Канонические и граничные представления на пространстве Лобачевского Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.01

КАНОНИЧЕСКИЕ И ГРАНИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА ПРОСТРАНСТВЕ ЛОБАЧЕВСКОГО

© Л.И. Грошева

Grosheva L.I. Canonical and boundary representations for the Lobachevsky space. For the Lobachevsky space of arbitrary dimension, canonical (not necessary) and boundary representations are defined, and their decompositions are given. The decomposition of the Berezin form is also given.

В настоящей работе мы изучаем канонические и порожденные ими граничные представления для пространства Лобачевского С/К, где 80о(п — 1,1), К = БО(п — 1). Мы даем явные разложения тех и других. Канонические представления мы понимаем в широком смысле, они не обязательно унитарные. Изложение в большой степени параллельно нашим работам [1] и [2] о комплексных гиперболических пространствах.

1. Пространство Лобачевского. Мы используем "модель Клейна": пространство Лобачевского размерности п — 1 реализуется как единичный шар В : (и, и) < 1 в М . Здесь (•, •) - стандартное скалярное произведение. Группа (3 действует на В дробно-линейно:

иа + 7 / а Р \

и и ■ п = —------д = с ,

У и/3 + 6’ у \ 'У 5 /

матрица д Е й записана в блочном виде соответственно разбиению (п — 1) 4- 1 .

Пусть (1и - евклидова мера на Б : ¿и = = с1и\ .. .¿ип-1 . Пусть (/, Ъ)в обозначает скалярное произведение в I? на В по этой мере:

</,Л>в = [ 1(и)Ци)(1и. (1)

./ в

Инвариантная относительно С мера на В есть с1х(и) = р~п'2(1и , где р = 1 — (и, и) .

2. Представления группы й, связан-

ные с конусом. Пусть Б - граница шара В, она есть сфера в К , т.е. 5 состоит из точек (вь..., в„_1) таких, что в!2 + ... + = 1.

В пространстве 2?(5) действуют представления Та , а Є С , группы Є по формуле

(Та{д)ір) (в) = ф ■ д){з/3 + ¿)а.

Пусть сів - евклидова мера на 5 .Эрмитова форма

(<!>,4>)з = [ (2)

Js

инвариантна относительно пары (Та^Т^-п-а) > т.е.

(Та{д)‘Ф,^)5 = ('Ф,т2-п-^{д~1)‘р)з^ (3)

где д Є С .

Представление Та может быть распространено на пространство Р'(5) обобщенных функций на 5 посредством формулы (3), где яр

- обобщенная функция, (,ф,ф)3 есть значение обобщенной функции ф на тестовой функции ¥>•

Определим оператор Аа в Р(5): {А^){з)= [ (1 - <М»2-П-<Г ¥>(*)*•

Интеграл абсолютно сходится при Тіесг < (2 — п)/2 и продолжается мероморфно во всю комплексную плоскость сг. Он имеет простые полюсы в точках а Є (2 — п)/2 + N. Его вычет Ам в полюсе р есть некоторый диффференциальный оператор.

Оператор Аа сплетает Та и Т-2-п-сг ■ С формой (2) оператор Аа взаимодействует так:

(Аа‘Ф,<р)з = {ф,А^р)3. (4)

Полуторалинейная форма (Ааф,ір)3 инвариантна ОТНОСИТелЬНО пары (Х^, Т-2-п-а) • В

частности, для а Е К. эта форма является инвариантной эрмитовой формой для Та .

Тождественная единица является собственной функцией для оператора Аа с собственным значением

j(a) = Г.((2,-»)/2-^),

I (-а)

Оператор Аа может быть распространен на V'{S) с помощью формулы (4). Представление Та неприводимо для всех a Е С , за исключением (Т ё N И О Е 2 — П — N. в этом случае Та эквивалентно Т^-п-а с помощью оператора Лст.

Унитаризуемые представления образуют три серии: непрерывная серия состоит из Та , а — = (2 — п)/2 + ip, р Е М, скалярное произведение есть (2), дополнительная серия состоит из Та , 2 — п < о < 0, скалярное произведение есть const • {А^гр, <p)s , дискретная серия реализуется в неприводимых факторах при а Е N = = {0,1,2,...} и сг Е 2 — п — N .

