CC BY
33
ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
УДК 539.17.02
КХД ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ДЛЯ ПРОЦЕССОВ УПРУГОГО РАССЕЯНИЯ НЕЙТРОНОВ НА ЯДРАХ
В.А.Абрамовский, Н.В.Абрамовская
Институт электронных и информационных систем НовГУ, [email protected]
Используя нековариантно нормированный вектор состояния нейтрона, состоящего из валентных кварков и одного дополнительного глюона, получена КХД диаграммная техника рассеяния нейтронов на нуклонах и ядрах. Показано, что в таком подходе кварки и глюоны могут рассматриваться на массовой поверхности без трудностей, связанных с конфайнментом цветных зарядов.
Ключевые слова: нейтрон, ядро, кварк, глюон, фейнмановская диаграммная техника
The QCD diagram technique of neutrons scattering on nucleons and nucleuses is obtained by using non covariant normalized vector of neutron consisting of valence quarks and one additional gluon. It is shown that in this approach quarks and gluons can be viewed on mass shell without difficulties associated with confinement of color charges.
Keywords: neutron, nucleus, quark, gluon, Feynman diagram technique
В настоящей работе мы развиваем подход, предложенный нами ранее при исследовании процессов рассеяния адронов при высоких энергиях [1,2]. Мы считаем, что в волновых функциях (ВФ) налетающих адронов кроме валентных кварков имеется всего по одному дополнительному глюону. Такое предположение дает возможность описать величину полных сечений протон-(анти)протонного,
нейтрон-(анти)протонного, п±р, К±р, К±п рассеяний в большом интервале энергий — начиная с
области резонансов ^ и 3 ГэВ до максимально достигнутой энергии Большого Адронного Коллайдера
(к настоящему моменту) =7 ТэВ. При этом хромодинамическая константы а5(Л0)и0,31+0,36, что соответствует величине Л0 и 2 ГэВ/с, где Л0 — характерный масштаб расстояний. Иными словами, мягкая адронная физика может быть описана на достаточно «жестком» масштабе, где применимы основные принципы КХД и может быть записан ее лагранжиан.
Фейнмановская диаграммная техника квантовой хромодинамики основана на лагранжиане КХД
I=-1 (ра и (ра Г + ¥1 [(уЧ - тУ>11 + ет*1 А;ф;",
^ = 5Ц А?-5У А + %1а,ьсА,АСс-Здесь операторы фермионного поля ¥1 (х) (кварковые) и векторного А^(х) (глюонного) определены
согласно [3], 1 и /аЬс — соответственно генератор
и совершенно антисимметричная константа группы SU(3), g — цветной заряд.
Для простоты вычислений мы рассматриваем ВФ я-мезона, а затем обобщим ее на ВФ нейтрона и протона.
I п+( р^=^з 2 Jd 3 Pud 3 PdGpu - pd )§(3) x
X(p - pu - pd )|u+(pu, t i)d+(pd ^ i) °>. (1)
Здесь u+ (pu ,t,i), d+(pd ,\r,i) — операторы рождения u кварка с импульсом pu, спином +1/2, цветом i и d антикварка с импульсом pd, спином -^2, цветом i, |° — вектор состояния вакуума. Сумма идет по всем цветам i. Функция G( pu - pd) описывает связанное состояние системы кварк-антикварк. Так как теории этих связанных состояний нет, она выбирается феноменологически. Нормировка ВФ (1) выбирается из условия, чтобы в приближении валентных
кварков ^л+( p)| п-(p')) = 53( p - p'). Тогда нормировка функции G( pu - pd) имеет вид
J d 3 pud 3 pdlG( pu - pd ^ 2§(3)( p - pu - pd )=1.
Рассмотрим элемент S'-матрицы, соответствующий переходу из начального состояния, описываемого
ВФ \in)=| п+( pa ))| п-( pb)), в конечное состояние.
\out =u+(~u1, su1 ,iu1)d+(~d1,sd1,id1)u+(^,2,su2,iu2)d+(^i2,sd2,id2)°;
Г 3 3 3 3 (3) , , ,
(°ut| m) =Jd pu1d pd1d pu2d pd2§( )( pa - pul - pd1)x
xG(pu1 -pd1)S(3)(pb -pu2 -pd2)G(pu2 -pd2 )X
X °l u(~u1,su1,id1)d (~u1,sd1,id1)u'(~u2,su2,iu2)d(~d 2, sd2,id2 )x
xfPj ( X^/^ j( X1) Aa( X^, ]|¥ ( X2 )/¥'( X2 )Aa'( X2 )t/?]x
Xu+(pu1,^,i)d + (pd1,^,i)« + (pu2,^,/)d+(pd2,^,/) °. (2)
Этот матричный элемент описывает взаимодействие двух кварковых токов в точках хх(г^),
x2(?2/2) за счет однократного обмена глюоном.
