Кинематика планетарных передач Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

-------------------------------- © Ю.А. Алюшин, П.М. Вержанский,

2009

Ю.А. Алюшин, П.М. Вержанский КИНЕМАТИКА ПЛАНЕТАРНЫХ ПЕРЕДАЧ

Используя принцип суперпозиции и уравнения движения в форме Лагранжа получены общие кинематические соотношения для определения траекторий, скоростей и ускорений любых частиц планетарных механизмов в любой момент времени, в том числе зависимости между угловыми скоростями, при любых режимах работы передачи.

Ключевые слова: Уравнения движения, переменные Эйлера и Лагранжа, принцип суперпозиции движений, траектории, компоненты скорости и ускорения.

Я ланетарные передачи приобретают широкое применение в различных механизмах, приборах и устройствах не только для изменения скоростей вращения с заданным или изменяемым (в зависимости от передаваемой мощности) передаточным отношением, но и для воспроизведения заданной траектории (направляющие механизмы). Такие возможности возникают за счет совмещения нескольких вращательных и, возможно, поступательных движений.

Схемы простейших однорядных и двурядных планетарных механизмов показаны на рис. 1. Каждая из рассмотренных схем может быть дифференциалом с числом степеней свободы больше 1. При наложении дополнительных связей механизм может быть преобразован в планетарный редуктор (для повышения передаточного отношения) или мультипликатор (для повышения подаваемой на ведомый вал угловой скорости, понижая при этом вращающий момент) [1]. В общем случае ведущим считается вал, у которого направления скорости вращения и момента сил совпадают.

Обычно для определения передаточного отношения передачи используют метод Виллиса, когда всем звеньям сообщают угловую скорость, равную по величине и противоположную по направлению угловой скорости водила (обращенный механизм). При этом планетарный механизм превращается в зубчатый с неподвижными осями и можно воспользоваться соответствующими зависимостями для однорядных или двурядных редукторов.

2

\

к4

С А

О

1

*

О

\__________I

Вг~

цу

С

г

Рис. 1. Схемы планетарных передач: а — однорядный планетарный механизм, Ь — двухрядный планетарный механизм со смешанным зацеплением, с — двухрядный механизм с двумя внешними зацеплениями, d — двухрядный механизм с двумя внутренними зацеплениями.

Если для обозначения солнечного, коронного колес и водила использовать индексы 1, 4, Н соответственно, верхним индексом указывать неподвижное звено, тогда для обращенного однорядного механизма (рис. 1, а) получаем [1]

— i1 4 илию1 —&! (1 — i1 4) — i1 4ю4 — 0 .

(1)

Уравнение (1) называют основным уравнением трехзвенного дифференциала. Из него как частный случай следует соотношение для механизма с неподвижным коронным колесом (ю4 — 0 ).

а

1

ю1 — ю.

СО 4 СО I

й — ^ — 1 — Н . (2)

&!

В таком виде уравнение справедливо и для двурядных механизмов (рис. 1, Ь-А).

Соотношение можно обобщить на передаточное отношение от любого планетарного колеса «/» к водилу «Н» при неподвижном опорном колесе «У»

Для схемы с одним внешним и одним внутренним зацеплением (рис. 1Ь) получаем

«1 — н ^ или 1н —^ — 1 + ^. (3)

ю4 *1 *3 *1 *3

К недостатку способа обращения Виллиса можно отнести определенный формализм: основную кинематическую характеристику механизма находим без анализа движения и кинематических связей. К тому же он применим только для определения передаточных отношений.

Положения, скорости и ускорения любых частиц механизма в любой момент времени можно определить с помощью принципа суперпозиции и уравнений движения в форме Лагранжа [2]. Этот метод удобен при комплексном анализе передачи с определением энергетических и силовых характеристик [3—4]. Метод позволяет выявить разрыв ускорений для контактирующих зубьев, построить траектории движения фиксированных частиц сателлитов, в том числе для планетарных механизмов, предназначенных для преобразования вращательного движения в возвратно — поступательное с использованием или без использования фиксированных направляющих, и пр. Система координат и основные обозначения указаны на рис. 2.

В соосных планетарных механизмах звенья совершают плоско

— параллельное движение, уравнения движения в форме Лагранжа имеют вид [5]

X — Ов + (а —а в )соэ(Аф) — (р — ре )эп(Аф), (4)

▲

У ! В 2,3

I

Рис. 2. Система координат и расчетные точки

6 = 6в + (а-ав)sІn(Aф) + (р-рв)cos(Aф).

