CC BY
57
Все означенные выше действия с дробными числами (операции с моделями объектов, схемами, чертежами), арифметические действия с дробями имеют в начальной школе ознакомительный характер и решают задачу развития математического мышления, являясь подготовительным этапом в приобретении вычислительных навыков в области дробных чисел, что является задачей основной школы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной школе. М.: ВЛАДОС, 2005.
2. Семакина Л.И., Гараева Я.Ш. Поурочные разработки по математике к учебному комплекту Л.Г. Петерсон, 4 класс. М.: ВАКО, 2004.
3. Шумакова Н.Б. Тексты по программе «Одарённый ребёнок». М.: Институт психологии, 1996.
А.Ф. Ольховой, Н.Е. Ляхова КЛАССИЧЕСКОЕ И НЕКЛАССИЧЕСКОЕ ПОНИМАНИЕ РЕШЕНИЯ
1. В принципе не существует способа узнать что-либо о природе (и не только о ней) помимо эксперимента, потому, что "чисто логическое мышление само по себе не может дать никаких знаний о мире фактов. Полученные чисто логическим путем положения ничего не говорят о действительности" [7]. Но любой эксперимент (эксперимент всегда - опыт, обратное, вообще говоря, неверно) есть попытка получить ответ на корректно (от латинского соггейш) поставленный, то есть правильный вопрос. Язык, на котором можно задавать корректные вопросы, это, всё же, язык логики и, в конечно итоге, математики. На многие вопросы можно получать однозначные ответы, воспользовавшись уже накопленным опытом, если эти вопросы - частный случай более общих вопросов, на которые уже есть ответы. Искусство пользоваться накопленным опытом и есть дедукция. Однако если понимать под истинностью суждений не отражение реальности, что бы под этим ни понимать, а непротиворечивость и попытаться искусство дедукции сделать умением, то мы получим математику. Это, помимо технологии, умение отличать верное от неверного, доказанное от недоказанного, правдоподобное от неправдоподобного, и, самое сложное, неправдоподобие, которое может быть верным, - от правдоподобной лжи.
Откуда-то сверху, откуда математика видна как предмет целиком, она представляется как формально-логический дискурс, дедукция из конечного числа явных утверждений. В современном понимании математика с одной стороны - это культуральный троп, т.е. один из способов человеческого понимания мира, в основе которого лежит иерархия формально-логических рассуждений. С другой стороны, математика является естественным интерпарадигмальным языком науки, в котором формально - логическое доказательство является общезначимым средством её внутренней коррекции. "Математики имеют дело только со структурой рассуждений, и им, в сущности, безразлично, о чем они говорят. В физике вы должны понимать связь слов с реальным миром" [6]. Это означает, что во внутренних областях математики никакие неправильные, то есть некорректные задачи невозможны по определению. Математику и /или логику можно представить как ядро любой проблемы, имеющей отношение к любой интеллектуальной деятельности человека. Это ядро окружают модели реальности, создаваемые в конкретных предметных областях, вне которых и находится внешний мир. Однако, являясь естественным общезначимым средством науки, математика по определению не может решать никаких проблем ни в одной из предметных областей её. Она может только обнажить проблему, выявить её внутренние противоречия.
2. При изучении реального объекта или явления первый этап - построение модели этой реальности. При построении модели некоторые факты, известные лишь с некоторой (даже очень большой) долей вероятности или лишь с некоторой (даже очень большой) точностью, признаются "абсолютно" верными и принимаются за "аксиомы". Смысл этой "абсолютности" состоит в том, что мы работаем с моделью так, как если бы она совпадала с реальностью. Модель оперирует с этими "фактами" по правилам формальной логики, объявляя "теоремами" все то, что из них можно
вывести. Таким образом, модель - это прямая задача, импликация А В, дополненная набором правил, связывающих теоретические величины с нашими наблюдениями, где А - это достаточное условие для В . Но нас - то интересует именно адекватность исходных положений А, то есть обратная задача. Ясно, что если В истинно, то А может быть как истинным, так и ложным. Кроме того, В истинно и при других возможных А , даже не пересекающихся с данным. Таким образом, обратные задачи, вообще говоря, неразрешимы.