3. Канонические представления. Канонические представления R\, Л Е С, группы G определим как ограничения на G максимально^ вырожденных серий представлений группы G = SL(п, Ш) . Последние представления были исследованы в работе [3]. Пространство, в котором действуют наши R\ , есть пространство Т>(В) , состоящее из бесконечно дифференцируемых функций на замыкании В шара В .

Канонические представления R\ действуют в Т>(В) по формуле

(Rx(g)f)(u) = f(u-g)(uf3 + 6)-x-n.

Скалярное произведение (1) является инвариантным относительно пары (R\,R__j_ ). Канонические представления R\ можно распространить на пространство Т>'(В) обобщенных функций на К с носителями в В с помощью формулы (1).

4. Граничные представления. Каноническое представление R\ порождает два представления L\ и М\ , связанные с границей 5 шара В . Первое из них действует на обобщенных функциях, сосредоточенных на S , второе

- на струях, ортогональных S, т.е. на многочленах Тейлора от р в точке р = 0 .

Обозначим через Дк(В), к Е N, пространство обобщенных функций из Т>'(В), имеющих

вид

ф)6(к\р),

где 6(р) - дельта-функция Дирака на вещественной прямой, S^k\p) - ее производная Zero порядка, ip Е V(S) , в шаре В введены полярные координаты: и = rs, 0 iC г ^ 1, s Е Е 5, р = 1 — г2 . Положим

£, (В) = До (В) + А1(В) + ... + Д к(В),

ОС

Е(В) = U ЫВ). (5)

к—О

Представление R\ (рассматриваемое на обобщенных функциях на В) сохраняет каждое Ек{В) и фильтрацию (5) (но не сохраняет каждое Ак{В), к ^ 1). Представление Ь\ - есть ограничение представления R\ на пространство Е(В). Предствление Ь\ есть верхняя треугольная матрица с диагональю

-^2 — п—Л+2гП)^ £ N .

Далее, для функции / из Т>(В) рассмотрим ее ряд Тейлора ao+aip + a-2p2 + ... по степеням р . Здесь а* = а/;(/) функции из V(S) . Пусть а(/) - столбец (a0(/),ai(/),a2(/),...). Обозначим через A(S) пространство последовательностей (столбцов) а = (ao,ai,...), где ак Е Е T)(S) . Отображение / н» a(f) есть отображение пространства Т>(В) на пространство ^(S). Представление М\ группы G действует на пространстве A(S) по формуле

M\{g) a(f) = a(R\(g)f).

Представление М\ есть нижняя треугольная матрица с диагональю Т_л_п_2т, т 6 N.

5. Преобразования Пуассона и Фурье, связанные с каноническим представлением. Пусть Л, о Е С . Преобразование Пуассона Ра,о- : T>(S) —» С00 (В) и преобразование Фурье -Fa,сг : —> V(S) , связанные с канониче-

ским представлением R\ , определим следующим образом:

(Рл,„¥>)(и) = J (1 - (и, s))° ф) ds,

(F\,af)(s)= [ (1 - {u,s)Y p(x~o)/1 f{u)du.

J в

Эти преобразования сплетают Т2-П-0 с и R,\ с Та , соответственно. Они сопряжены друг ДРУГУ

(F\,a f, ф)s = (/, в-

Для К— финитной функции <£> £ T>{S) и а £ (2-n)/2 + Z имеет место разложение:

оо

(Ра,„¥>)(«) =P("A"'“n)/2 £(<^,*<¿100 рк+

к=О

оо

+р(а-А-2)/2 £(Д^)(в).р*, fc=О

где и — rs, 0 ^ г < 1, р = 1 — г2, s 6 S, Ca,k и £>ст,*; - некоторые непрерывные операторы в 'D(S). Они выражаются через операторы Ла и W^:

Ca'k — А-2—п—а И'2—п — a,ki ^а,к — j (&)^'Vcr,k ■

Оператор (дифференциальный) Wa<k определяется с помощью производящей функции:

(1 _ p)«/»F (° + n-2 + l g + „-i+<;g+ „ ^ =

оо

= '52и>(Г>к{т)рк,

к=О

где F - гипергеометрическая функция Гаусса, Ht = 1(3 — п — I) - собственные числа оператора Лапласа-Бельтрами As на S. Тогда W„k = = Watk(AS) ■

Преобразование Пуассона Р\ а имеет полюсы по а в точках

а = 2 — п — А + 2/, а = X — 2к, k,l Е N. (6)

Если полюс принадлежит только одной из серий (6), то он - простой, а вычеты соответственно равны

(-1)* (-1)' 2^-j(X-2k)^k, -2^-^оАЛ-21, (7)

где £а,& — оператор (граничная проекция) V(S) —» Sjt(P) , определяемый формулой:

£а,*М = £(-1)" ТГГЬУ' ^А-2k,w ■ №-ьЧр)-6=0 ^ ’’

Он сплетает Т2_„_л+2Л с L\ . Операторы дают диагонализацию представления L\ при

А + (п — 4)/2 ^ N .

Пусть полюс ц принадлежит обеим сериям (6) и является простым. Это может быть в случае, когда п четно, А 6 N и ц £ N. Тогда вычет дается любой из формул (7), обе они дают одно то же.

Пусть, наконец, полюс //, - второго порядка, тогда он принадлежит обеим сериям (6).

Старший лорановский коэффициент (коэффициент при (а — ц)~2 ) равен

(-1)'

4—у|— £л,( о Ах-21 (к ^ /),

где ¿(ц) обозначает вычет множителя і (а). Полюсы второго порядка дают жордановы клетки второго порядка в разложении Ь\. Их количество равно [(2А + гг)/4] (квадратные скобки обозначают целую часть).

Преобразование Фурье Ра,^ имеет полюсы по а в следующих точках:

а = —А — п — 2к, а = А + 2 + 21, к, І Є N. (8)

Если полюс /і принадлежит только одной из серий (8), то он - простой, а вычеты соответственно равны

¿(-Х-п-2к)Ьх,к, -А-х-п-2іЬ\,і, (9)

где Ьх,к - граничный оператор Т>(В) -> Т>(8), определяемый через коэффициенты Тейлора:

к ЪхМ= Е И'-А-п-2к,к-т(ат(П),

771=0

здесь /* = (1 — р)(п-3)/2/. Операторы Ь\,к сплетают Кх с Т-х-п-2к и дают диагонализацию представления Мх для Х$ (—п — 4)/2 —

Пусть полюс /х принадлежит обеим сериям (8) и является простым. Это может быть в случае, когда п четно и /і Є N. Тогда вычет дается любой из формул (9).

Пусть, наконец, полюс /і - второго порядка, тогда он принадлежит обеим сериям (8). Старший лорановский коэффициент равен

2 А—х—п—21 ° Ьх,1 (к ^ I), 2¿(ц) Ьх,к (к ^ I).

Полюсы второго порядка дают жордановы клетки второго порядка в разложении Мх для

— Л — (п + 4) /2 Є N . Количество таких клеток равно [—(2А + п)/4].

6. Разложение канонических представлений. Мы ограничимся разложением канонических представлений , для которых А лежит в вертикальных полосах

1к ■ П 2 +2к <Т1еХ < - + 2к, к Є Z.

А А

Теорема 1. Пусть А € 1о . Тогда каноническое представление Да в Т>(В) разлагается в прямой интеграл, представлений Та непрерывной серии (а = (2 — п)/2 + + ip) с кратностью 1. А именно, сопоставим функции / из Т>(В) совокупность {-Р\,<т/} , о = (2 — п)/2 + гр. Это соответствие £? -эквивариантно. Справедлива формула обращения:

/оо

Ш{а) Р\)2—п—(т ^Х,а / ^р,

-оо ст=(2-п)/2+гр

(10)

где ш(сг) = [4тг3(а)3(2 — п — а)] 1 . При а — (2 —

— п)/2 + {р множитель и}(с) есть плотность меры Планшереля для квазирегулярного представления.