где О, О — текущие (эйлеровы) и а, р начальные (лагранжевы) координаты, Аф — угол поворота звена на рассматриваемом интервале времени. Нижний индекс Р указывает точку, выбранную в качестве полюса при описании движения абсолютно твердого тела.

Дифференцируя уравнения (4), получаем соотношения для скоростей в форме Эйлера

где Уй, У6, О, О — компоненты скорости и координаты рассматриваемой точки, (Уб)в, ^6)в, Ов, 6в — компоненты скорости и координаты выбранного полюса Р, ю — угловая скорость вращения рассматриваемого звена.

Повторным дифференцированием получаем компоненты ускорений wj (в — угловое ускорение тела)

V, = V)р -ю(у - Ур), УУ = V)р + ю(х - Хр),

(5)

wx = (Wx)р -в(у- Ур)-ю2(х- Хр),

Wy = (Wy)р +в(х - Хр) -ю2(у - Ур).

Уравнения (4) определяют траектории частиц. Для определения передаточных соотношений достаточно воспользоваться уравнениями (5) для скоростей.

С учетом осесимметричного характера распределения скоростей в дальнейшем использован расчет компоненты Vх в плоскости

х = 0 (рис. 2) в соответствии с уравнением (5а). При определении скорости точки А (на контакте солнечного колеса и звена 2 сателлита) в качестве полюса Р выбираем основную ось передачи О, тогда (V,) = 0, ув = у- = 0 . Для точки А при ю = ю1, 6А = Г получаем

Аналогичным образом для оси водила С ( ю = ю, , Ос = г + Г2) имеем

Угловые скорости ю1 и Ю] являются алгебраическими величинами, знак ю1 на приводном звене может быть задан произвольно ( «+» — при вращении против часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления оси «г»), знак Ю] должен быть определен в дальнейшем с учетом кинематических связей на контакте сателлита с приводным (солнечным) колесом 1 и опорным колесом 4.

Для двурядного механизма с одним внешним и одним внутренним зацеплением (рис. 1Ь) из условия равенства скоростей в точке В на контакте сателлита 3 и неподвижного колеса 4 (У а - Ус = Г3) с учетом уравнения (8)

находим угловую скорость сателлитов (колеса 2 и 3 вращаются с одинаковой скоростью)

Г + Г

Ю23 = -ЮН ------ • (10)

Г3

Знак «-» показывает, что направления вращения сателлитов и водила не совпадают. Полученный результат можно использовать

V )А = -ю г .

(7)

К )с =-ЮН (Г + Г2 ) .

(8)

(vб)В = (vб)с ю23Г3 = Ю1 (Г1 + Г2 ) ю23Г3 = 0

(9)

для определения скорости в точке А на контакте солнечного колеса и сателлита 2 (уА - ус = - Г2)

VA = vс + ю23Г2 = -ю, (Г + Г2) + ю23Г2. (11)

Приравнивая правые части уравнений (7) и (11), получаем соотношение между угловыми скоростями солнечного колеса и водила

г г + г

VА = -ю! г = -юн (г + Г2 ) -юн (-1 + г2)~ = _ЮН (г1 + Г2 )—3--“ • (12)

Г3 Г3

Отсюда, с учетом - + Г2 = Г4 - Г3, следует соотношение (3)

,■4 = Ю1 = (- , г ) Г2 + Г3 = Г Г2 + -1 Г3 + Г2 Г2 + Г2 Г3 =

/1 Н =ю, = (Г + Г2) ГГ3 = -Г3 =

= 1 + Г2(Г1 + Г2 + Г3) = 1 + -2-4 (13)

-1 Г3 Г1 Г3

или /’4Н = —— = 1 + Г2-4 = 1 + 2 4 . (13а)

ю/ --3 ^1 *3

При Z2 = получаем соотношение для однорядного механиз-

ма, показанного на рис. 1, а,

/4н =^ = 1 + ^ . (13Ь)

Ю1 г1

Механизмы этих схем имеют широкое применение в силовых многосателлитных передачах средней и большой мощности при /1Н =3...15 и КПД = 0,98...0,96 [1]. Наличие нескольких сателлитов позволяет снизать габариты, улучшить динамику (уравновешивание водила и всего механизма, разгрузка опор) и уменьшить вес по сравнению с другими видами зубчатых передач при тех же передаточных отношениях и мощностях. Однорядный механизм при /1Н = 3.8 дополнительно отличается малым осевым размером, широко используется в летательных аппаратах, установках дистанционного управлении и пр.

