Канонические и граничные представления на флаговых пространствах надгруппы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Abstract: Basic principles of mathematical education of students of economical specialities in WSTU are given.

Keywords: mathematics teaching; taking into account of basic knowledge level; innovation EMC; informational technologies in education.

Можей Наталья Павловна к. ф.-м. н., доцент Белорусский государственный технологический университет Беларусь, Минск e-mail: [email protected]

Natalja Mozhey

candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer

Whiterussian State Technological University Whiterussia, Minsk e-mail: [email protected]

УДК 517.98

КАНОНИЧЕСКИЕ И ГРАНИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА ФЛАГОВЫХ

ПРОСТРАНСТВАХ НАДГРУППЫ1

© В. Ф. Молчанов

Ключевые слова: симметрические пространства; многообразие флагов; канонические представления; граничные представления; преобразование Березина.

Аннотация: Дается краткое описание новой теории: канонические представления на флаговых многообразиях надгруппы.

Канонические представления на эрмитовых симметрических пространствах О/К были введены Вершиком, Гельфандом и Граевым (для плоскости Лобачевского) и Березиным. Они унитарны относительно некоторого инвариантного скалярного произведения (формы Березина). Мы рассматриваем канонические представления в намного более общей постановке. Во-первых, рассматриваемые многообразия не обязательно транзитивны, открытые орбиты в них - это симметрические пространства, по преимуществу псевдо-римановы. Во-вторых, изучаемые представления не обязательно унитарны (условие унитарности оказывается слишком стеснительным), вместо локального скалярного произведения (ядро скалярного произведения есть дельта-функция) появляется либо нелокальное скалярное произведение, либо инвариантная полуторалинейная форма, не обязательно положительно (отрицательно) определенная. В-третьих, изучаемые представления действуют в различных, подчас весьма широких, пространствах функций или сечений линейных расслоений (в ядерных пространствах, пространствах обобщенных функций и др.).

Наш подход состоит в следующем. Пусть О - иолупростая группа Ли. Надгруппа (О для О

О

(О некоторой инволюцией. Пусть Р - максимальная параболическая подгруппа группы (О, пусть

1 Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП 2.1.1/1474 и Темпланом 1.5.07.

R\, X е C, - серия представлений группы G, индуцированных характерами (одномерными представлениями) подгруппы Р. Представления Ry могут зависеть еще от некоторых дискретных параметров. Как правило, эти представления неприводимы. Они действуют в функциях на флаговом пространстве П = G/p для надгруппы G, это некоторое компактное многообразие.

Ограничения R\ представлений R\ на группу G мы называем, используя термин Вершика-

G

П-

Серия представлений Ry обладает сплетающим oneратором By. он сплетает представления со значениями параметра X и X* = N — X, где N - некоторое число, зависящее от П. Композиция этого оператора и инволюции, выделяющей группу G в G, порождает некоторый оператор Qy, который играет важную роль во всей теории. Мы называем этот оператор Qy преобразованием

X X*

линейную форму (форму Березина).

Вообще говоря, многообразие П не является однородным пространством группы G, эта группа имеет несколько орбит на П. Открытые G-орбиты являются полупростыми симметрическими пространствами G/Hi. Они могут оказаться неизоморфными. Многообразие П есть замыкание

G

Канонические представления Ry порождают граничные представления. Это - представле-G G G/Hi G

меныней размерности. Граничные представления распадаются на два типа: представления одного типа действуют в обобщенных функциях, сосредоточенных на объединении S границ, представления другого типа действуют в струях, трансверсальных к S (в коэффициентах рядов Тейлора по степеням "расстояния" до границы). Эти два типа двойственны друг другу. Появление граничных представлений связано как раз с широкой трактовкой понятия канонического представления. Граничные представления интересны как сами по себе (вообще, изучение представлений в обобщенных функциях, сосредоточенных на подмногообразиях, - одна из самых "горячих тем "и интригующих задач в некоммутативном гармоническом анализе), так и с точки зрения разложения канонических представлений, они "склеивают" представления на отдельных открытых G

Наряду с указанным понятием канонического представления можно рассматривать несколько другую его версию: ограничение канонических представлений в первом смысле на какую-нибудь одну G-орбиту G/H в П. Оба варианта взаимосвязаны и должны быть предметом изучения. Но первый из них приводит к более естественной и прозрачной теории. Например, в первом варианте легко написать оператор, обратный к преобразованию Березина, а во втором - это весьма трудная

ЗЭ)ДЭ)ЧЭ).

G/H

пространства. Такие пространства образуют обширный и крайне важный класс однородных пространств.

Его подкласс, состоящий из римановых полупростых симметрических пространств (здесь инвариантная метрика положительно определена), более прост в изучении. При переходе от римановых пространств к псевдо-римановым симметрическим пространствам (здесь инвариантная метрика не является знакоопределенной) трудности в изучении гармонического анализа резко возрастают. Поэтому наиболее интересные задачи относятся именно к псевдо-римановым пространствам. Именно их мы по преимуществу и рассматриваем.

G/H

римановых) особую роль играет подкласс симплектических симметрических пространств. В частности, на пространствах этого класса строится квантование в смысле Березина. В свою очередь, этот подкласс включает в себя следующие основные подсемейства:

а) эрмитовы симметрические пространства;

б) полукэлеровы симметрические пространства;

в) пара-эрмитовы симметрические пространства;

г) комплексификации эрмитовых симметрических пространств.

Пространства семейства а) - римановы, пространства остальных семейств - псевдо-римановы. Произвольное симплектическое пространство есть прямое произведение пространств из указанных четырех классов.

Помимо симплектических симметрических пространств важный класс образуют гиперболические пространства - вещественные (гиперболоиды), комплексные, кватернионные и октавное. Комплексные гиперболические пространства являются полукэлеровыми симметрическими пространствами.

Основные задачи этой теории - это разложение канонических и граничных представлений на неприводимые составляющие, выражение преобразования Березина через операторы Лапласа, разложение и асимптотическое поведение формы Березина.

В настоящее время конкретные вычисления проведены для следующих случаев:

а) многообразие Q - единичная с фера Sп-1 размерное ти n — 1 в R , групп a G - псевдо-ортогональная группа SOo(p,q), p + q = n, надгруппа G - группа SL(n,R), открытые орбиты -гиперболоиды;

б) многообразие Q - прямое пропзведение сфер Sp х S4-1 в Rn+1, p + q = n, группа G -псевдо-ортогональная группа SOo(p, q), p + q = n, надгруппа G - группа SOo(p + 1, q), открытые орбиты - гиперболоиды;

в) многообразие Q - сфер a S2n-2 в C , групп a G - псевдо-унитарная группа SU(n — 1,1), p + q = n, надгруппа G - груп па SL(n, C), открытые орбиты - комплексные гиперболические пространства;

г) многообразие Q - прямое пропзведени е сфер Sn-1 х Sn-1 в R х R , групп a G - группа SL(n, R), надгруппа G - произведение двух экземпляров группы G, открытые орбиты -пара-эрмитовы пространства ранга один.

Abstract: an outline of a new theory is given: canonical representations on flag manifolds of an overgroup.

Keywords: symmetric spaces; flag manifolds; canonical representations; boundary representations; Berezin transform.

Молчанов Владимир Федорович д. ф.-м. н., профессор

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов

e-mail: [email protected]

Vladimir Molchanov

doctor of phys.-math. sciences, professor

Tambov State University named after

G.R. Derzhavin

Russia, Tambov

e-mail: [email protected]