3. В рамках уже построенной модели - прямые задачи - задачи отыскания следствий известных или заданных причин (поля при заданных источниках, реакция прибора при заданных воздействиях и т.д. - то есть "вдоль "причинно-следственных или каузальных связей). Обратные задачи - задачи отыскания причин известных или заданных следствий часто даже тогда, когда интересующие характеристики объекта недоступны для непосредственного наблюдения (например, глубинные свойства Земли, астрофизические явления). Сам эксперимент может быть или слишком дорог, или невозможен, или слишком опасен. Это, например, восстановление характеристик источников полей по заданным их значениям в некоторых точках, восстановление или интерпретация исходного сигнала по известному выходному и так далее - то есть "против "причинно-следственных связей. Процедура решения таких задач связана с преодолением серьезных математических и идеологических трудностей, главной из которых является наличие априорного представления об объекте изучения. Успех этой процедуры сильно зависит как от качества и количества полученной из эксперимента информации, так и от способа ее обработки. То есть в наше представление об объекте изучения так или иначе должен входить способ получения информации о нём.
Собственно говоря, любая задача измерения - обратная, любая физическая теория - решение обратной задачи. Кстати, в этом физика (как и любая другая область естествознания), занимающаяся внешним миром, кардинально отличается от математики. В математике доказательство остается верным навсегда. Утверждения математики не могут быть более и менее убедительны. А в физике это совершенно обычно. Даже после появления некоторой общепринятой интерпретации, невозможно формально доказать, что она - единственно правильна.
Однако термин "обратная задача" обычно используют для сложных задач интерпретации, для которых характерна информационная неопределённость, то есть когда:
- неодновременно и не независимо измеряется большое число параметров;
- число параметров вообще неопределённо велико;
- исходные данные обладают большими размерностями (тысячи и десятки тысяч факторов и состояний объекта управления или наблюдения), для них неизвестен закон распределения, они являются неполными, неточными и зашумленными. Принципиальной чертой этих задач является то, что они не имеют, вообще говоря, единственного решения, или даже никакого. Они информационно неопределенны, то есть либо переопределены, то есть имеют противоречивые условия, или недоопределены, то есть исходных данных не хватает для однозначного решения или негрубы, то есть физически нереализуемы.
Информационная неопределённость часто связана и с тем, что начальные данные нельзя задать в точке. Вычислительные модели и процедуры также является источником погрешностей. Это связано, например, с заменой интеграла суммой, усечением рядов при вычислениях значений функций, интерполированием табличных данных и т.п. Как правило, погрешность численного метода регулируема, т.е. она может быть уменьшена до любого разумного значения путем изменения некоторого параметра (например, шага интегрирования, числа членов усеченного ряда и т.п.), если исходная задача корректна. Для некорректно поставленной задачи все численные алгоритмы её решения будут некорректными.
5. В 1932 году, Ж. Адамар в книге "Теория уравнений в частных производных", вышедшей в Пекине через год после его смерти сформулировал понятие хорошо поставленных, корректных задач.
Они характеризуются наличием решения (в определенном математическом множестве) и его единственностью. Смысл этих условий состоит в том, исходные данные не противоречат друг другу и их достаточно для однозначного решения задачи. Это называют математической опреде-
лённостью задачи. Третим условием корректности является непрерывная зависимость решения от исходных данных. Ж. Адамар писал: "Это третье условие, которое мы ... не рассматривали как часть определения хорошо поставленных задач, было присоединено, и совершенно справедливо, Гильбертом и Курантом". Это условие обычно называется физической определённостью задачи, то есть её детерминированностью или непрерывной зависимостью решения от исходных данных.
Понятие математической и физической определённости задачи в математике есть просто важная особенность тех или иных математических задач и по отношении к этим задачам не употребляется термины "корректно" или "некорректно". Корректной или некорректной задача становится только после её физической интерпретации. Мы будем рассматривать математические модели физических задач или сложных задач интерпретации и только по отношению к ним имеет смысл эта терминология. То есть математическая задача, которая математически и (или) физически неопределенна, называется некорректной только если она моделирует ту или иную физическую ситуацию. Но тогда изучение таких задач есть способ понимания физических проблем.