Для передачи с двумя внешними зацеплениями (рис. 1, с,

-1 + -2 = -4 + -3 ) из условия на неподвижном колесе 4

(Ух )Л = (Ух )с -Ю23(у - ур) = -ЮН (-1 + -2)-ю23(- -3) =

= —юн (-1 + -2) + Ю23-3 = 0 (14)

находим угловую скорость сателлитов

ю23 = ю, (- + -2)/ -3. (14а)

В отличие от схемы на рис. 1, Ь, сателлиты и водило вращаются в одну сторону (знаки угловых скоростей совпадают). По аналогии с уравнением (14) для точки А контакта солнечного колеса и сателлита 2 можем записать

(Ух )А = (Ух )с -ю23(У - УР) = -юН (-1 + -2)-ю23(--2) =

= —юн (- + -2) + ю23-2 (15)

и с учетом результата (14а) получаем

—ю 1 - — —ю і (- + -2) + ю, (- + -2 )-2 / -3 — —ю, (-1 + -2) Отсюда

-

1 - ^

-3 У

(16)

^ = *н = 1 - ^ . (17)

г г3

Для передачи с двумя внутренними зацеплениями (рис. 1, d, Г - г2 = г4 - г3) из условия в точке В

(Ух)л = (Ух)С -Ю23(У - ур) = -Юн (г1 - Г2) -ю23Г3 =

= -®н (^1 - г? ) - ®23г3 = 0 (18)

следует

ю?3 = —®/ (г — г?)/ /3 . (19)

Наряду с уравнением (7) скорость точки А можно представить в виде

(Ух )А = (Ух )С -Ю23(у - ур) = -Юн (г1 - г2)-ю23 г2 =

= —®н (г — г?) — ®23г? . (20)

469

-ю1 -1 = -ю/ (-1 - -2) + ю/ (-1 - -2)-2/ -3 = -ю/ (-1 - -2)

-

1 - ^

. -3 У

(21)

или = /’4н = 1 - . (22)

г г3

Уравнения (17) и (22), как и уравнение (13), могут быть записаны через число зубьев

^ = /4н = 1 - ^. (22а)

т! *3

В общем случае угловые скорости центральных колес 1 и 4 можно считать известными, а скорости сателлитов и водила искомыми. Кинематические связи на контакте зубьев для точек А и В (г + г2 + г3 = г4 ) определяют систему уравнений.

г = m^ (г + г?) — ®23г?, ®4(г + г? + гО = т ^ (г + г?) + ®23г^, (23)

из решения которой находим

т. г. г„ + т .г. (г. + г. + С )

(23а)

ю4 (- + -2 + -3) - ю1 - ю1 - -3 + ю4 -2 (- + -2 + -3)

г? + г, (г + г,)(г? + г,)

При т4 = 0 соотношение между ю,- и т?3 преобразуется к

виду (10).

Для передачи с двумя внешними зацеплениями (рис. 1, с) вместо (23) получаем

г = ю,- (г + г?) — ю?3г?, Ю4(г + г? — г$) = ю,- (г + г?) — т?3г^, (24)

из решения системы находим

т т! /1 — ю4 (г + - г3) т т! г1 г3 -т4 г2(г1 + г? - г3) (2.а)

т?3 =-------------------------, т =—3------------------?----:—. (24а)

г3 - г2 (г + г?)(г3 - г?)

Для передачи с двумя внутренними зацеплениями (рис. 1, d) ана-

логично имеем

ю_1 г = ю,- (г — г?) + ю?3г?, Ю4(г — г? + г^) = ю,- (г — г?) + т?3г$, (25)

ю1 -1 -ю4(-1 - -2 + -3) ^ _ ю1 -1 -3 -ю4-2(-1 - -2 + -3)

(25а)

-2 - -3 (-1 - -2 )(-3 - -2)

Как следует из уравнений (13), при неподвижном опорном (коронном) колесе 4 водило и солнечное колесо вращаются всегда в одном направлении, соотношение между скоростями зависит от диаметров колес (числа зубьев). В двурядных передачах с двумя внешними или внутренними зацеплениями направления вращения могут быть как одинаковыми, так и различными.

