Кинематический анализ пространственного кривошипного привода исполнительных органов роторных технологических машин Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.9.06

КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРОСТРАНСТВЕННОГО КРИВОШИПНОГО ПРИВОДА ИСПОЛНИТЕЛЬНЫХ ОРГАНОВ РОТОРНЫХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ МАШИН

В. А. Крюков

Выполнен анализ зависимости функции положения и угла давления в пространственном кривошипно-ползунном механизме привода исполнительных органов роторных технологических машин от его основных геометрических параметров. Даны рекомендации по выбору значений геометрических параметров рассматриваемого механизма.

Ключевые слова: привод, кинематика, механизмы пространственные, криво-шипно-ползунный механизм.

Электромеханический привод автоматических роторных линий является взаимосвязанной механической системой, предназначенной для обеспечения требуемых транспортного движения роторов и рабочих движений исполнительных органов. Он включает в себя один или несколько электродвигателей, преобразующий механизм с постоянной передаточной функцией, обеспечивающий требуемые характеристики движения роторов, и совокупность расположенных на роторах механизмов с переменными передаточными функциями, предназначенных для обеспечения требуемых движений исполнительных органов [1, 2]. Выделение в этом случае отдельного привода исполнительных органов является условным. Строго говоря, здесь речь идет не о приводе, а о механизме, входящем в состав привода и предназначенном для преобразования вращательного движения ротора в возвратно-поступательное движение исполнительных органов. Однако, следуя общепринятой терминологии [3, 4], будем говорить о приводе исполнительных органов и его кинематическом анализе, подразумевая при этом пространственный кривошипно-ползунный механизм, входящий в состав привода.

Несмотря на широкое распространение таких механизмов, расположение направляющих ползуна на подвижном роторе существенно изменяет передаточные функции механизма и приводит к необходимости проведения отдельного кинематического исследования.

Обобщенная кинематическая схема механизма характеризуется шестью независимыми геометрическими параметрами (рис. 1): Я - радиусом начальной окружности ротора 3; г - радиусом начальной окружности кривошипного диска 4; I - длиной шатуна 1, приводящего в движение ползун 2, непосредственно связанный с исполнительным органом; а - углом наклона кривошипного диска; а, Ь - смещениями центра кривошипного дис-

ка (т. 0\) относительно оси вращения ротора.

При переходе к относительным величинам и использовании в качестве базового параметра радиуса начальной окружности ротора Я число независимых геометрических параметров механизма уменьшается до пяти:

т

Рис. 1. Кинематическая схема кривошипного привода

Для описания кинематики привода вводим неподвижную систему координат х(0) у(0) 2(0). Ось 2(0) совпадает с геометрической осью ротора.

Координатная плоскость х(0) у(0) горизонтальна, причем ось у(0) перпендикулярна линии пересечения плоскости кривошипного диска с произвольной горизонтальной плоскостью. Угол поворота ротора и кривошипного диска ф отсчитываем от отрицательного направления оси у(0) против часовой стрелки.

Положение выходного звена привода (ползуна 2) в выбранной системе координат задается координатой т. А - = я, которая будет являться некоторой функцией угла поворота ротора я = я(ф). Начало системы

координат х(0)y(0)z(0) (т. O) выбираем таким образом, чтобы s(0) = 0. Смещение т. O относительно т. O\ (центра кривошипного диска) обозначим c, причем c = c(R, r, l, a, b).

Функция положения рассматриваемого механизма, полученная на основе известного метода преобразования координат, имеет вид [5]

я(ф) = r sin a(1 - cos ф) + /[cos 8 z (ф) - cos 8 z (0)], (1) где угол давления 8 z (ф) определяется зависимостью

2

sin 8z (ф) =

(R - r )sin ф - a /

+

(r cos a - R) cos ф - b /

(2)

В относительных величинах эти зависимости примут вид:

~(ф) = ф = ~ sin a(1 - cos ф) + ~[cos 8z (ф) - cos 8z (0)];

