CC BY
11
Серия «Математика»
Том 1 (2007), № 1, С. 205—211
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia
ИЗВЕСТИЯ
Иркутского государственного университета
УДК 517.983.51
Классические решения вырожденного дифференциально-операторного уравнения третьего порядка в банаховых пространствах
С. С. Орлов ([email protected])
Институт математики, экономики и информатики ИГУ, Иркутск
Аннотация. В статье доказана теорема о достаточных условиях существования и единственности классического решения задачи Коши для вырожденного дифференциально-операторного уравнения третьего порядка в банаховых пространствах. А также получены явные формулы для восстановления этого решения.
Ключевые слова: фредгольмов оператор, обобщенный жорданов набор, банахово пространство
Введение
Рассматривается дифференциально-операторное уравнение следующего вида
Бх(г) = л2 х(г) + А\х(г) + л0 х(г) + / (г), (1)
с начальными условиями
х(0) = хо, х(0) = XI, х(0) = Х2, (2)
где Б, Л2, Л1, Ао — замкнутые линейные операторы с плотными областями определения, действующие из Е1 в Е2, Е1, Е2 — банаховы пространства, причем
v(Б) с v(Л2) п v(Л1) п v(Ло),
v(Б) = v(л2) п v(л1) п v(ло) = Е\, п(Б) = п(Б),
х(г), / (г) — неизвестная и заданная функции неотрицательного вещественного аргумента г ео значениями в Е1 и Е2 соответственно.
206
С. С. ОРЛОВ
Особый интерес представляет случай необратимого оператора В, т. к. в такой постановке задача Коши (1)-(2) не всегда имеет классическое решение, под которым понимается функция х(Ь) класса С3([0, Е\),
обращающая в тождество уравнение (1) и удовлетворяющая начальным условиям (2). Имеется множество подходов к исследованию проблемы разрешимости сингулярных (вырожденных) дифференциально-операторных уравнений как в конечномерных, так и в бесконечномерных пространствах. В данной работе применительно к задаче Коши (1)-(2) были использованы идеи работ Н.А. Сидорова по теории разрешимости сингулярных дифференциально-операторных уравнений в банаховых пространствах [1].
1. Некоторые вспомогательные сведения
Пусть оператор B фредгольмов и выполнено следующее условие A) ядро оператора B m-мерно, т. е. dim N(B) = m, в этом случае dim N(B*) = m, здесь B* — сопряженный оператор.
Введем следующие обозначения: {щi, i = 1,m} — базис в N(B), {фг, i = 1,m} —базис в N (B *), {7i, i = 1,m},{zi, i = 1,m} —соответствующие биортогональные системы элементов из Ef и E2, т.е. имеют место соотношения
(щг, Yj) = Sij, (zi, фj) = Sij, i,j = 1, m.
Приведем следующие понятия, используемые далее в работе. Оператором Шмидта для фредгольмова оператора B называется следующий оператор
/ m \-1
г = B-1 = (b + ]Т (.,Yi) zA , (3)
который в силу леммы Шмидта [2] существует и ограничен.