Особый интерес представляют передачи, когда вторые слагаемые в уравнениях (17) и (22) близки к 1, угловая скорость водила существенно превышает (возможно, на несколько порядков) угловую скорость солнечного колеса. Как правило в таких механизмах ведущим является водило и они работают как понижающие передачи. Например, для механизма с двумя внешними зацеплениями (рис. 1, с) и числами зубьев z1 = z2 = 100, z3 = 101 , z4 = 99 при

сохранении межосевых расстояний ( -1 + -2 = -4 + -3 ) и одинаковом

модуле зубьев на всех колесах угловая скорость водила более чем в 50 раз превышает угловую скорость солнечного колеса. При числах зубьев z1 = z3 = 100, z2 = 99, z4 = 101 (условие соосности не

выполняется, но разница в межосевых расстояниях мала и составляет 2т) с учетом (17) передаточное отношение достигает

Н = 1/ 1Н = 10000.

Числа зубьев должны удовлетворять не только условию соосности, но и условиям сборки, совместного размещения нескольких сателлитов на общей окружности в одной плоскости, а также условию отсутствия заклинивания передачи. Таким условиям, например, удовлетворяет передача с числами зубьев z1 = 54, z2 = 45,

z3 = 44 , z4 = 55 и передаточным отношением

1Н = 1 - 45 * 55/ (44 * 54) = -0,04 или ?Н1 = 1 / 1Н = -24 .

Механизмы с двумя внутренними зацеплениями (рис. 1, С) имеют преимущества за счет уменьшенных габаритов и более высоких КПД. Например, при числах зубьев (условие соосности при

одинаковых модулях - г2 = г4 - г3) = ?00, г2 = 99,

г3 = 100, г4 = ?01 , получаем /4Н1 = 1/(1-99*201/100/200) = 198.

Обычно такие механизмы используют с одним сателлитом в передачах, когда необходимо получить большое передаточное отношение, например в механических сиренах, но другое их применение маловероятно в связи с низким КПД < 1 %.

Использованная методика может быть распространена на более сложные планетарные передачи, а приведенные выше уравнения позволяют определять режимы работы механизма, обеспечивающие прохождение инструмента, например буровой головки, по заданной траектории с формированием периодически расположенных канавок, способствующих самопроизвольному разрушению породы и повышению производительности проходческих работ при снижении энергетических затрат.

Чтобы определить траектории частиц, в частности осей сателлитов планетарных передач, используемых для привода коронок бурильной машины, следует использовать уравнения (4), а уравнения пространственного движения основной оси с точкой О должно быть задано режимом работы соответствующего робота или манипулятора [4]. В общем случае они могут быть записаны в виде

X = х/(а р, ик, *),

где х; е (х, у, г), ар е (а, р, у) — эйлеровы и лагранжевы координаты, соответственно, ик — параметры управления приводами звеньев, * — время. Это движение является внешним (наложенным) для других возможных движений звеньев планетарной передачи. Подставляя вместо лагранжевых координат точки О выражения для соответствующих эйлеровых координат (4) (с добавлением третьего уравнения г = у), получим уравнения совмещенного движения сначала для солнечного колеса 1, а затем, по описанной выше методике, для других звеньев передачи. Последующий расчет энергетических и силовых характеристик может быть выполнен по общей методике [3].

1. Теория механизмов и механика машин: Учеб. для втузов/ К.В. Фролов, С.А. Попов, А.К. Мусатов и др. М.: Высш. школа, 1998. — 496 с.: ил.

2. Алюшин Ю.А. Принцип суперпозиции движений в пространстве переменных Лагранжа.// Проблемы машиностроения и надежности машин. 2001. №3. С. 13-19.

3. Алюшин Ю.А. Силовой расчет шарнирно-рычажных механизмов на основе анализа энергетических потоков. Проблемы машиностроения и надежности машин. 2003. №2, с. 125-133.

4. Алюшин Ю.А., Рачек В.М. Кинематический и динамический анализ типовых трехзвенных манипуляторов. ГИАБ, МГГУ № — 2009.

5. Алюшин Ю.А. Энергетические основы механики. Учеб. пособие для вузов: — М.: Машиностроение, 1999. — 192с.

Alyushin Y.A., Verganskiy P.H.

KINEMATICS OF PLANETARY TRANSFERS.

Using a principle of superposition and the equation of movement in the form of Lagranzh the general kinematics parities for definition of trajectories, speeds and accelerations of any particles of planetary mechanisms at any moment, including dependences between angular speeds are received, at any operating modes of transfer.

Key words: The movement equations, variable Euler and Lagranzha, a principle of superposition of movements, trajectories, components of speed and acceleration.

Коротко об авторах

Алюшин Ю.А. — профессор кафедры «Теоретическая и прикладная механика» Московского государственного горного университета, Вержанский П.М. — профессор кафедры «Теоретическая и прикладная механика».

Moscow State Mining University, Russia, [email protected] е-mail [email protected]