6. Математическая модель физической задачи или сложной задачи интерпретации, если она корректно поставлена, должна быть математически и физически определена. Такой математической моделью является операторное уравнение I рода Ах = у, где х е X - искомый, у е Y - заданный элементы некоторых топологических пространств X , Y , а A - заданное отображение (оператор, не обязательно линейный), действующее из передающего пространства X в приёмное пространство Y . (В случае, если передающее и приёмное пространства функциональные, то операторное уравнение будем записывать так: А и = / , где и & е F .) Если задан X, а у - искомый элемент, то это прямая задача, если задан y , а x - искомый элемент, то это обратная задача. Если X и Y числовые множества, то A функция, если X и Y векторы или функции из соответствующих пространств, то A - оператор, если X векторы или функции из соответствующих пространств, а Y множество действительных или комплексных чисел, то A - функционал. Но по определению Vx е IX А) а ХЗ! у е R( A) a Y . Здесь IX А) - область определения, a R( А) -множество значений оператора A . В простейшем случае задача математически определена, если D(A) = X, a R( А) = Y. то есть Vy е Y3! х е X : Ах = у. Если это не так, то понятие математической определенности требует специального уточнения. Рассмотрим физическую определённость задачи. Всегда при измерениях вместо точных значений (A, x) или (A, y) мы имеем дело с
парой (Ah,xs) в случае прямой задачи или с парой (Ah,ys) в случае обратной. Здесь Ah,Х.;,у,. -возмущённые значения A, x, y . В классической математике прямая задача заключается в построении сходящейся последовательности yh s } —>• у при условии, что { Ah, xs } —> (А, х). Обратная
задача заключается в построении сходящейся последовательности xh s} —> X при условии, что {A , J',,-! ^ (А, у). Пусть оператор А задан точно. Тогда это означает, что в метрических пространствах X и Y У i: > 03 г) = 8(s) : pi у, >'(>) < д => ) < s. Это называют устойчивостью операторного уравнения или непрерывностью оператора A , или физической определённостью задачи, если X и Y - метрические пространства. Очевидна соответствующая переформулировка для нормированных пространств. Лишь для корректно поставленных задач обоснованно понятие "приближенное решение".
В классическом понимании есть модели реально существующих физических объектов или явлений и некоторый математический инструментарий для их обработки. Но "... о "физическом законе" какого-нибудь явления можно говорить лишь в том случае, когда этот закон является "грубым" относительно предельного перехода от описания с конечной точностью к бесконечно точному и в силу этого недостижимому для любого наблюдателя, кем бы он ни был" [2]. Поэтому классическая модель подразумевает, во-первых, что такой переход возможен, а во-вторых, модель никак не связана с инструментами для её обработки. Изучение математической модели - это ис-
следование её на корректность, то есть доказательство теорем о существовании и единственности решения и доказательство устойчивости решения к сколь угодно малым вариациям исходных данных.
7. Итак, прямая задача корректна, если оператор А сюръективен и непрерывен. Для корректности обратной задачи даже в случае биективности и непрерывности оператора А , т.е. если
ЗА 1, требуется непрерывность оператора А '. а во многих важных случаях (например, для вполне непрерывных операторов) это не так. Если это не выполняется, задача называется некорректной (поставленной некорректно/ Для таких задач понятие "приближенное решение" в классическом смысле теряет смысл, потому что "приближенное решение" подразумевает наличие точного решения, то есть математическую и физическую определённость задачи. Но если отсутствует понятие точного решения и, соответственно, отсутствует и сходимость каким либо образом полученной последовательности приближенных решений к точному решению. Причём эти последовательности могут вообще не сходиться. Но даже если соответствующие сходимости есть, может случиться так, что с увеличением точности измерений у увеличивается разброс значений результата X (для обратных задач) или наоборот (для прямых), то есть одно "приближенное решение" может очень сильно отличаться от другого при незначительном изменении исходных данных. Эта ситуация неисправима принципиально, поэтому применять для решения таких задач численные методы без понимания характера задачи не имеет смысла. Ошибки данных наблюдений будут складываться с возникающими погрешностями вычислений и сильно возрастать в ходе этих вычислений, что приведет к принципиальному искажению результатов. Так возникает проблема изучения свойств математических уравнений, описывающих физическую задачу, с точки зрения их корректности в приложениях.