2

sin 8 z (ф) =

(1 - r )sin ф - a

T

2

+

(r cos a- 1)cos ф-b

2

При малых углах давления, что характерно для роторных машин с большими технологическими нагрузками, можно использовать приближенные выражения для функции положения и первой передаточной функции, полученные с помощью разложения cos 8z в ряд Фурье [5]:

s (ф) »(1 - cosф) + sinф + i (1 - ^2ф); Пv(ф) » sinф + cosф +—A3 sin2ф,

(3)

r r . b (1 - r cos a) ~

где A1 = r sin a + —-~--; A2

2

~(1 -

A

3

~ 2 ~ 2 (1 - r cos a) - (1 - r )

/

Для исследования закона изменения угла давления получим его приближенную оценку на основе соотношения (см. рис. 1)

cos 8z = [ZA - ZB ]//, (4)

где Z= я(ф) - координата т. A в системе координат х(0)y(0) z(0); Z^ -координата т. B в той же системе координат,

Z^ = -r • sin a- cos ф- c. (5)

Параметр c является зависимым и определяется выражением

c = д/ /2 - a2 - (r • cos a- R - b)2 - r • sin a.

Подставляя (5) в (4) и используя приближенное выражение для функции положения (3), будем иметь

cos 8z (ф) = d0 + dc cos ф + ds sin ф + d2c cos 2ф,

2

2

где

~2 ~ ~ 2 l - а - (г cos a-1 - b)

~2

~ ~ ~ 2 ~ 2 b (1 - г cos a) (1 - г cos a) - (1 - г)

d 0 =--+--+

l 2 41 2

dc = - ~(1 - ~cos a)/~2; ds = ~(1 - ~ )/~2;

~ 2 ~ 2 (1 - г) - (1 - г cos a)

d2c =--•

4l 2

Введем оценку угла давления сверху 8z £ arccos F5 (j), где вспомогательная функция Fd(j) = d0 + dc cos j + ds sin j-|d2c\ • Преобразовав эту функцию к виду

Fd(j) = d0 -|d2c\ + Ad sin(j + bd),

где

Л ¡~¡2 ~¡2 o farctg( dc¡ds) при ds > 0;

a8 = V ds + dc ; Pd = i , u ч , ~

[p + arctg(dc/ds) при ds < 0,

легко определить расположение ее экстремумов, совпадающее с расположение экстремумов функции 8 2 (ф). Минимальное значение угла давления будет расположено в точке ф^ = р 2 - Ь8, а максимальное - ф2 = 3 р 2 - Ь8.

Возможные варианты расположения экстремумов функции 8 2 (ф) в зависимости от соотношения знаков коэффициентов ds и йс приведены в табл. 1, а соответствующие варианты графиков - на рис. 2. Оптимальными законами изменения угла давления являются законы I и III, обеспечивающие меньшие значения угла давления на рабочем ходу.

Решая неравенства ds > 0, dc > 0, получим области существования

различных типов законов изменения угла давления 8 2 (ф) (табл. 2).

Таблица 1

Возможные варианты расположения экстремумов функции 82 (ф)

Тип графика Pd Знак ds Знак dc Рабочий ход Холостой ход

0 -р/ 0 V 2 /2 - р р + р) 32 р- 2р

I 0 — Р2 + + min - max -

II \Р •1- - + - max - min

III 0 -(-р£) + - - min - max

IV (-p2 И-*) - - max - min -

Рис. 2. Варианты закона изменения угла давления d z (j)

Таблица 2

Области существования различных типов законов изменения угла давления

Смещения Соотношение между параметрами схемы

~ > 1/cos a 1 < ~ < 1/cos a ~ < 1

а > 0 b > 0 II IV III

b < 0 IV II I

а < 0 b > 0 I III IV

b < 0 III I II

Выполненный анализ позволяет сделать заключение о том, что при одновременном смещении центра кривошипного диска в двух направлениях:

1. Для получения минимального значения угла давления на рабочем ходу необходимо принимать:

Г~ > 0 при ~ < 1;

< 0 при ~ > 1.

