Класс не чебышевских систем функций, допускающий использование теоремы Маркова в конечной проблеме моментов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 10. 2011. Вып. 4

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 517.5 Р. Н. Мирошин

КЛАСС НЕ ЧЕБЫШЕВСКИХ СИСТЕМ ФУНКЦИЙ,

ДОПУСКАЮЩИЙ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРЕМЫ МАРКОВА В КОНЕЧНОЙ ПРОБЛЕМЕ МОМЕНТОВ

Необозримое количество работ, и математических, и прикладных, посвящено оценкам определенных интегралов, в подынтегральную функцию которых входит множителем неизвестная неотрицательная функция Г(х), если задано конечное число п+1 обобщенных моментов от нее, построенных по чебышевской системе функций {ик(х)}П=о-Основным инструментом в таких оценках служит теорема А. А. Маркова. С историей вопроса можно ознакомиться по классическим монографиям [1, 2] и научной биографии А. А. Маркова [3]. Недавно автору удалось упростить доказательство этой теоремы, сведя его к решению изопериметрической вариационной задачи в пространстве обобщенных функций [4]. Как будет показано в настоящей статье, существует класс не че-бышевских систем, для которого теорема Маркова по-прежнему является надежным орудием для получения оценок интегралов. Такие системы естественным путем возникают, например, когда требуется определить вероятностное распределение начальных значений некоторой нелинейной динамической системы, если известны ее моменты в последующем. Как правило, динамический закон, связывающий начальные (неизвестные) и измеренные значения системы, не имеет однозначной обратной функции, что и приводит к необходимости вычислять обобщенные моменты по не чебышевской системе. Мы рассмотрим самый простой случай, когда отклик системы представляет собой одновершинную вещественную функцию на отрезке [0,1], и определим, какие изменения нужно ввести в доказательство, чтобы пользоваться теоремой А. А. Маркова (этого воистину «чуда анализа», как ее назвал Ж. Бертран [2, с. 10]).

Итак, нужно получить верхнюю и нижнюю границы определенного интеграла

при заданных обобщенных моментах неотрицательной функции Г (х) по некоторой системе непрерывных в [0,1] функций {пи (х)}П=о

Мирошин Роман Николаевич — доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник кафедры гидроаэромеханики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 162. Научные направления: аэродинамика разреженных газов, случайные процессы, специальные функции математической физики, нелинейная динамика. E-mail: [email protected].

© Р. Н. Мирошин, 2011

1

(1)

0

1

(2)

0

причем вещественные Uk(x) и Q(x) известны, а F(x) неизвестна (и может быть обобщенной функцией).

Если {uk(x)}n=o и {uk(x), к = 0,1,...,n, Q(x)} - чебышевские системы функций, т. е. при 0 ^ xo < xi < ••• < xn+i ^ 1 справедливы неравенства

Дп = det{uk(xj)}”k=o > 0, Дп+i =det{uk(xj)}”+=0 > О (З)

(в последнем детерминанте un+i(x) = Q(x)), то нижняя и верхняя границы интеграла

(1) достигаются соответственно на нижнем и верхнем главных представлениях для F (x) (теорема А. А. Маркова), которые имеют вид

m

F(x) = ^2 AkS(x — Xk).

k=0

Здесь S(x) - дельта-функция, а веса Ak, узлы Xk и m < n определяются однозначно по моментам (2) независимо от Q(x) (см. [1, 2, 4]), причем Дп участвует в формулах в знаменателе дроби.

Неравенства (З) довольно ограничительны. Конечно, если знак левых частей в (З) сохраняется в [0,1] и он отрицательный, то простое изменение знака у одной из функций uk (x) снова приводит к (З). Во втором из неравенств (З) допускается знак равенства, так как этот определитель не участвует в формулах для представлений (и тогда система {uk(x)}n±0l называется слабой чебышевской системой [1, 2]). Но уже простая тригонометрическая система {sink x}n=o, чебышевская в интервалах [0,п/2] или [п/2,п], не является таковой в интервале [0,п]. К примеру, при 0 ^ xi < X2 ^ п для {1, sin x} имеем

1 sin Xi 1 sin x2 ’

Д

i

так что Дх > 0 при 0 ^ х\ < Х2 ^ п/2, Дх < 0 при п/2 ^ х\ < Х2 ^ п и Дх может менять знак при 0 ^ х\ < п/2 < Х2 ^ п. То же справедливо и для определителей Д„ при п ^ 2.

В нелинейной динамике для простейших динамических систем с дискретным временем [5] (типа отображения в себя отрезка [0,1]) вышеприведенная ситуация с тригонометрической системой типична. Так, имеющее массу приложений уравнение Ферх-юльста [5]

Х(+1 = ГХ( (1 - Хг), Хг € [0, 1], г = 0, 1,..., (4)

где г - вещественная константа, тоже приводит нас к не чебышевской системе, если Хг - случайная величина с неизвестной плотностью распределения Г(Хг), а измерять почему-либо можно только Хг+1 и вычислять по правилам статистики хотя бы степенные моменты

Ck

l l j x^+iF (xt)dxt = rkf xk (1 — xt)k F (xt)dxt, к = 0, 1,...,n.