Среднее по вакууму от глюонных полей дает фейн-мановский пропагатор глюона
г С4п (-1)е-Ц(х1^Хг)
0 А( XI) щ Х2 ))=ga'gJ-CíL ^--------------.
' ^ ^ ^ (2п)4 г, +№
q2+78
Интегрирование по четырехмерным точкам х1 и х2 дает четырехмерную 8-функцию закона сохранения энергии-импульса. После разложения операторов ¥ выражение (2) будет содержать всего 4 слагаемых. Одно из них, соответствующее одноглюонному обмену между кварком u1 и кварком d2, имеет вид
AI(Pa,Pb)=j¡n2(^3) Pul^Pd1dPu2dPd^ X
x( pa - pu1-pd1)5(3)( pb -pu2-pd2)x5(4)( Pul+Pd2 -Pu1-Pd2)x
X mmd Gpu1-Pd1+4Gpd2-Pu2+4) X
Je~ Ep Ep Ep q +e
V pu1 pu1 pd1 pd1 1
X®(pu1,su1)Y^®(pu1+q)ra(pd2,sd2)Ytl«(pd2 ^¡аЛш )•
(3)
Здесь д2 = (~и1 -ри1)2 — квадрат переданного четырехмерного импульса. Биспиноры ю, га определены в соответствии с [3]. Слагаемое (3) соответствует диаграмме на рис.1. Подобное слагаемое, соответствующее глюонному обмену между антикварками с11 и и 2 , входит с тем же знаком. Слагаемые же, соответствующие одноглюонному обмену между кварком и антикварком, входят с обратным знаком. Поэтому в сумме при стремлении поперечного импульса д ^ О инфракрасная расходимость, связанная с пропагато-ром 1 (д2 +/е), сокращается.
Рі к
I
ч
Pul І Pul
4 q
. 1 . Pdl ЛЛЛЛ/V r
1и\
ІСІ2
Рис.1. Диаграмма одноглюонного обмена п п рассеяния. Ри1 , Р62 — импульсы кварков и1 и 62 в начальном состоянии, Ри1 , Р62 — те же импульсы в конечном состоянии, /, I — цвета кварков в начальном состоянии, /и1 , 162 — они же в конечном состоянии
Амплитуда рассеяния на угол, соответствующий переданному поперечному импульсу Q, имеет вид
2
А(ра - й Рь + 0==-^ (73) с3ри1с3РлсРи2С х
P^iPa - Pul - Лл)§(3)(Л - pu2 - pd2 )§<
:(3)/
*(4),
<(Pul + Рd2 - Pul - Pd2 ) G(~u1 - Pdl + qi -
Je~ E Ep E
V Pul Pul-e Pdl Pdl+Q -Pu2 -q + e)-|
d2
rax
(д +О) + ¡г
х (ри1- О,^)Ю(~с 2,5С2 ^“(^2 + й^Му )• (4)
Амплитуды (3) и (4) немедленно обобщаются на случай нуклонов заменой фазового объема.
X
m m,
ud
х
Рис.2. Диаграммы одноглюонного обмена между нуклонами. Обозначения кварковых (сплошных) линий аналогичны рис.1, к — импульс дополнительного глюона, а — его цветовой индекс
d Pu1d Pd1§(3)(pa-pu1 - Pd1)G(Pu1 - pd1)d3 Pu2d 3Pd2§(3) X
X (Pb - pu2 - Pd2)GPu2 - Pd2^
dPu1dPp1dPd1§(3)(pa -pu1 -Pp1 -Pd1)G(puPPuVPd1)x
X d3Pu2d3Pu2d3Pd2§(3)(pb -Pu2 -Pp2 -Pd2)G(pu2,Pu2,Pd2)• Функция G(pu,p?u,pd) также определяется зарядовым формфактором, в данном случае — зарядов ым формфактором протона. Как и в случае G(pu -pd)
для л-мезона, она обрезает инфракрасную расходимость, связанную с пропагатором глюона
1/(q2 +/е) на величинах q2, приближенно равных
квадрату массы р-мезона [4]. Диаграмма, соответствующая взаимодействию нуклонов через одноглюонный обмен, показана на рис.2а. Цвета остальных кварков на диаграмме следуют из условия бесцветности адронов. Нормировочный множитель
1/V3 заменяется на нормировочный множитель
^•\/б . Все остальные элементы диаграммы остаются неизменными.
