CC BY
1078. Мануйлов Н.Н., Шутов А.В. Глобальный порядок разбиения окруж-ностию // Молодежь.Образование.Экономика: Сб. науч. ст. участников 5-й Всерос. науч.-практ. конф. молодых ученых, аспирантов и студентов, 4 мая 2004 г. Ярославль; Ремдер, 2004. С. 314-320.
УДК 510
А.Н. ГАМОВА
Канторовская теория множеств в свете альтернативной
теории множеств1
Канторовская теория множеств претендовала на то, чтобы служить основанием всей математики в целом. Альтернативная теория множеств, занявшая ее место, должна показать, что она может заменить Канто-ровскую теорию множеств по отношению к математике, гарантировав ей непротиворечивое основание. Теория множеств имеет два главных назначения: давать язык представления математического мышления и служить основанием математики, поскольку имеет целью структуризацию мира в универсуме множеств.
Первая функция теории множеств не вызывает сомнения. Никого не надо убеждать в том, что в современной математике господствуют теоретико-множественные представления (исключение составляют лишь конструктивное и интуиционистское направления в математике).
Вторая функция теории множеств казалось бы пошатнулась после обнаружения в ней противоречий, от которых Канторовская теория множеств так или иначе избавилась, но не избавила себя от появления новых
1 Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 04-06-87028).
противоречий. Последнее стало возможным лишь в рамках Альтернативной теории множеств (AST), автором которой является П. Вопенка [1]. Начнем с противоречия, затрагивающего самое основание теории множеств — парадокса Рассела. Причина его, как и многих ему подобных, в том мировоззрении, которое сформировалось в теологическом осмыслении Канторовской теории множеств, на которое опираются рассуждения о бесконечных множествах, в частности и представление об универсуме множеств. Мы «видим» бесконечные множества так, как их видит бог, в их актуальной завершенности. Однако опыт учит нас другому, а именно восприятию бесконечного, как естественной бесконечности. Бесконечность проявляется там, где мир становится нечетким, «убегает» горизонту очень большого (возможно, даже и конечного, в канторов-ском понимании конечного) или, наоборот, очень малого. Через феномен «нечеткости» в Альтернативную теорию множеств вводится представление бесконечного. Отказавшись от актуализуемости универсума всех множеств, а также и от актуализуемости некоторых других бесконечных множеств, Канторовская теория множеств избавилась бы сразу от всех своих парадоксов как старых, так и новых. А вместо этого — универсум Канторовской теории множеств был недопустимо сужен.
Второй кризис Канторовской теории множеств разразился в связи с открытием в формализованной теории множеств неразрешимых предложений. В это время задача заниматься основанием теории множеств была возложена на ее формалистическое понимание, что, конечно, не было в его силах, что и показали теоремы Геделя. Формализм не мог обосновать непротиворечивость аксиом теории множеств, поэтому пытался это сделать через относительную непротиворечивость.
Еще Г. Кантор высказал гипотезу, что не существует промежуточной мощности между ш и 2Ш. Неразрешимость этой гипотезы континуума, как и аксиомы выбора, доказал П. Коэн. Еще раньше К. Гедель уста-
новил непротиворечивость некоторой аксиоматической системы теории множеств с присоединенной аксиомой выбора и обобщенной гипотезой континуума. При всей важности этих результатов нельзя забывать, что они относятся к определенным формальным системам (типа ^ и ZF). Канторовская же «наивная» теория множеств не накладывала ограничений на природу своих объектов (которые могли быть и индивидами). С другой стороны, континуум — гипотеза по самой своей сути относится к области фундированных множеств. А аксиома фундированности предполагает лишь такие множества, которые строятся из уже имеющихся, начиная с 0 или с 0 и множества индивидов. И все-таки проблема отождествления аксиоматических систем с «наивной» теорией множеств отнюдь не тривиальна. Эта проблема не возникает в рамках AST, потому что она также содержательная теория, хотя из соображений удобства будем ее себе мыслить как аксиоматическую.
Посмотрим, как в рамках AST может быть решена проблема континуум — гипотезы. В Канторовской теории множеств несчетность множества всех вещественных чисел доказывается посредством канторовского диагонального метода. Существование же множества всех вещественных чисел основано на представлении их в виде двоичных дробей, откуда возникает взаимно однозначное соответствие между вещественными числами и подмножествами натурального ряда. А вера в существование множества всех подмножеств натурального ряда нам представляется «очевидным фактом», постулируемым в Канторовской теории множеств в виде аксиомы множества степени. А если этот факт признать не очевидным, что и принимает Альтернативная теория множеств, исходя из своего представления о бесконечности, проблема континуума будет снята.