Для вещественных Л € /о эта теорема дает разложение унитарных канонических представлений.

Разложение (10) справедливо не только в смысле поточечной сходимости, но и в смысле сходимости в пространстве обобщенных функций Т>'(В).

Продолжим аналитически по Л разложение (10), рассматриваемое в Т>'(В) , из полосы То в полосу 1к+1 , к 6 N. Полюсы о — А — 2т и а = 2 — п — Х + 2т, т = 0,1,... ,к подин-тегральной функции (это - полюсы преобразования Пуассона Р\^-п-а) пересекают линию интегрирования Кеа = (2 — п)/2 и дают добавочные слагаемые. Мы получим

/со к

+ £ 7ГЛ,т (/), (11)

-°° т=0

где символ интеграла обозначает правую часть (10) и

, = О (-1Г 1

Л,т т\ ]{2 — п — X-\-2т)

*£а,т 0 ^А,2 — п — А+2т • (1^)

Операторы (12) могут быть распространены и на £*(£?). Тогда на пространстве 1~>к{В) =

— Т>{В) + £*. (В) оператор 7Гд)Пг есть оператор проектирования на образ оператора £д,т .

Теорема 2. Пусть X € Ь+1, к £ £ N . Тогда пространство Т>(В) должно быть дополнено до пространства Т>к(В) . На этом пространстве Т>к(В) каноническое представление Яд распадается в сумму двух слагаемых: первое разлагается как Да в теореме 1,

а второе разлагается в сумму к + 1 неприводимых представлений Т2-п-\+1т > т = = 0,1,..., к. А именно, сопоставим, фгункции } € Т>к(В) совокупности {.Ра,*/, 7ГА,т(/)} , где

о = (2 — п)/2 + , т — 0,1,..., к . Это соот-

ветствие С -эквивариантно. Функция / восстанавливается по формуле обращения (11).

Для вещественных Л из интервала ((2 —п)/2,0) эта теорема дает разложение унитарных канонических представлений.

Теперь мы продолжаем (10) из полосы /о налево в полосу 1-к-1,к € N . Здесь дополнительные слагаемые получаются из-за полюсов сг = —А — п — 2т и а = А + 2 + 2т, т = = 0,1,..., к , подинтегральной функции, это -полюсы преобразования Фурье Г\}(Т . Мы получаем

/°°

+ £ пЛ,т (/), (13)

■°° 171=0

где интеграл обозначает правую часть (10) и Пд,771 — Т7Т | ^ ' г г Ра,А+2+2,п ° ^А.тп-

](Х + 2 + 2т)

Оператор Па,771, т = 0,1,..., &, является оператором, отображающим Т>(В) на образ Преобразования ДА,А+2+2т?г •

Пусть Т[(В) обозначает пространство функций /на В класса С°° на В и на 5, имеющих разложение Тейлора порядка I:

/(и) = а0 + ахр + а2р2 + ... + щр1 + о(р1),

здесь Ог = <2г(/) - фуНКЦИИ ИЗ ^(5) .

Пространство 7/(В) содержит Т>(В).

Теорема 3. Пусть X £ 1-к-1, к £ £ N . Тогда каноническое представление Да , рассматриваемое на пространстве Тк+\(В) , распадается в сумму двух слагаемых. Первое из них действует в подпространстве функций / таких, что ат(/) = 0, т = 0,1,...,к, и разлагается как Да в теореме 1 (в прямой интеграл представлений непрерывной серии). Второе действует на сумме образов преобразований Пуассона Р\,\+2+1т > тп = 0,1,..., к , и разлагается в прямую сумму к + 1 неприводимых представлений Г_д_„_2т > т —

— 0,1,..., к . Формула обращения есть (13).

В разложении канонических представлений жордановых клеток нет.