Обобщенным A2, Ai, Ao-жордановым набором оператора B будем называть множество элементов |щ(к), k = 1,Pi, i = 1, m^, удовлетворяющих следующим соотношениям:
B^2) = a2^\b^ = A2P(2) + Aip(l),
Bщ(к) = A2V(k-l) + AiV(k-2) + Aoщ(к-3), k = 4p,i = 1m. (4)
В силу альтернативы Фредгольма [2] уравнения (4) будут разрешимы (к)
относительно щ , если для них выполняются условия разрешимости, имеющие вид
(A2^(1), ф3) = 0, (A2^(2) + Aop(l), i>j) = 0,
(М- + + А)^(к-3),ф3) = 0, (5)
к = 4,рг, г,] = 1, т. В этом случае элементы можно восстановить по формулам
^2) =ГА2^, „<3) =Г(А2^2) + А^р),
= Г(А2^к-1) + А^-2) + Ао^-3)), к = 4~Р1, г = 1(6)
Далее без ограничения общности будем считать, что р1 < р2 < Рз < • • • < Рт-
Обобщенный А2, А1, Ао-жорданов набор оператора В называется полным, если
ёе^А2^р] + А^-1 + Ао^1-2\ — = 0, г,] = Тт-
В случае полного обобщенного А2, А1, Ао-жорданова набора без ограничения общности для всех г,] = 1,т можно предполагать выполненными следующие равенства
(А2^к) + АМк-1) + Ао^-2), Ф-) = 0, к < рг, (7)
(А2^ + А^-1) + Ао^-2), ф-) = 5гз. (8)
Полный обобщенный А2, А1, Ао-жорданов набор оператора В называется биканоническим [3], если выполняются соотношения
(А2^(к) + А^(к-1) + Ао^-2\ ф3) = 0, к > рг, г,] = Тт, (9)
где
^к) = Г(А2^к-1) + А^-2 + Ао^к-3)), к > Рг, г = Тт
называются формально присоединенными элементами.
Далее везде в работе будем предполагать выполненным условие В) оператор В имеет биканонический полный обобщенный А2, А1, Ао-жорданов набор.
2. Построение классического решения
Ранее в работах [4], [5] строились классические решения задачи Коши (1)-(2) в конечномерных пространствах в предположении одномерности нуль-пространства оператора (матрицы) В. В настоящей работе эти результаты обобщаются на случай бесконечномерных пространств и многомерных ядер.
208 с. с. орлов
Пусть выполнено следующее условие:
С) операторы Л2Г , Л1Г , ЛоГ коммутируют, т. е. выполняются следующие равенства
ЛгаГ ЛкГ = ЛкГ ЛгаГ ,п = к, п,к = 072,
и операторное уравнение
Л3 + Л2ГЛ2 + Л1ГЛ + ЛоГ = 0
имеет три различных решения Л1, Л2, Л3 € С(Е2), коммутирующих между собой, причем операторы вида (Лг — Лэ-), г = ], г,3 = 1,3 непрерывно обратимы. Введем функции:
Г (т) = V-1((Лз — Л2) ехрЛ1Т — (Л3 — Л1)ехрЛ2Т + (Л2 — Л1)ехрЛзт),
(10)
где V = (Лз — Л2)(Лз — Л1)(Л2 — Л1),
х2Ь2
д(г) = / (г) + Л2Ж2 + Л^г + х^ + Ло(— + х1г + хо),
Кгз(т) = (Г"(т)Л2^г + Г'(т)Л№ + Г(т)Ло^, ф3), г, 3 = Т~т, г
Ь3 (г) = — | {г(г — з)д(з), Ф3) йв, ] = тт. о
Далее имеет место следующая
Лемма 1. Если выполнены условия А), В), С), то для г,] = 1,т справедливо представление
Кг3 (т) = №-1!, г = 3 (11)
I0, г = 3-
Справедливость формулы (11) устанавливается простым разложением в ряд Тейлора функций Кц (т) в окрестности точки т = 0. При этом используется условие С) и формулы (6), (7), (8), (9), (10). Введем условия:
Б) б5?+2)(0) = 0, д = Т~рг, г,] = Тт
е) {/(г), фэ) € с(р)(г > 0), 3 = тт.
Теорема 1. Если выполнены условия А), В), С), В), Е), то .задача Коши (1)-(2) имеет единственное классическое решение
х ¿2 т г
х(г) = хо + х^ + + Ьг (г)фг + Г Г (г — в)д(в)йв+
г=1 п
т *
+Г£/(Г* (г — в)Л2^г + Г (г — в)Л№ + Г (г — в)Ло^г)Ьг(в)йв, г=1 о
где Г — оператор Шмидта см. (3), функция Г(т) задается формулой (10).