Канторовская теория множеств также вынуждена отказаться признать множествами необозримо большие совокупности, тем самым навязав обозримость, то есть малость и четкость, всем множествам. Однако
число всех молекул в капле воды или число 256256 мы вряд ли склонны признать за малые и обозримые. А класс понятия «количество волос в шевелюре стареющего денди» мал, но тем не менее нечеткий. Нечеткие совокупности Канторовская теория множеств не рассматривает, так как для них не выполняется принцип математической индукции. Однако если мы хотим моделировать реальный мир, мы не можем проигнорировать такой обширный класс, как нечеткие совокупности, которых необозримо больше, чем четких. Как следствие этого — отказ от представлений, что приближения являются приближениями к чему-то точному и навязывания «нечетким объектам» свойств, им не присущих. Примером могут служить «парадоксальные» следствия из аксиомы выбора о разбиении шара. Парадокса на самом деле нет, так как части, на которые разбивается шар, неизмеримые, и к ним неприменимо свойство аддитивности меры. Той же природы вопрос о том, насколько правомерно приписывать меру всякому случайному событию. В свое время пренебрежение феноменом нечеткости привело к существенным трудностям в теоретической физике в связи с осмыслением статуса необратимых процессов. Альтернативная теория множеств дает очень естественный подход к этой проблематике, позволяющий отказаться от неоправданной аргументации, будто некоторые процессы возможны, но имеют очень малую вероятность. Эта теория позволяет совместить обратимость фундаментальных уравнений с существованием необратимости, как спонтанности, по причинам, что в природе не существует абсолютно горизонтальных направлений и т.д. Сами по себе эти идеи приходят в голову, но их математическая обработка становится возможной лишь в рамках обсуждаемой теории.
Для осмысления феномена «нечеткости» в AST вводится понятие «горизонт». Все, что лежит перед горизонтом, мы видим четко. Совокупности объектов, расположенных перед горизонтом, трактуются как
конечные множества. К горизонту устремляются нечеткие совокупности, которые объявляются собственными классами. Нечеткость, присущая небольшим собраниям, реализуется посредством полумножеств, то есть подклассов множеств. Поэтому существуют бесконечные множества, которые содержат собственные подмножества. Поскольку собственные классы — это бесконечные совокупности, достигающие горизонта, множества, их содержащие, продолжаются за горизонт.
В отличие от Канторовской теории множеств, где границы мира непроницаемые, в AST горизонт не занимает строго определенного положения, а может отдаляться вследствие заострения нашего зрения (например, с помощью оптических приборов). Также и мир не заключен в жесткие границы горизонта, а может продолжаться за горизонтом. Человек умирает, но мир какое-то время продолжает существовать таким, каким он его оставил. Бесконечные сходящиеся последовательности рациональных чисел, пределы которых называют вещественными числами, располагаются на горизонте (за исключением конечного числа членов, расположенных перед горизонтом), а их пределы, вещественные числа, лежат за горизонтом. Здесь мы подошли к ситуации, когда четко описанная совокупность, множество имеет нечеткую часть — собственный подкласс, называемый полумножеством.
Собственные классы и полумножества являются носителями нечеткости, поэтому объявляются бесконечными совокупностями. Отсюда следует определение конечного класса:
Fin(X) := Cls(X) & V Y (Y С X ^ Set(Y)).
Полумножества — это небольшие классы, содержащиеся в множествах, поэтому естественно потребовать от них выполнения свойств, присущих множествам, и чего-то еще, что будет отличать их от множеств. Так что, во-первых, это замкнутость относительно геделевских операций:
UX, p(X), X x Y, X П Y, D(X) и т.д.,
а, во-вторых, очевидно, что пересечение класса с множеством есть полумножество. Класс, пересечение которого с любым множеством есть множество, назовем реальным классом [1].
АКСИОМА РЕАЛЬНЫХ КЛАССОВ:
V X V x 3 y D(X) П x = D(X П y),
где X — класс, x, y — множества.
Тогда для реального класса X, D(X) есть реальный класс. Геделевы операции переводят реальные классы в реальные классы. Так как множества — это реальные классы, то геделевы операции сохраняют множества. Теория Геделя—Бернайса (GB) — это теория реальных классов.
В AST предполагается существование собственных полумножеств, там отсутствует аксиома GB: «Если F-функция — класс и D(F) — множество,то F — множество». Ограничившись в теории GB лишь множественными формулами (не содержащими классовых переменных), получим систему Цермело—Френкеля (ZF). Таким образом, системы GB и ZF имеют естественную интерпретацию в AST.
Напомним, что канторовский универсум множеств актуализован. Универсум V множеств AST строится также согласно принципам 1-2:
1. 0G V ;
2. X, Y е V ^ X U {Y} G V.
Не будем спешить с актуализацией универсума V, однако актуализу-ем его часть FV, объекты которой (наследственно конечные множества) лежат перед горизонтом, то есть являются конечными множествами (так же, как их элементы, элементы их элементов и т.д.). После актуализации FV образует собственный класс, для которого верно все, что верно для канторовского универсума, с той лишь разницей, что четкость элементов FV и утверждений о них утрачивается по мере приближения к горизонту (достаточно вспомнить, что FV — собственный класс).