Иногда для этого удобно разделять некорректные задачи I типа, связанные с существованием и единственностью решения, то есть с математической определённостью задачи, и некорректные задачи II типа, связанные с неустойчивостью решения, то есть с её физической неопределённостью. Это вызвано с одной стороны с тем, что во многих случаях измерений или наблюдений несуществование или неединственность решений не недостаток, а имманентная особенность модели, которую нужно учитывать. С другой стороны, во многих задачах физического происхождения обычно мы уверены в существовании решения. Единственность также часто может быть гарантирована, например, для обратной задачи теории потенциала, обратной задачи спектроскопии и инструментальной оптики и ряда других задач. Проблемы, связанные с физической неопределённостью бывает удобно рассматривать отдельно. Если задача некорректна, то есть математически или физически неопределенна, что же понимать под "решением" такой задачи и как найти его? Всегда ли можно получить приближенное решение некорректной задачи?
8. Понятие неклассического решения связано с изменением представления о самой модели. Теперь она должна включать в себя и априорную информацию о возможном характере предполагаемого решения, по крайней мере уменьшающую информационную неопределённость, и алгоритм обработки информации, то есть получения "решения". Эта ситуация напоминает квантовую механику, где динамическим переменным микрообъектов (координате, энергии, импульсу и так далее) сопоставляются по определённым правилам эрмитовы операторы, акту наблюдения сопоставляется определённая процедура получения решения операторного (дифференциального) уравнения (практически, всегда численными методами), а наблюдаемыми объявляются результаты этих вычислений. То есть модель квантово-механического объекта - это сложная конструкция, включающая в себя и алгоритм её получения, и априорную информацию о объекте, и способы интерпретации. С другой стороны, здесь просматривается аналогия с понятием "конечной точности" по Колмогорову, когда вместо "невычислимого" решения рассматриваются либо сглаженные в определённом смысле решения, либо функционалы от них. В любом случае параметры алгоритма сглаживания и сам алгоритм становятся частью исследуемой системы.
Введение априорной дополнительной информации об искомом решении является необходимым элементом решения некорректных задач. Существуют два основных подхода к заданию априорной информации - детерминистский и вероятностный.
В первом случае априорная информация заключается в указании класса допустимых решений, то есть подмножества, содержащегося в пространстве решений, в котором ищется решение. Такая априорная информация называется детерминистической, или информацией типа D. Она может носить количественный характер, что позволяет сузить класс возможных решений, например, до компактного множества и сделать задачу физически определённой. Она бывает двух типов: или указывается подпространство, в котором ищется решение ф1), или в качестве допустимых решений считаются только те векторы, норма которых не превосходит заданной величины, то есть все они принадлежат некоторому гипершару радиуса R ф2). Таким образом, детерминистическая априорная информация нетривиальна, рассматривается в явном и неизменном виде, что позволяет придать ей явный физический смысл. В этом случае в основе понятия приближённого решения некорректной по условию задачи Ах = у лежит идея А.Н. Тихонова [3], [4] о том, что решение некорректной задачи можно представить как приближенное вычисление значений разрывной функции. В общем случае пределом последовательности непрерывных функций является функция разрывная. Тогда можно построить алгоритм, позволяющий получить приближенное решение некорректной задачи Ах = у с любой заданной точностью, каждый раз решая корректную задачу ха — Кау. Непрерывный линейный оператор Яа называется регуляризирующим, если
За е 4>,а0 л В.а л
' - не очень большое, в пределах которого оператор " имеет область определения
Г и \/е > 03 6 = с)(7;): р(у\ у3) < д => р(х, X,,) < с . То есть при применении оператора к у в уравнении Ах = у существует приближённое решение ха = 1(иу. Это решение при
а ^ 0 стремится какому то пределу и при каждом ОС >0 задача корректна по Адамару. При а ~ 0 оператор Яа должен совпасть с обратным, а он не существует. Таким образом, приближённое решение некорректной задачи может быть сведено к нахождению регуляризирующего
оператора а , который определяет устойчивое приближение к решению X, которое не существует. Этот предел и называют точным решением некорректной задачи.
Можно ли любую разрывную функцию представить как предел последовательности непрерывных функций? В начале XX века Р. Бэр дал классификацию разрывных функций, где функции, являющиеся пределом последовательности непрерывных функций, он назвал аналитически пред-ставимыми функциями первого класса. В. Винокуров [1] показал, что в банаховых пространствах множество регуляризируемых функций совпадает со множеством аналитически представимых функций первого класса. Применив к ним процедуру предельного перехода получим аналитически представимые функции второго класса и т.д. Функции, относящиеся к классам выше первого не могут быть регуляризированы в принципе.