2. Путем выбора знака смещения b можно управлять расположением минимального значения угла давления в пределах рабочего хода, согла-суя закон изменения угла давления с нагрузочной диаграммой:

- смещение в начало рабочего хода обеспечивается, если

b > 0 при ~ cos a > 1;

<

b < 0 при ~cosa < 1;

- смещение в конец рабочего хода обеспечивается, если

b < 0 при ~ cos a > 1;

<

b > 0 при ~cosa < 1.

При необходимости формирования закона изменения угла давления таким образом, чтобы его минимальное значение было расположено в заданной точке j = j *, геометрические параметры механизма должны удовлетворять условию

~ ~ --— = tg j *.

b (r cos a-1)

В предельном случае можно обеспечить нулевое значение угла давления в заданной точке j = j *. В этом случае на основе точных зависимостей (1), (2) получим следующие условия:

~ = (1 - ~) sin j*;

b = (r cos a -1) cos j *.

Рассматриваемая схема позволяет получить различные значения углов давления на рабочем и холостом ходах, поэтому в этом случае можно ввести два допустимых значения угла давления: на рабочем ходу [82р х ] и

на холостом ходу [8¿хх ]. Предположим, что введенные смещения а и b не приводят к значительному изменению рабочего хода jр х . В этом случае максимальное значение угла давления на рабочем ходу будет соответствовать точке j = 0 или j = p. Вычисляя угол давления в этих точках, получим, что длина шатуна должна удовлетворять условию

~2 +

1 > lmin

r cos a-1 +

sin[8 z ]

^р.х. J

f

L. (6)

Выбранную в соответствии с (6) длину шатуна необходимо проверить по условию ограничения угла давления на холостом ходу:

d0 - \d2с\ + Аб cosРб - cos[6гх.х. ] • Для построения области значений геометрических параметров механизма, обеспечивающих унимодальность функции положения, предположим, что функция положения имеет минимум, расположенный в окрестности точки j = 0, и максимум, расположенный в окрестности точки j = p, и, возможно, промежуточные экстремумы (рис. 3).

Принимая, что минимум функции находится в точке ji = £j, где

достаточно мало, подставляя это значение угла поворота в (3) и раскладывая в ряд, найдем

е1 » - A2 / (A + A3); ~min » -0,5 A2 /(4 + A3). ^ (7)

Аналогично, предполагая, что максимум функции положения ~max находится в точке j2 = p + e 2, получим

e 2 = A2 / (A3 - A); smax = 2 • Ai - 0,5 A22 /(A - ¿3). (8)

468

Рис. 3. Типовой график функции положения

Если между точками ф^ и ф2 будут расположены промежуточные экстремумы, то экстремумы в точках ф^ и ф2 необходимо будут одного типа (или оба максимума, или оба минимума). Отсюда необходимое условие нарушения унимодальности функции положения можно представить в виде ~ '(е^) • ~ "(р + е 2) > 0 или после преобразования

^(г, а, а, ~) = А32 - 42 > 0. (9)

Численными методами были рассчитаны максимальные значения функции (9) при фиксированных значениях радиуса кривошипного диска ~ = 0,8; 0,9; 1; 1,1; 1,2, угла наклона кривошипного диска

а = 50; 10°; 150; 30°; 450; 600; 750; 900 и допустимых значениях угла

давления на рабочем ходу [8 г ] = 50; 100; 300. Длина шатуна принима-

рх.

лась равной минимально необходимой согласно (6), а смещение Ь варьировалось в пределах -1 £ Ь £ 1. Только в единственной точке

г = 0,8; а = 50 ;[8 г ] = 300 максимум функции (9) был положительным.

рх.

Следовательно, во всех остальных случаях функция положения будет унимодальной.

Увеличение угла рабочего хода Дфр х = фр х - р представим в виде (см. рис. 3)

Дфр.х.(г, 1, а, Ь) = е2-е1. (10)

Для оценки возможности реального увеличения угла рабочего хода численным методом были рассчитаны максимальные значения функции (10) при фиксированных значениях г, а, [8 2 ] и варьировании смещениями в пределах -1 £ а £ 1; -1 £ Ь £ 1. Длина шатуна принималась мини-

мально возможной / = /т^п. Анализ результатов расчета (табл. 3) показывает, что даже при [82рх ] = 300 увеличение рабочего хода не превышает

нескольких градусов, причем уменьшение допускаемого значения угла давления приводит к уменьшению Дфр х .

Таблица 3

Максимально возможное значение Дфр.х., град

[8 z ] L zр.х. J 30° 100

a, град 5 15 30 45 60 75 90 5 15 30 45 60 75 90

а = 0.8 - 3,4 3,2 3,2 3,4 4,1 5,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,5

а = 0.9 1,6 1,4 1,3 1,2 1,3 1,6 2,1 0,19 0,17 0,15 0,1 0,2 0,2 0,2

а = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

а = 1.1 1,3 1,7 0,8 0,4 0,7 0,9 1,3 0,2 0,2 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1

а = 1.2 3,6 2,8 0,61 0,5 0,8 1,4 2,1 0,3 0,3 0,1 0,1 0,1 0,2 0,2

Рассмотрим возможность управления величиной полного хода исполнительного органа H, которую представим в виде (см. рис. 3) H = ~max _ ~min, или после подстановки (7), (8) в следующем виде

H(r, a, а, ~) = 2A1 + A2aJ(A4!2 - A32).

Для реальных механизмов A\ > 0, поэтому нижнюю оценку значения хода можно записать в виде

H(~, Т, a, а, b) > 2~sln a + 2b (1 - r cos a) IT, откуда следует, что для увеличения хода необходимо принимать

b > 0 при r < 1/cos a; b < 0 при r > 1/cos a.

В обоих случаях увеличение абсолютной величины смещения Щ

приводит к увеличению хода.

Для оценки возможности реального увеличения хода за счет введения смещений а и b используем функцию

8Я(~, a, а, ~) = H(~, a, а, b)/H0(r, a), (11)

где H0 (r, a) = 2~ sin a.

Результаты расчетов максимальных значений функции (11) выполненных численным методом при фиксированных значениях a, [82р х ],

минимально возможной длине шатуна (6) и варьировании смещениями в пределах -1 £ а £ 1; -1 £ b £ 1 показали, что хотя рассматриваемая схема

механизма позволяет получить существенное увеличение хода (до 42 %

при [8г ] = 100) необходимо помнить, что при этом также значительно рх.

возрастают необходимые осевые габариты механизма. Анализ линий уровня функции 8Н(~, а, Ь ) показывает, что максимальное значение хода обеспечивается при а = 0.

Список литературы

1. Крюков В. А., Прейс В.В. Системы приводов рабочих движений автоматических роторных и роторно-конвейерных линий // Вестник машиностроения. 2003. № 1. С. 36-41.

2. Крюков В. А., Прейс В.В. Системы приводов транспортного движения автоматических роторных и роторно-конвейерных линий // Вестник машиностроения. 2003. № 2. С. 33-38.

3. Прейс В.В. Технологические роторные машины: вчера, сегодня, завтра. М.: Машиностроение, 1986. 128 с.

4. Крюков В. А., Прейс В.В. Система приводов технологических роторных машин пищевой промышленности // Известия ТулГУ. Технические науки. 2013. Вып. 7-1. С. 100-111.

5. Крюков В. А., Прейс В.В. Теоретические основы кинематического анализа и синтеза кривошипного привода исполнительных органов технологических роторов // Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. 10. С. 21-30.

Крюков Владимир Алексеевич, д-р техн. наук, проф., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет

THE KINEMA TIC ANALYSIS ON THE SPA TIAL CRANK DRIVEOF ACTUATING DEVICES OF TECHNOLOGICAL ROTORS

V.A. Kryukov, J.P. Smirnov

The analysis of the dependence place function and angle of pressure in spatial crank-slider mechanism of actuating devices of technological rotors from basic geometrical parameters is performed. Recommendations on the choice of the values of the geometric parameters of the mechanism are given.

Key words: drive, kinematics, spatial mechanisms, crank-slider mechanism.

Kryukov Vladimir Alekseevich, doctor of technical science, professor, [email protected], Russia, Tula, Tula State University