Как и в предыдущем примере, система {хк(1 — х)к}П=о в [0; 1] не является чебышевской, поскольку уже при п =1 для 0 ^ хі < Х2 ^ 1 получим

Д

i

1 Xl(1 — Xi ) 1 X2 (1 — X2 )

= (X2 — Xl)(1 — Xi — X2),

так что Дх > 0 при 0 ^ хх < х2 ^ 1/2 и Дх < 0 при 1/2 ^ хх < х2 < 1, а при

0 ^ хх ^ 1/2 <Х2 ^ 1 определитель Дх может менять знак.

Обобщая (4), рассмотрим динамическую систему

хг+х = I (хг), Ь = 0, 1,..., (5)

где I(х) - непрерывная в [0,1] функция с единственной вершиной в точке х = с, 0 < с < 1, так что тахI(х) = I(с). Точка х = с разделяет функцию I(х) на две ветви: левую 1(х) и правую р(1 — х), т. е.

*(х) = / l(x), 0 ^ Х ^ c, (6)

^ [ р(1 — х), с ^ х ^ 1. ( )

Предположим также, что, как ив (4),

/ (0) = / (1) = 0. (7)

Вследствие непрерывности /(х)

а вследствие (7)

1(с)= Р(1 — c), (8)

1(0)= р(0) = 0. (9)

Левая ветвь 1(х) - возрастающая функция от х в [0, с], а правая р(1 — х) - убывающая в [с, 1]. Как показано в [6] (см. также [7]), если у системы (5) существует плотность инвариантной меры, удовлетворяющая уравнению Фробениуса-Перрона [5], то по этой плотности можно определить динамический закон / (х) однозначно при условии, что левая и правая ветви связаны уравнением асимметрии

р(х) = 1(д(х)), (10)

в котором д(х) - известная дифференцируемая монотонно возрастающая функция, причем, в силу (7), д(0) = 0, а в силу (8), с = д(1 — с). Например,

- при д(х) = х (зеркальная симметрия правой и левой ветвей в (6) относительно прямой х = 1/2) имеем р(х) = 1(х), т. е. с = 1/2;

- при д(х) = к ■ х, к > 0 (линейная асимметрия),

.( ) = Г 1(х), 0 ^ х ^ с,

^(Х) | 1(к(1 — х)), с ^х^ 1,

и по (8) 1(с) = 1(к(1 — с)), т. е. с = к/(к + 1).

Предположим теперь, что в (1) и (2) ик (х) = Iк (х), к = 0,1,..., причем /(х) определена равенствами (6) и (10). Очевидно, система {/к(х)}П=0 не чебышевская, в силу немонотонного поведения I(х) в [0,1]. В самом деле, определитель Дп - это определитель Ван-дер-Монда

Дп = П I/(Х) — ^(х^ (11)

и при 0 ^ хх < ■■■ < хп ^ 1 может менять знак. Однако в интервале [0,с], в силу монотонного возрастания I(х), как следует из (11), Дп > 0 и, следовательно, система

{Ік(х)}пк=о в [0,с] чебышевская. Предположим еще, что слабой чебышевской системой в [0,с] является система {Ік(х), П(х)}П=0.

Разобьем каждый из интегралов в (1) и (2) на два - по интервалам [0, с] и [с, 1]. С учетом (6) и (10) будем иметь

С 1

I = /вдг и<х + /о(х)Р МЛ, (12>

1

Ск = J 1к (х)^ (х)1х + J 1к (д(1 — х))^ (х)1х, к = 0,1,...,п. (13)

Во вторых интегралах в (12) и (13) сделаем замену переменной д(1 — х) = у, так что интегралы (12) и (13), в силу (8) и (9), преобразуются к виду

1 = 1

о

ададлс + п{), ? ^ пі - д-\х)) 9Л9 1(х))

dx, (14)

ск= I 1к(х) F(x)dx+ —д dx7 к = 0,1,...,п, (15)

ЯЛЯ 1(х))

где д'(х) = dg(x)/dx и производная д'(х) положительна вследствие возрастания д(х). Пусть теперь (например, О(х) = І-м(х) при N > п)

П(х) = П(1 — д-1(х)), х Є [0,с], (16)

или, что то же,

П(д(1 — х)) = П(х), х Є [с, 1],

т. е. функция П(х) тоже одновершинная и ее ветви связаны тем же уравнением асимметрии (10).

В таком случае, обозначая

Ф (х) = ВД+ Пі-д-1^)), (17)

д'(д 1(х))

в силу (14)-(16), мы сводим задачу оценки интеграла (1) по обобщенным моментам

(2), построенным по не чебышевской системе {Ік(х)}^=о, х Є [0,1], к оценке интеграла

С

1 = J и(х)ф(х) ,1х Ц8)

о

по известным моментам

С

Ск = JІ к(х)Ф(х) 1х, к = 0, 1,...,п, (19)

(х

о

С

С

С

построенным уже по чебышевской в [0, c] системе, только вместо неизвестной неотрицательной функции F(x) в (І8), (І9) участвует неотрицательная неизвестная функция (17), т. е. Фф. Эта оценка производится с помощью верхнего и нижнего главных представлений типа (4), согласно теореме А. А. Маркова, но только для Ф^).

Естественно, вышеприведенные рассуждения воспроизводятся с очевидными небольшими изменениями и в более общем случае, когда x Є [0,1], uo(x) = 1, Uk(x) -одновершинные непрерывные функции, maxUk(x) = Uk(c), Uk(0) = Uk(1) = 0, к = 0,1,...,n,

lk(x), 0 ^ x ^ c,

Пк(х') ^ рк(1 — х), с ^ х ^ 1,

П(х) имеет такую же структуру, шахП(х) = П(с) и выполняются уравнения асимметрии

Рк(х) = 1к(д(х)), к = 1, 2,...,п,

с возрастающей функцией д(х), д(0) = 0, д(1 — с) = с. Кроме того, {1к(х)}£=0 - че-бышевская система в [0,с], {Ік(х), ії(х)}П=о - слабая чебышевская система в [0,с], П(х) = 0(д(1 — х)) при х Є [0,с]. Тогда теорему Маркова можно использовать для оценки интеграла (1) по заданным моментам (2), преобразованным к виду

с

ck = J lk(x^(x)dx, к = 0, 1,..., n,

где Ф(х) совпадает с (17).

Таким образом, при вышеуказанных условиях интеграл (1) можно оценивать по-прежнему по теореме Маркова, но для отыскания искомой функции Г(х) нужно решать функциональное уравнение (17), которое, как правило, не имеет единственного решения. Например, в упомянутом выше случае зеркальной симметрии левой и правой ветвей, когда д(х) = д-х(х) = х, д'(х) = 1, с = 1/2, из (17) имеем

Ф(х) = Г(х) + Г(1 — х), х € [0,1/2], (20)

а в случае линейной асимметрии, когда д(х) = кх, к > 0, д'(х) = к, д-х = х/к, из (17)

находим

Ф(х) = ^(х) + ^(1-|), же [0, с], 1{с) = 1{к{1 - с)). (21)

При известной Ф(х) функциональные уравнения (20), (21) относительно Г(х), очевидно, не имеют единственного решения. Впрочем, сама функция Г(х) для оценки интеграла (1) и не нужна.

Еще одно обобщение получаем, если вместо (10) задаем правую ветвь следующим образом:

{1(дх(х)), 0 ^ х ^ хх,

l(g2(x)), Х < х < х2,

1(дг(х)), хг-х ^ х ^ с.

Здесь все дг(х) - неубывающие непрерывные в [х^^х*] функции, причем

д!(0)=0, дг(хг) = д1+х(хг), г =1,...,г — 2, дг (1 — с) = с. (22)

бІ

Тогда вторые интегралы в (13) заменяются на суммы интегралов

В каждом из интегралов (23) делаем замену переменной ^+1(1 — х) = у, так что они преобразуются к виду

Используя соотношение непрерывности (22) правой ветви в (24), можно записать теперь вместо (15) следующее представление для моментов:

Задача оценки интеграла (1) по моментам (2) свелась, таким образом, к проблеме моментов Маркова, но вместо (17) искомой неотрицательной функцией будет функция в квадратных скобках в (25). Если П(ж) имеет такую же структуру, как f (x), то теорему Маркова можно использовать для оценки интеграла (1) по обобщенным моментам (2).

Литература

1. Карлин С., Стадден В. Чебышёвские системы и их применение в анализе и статистике / пер. с англ.; под ред. С. М. Ермакова. М.: Мир, 1976. 568 с. (Karlin S., Studden W. J. Tchebycheff systems: with applications in analysis and statistics.)

2. Крейн М. Г., Нудельман А. А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. Идеи и проблемы П. Л. Чебышева и А. А. Маркова и их дальнейшее развитие. М.: Наука, 1973. 551 с.

3. Гродзенский С. Я. Андрей Андреевич Марков, 1856—1922: [Рус. математик]. М.: Наука, 1987. 256 с.

4. Мирошин Р. Н. Простое доказательство теоремы Маркова в обобщенной проблеме моментов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2009. Вып. 1. С. 91-99.

5. Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение / пер. с англ. А. В. Гапонова-Грехова, Ф. М. Из-райлева и др.; под ред. М. И. Рабиновича. М.: Мир, 1988. 240 с. (Schuster H. G. Deterministic chaos.)

6. Мирошин Р. Н. Простейшая обратная задача нелинейной динамики // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 1996. Вып. 2. С. 44-49.

7. Мирошин Р. Н. Случайные процессы и поля: учеб. пособие. СПб.: Изд-во С.-Петерб. гос. ун-та, 2003. 283 с.

Статья рекомендована к печати проф. Ю. М. Далем.

Статья принята к печати 19 мая 2011 г.

(24)

где