Доказательство. Следуя идеологии работы [1], решение задачи Коши (1)-(2) будем искать в виде
х2г2
х(г) = хо + х1г + -2- + г V (г) + ¿2 Шы, (12)
2 г=1
где функции V(г), £г(£), г = 1,т удовлетворяют следующим условиям
V(0) = У(0) = ^(0) = 0, {V(г), Фэ) = 0, 3 = 1, т, (13
&(0)= &(0) = Сг(0) = 0, г = 1,т. (14)
Подставляя (12) в (1) с учетом (13) и условия С) получаем
г
V (г) = у Г (г — в)д(в)йв+ о
т *
+ X) / (Г* (г — в)Л2^г + Г* (г — в)Л№ + г (г — в)Ло^гШв)йв,
г=1 о
где £г(£) удовлетворяют системе интегральных уравнений Вольтерра первого рода
т *
]Г J Кгэ(г — вМв)йв = Ьэ(г), 3 = 1"т, (15)
г=1 о
которая в силу леммы 1 фактически расщепляется на т независимых уравнений, решая каждое из которых методом последовательного дифференцирования в силу условия Б) находим его единственное
ц(Рг )
аналитическое решение £г(£) = Ь( г)(г), где г = 1,т. □
Замечание 1. Условие Е) «слабой» дифференцируемости функции /(г) требуется для однозначной разрешимости системы интегральных уравнений Вольтерра (15). При этом учитывается свойство, заключающееся в том, что Ь(0) = Ь(0) = Ь(0) = 0.
Замечание 2. Условие биканоничности полного обобщенного жорда-нова набора можно снять. Это приведет к «техническому» утяжелению предложенного метода, но никак не скажется на сути результата.
210
С. С. ОРЛОВ
Замечание 3. Применение к поставленной задаче теории обобщенных функций Соболева-Шварца позволяет снять условие Б) теоремы 1 и построить решение задачи Коши (1)-(2) в классе К (К+, Е{) — обобщенных функций с ограниченным слева носителем [6]. Для восстановления такого решения могут быть использованы две технологии. Первая состоит в представлении решения в виде суммы регулярной и сингулярной составляющих, последняя имеет точечный носитель и является линейной комбинацией ¿-функции Дирака и ее производных [7]. Другой подход, развитый М. В. Фалалеевым, связан с понятием фундаментальной оператор-функции сингулярного дифференциального оператора [8]. Здесь решение восстанавливается как свертка фундаментальной оператор-функции с правой частью уравнения (свободной функцией). С помощью этой конструкции доказывается единственность решения в классе К ("^.+ ,^1).
Список литературы
1. Сидоров Н.А., Романова О.А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений с вырождением // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, № 9. С. 1516-1526.
2. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969.
3. Русак Ю.Б. Обобщённая жорданова структура в теории ветвления: дис. ... канд. физ. мат. наук: Ташкент: АН УССР, 1979.
4. Орлов С.С. Непрерывные и обобщенные решения одного класса систем линейных дифференциальных уравнений третьего порядка с вырождением // Интеллектуальные и материальные ресурсы Сибири: Материалы регион. науч.-практ. конф., Иркутск: Изд.-во БГУЭП, 2007. С. 33-40.
5. Орлов С.С. Задача Коши для полной системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений третьего порядка с постоянными коэффици-ентами//Материалы ежегодной научно-теоретической конференции молодых ученых. Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 2006. C. 121-123.
6. Сидоров Н.А., Фалалеев М.В. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 4. С. 726-728.
7. Владимиров В.С. Обобщённые функции в математической физике. М.: Наука, 1979.
8. Sidorov N., Loginov B., Sinitsin A. and Falaleev M. Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2002.
S. S. Orlov
The classical solutions of a singular differential-operator equation of the third order in Banach spaces
Abstract. The theorem on sufficient conditions of unique existence of Cauchy problem classical solution for degenerate differential-operator equation of the third order in Banach spaces was proved in this paper. And also the explicit formulas of this solution were obtained.