Таким образом, что бы мы ни понимали под "решением" некорректной задачи, существует широкий класс принципиально неразрешимых, нерегуляризируемых задач, для которых справедлив "принцип неопределённости": при увеличении точности входной информации ошибка решения только растёт и не может быть меньше некоторой константы. Теперь все возможные задачи можно разбить на три класса:
корректные задачи, для которых метод регуляризации не нужен; некорректные задачи, для которых существует регуляризующий их алгоритм; нерегуляризуемые некорректные задачи.
Другой подход основан на введении распределения вероятностей в пространстве решений. В этом случае априорная информация о решении вносится путём задания некоторой плотности распределения вероятностей Р(X) . Такое задание априорной информации называется стохастическим, или информацией типа S. Различные варианты метода стохастической регуляризации соответствуют различным способам задания априорного распределения вероятностей. Любая обратная некорректная задача в приложениях это задача обработки экспериментальных данных, ошибки которых естественно трактовать вероятностным образом. Метод работает, как обучающаяся сис-
тема. Результат эксперимента у8 интерпретируется, как условная плотность вероятности Р( у|х) при условии, что Р( X) известна. Требуется найти апостериорную плотность вероятности Р(х|у ) при условии, что получен результат эксперимента у8 . Получив после серии экспериментов апостериорную плотность вероятности Р(х|у), её можно в следующей серии рассматривать, как априорную плотность распределения вероятностей Р(х) . Рассмотрим алгебраи-зированное операторное уравнение I рода Ах = у5, то есть и X и у3 принадлежат конечномерным эвклидовым пространствам Я" и Я™. При этом не имеет значения, существует ли точное решение этого уравнения, а число уравнений может в любую сторону отличаться от числа неиз-
мировки. Метод был предложен и подробно метод изложен В.Ф. Турчиным [5]. В соответствии с тремя перечисленными типами априорных ограничений, можно выделить три основных группы методов решения обратных некорректных задач:
проекционные методы или задача П.Л. Чебышова. методы регуляризации или задача А.Н. Тихонова. методы статистических оценок или задача В. Ф. Турчина.
Но в любом случае модель задачи содержит в себе и априорную информацию о решении и метод решения задачи, включая алгоритм обработки информации, то есть получения "решения".
1. Винокуров В.И. "ДАН СССР", 1975 Т. 220. № 2.
2. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. М.: Наука, 1985.
3. Тихонов А.Н."ДАН СССР", 1943. Т. 39. № 5.
4. Тихонов А.Н. "ДАН СССР", 1963. Т. 151. № 3.
5. Турчин В.Ф. УФН. 1970. Т. 102. Вып. 3. С. 346-386.
6. Фейнман Р. Характер физических законов. М.: Мир, 1968. С. 56.
7. Эйнштейн А. Физика и реальность. М.: Наука, 1965. С. 66.
Развитие речи учащихся во все времена являлось одной из главных задач образования, ведь научится хорошо и правильно выражать свои мысли в устной и письменной форме, уметь убедительно, ярко говорить и писать необходимо каждому.
Каждый предмет в начальной школе решает проблему развития речи учащихся по-своему. Однако, если, к примеру, на уроках чтения работа учителя направлена на развитие таких качеств речи, как выразительность, стройность, образность и т.д., то, говоря о развитии речи учащихся на уроках математики, прежде всего следует иметь в виду ее лаконичность, обоснованность, краткость, точность.
Нередко на уроках математики учителя бывают внимательны лишь к тому содержанию, которое излагает учащийся, но не очень-то следят за тем, как он говорит. Такой подход вряд ли может быть оправдан, т.к. важно не только содержание, но и форма ответа. Ошибочно считать, что формирование культуры речи младших школьников происходит только на уроках чтения и русского языка. То, что учитель в этом отношении может сделать на уроках математики, порой затруднительно сделать на других уроках, ведь именно на уроках математики младший школьник
вестных. Тогда по формуле Байеса
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
М.М. Русинова
ПОДГОТОВКА СТУДЕНТОВ К РАЗВИТИЮ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ РЕЧИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ
