2

2Еф

д2

д2

дх2 ду2

и (х,у)

(1)

(2)

в котором величина Ефс2 играет роль массы частицы, а Е\\ = т2с4 + с2 — энергия

ее продольного движения |1|.

Поло, создаваемое отдельной цепочкой (без учета влияния соседних цепочек в кристалле), обладает центральной симметрией: и (х,у) = и (г), Наличие такой симметрии позволяет провести качественный анализ квантовых состояний электрона. Переходя к полярным координатам, получаем

Н=-

п2

2ЕцЛ

1д_ г дг

д_

дг

±_Ё1 г2 дф2

и (г).

Уравнение дня собственных функций и собственных значений оператора (3)

п2

2Ец/с2

1д_ г дг

д

1 д2

ф(г, ф) + и(г)ф(г, ф) = Е±ф(г, ф)

дг ) г2 дф2

допускает разделение переменных, его решения будут иметь вид

1

Фиг,т(г, ф)

у/2ж

гту р

и

,Н(г)

где функция фиг (г) является решением уравнения

1д_ г дг

д_

дг

т

2Е\\/о2 ( \

РпГ,\т\{г) + ^ -ЩГ)) рПг,\т\{г) = 0 .

(3)

(4)

(5)

(6)

Таким образом, квантовые состояния частицы в аксиально-симметричном потенциале и (г) будут характеризоваться радиальным квантовым числом пг, совпадающим с

г

исключением нуля в точке г = 0), и проекцией т орбитального момента на ось симметрии поля. При этом состояния с т = 0 оказываются не вырождены, а для состояний с ненулевыми значениями проекции орбитального момента имеет место двукратное вы-т

па (3), то есть собственные значения энергии поперечного движения каналировашюго электрона, будут, в общем случае, зависеть от обоих квантовых чисел: Е± = Еиг,|т|.

3. Спектральный метод. Идея спектрального метода |3| основана на численном моделировании эволюции начальной волновой функции Ф(х, у, 0) в соответствии с уравнением Шредипгера (1). Оказывается, что корреляционная функция

Р (I)

Ф*(х, у, 0)Ф(х, у, t)dxdy

(7)

—те —те

те те

между начальным и текущим значениями волновой функции содержит информацию о собственных значениях оператора (2). Действительно, представим решение уравнения (1) в виде суперпозиции собственных функций фп^(х,у) гамильтониана

4>(х, у, г) = Аг^ФпАх, у) ехр ( -^ЕпЬ) , (8)

п,з

где индекс п нумерует собственные значения энергии Еп, а индекс ] — вырожденные состояния, соответствующие этой энергии. Подставляя волновую функцию (8) в (7), получим корреляционную функцию

те те

n,n',j,j

—те —те

У^ ехр í -jEnd j AnjAn'jtónn'ójf = ^ \ An¿|2 ехр ( )

n,n',j,j' n,j ^ '

(9)

фурье-образ которой

те

Р[Е) = J Pit) ехр dt = 27rhYl lA«j|2 5(E ~ (10)

—те n,j

будет иметь вид набора ¿-образных пиков, соответствующих собственным значениям En энергии системы.

Таким образом, для нахождения спектра энергий квантовой системы необходимо знание волновой функции Ф(x,y,t), значения которой можно получить численным интегрированием нестационарного уравнения Шрсдингсра (1). Детали использованной нами процедуры описаны в |3,4|, Подчеркнем, что начальное значение волновой функции Ф(х,у, 0) следует выбирать в виде волнового пакета достаточно общего вида, с тем, чтобы в суперпозиции (8) присутствовали все собственные функции гамильтониана фп^(х,у), соответствующие собственным значениям энергии в интересующей нас области спектра.

Численное интегрирование в (10) может быть проведено только для конечного интервала времени T. С учетом этого выражение для фурье-образа корреляционной функции примет вид

«*> . / Р(<>ехр (1*) <* = ЕIА,/ г'

0 п>-7

(11)

Фигурирующая в правой части (11) функция вида вт(хТ)/х, обладает главным максимумом при х = 0, тем более высоким и узким, чем больше промежуток времени Т, а также максимумами и минимумами убывающей амплитуды по обе стороны от

2ñ(E-En)T

главного максимума. В результате, вместо набора бесконечно узких инков мы получаем суперпозицию максимумов, ширина которых обратно пропорциональна временному промежутку Т. Выбор продолжительности последнего определяется желаемой разрешающей способностью вычислительной процедуры, которая, в свою очередь, определяется ожидаемым минимальным расстоянием АЕ между соседними уровнями энергии и составляет

Во избежание перекрытия боковых полос функции 8т(хТ)/я от соседних значений Еп данное требование может быть усилено. В наших вычислениях мы опирались на соотношение

Т = ^ . (13)

АЕ

Кроме того, разрешимость максимумов можно улучшить, домножив подынтегральную выражение в (11) на оконную функцию, например, на так называемую нормированную функцию Ханнинга [3]

= ^ (1 - 008^) . (14)

Волновые функции стационарных состояний также могут быть найдены с помощью спектрального метода [3]. Чтобы определить собственные функции фп(х,у), соответствующие собственным значениям Еп, необходимо разложение (8) умножить на величину ехр (гЕпЬ/К) и проинтегрировать по временному промежутку Т:

т

т

(И — ^ ^ Ап' ,3 Фп',3

п',3

(х,у) у ехР 0

К

(Е- - Е'п)Ь

йЬ

п',3

Ат

^К-КУГ

(15)

При достаточно больших промежутках времени Т интеграл в левой части (15) будет с хорошей точностью пропорционален либо собственной функции фп(х, у) в отсутствие вырождения, либо суперпозиции собственных функций фп,3-(х, у), если п-ый энергетический уровень является вырожденным. Дня улучшения разрешающей способности можно и в этом случае домножить подынтегральное выражение на оконную функцию (14).

4. Движение в поле атомной цепочки. В качестве примера рассмотрим движение электрона с Ец — 20 МэВ вблизи атомной цепочки [110] кристалла кремния, непрерывный потенциал которой выберем в виде модифицированного потенциала Лин-дхарда [1]

/ЗЯ2

и(х, у) — -ио 1п 1 +

х2

у2

аЯ2

где и0 — 60 эВ, а — 0.37, в — 3.5, Я — 0.194 А (радиус Томаса-Ферми).

Вычисления на основе спектрального метода были выполнены нами с использованием следующих параметров:

- все функции координат задавались на дискретной сетке размером 256 х 256 узлов с шагом Ax = Ду = а/256, где а = 5.431 А— период решетки кристалла кремния;

- шаг по времени At/h = (1/75)Ur-1x, где Umax = U0 ln(1 + в/а) ~ глубина потенциальной ямы (16), выбран из соображений устойчивости алгоритма;

- полное число шагов по времени составляет целую часть от величины NT = 50 • 16п • (At/h)-1, что, согласно критерию (13), обеспечивает разрешающую способность не хуже AE = 0.02 эВ;

- начальная волновая функция выбрана в виде гауссианы, смещенной относительно центра потенциальной ямы в направлении оси у:

Ф(х,у, 0) =

1

па2

exp

x

+ (У - Уо)

2а2

(17)

где а = 0.025 А, у0 = а/35.

т = 0

Е± = -80.790 eF

-10

>

О)

1=2 о"

S'

-102 -

Рис. 1. Схема уровней энергии поперечного движения в непрерывном потенциале (15) цепочки [110] кристалла кремния для электрона с энергией продольного движения Ец = 20 МэВ (для удобства восприятия, по оси ординат использована логарифмическая шкала) и волновые функции основного и первого возбужденного состояний. Для нахождения уровней энергии, соответствующих т = 0, использовалась описанная в тексте процедура, но с центрально-симметричным начальным волновым пакетом, то есть пакетом вида (17) с уо = 0.

Графики найденных нами волновых функций представлены на рис. 2-9 в виде областей черного и белого цвета на плоскости (х, у), соответствующих значениям ф(х, у) < 0 и ф(х,у) > 0. Такое представление позволяет легко произвести классификацию собственных функций по квантовым числам пг и ш, просто подсчитывая нули волновой функции.

Действительно, при ш = 0 волновые функция фПг,0(г, будут зависеть только от радиальной координаты, но не от угловой. Поэтому линии ф(х,у) = 0 будут иметь вид концентрических окружностей. Все такие волновые функции представлены на рис. 2.

2Рис. 2. Графики собственных функций поперечпо-

го движения электрона с Ец = 20 МэВ в поле атомной цепочки [110] кристалла кремния в случае - 0т = 0. Функции изображены в виде контуров об-

ластей, соответствующих положительным (белые) и отрицательным (черные) значениям, красной ли-

-2 пией обозначена граница разрешенной для движе-

-21012 ,

^ пия с точки зрения классической механики области

и(х,у) <Е±.

На рис. 1 и первом графике рис. 2 представлена волновая функция самого глубоко-лежащего, основного состояния. Она вовсе лишена нулей (за исключением асимптотического стремления к нулю на бесконечности) и обладает единственным максимумом в центре. Соответственно этому, на первом графике рис. 2 она представлена единственной областью белого цвета (присутствующая на этом и некоторых других графиках

собственных функций нерегулярность в периферической области обусловлена погрешностью численных расчетов).

Е, = -80.790 еУ

Е\ = -46.096 еУ

МИШ"' "ПЦШ

Е, = -25.643 еУ

А

1

-21012 -21012 -21012

X. А. X. .А. X. .А.

2 1 0 1 -2

2 1 ^ 0 2 1 ^ 0

1 -9 1 -9

-21012 -21012 -21012

Xч А. X^ А. X) А.

Рис. 3. То же, что и на рис. 2, при т =1. = -58.468 еУ Е, = -32.769 еУ Е, = -17.794 еУ

«4

-21012 -21012 -21012

х,

X,

Е, = -9.367 еУ

Е, = -4.807 еУ

-21012 -21012

т=2

Каждое следующее (соответствующее более высокому собственному значению энер-

ш=0

количества нулей функции рПг,0(г). Таким образом, мы можем пронумеровать эти состояния квантовым числом пг, равным числу нулей радиальной части волновой функции.

ЕI = -40.526 eF

ЕI = -22.040 еУ

Et = -11.559 еУ

Ei = -5.874 eV

El = -2.915 еУ

Рис. 5. То же, что и па рис. 2, при m = 3.

-21012

х, Â

Рис. 6. То же, что и па рис. 2, при m = 4.

Е± = -15.803 еУ

Е> = -7.668 еУ

Е = -3.565 еУ

-С

-2

-2

0 1

-2 1

Рис. 7. То же, что и на рис. 2, при т = 5.

Е< = -8.179 еУ

Е< = -3.236 еУ

Г1

-2 1 0

х, I

Рис. 8. То же, что и на рис. 2, при т = 6. Рис. 9. То же, что и на рис. 2, при т = 7.

Соответствующие пг > 0 графики волновых функций на рис. 2 имеют вид концентрических черных и белых колец; значения пг легко определяются подсчетом числа границ между черными и белыми областями.

Аналогичная ситуация имеет место и в случае отличной от нуля проекции орбитального момента. Наличие вырождения по знаку т приводит к тому, что наш метод вместо собственных функций вида (5) дает суперпозицию функций фПгт (г, ф) и фПг -т (г, ф) с равными по абсолютной величине весами, сводящуюся к функции вида

рпг,\т\(т) СОЭ

|т|ф + аг

(18)

Конкретно, в нашем случае, когда начальная гауссиана (17) смещена в положительном направлении оси у, собственные функции, вычисляемые спектральным методом, будут иметь вид

Рпг,\т\(т) СОЭ

|т| I ф

п

(19)

(если отсчитывать полярный угол ф, как обычно, от положительного направления оси х против часовой стрелки). Таким образом, значение т у найденной нами волновой функции будет равно числу белых (либо черных) секторов на графике функции (см. рис. 3-9).

Схема уровней энергии нашей системы с учетом классификации состояний по квантовым числам пг и т представлена на рис. 10.

Характерной чертой найденных нами волновых функций стационарных состояний является наличие пересечений линий узлов функции ф(х, у) = 0, что приводит к формированию характерной картины типа шахматной доски, а подсчет линий узлов позволяет легко найти квантовые числа и проклассифицировать собственные состояния системы. Это обстоятельство обусловлено интегрируемостью системы: число интегралов движения системы (энергия поперечного движения Е^ и проекция орбитального момента на ось симметрии поля) равно числу степеней свободы системы (две), что приводит к возможности разделения переменных в уравнении движения и интегрированию последнего в квадратурах.

о -,

-1(Н

-20 ^

-30 4

-40 -

-ВО ^

-вП 4

-70 ^

-90 ^

-100

-110 J

= 6 т = ° пг = 5 т=1 "'=4 т = 3 пг = 3 т = 4 Пг = 2 щ = 5

= 5 т = 0 - "г = 4 т = 2 пг = 3 т=3 , ,-

"г=4 т=1 - "г = 2 т = 4 пг = 1 т

~ _9 -

п,. = О т=7

таг=4 т=0

пг = 3 т=2

п_ = (

лг-2 т=3

пг = 3 то=1

пг = 1 т=4

пг=3 т=0

пг=2 т = 2

п,.=0 т=5

п„ = 1 т=3

~=2 т=1

;г = 0 т=4

п. = 1 то=2

п,=0 т=3

п„ = 1 ш=1

п,=0 т=2

п„=0 т=1

п~= П т=0

Рис. 10. Схема квантовых состояний электрона с Ец =20 МэВ в непрерывном потенциале атомной цепочки [110] кристалла кремния.

Оказывается, что наличие пересечений (либо близких квазипересечений, рис. 11) линий узлов (поверхностей, в случае большего числа измерений) собственных функций есть общее свойство интегрируемых квантовых систем [8-111.

+ — + — + — + —

— + — + + + — — + — +

+ — + — — + + + — + —

— + — + — + — +

(а) (Ь) (с)

Рис. 11. Схематическое изображение пересечений линий узлов волновой функции ф(х,у) = 0 для интегрируемой (а) и неинтегрируемой (с) квантовой системы [8].

Совершенно иная картина наблюдается для неинтегрируемых систем. Примером такой системы может служить электрон в поле двух соседних атомных цепочек [110] кристалла кремния (влиянием других пар таких цепочек можно пренебречь). На рис. 12 представлены примеры собственных функций каналированного электрона в таком поле. В отсутствие аксиальной симметрии поля у двумерной системы остается, вообще говоря, единственный интеграл движения — энергия Е±, что приводит к драматическому изменению морфологии волновой функции: линии узлов не пересекаются, и вместо узора типа шахматной доски мы видим причудливую картину островков черного и белого цвета. Такое поведение является общим для неинтегрируемых систем [8 11].

-21012 -21012 -21012

Ж А /у Д /у» А

, П. <1/^ л ¿и; Л

Рис. 12. Примеры собственных функций электрона с Ец = 20 МэВ в поле двух соседних

атомных цепочек [110] кристалла кремния.

В классической механике интегрируемость либо неинтегрируемость системы оказывается тесно связана с регулярностью либо хаотичностью движения [9,10,12]. Под динамическим хаосом в классической механике понимается чувствительность системы к начальным условиям, приводящая к экспоненциальному разбеганию первоначально близких траекторий. В этом случае траектории, оставаясь детерминированными (предполагается отсутствие в системе шумов, случайных сил), становятся неотличимыми от случайных.

В квантовой механике экспоненциальная зависимость от начальных условий отсутствует. Тем не менее, в поведении квантовых систем, в классическом продело демонстрирующих регулярное либо хаотическое поведение, присутствует ряд качественных различий. Поиск и исследование таких отличий составляет содержание проблематики квантового хаоса |13|. Различие в структуре волновых функций, а именно, в картине, образуемой .пиниями узлов, как раз является одним из проявлений квантового хаоса.

Заключение. В работе рассмотрена квантовомеханичоская задача о движении быстрого электрона в аксиально-симметричном поло отдельной атомной цепочки (а также двух соседних атомных цепочек кристалла), на примере которой была продемонстрирована работоспособность спектрального метода дня нахождения решений уравнения Шредингора (собственных функций и собственных значений энергии), описывающего движение быстрого электрона в кристалле в режиме аксиального кананирования. Этот подход может быть использован в задаче об исследовании проявлений квантового хаоса в задаче об аксиальном каналировании электронов в кристалле.

Литература

1. Ахиозср А.И., Шульга Н.Ф. Электродинамика высоких энергий в веществе / М.: Наука, 1993. 344 с.

2. Ахиозср А.И., Шульга Н.Ф., Трутень В.И., Гриненко А.А., Сыщенко В.В. Динамика заряженных частиц высоких энергий в прямых и изогнутых кристаллах /7 Успехи физических наук. 1995. 165; 10. С.1165-1192.

3. M.D. Feit, J.A. Flock, Jr., A. Stciger, Solution of the Schrodinger Equation bv a Spectral Method /7 .Journal of Computational Physics. 1982. 47. P.412-433.

4. Шульга Н.Ф., Сыщенко В.В., Нерябова B.C. Спектральный метод в теории аксиального каналирования /7 Поверхность. 2013. №3. С.91-96.

5. N.F. Shul'ga, V.V. Svshehenko, V.S. Ncrvabova, A.Yu. Isupov On spectral method in the axial channeling theory // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research B. 2013. 309. P.153-156.

6. N.F. Shul'ga, V.V. Svshehenko, A.Yu. Isupov Statistical properties of the energy levels in the axial channeling quantum theory // Problems of Atomic Science and Technology. 2014. 5 (93). P.120-123.

7. Галицкий B.M., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи но квантовой механике / M.: Наука, 1981. 648 с.

8. Stratt R.M., Handy N.C., Miller W.H. On the quantum mechanical implications of classical ergodicitv /7 .Journal of Chemical Physics. 1979. 71;8. P.3311-3322.

9. Gutzwiller M.C. Chaos in Classical and Quantum Mechanics / New-York: Springer, 1990. 432 p.

10. Шустер Г. Детерменированный хаос: Введение / M.: Мир, 1988. 240 с.

11. Bcrczovoj V.P., Bolotin Yu.L., Cherkaskiv V.A. Signatures of quantum chaos in wave functions structure for multi-well 2D potentials /7 Physics Letters A. 2004. 323. P.218-223.

12. Болотин Ю.Л., Тур А.В., Яновский В.В. Конструктивный хаос / Харьков: Институт монокристаллов, 2005. 420 с.

13. Berrv M.V. Quantum Chaologv // Proceedings of the Roval Society A. 1987. 413. P.183-198.

Работа поддержана Министерством образования и науки Российской Федерации (проектная часть государственного задания № 3.500.2014/К в сфере научной деятельности).

CLASSICICATION OF THE QUANTUM STATES OF AN ELECTRON MOVING IN THE AXIAL CHANNELING REGIME IN THE CRYSTAL

V.V. Syshchenko1, A.I. Tarnovsky,1 A.Yu. Isupov2

1Belgorod State National Research University,

Studencheskya St., 14, Belgorod, 308007, Russia 2

Abstract. Possibilities of the so-called spectral method for solving of Schrodinger's equation in the problem of axial channeling are investigated. Characteristics of quantum states of an electron moving near [110] atomic string of the silicon crystal have been found as an example of application of this method.

Key words: channeling, spectral method, eigenfunetions, quantum chaos.