Применяя предложенный выше подход, можно получить диаграммы 2b и 2c, которые описывают матричный элемент перехода начального состояния нуклон + нуклон в конечные шестикварковые состояния + один глюон. Здесь имеется дополнительный
цветной множитель tü, где с — цветовой индекс глюона.
Подчеркнем, что других диаграмм с б0льшим числом глюонов в нейтрон-ядерном рассеянии не нужно учитывать. Во-первых, вес двухглюонного состояния в ВФ одного адрона, по-видимому, пренебрежимо мал. Это следует из данных рассеяния адронов при высоких энергиях и, на наш взгляд, связано с эффектом конфайнмента. Во-вторых, рассеяние нейтрона на нуклоне внутри ядра будет определяться хромодинамической постоянной aS, экранированной внутри ядерной материи. Поскольку эта величина на порядок меньше хромодинамической постоянной, получаемой в адронной физике, амплитуды, содержащие дополнительные глюоны в нуклонах ядра, пренебрежимо малы.
Диаграммы упругого рассеяния получаются сверткой диаграмм рис.1 и рис.2 с диаграммами, повернутыми на угол, соответствующий переданному импульсу Q (например, сверткой амплитуд (3) и (4)). Необходимо отметить, что предложен-
ный здесь подход позволяет самосогласованно исследовать рассеяние медленных нейтронов в рамках КХД. Исходные КХД диаграммы, применяемые в жесткой области, оперируют кварками и глюонами вне массовой поверхности (вообще говоря, далеко от массовой поверхности). Тем самым избегают проблемы конфайнмента, так как выход кварков и глюонов на массовую поверхность означает существование изолированных цветных состояний. В рассматриваемой ВФ (векторе состояния) (1) закона сохранения энергии нет, предполагается только закон сохранения импульса (как в «старой» теории возмущений). Поэтому кварки и глюоны не могут рассматриваться как свободные изолированные цветные состояния. Так же, как и в «старой» теории возмущений, закон сохранения импульса возникает только в целом матричном элементе, соответствующем упругому рассеянию бесцветных адронов.
Упругое рассеяние нейтрона на ядре в предлагаемом подходе состоит в упругом рассеянии на одном из нуклонов ядра, умноженном на число нуклонов в ядре.
Н.В.Абрамовская выражает благодарность Комитету образования, науки и молодежной политики Новгородской области за поддержку работы в рамках областного конкурса «Молодой исследователь».
1. Абрамовский В.А., Радченко Н.В. Полные сечения взаимодействия адронов в модели с малым числом конституентов // Письма в ЭЧАЯ. 2009. Т.6. №5. С.607-619.
2. Абрамовский В.А., Радченко Н.В. Распределения множественности в протон-протонном и протон-антипротонном столкновениях при высоких энергиях // Письма в ЭЧАЯ. 2009. Т.6. №6. С.717-727.
3. Бьеркен Дж. Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория. Т.2. М.: Наука, 1978. 407 с.
4. Фейнман Р. Взаимодействие фотонов с адронами. М.: Мир, 1975. 389 с.
Bibliography (Transliterated)
1. Abramovskij V.A., Radchenko N.V. Polnye sechenija vzaimodejstvija adronov v modeli s malym chislom konstituentov // Pis'ma v JeChAJa. 2009. T.6. №5. S.607-619.
2. Abramovskij V.A., Radchenko N.V. Raspredelenija mnozhe-stvennosti v proton-protonnom i proton-antiprotonnom stolknovenijah pri vysokih jenergijah // Pis'ma v JeChAJa. 2009. T.6. №6. S.717-727.
3. B'erken Dzh. D., Drell S.D. Reljativistskaja kvantovaja te-orija. T.2. M.: Nauka, 1978. 407 s.
4. Fejnman R. Vzaimodejstvie fotonov s adronami. M.: Mir, 1975. 389 s.