Конечные натуральные числа (их фон Неймановские модели) образуют в универсуме РУ класс РК, играющий при построении математики на основе ЛБТ ту же роль, что класс натуральных чисел N в канторовской математике. В частности, имеет место принцип математической индукции на РК и связанные с ним утверждения классической математики (индуктивная теорема, построения по индукции и пр.).
Теперь, когда определен универсум множеств, под классами будем понимать совокупности элементов из V (о существовании других классов скажем позже). Классы будем обозначать X, У, Z,..., множества из универсума множеств — х, у, г,..., конечные натуральные числа — п, т, Ь,... Формулы определяются обычным образом, различаются классовые и множественные формулы. Конечно- и бесконечно-перечислимые классы определим соответственно как 3 п € РХ (X ~ п) и X ~ РХ, где отображения заданы функцией-классом. Очевидно, что существуют и неперечислимые классы, чьи элементы нельзя уложить перед горизонтом.
АКСИОМА ПУТИ К ГОРИЗОНТУ.
Пусть X, У) — классовая формула и V п 3 X Х,п). Тогда существует функция — класс О, такая что
О(О) = РХ и V п<р(О(п),п).
Горизонт в Альтернативной теории множеств может перемещаться, расширяя обзор, а мир продолжается за горизонтом, правда, не очень далеко, что отражено в следующей аксиоме.
АКСИОМА ПРОДОЛЖЕНИЯ ЗА ГОРИЗОНТ.
Пусть О :: РХ ^ V есть функция. Тогда существует функция д, такая что О С д. Так как О, д — функции и О С д, то д(п) = О(п) для каждого п € РХ.
Отдалением горизонта от универсумов РУ и РК можно перейти соответственно к универсумам Р * V, Р * Х, для которых РУ, РК становятся
собственными подклассами. Причем это не последнее такое отдаление горизонта. Один из таких классов F * V, для которого еще выполняются аксиомы ZF, отождествим с V (хотя, конечно, V = F * V). В этом смысле можно говорить об актуализуемости класса V.
Альтернативная теория множеств мало бы отличалась от Канторов-ской теории множеств, если бы она ограничилась рассмотрением универсума V, главный интерес AST состоит в изучении классовой надстройки над универсумом множеств V — расширенного универсума AST. Классовая надстройка V* существенным образом зависит от горизонта, то есть класса FN, являющегося отражением удаленности горизонта.
АКСИОМА ЭЛЕМЕНТОВ И ПОДМНОЖЕСТВ.
X е V ^ Set(X)&X С V.
Эта аксиома гарантирует, что все множества из расширенного универсума являются множествами из V. Актуализацией класса V мы не закрыли возможность изучения вновь возникающих (актуализуемых) классов, не попавших в расширенный универсум, если они могут быть закодированы классами из расширенного универсума. Эта вера не сильнее той убежденности, что в Канторовской теории множеств существуют модели всех явлений мира. Альтернативная теория множеств не закрыта также для пополнения ее новыми принципами, которые могут возникнуть в дальнейшем при условии соблюдения условий, что присоединяемые объекты не противоречат уже существующим, а области осуществимых объектов несовместимы (в том смысле, что если уж эволюцией избран один из путей развития, то этот путь несовместим с любым из других возможных путей). Появление Альтернативной теории множеств показало, что путь развития теории множеств, как и всей математики в целом, мог быть иным. Появившиеся в Канторовской теории множеств парадоксы получили в Альтернативной теории множеств естественное объяснение с указанием путей их преодоления. Большинство неразре-
шимых проблем классической теории множеств так или иначе связано с понятием континуума. Критический анализ понятия континуума занимает важное место в Альтернативной теории множеств. В какой-то мере развитые здесь идеи сопоставимы с идеями Нестандартного анализа, однако подход, предложенный П. Вопенкой, естественней и ближе к интуитивным представлениям об окружающим мире. Главное в нем — отказ от абсолютной завершенности и убежденности, что каноническими моделями Канторовской теории множеств мир может быть полностью описан. Отсюда принципы, на которых базируется Альтернативная теория множеств — отказ от актуализуемости некоторых больших, конечных, с точки зрения Канторовской теории множеств, совокупностей, представление бесконечности как недостижимой конечности, введение в рассмотрение как четких, так и нечетких совокупностей. Это привело к пересмотру некоторых принципов Канторовской теории множеств, в первую очередь, принципа математической индукции, который не действует на нечетких совокупностях, как и добавлению некоторых новых принципов. Однако как Канторовская теория множеств, так и вся кан-торовская (классическая) математика воспроизводима в рамках Альтернативной теории множеств и этот подход более простой и естественный.
Библиографический список
1.Вопенка П. Альтернптивная теория множеств. Новый взгляд на бесконечность // Пер.со словац. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2004.