7. Форма Березина. Назовем ядром Березина следующую функцию от пары точек и, у Є Є В :

Е\(и,и) = с(А)

где А Є С и

(1 - (и,у)У

(1 - (и,и))(1 - (у,у))

А/2

С(Л) = ^-»,/2 Г ((1 — А)/2)

1 ' Г ((2 — п — А)/2)'

Ядро Березина порождает полуторалинейную форму В\(/,Н) на Т>(В), называемую формой Березина:

В\{1,К) = ! Е\(и, у) /(и) Н(у) <1х(и) с1х(у).

ВхВ

При А Є М эта форма эрмитова.

Теорема 4. Пусть /, Н Є Т>(В) . Тогда для ЫеА < (2 — п)/2 и для А = (2 — п)/2 мы имеем

/ОО

ш(о)А(Х,о)-

-оо

■(К/, ^2-п-ггЛ)5

а=(2—п)/2+ір

для (2 — п)/2 + 2/с < Ее А < (2 — п)/2 + 2к + 2 и длл А = (2 — п)/2 + 2&, к Є N , мы имеем

/оо ^

+ £ Лт(А)ЯА-2т)-1-

-°° т=0

'(^А-2т Е\~2nn.ii Е\_2т^)§

и для Ые А = (2 — гг)/2 + 2к , А ^ (2 — п)/2 + 2к , А: Є N , мы имеем

С со к — 1

-°° 771=0

■{А\-2к ^А-2*/, Р\-2кН)<;і

/оо ^ —1 -і

+ Е +^Л,(А)І(А-2А:)-1-

-ОО ____п

где

Л(А,<7) =

Г(г-л) г(^я^л)

Г(-А)Г(2-^А) ’

Лт(А)=47г Кея и>(сг)Л(А, о).

СГ — Х — '2771

Ядро Березина £>д дает также интегральный оператор с этим ядром, обозначим его

снова через ВА , назовем его преобразованием Березина:

{В\/)(«)= I В\(и,у) ¡(у)скс(у).

1в

Мы можем написать полное асимптотическое разложение оператора йд .

Теоремаб. Пусть А стремится к

оо вдоль луча в полуплоскости 11еА < (2 —

— п) /2, отличного от вещественной отрицательной полуоси. Тогда имеет место следующее асимптотическое разложение:

ОО 771—1

Е П [Л-2г(2г + п-2)]-

771 = 0

Г =0

1

{( — Л — п)/2}(,п) ’ (14)

где Д - оператор Лапласа-Бельтрами на В , при т = 0 произведение в ряде считается равным 1, так что весь член ряда с т = 0 равен 1. Разложение (14) понимается в том смысле, что разность между оператором В\ и всякой частичной суммой ряда стремится к нулю на всякой функции из Ь2(В,с1х) :

771=0

Ь2(В,с1х)

0.

В формуле (14) мы использовали обозначение для "обобщенных степеней": а= а(а — — 1)... (а — т + 1).

Преобразование Березина В\ можно рассматривать также на пространстве 'Н(Х) многочленов на гиперболоиде X : — х\ —... — х2п_х + + х^ — 1, ) 1, в К , т.е. ограничений на X

многочленов на М. . Шар В есть образ центрального проектирования гиперболоида X из начала координат на гиперплоскость хп = 1. Обозначим через 'Неуеп(Х) подпространство в 'Н(Х), состоящее из четных многочленов.

Т еоремаб. На пространстве Т1еУеп{Х) для произвольного А ^ — п — N имеет место точное равенство (не только асимптотическое):

1

771 — 1

771 = 0

7*=0

{(-А-п)/2}(™>-

Фактически на каждом многочлене из Деуеп(Л’) ряд есть конечная сумма.

ЛИТЕРАТУРА

1. Грошева Л .И. Преобразования Пуассона и Фурье, связанные с каноническими представлениями на комплексном гиперболическом пространстве // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2004. Т. 9. Вып. 1. С. 84 - 86.

2. Грошева Л. И. Разложение канонических представлений на комплексном гиперболическом пространстве // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2004. Т. 9. Вып. 1. С. 86 - 88.

3. Dijk G. van, Molchanov V.F. Tensor products of maximal degenerate series representations of the group SL(n,M) // J. Math. Pures Appl. 1999. T. 78, No. 1. P. 99 -119.

Поступила в редакцию 4 сентября 2004 г.