CC BY
68
атематические проблемы управления
УДК 681.326
КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
А.Н. Жирабок
Рассмотрена задача построения канонических форм нелинейных систем, описываемых непрерывными и дискретными динамическими моделями.
Ключевые слова: нелинейные динамические системы, канонические формы, наблюдаемость, управляемость, алгебра функций.
ВВЕДЕНИЕ
Важную роль в теории динамических систем играют системы, имеющие структуру специального вида. Такие структуры под названием канонических форм (КФ) хорошо изучены в теории линейных систем [1—3]. В частности, большой интерес представляют системы, все обратные связи в которых реализованы с использованием вектора выхода; пример такой системы приведен на рис. 1, где символами к, к — 1, ..., 1 обозначены блоки интеграторов или многозначных элементов задержки, /^ — функциональный преобразователь,
i = 1, 2, ..., к. Такое представление полезно в задачах, связанных с анализом вход-выходного поведения системы, построения наблюдателей, соотношений паритета и т. п. [2—5]. В работе [6] КФ были использованы для анализа управляемости системы и решения проблем стабилизации.
Достаточно детально задачи построения КФ изучены для систем с непрерывным временем и гладкими нелинейностями на основе дифференциально-геометрического подхода [6—8]. В то же время системы с дискретным временем и негладкими нелинейностями рассмотрены еще недоста-
точно. В настоящей работе для решения этой задачи предлагается специальный математический аппарат алгебраического типа, позволяющий с единых позиций рассмотреть системы с непрерывным и дискретным временем, получить условия существования и разработать процедуры построения различных КФ. В работе [9] на основе этого математического аппарата была решена задача построения КФ, представленной на рис. 1.
1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Будем рассматривать динамические системы как с непрерывным, так и дискретным временем; ниже соответственно — непрерывные и дискретные системы. Начнем с непрерывного случая. Общая форма описания непрерывных стационарных динамических систем имеет вид нелинейного дифференциального уравнения
х (0 = /(*(/), и(0), у(0 = к(х(0),
(1)
Рис. 1. Идентификационная каноническая форма
где х — я-мерный вектор состояния, и — т-мер-ный вектор управления (входа), у — /-мерный вектор выхода, / и к — в общем случае нелинейные векторные функции; предполагается, что функция / удовлетворяет ограничениям, связанным с существованием и единственностью решения уравнения (1).
Векторные уравнения (1) эквивалентны системе скалярных уравнений:
X (О = /(*(0, и(/)), I = 1, 2, ..., я, у() = крс(1)), у = 1, 2, ..., /,
где х. и у. — соответственно г-я и у-я компоненты векторов х и у, / и к. — соответственно г-я и у-я компоненты векторных функций / и к. Векторы х, и и у принадлежат линейным векторным пространствам X, и и У соответственно. В дальнейшем
будем предполагать, что X с R”, и с Rm, У с R/.
Общая форма описания дискретных динамических систем имеет вид нелинейного разностного уравнения
2. АЛГЕБРА ФУНКЦИИ
-(г1 + 1) = /(-(ґ), и(ґ)), у(ґ) = к(х(ґ)),
(2)
здесь ґ — дискретное время: ґ = 0, 1, ... Мы используем одинаковые обозначения для функций, входящих в описание непрерывных и дискретных систем (/ и к), чтобы подчеркнуть общность получаемых для них в дальнейшем результатов.
В общих моделях (1) и (2) мы не накладываем каких-либо особых ограничений на функции / и к, кроме уже оговоренных. Для удобства иногда будем использовать для моделей (1) и (2) компактное обозначение £ = (X, и, У, / к).
Предполагается, что искомые КФ имеют общее описание в виде уравнения
-К* (ґ) = /*(х*(ґ), и(ґ)), у(ґ) = к*(х*(ґ))
(3)
в непрерывном случае и уравнения
х*(? + 1) = /*(**(?), и(0), у(0 = к*(х*(?)) (4)
в дискретном случае; детальное описание функций / и к* будет дано ниже. Компактно КФ будем записывать в виде £ = (X*, и, У, /*, к*).
Решение задачи будем искать в виде функции (р: X ^ X*, реализующий гомоморфизм £ ^ £*, для которого при всех (х, и) е X х и выполняются равенства
(3р/3х)/(х, и) = /*(р(х), и), к(х) = к*(р(х))
для непрерывного и
р(/(х, и)) = /*(р(х), и), к(х) = к*(р(х)) (5)
для дискретного случаев. Эти общие соотношения могут быть записаны покомпонентно, например, равенство (5) соответствует семейству уравнений
р/х, и)) = /*г(р(х), и), г = 1, 2, ..., к.
Для решения поставленной задачи предлагается применять специальный математический аппарат, положенный в основу работ [10, 11]. Коротко изложим его основные положения; необходимые детали и доказательства можно найти в указанных работах.
Рассматриваемый математический аппарат содержит четыре основные конструкции.
1. Отношение частичного предпорядка <: для произвольных векторных функций а: X ^ 5 и в: X^ Wбудем записывать а < в, если существует функция у такая, что у(а(х)) = в(х) для всех х е X, где 5 и W — некоторые множества. Если а < в и в < а, будем записывать а ^ в и говорить, что эти функции строго эквивалентны.
Функции а: X ^ 5 на множестве X соответствует разбиение па, в один блок которого включаются те и только те элементы этого множества, которые имеют одинаковые образы по а, т. е. х = х'(ла) ^ ^ а(х) = а(х). Можно показать, что а < в ^ па < и а ^ в ^ па = Лр. Таким образом, между множеством разбиений на X и классами эквивалентных функций существует взаимно однозначное соответствие.
2. Операции х и ®:
а х в = тах(£^ < а, g т в), аАв = тт^ |а < ^ в < g).
Известно [12], что множество разбиений на X образует решетку, т. е. для любой пары разбиений существует однозначно определенные наибольшая нижняя и наименьшая верхняя грани. Тогда из упомянутого взаимно однозначного соответствия следует, что классы эквивалентных функций также образуют решетку с однозначно определенными элементами а х в и а ® в.
Поскольку а х в т а и а х в т в, то можно по-'а'
казать, что а х в =
. По аналогии, а < а ® в и
в < а ® в, следовательно, каждая компонента функции а ® в зависит как от компонент функции а, так и от компонент функции в. Это правило может быть использовано для вычисления функции а ® в в несложных случаях, например, если а = х1 х х2х3 и в = х]х2 х х3, то а ® в = х1х2х3. В общем случае необходимо решать специальные дифференциальные уравнения [11].
Наряду с определением строгой эквивалентности функций, можно говорить об эквивалентности почти везде, когда одно из неравенств а < в и в < а может не выполняться на множестве точек меры нуль. Например, эквивалентными почти везде являются функции (х1 + х2)(х3 + х4) X (х3 + х4) X х х3 х х4 и (х1 + х2) х х3 х х4. Первая из них строго эквивалентна функции (х1 + х2)(х3 + х4) х х3 х х4, поскольку (х3 + х4) х х3 х х4 ^ х3 х х4; ясно также, что (х1 + х2) X х3 X х4 т (х1 + х2)(х3 + х4) X х3 X х4.
Однако обратное неравенство выполняется почти везде, кроме множества точек с условием х3 + х4 = 0, так как в этом случае знание значения функции (х1 + х2)(х3 + х4) X х3 X х4 не позволяет определить значение функции (х1 + х2) х х3 х х4. Поскольку описанная ситуация не влияет на анализируемые в работе свойства, мы не будем различать рассмотренные виды эквивалентности.
3. Бинарное отношение А: (а, в) е А, если для некоторой функции у: 5 х U ^ W и всех (х, и) е е X х U справедливо равенство (Зв/3х)(/(х, и)) = = у(а(х), и) в непрерывном случае и в(/(х, и)) = = у(а(х), и) в дискретном.
4. Операторы М и т: М(в) — это максимальная функция, образующая с функцией в пару:
(М(в), в) е А, (а, в) е А ^ а < М(в);
т(а) — это минимальная функция, с которой функция а образует пару:
(а, т(а)) е А, (а, в) е А ^ т(а) < в.
Значения оператора М могут быть вычислены следующим образом. Если в — скалярная функция и композиция в(/(х, и)) может быть представлена в виде
d
в(/(х, и)) = £ а;.(х)Ьг(и),
I = 1
где функции Ь1, Ь2, ..., Ь, линейно независимы, то М(в) = а1 х а2 х ... х а, Если в = в1 х в2 х ... х вк, то М(в) =5 М(в1) X М(в2) X ... X М(вк).
Для вычисления оператора т в общем случае необходимо решать специальные дифференциальные уравнения [11]. В дискретном случае достаточно следующего интуитивно понятного правила: т(а)— это векторная функция с наибольшим числом функционально независимых компонент, каждая из которых представляет собой композицию переменных, стоящих в левой части уравнения (2), при этом соответствующие композиции правой части этого уравнения выражаются через компоненты функции а.
Основные свойства отношений < и А, операций и операторов состоят в следующем:
1) а < в ^ а х в « а;
2) (а х в)8 = аб х вб;
3) если (а, в) е А и у < а, то (у, в) е А;
4) если а < в, то т(а) < т(в);
5) М(а х в) = М(а) х М(в);
6) М(т(а)) 1 а, т(М(в)) < в;
7) для системы (2) т(а) < в ^ (а, в) е А;
8) а < М(в) ^ (а, в) е А.
3. НАБЛЮДАЕМЫЕ КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ
Начнем с наблюдаемых канонических форм (НКФ), первая из которых — НКФ 1 — приведена на рис. 1, ее покомпонентное описание в непрерывном случае имеет следующий вид:
-*1 (ґ) = /*1(-*к(ґ), и(0),
-*/(ґ) = /*,(-*, - 1(ґ), х*к(ґ), и(ґ)), І = 2, 3, ..., к,
У(ґ) = к0(х*к(0).
В дискретном случае і*- (ґ) заменяется на -*г(ґ + 1). Число к будем называть размерностью КФ. В работе [9] получен следующий результат.
Теорема 1. Гомоморфизм (р: £ ^ £* для систем (1) и (2) существует тогда и только тогда, когда справедливо функциональное неравенство
т(к х т(к х ... х т(к)...)) < к (6)
(оператор т применяется к раз, к < «).♦
Как уже говорилось, эта НКФ удобна для приведения системы ко вход-выходному описанию, покажем это на примере следующей дискретной системы:
-1(/1 + 1) = (-2(ґ)(-3(ґ) + -5(ґ)) + -4(ґ))-4(ґ)и(ґ), -2(/1 + 1) = -1(ґ)/-4(ґ),
-3(ґ + 1) = -1(ґ)х5(ґ)/-4(ґ) — (-3(ґ) + -5(ґ))2 — и(ґ),
-4(ґ + 1) = х2(0(х3(0 + -5(ґ)) + -4(ґ),
-5(ґ + 1) = (-3(ґ) + -5(ґ))2 — и(ґ).
Уі(ґ) = -5(ґ), У2(ґ) = -4(ґ).
Проверим выполнение условия (6) для функции к(-) = -5 х -4: т(к)(х) = -1/-4, т(к х т(к))(х) = = (-1/-4) х -2 х (-3 + -5), т(к х т(к х т(к)))(х) = = (-1/-4) х -2 х (-3 + -5) х -4 х -5. Нетрудно видеть,
что при к = 3 условие (6) выполняется. Положим р1(-) = -1/-4, р2(-) = Х2 х (— + -5), р3(-) = -4 X -5.
Найдем описание НКФ 1 заданной системы, для чего положим -*1 = -1/-4, -*2 = -2, -*3 = -3 + -5, - *4 = - 4, - *5 = - 5:
-*1(ґ + 1) = -1(ґ + 1)/-4(ґ + 1) = (-2(ґ)(-3(ґ) +
+ Х5(ґ)) + -4(ґ))х4(ґ)и(ґ)/(х2(ґ)(х3(ґ) + -5(ґ)) +
+ -4(ґ)) = -*4(ґ)и(ґ),
-*2(ґ + 1) = -2(ґ + 1) = -1(ґ)/-4(ґ) = -*1(ґ),
-*3(ґ + 1) = -*1(ґ)-*5(ґ),
х»4(? + 1) = х«2(?)х*3(0 + х*4(0, х*5(^ + 1) = х*3 (*) + и(^), у1(Г) = х*5(0, у2(0 = х*4(г).
Проведя серию временных сдвигов и подстановок правых частей полученных уравнений вместо значений соответствующих переменных в момент времени ^ + 1, нетрудно убедиться в том, что вход-выходное описание системы имеет следующий вид:
у1(/ + 3) = и(/ + 2) + (у1(/ + 1)у2(?)и(0)2,
у2(? + 3) = у2(/ + 2) + у1(/ + 1)(у2(?)и(/))2.
Отметим, что получение аналогичного вход-выходного описания путем подстановок на основе исходной модели — непростая задача из-за громоздкости получаемых выражений и необходимости в связи с этим тщательного их анализа с целью упрощения. Так, например,
у2(Г + 1) = х4(/ + 1) = х2(0(х3(0 + у1(Г) + у2(0),
у2(/ + 2) = (х1(/)/у2(/))(х1(Г)у1(Г)/у2(/) -
- (х3(?) + у1(?))2 - и(0 + у1(г + 1)) + у2(/ + 1);
для переменной у1 получаются не менее громоздкие выражения. Это подчеркивает эффективность приведения системы к каноническому виду.
Приведем простой иллюстративный пример, показывающий, в каких случаях НКФ 1 не может быть построена. Пусть описание системы имеет следующий вид:
х1(/‘ + 1) = х2(/) + х3(/)и(/),
х2(^ + 1) = х1(^) + х2(/),
х3(* + 1) = х^) + х4(0,
х4(* + 1) = х2(0 + х3(0,
у1(/) = х1(г), у2 = х2(/).
Простые вычисления показывают, что т(к)(х) = = т(к х т(к))(х) = х2 1 к(х), т. е. условие теоремы 1 не выполняется. Структурная особенность этой системы состоит в том, что в ней имеется контур обратной связи, все переменные которого (х3 и х4) не являются компонентами вектора выхода, и одна из переменных (х3) нелинейно входит в описание. Нетрудно проверить, что если положить у3(0 = х4(/), то с новым вектором выхода система может быть приведена к НКФ 1. Отметим, что линейные системы, несмотря на наличие у них контуров обратной связи, не содержат нелинейностей и поэтому всегда приводятся к НКФ 1. Нетрудно проверить
Рис. 2. Наблюдаемая каноническая форма 2
также, что, несмотря на невозможность представления в НКФ 1, рассматриваемая система имеет вход-выходное описание.
Рассмотрим еще одну наблюдаемую КФ — НКФ 2, известную в теории линейных систем (рис. 2). Ее общее описание дается уравнениями (3) и (4), покомпонентное в непрерывном случае имеет следующий вид:
х*1 (0 = /*1(х*1(г), х*2(0, ..., х*к(0, и(0), х*.(0 = /*/(х*/ _ 1(Г), и(0), г = 2, 3, ..., к, (7)
у(0 = х*к(0.
В дискретном случае производная х*. (/) заменяется на х*.^ + 1). В отличие от теоремы 1, здесь имеется только достаточное условие представления системы £ в НКФ 2.
Теорема 2. Если для некоторого к справедливо неравенство
к х М(к) х ... х Мк - 1(к) т Мк(к), (8)
то система (1) или (2) представима в НКФ 2 размерности к. ♦
Доказательство (рассмотрим только непрерывный случай, дискретный получается по аналогии). Положим рк = к, р. _ 1 = М*(к), г = 1, 2, ..., к - 1, р = р1 х р2 х ... х рк, откуда р. _ 1 = М(р.),
г = 2, 3, ..., к. По определению оператора М справедливо включение (М(р.), р.) е А, откуда
(р. _ 1, р.) е А, что по определению пары функций означает равенство (др/дх)/(х, и) = /*/(р/ _ 1(х), и) для некоторой функции /*., г = 2, 3, ..., к. Из условия (8) следует неравенство р = р1 х р2 х ... х рк < М(р1), откуда по определению оператора М — (М(р.), р.) е А — и свойству отношения А получаем включение (р, р1) е А, что означает равенство (др1/дх)/(х, и) = /*1(р(х), и) для некоторой функции /*1. Тогда, если положить х*. = р.(х) и заметить, что х*. = (др/дх)/(х, и), г = 1, 2, ..., к, получим
описание (7). Отсюда следует, что р — гомоморфизм р: £ ^ £*, т. е. система £ представима в
НКФ 2.
Известно [1], что для линейных систем НКФ 1 и НКФ 2 эквивалентны. В нелинейном случае это не так; можно показать, что в дискретном случае из условия (6) следует условие (8). Действительно, монотонность оператора М в дискретном случае позволяет перейти от неравенства т(к х т(к)) т к к неравенству М(т(к х т(к))) т М(к), что с учетом свойства операторов М и т дает неравенство к х т(к) т М(к), откуда также нетрудно получить соотношения М(к х т(к)) < М2(к) и к х М(к) т М2(к). Отсюда по аналогии следует доказываемое утверждение. ♦
Обратное в общем случае неверно, следовательно, условие (8) является более жестким по сравнению с условием (6). Это подтверждается также следующим. Можно показать, что условие (8) выполняется для произвольной системы в предположении дифференцируемости функций / и к, причем к < п, что согласуется с результатами теории линейных систем.
Условие (8) может быть проверено с помощью рангового критерия [11]; вид функций /*., г = 1, 2,
..., к, в модели (7) следует из доказательства теоремы 2. Для их определения необходимо в правой части равенства х*. = (др./дх)/(х, и) заменить компоненты вектора х компонентами вектора х*; это всегда можно сделать согласно определению бинарного отношения А. В дискретном случае аналогичным образом рассматривается равенство х*^ + 1) = р../(х(0, и(0)).
4. УПРАВЛЯЕМЫЕ КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ
4.1. Первая форма
Наряду с рассмотренными наблюдаемыми КФ в теории линейных систем важную роль играют управляемые КФ (УКФ), которые приведены на рис. 3 и 4 (будем называть их УКФ 1 и УКФ 2 соответственно). Получим условия приведения нелинейных систем (1) и (2) к управляемым КФ. Главную роль здесь играет функция р, образующая базис всех векторных функций, удовлетворяющих условию
(Э/дм)(р(/(х, м))) = 0.
(9)
Базис понимается в том смысле, что если некоторая функция р удовлетворяет этому условию, то все ее компоненты выражаются через компоненты функции р, т. е. р < р. В непрерывном случае равенство (9) заменяется на
(д/дм)((др/дх)/(х, м)) = 0.
Рис. 3. Управляемая каноническая форма 1
Рис. 4. Управляемая каноническая форма 2
Начнем с УКФ 1; ее покомпонентное описание в соответствии с рис. 3 имеет следующий вид:
х*1(г + 1) = /*1(х*к(г), и(0),
х*.(Г + 1) = /*/х*к(0, х*. _ ^0), г = 2, 3, ..., к,(10)
у(0 = к*(х*(0).
В непрерывном случае х*^ + 1) заменяется на х *., г 1, 2, ..., к.
Теорема 3. Система (2) представима в УКФ 1 размерности к, если и только если для некоторой функции а 1 р справедливы неравенства
т(а х (р ® т(а х (р ® т(а х ...
... х т(а)...))))) < а, (11)
т(а) х (р ® т(а х т(а))) х ...
... х (р ® т(а х (р ® т(а х (р ® т(а х ...
... х т(а)...)))))) < к (12)
(оператор т в первом выражении и последнем сомножителе второго выражения применяется к раз)>
Доказательство. Необходимость. Пусть функция р дает искомое представление, т. е. с учетом описания (10) справедливы уравнения рг(/(х, и)) = /,;.(рк(х), рк _ ;(х)), г = 2, 3, ..., к; р1(/(х, и)) = /,1(рк(х), и), к(х) = к*(р(х)). Положим а = рк и запишем соотношения, следующее из приведенных равенств: (а х р. _ 1, р.) е А, (а, р1) е А и р. 1 т(а х р. _ 1), / = 2, 3, ..., к, р1 1 т(а). Так как (5/5и)р;< /(х, и)) = (5/5и)/«;<рк, р. _ 1(х)) = 0, то согласно определению функции р с учетом равенства (9) получаем р. 1 р, откуда р. 1 р ® т(а х р. _ 1), г = 2, 3, ..., к. При г = 2 из р2 1 р ® т(а х р1) с учетом р1 1 т(а) получаем р2 1 р ® т(а х т(а)); при г = 3 — р2 1 р ® т(а х (р ® т(а х т(а)))) и т. д. При г = к с учетом рк = а получаем условие (11). Так как р < к, то отсюда следует р1 х р2 х ... х рк < к,
что с учетом выражений для компонент функции р дает условие (12).
Достаточность. Пусть справедливы условия теоремы. Положим р1 = т(а), р. = р ® т(а х р. _ 1), г = 2, 3, ..., к - 1, рк = а, р = р1 х р2 х ... х рк, откуда следует р < р., т(а х р. _ 1) < рг, г = 2, 3, ..., к - 1. Из условия (11), неравенства р < а и определения функции рк следует р < рк, т(а х рк _ 1) < рк. В дискретном случае неравенство т(а х р. _ 1) т р. влечет включение (а х р. _ 1, рг) е А, откуда следует существование функции /*. такой, что рг(/(х, и)) = = /*г-(рк(х), р. _ 1(х), и), г = 2, 3, ..., к. Так как р < р., то (5/5и)рг(Дх, и)) = (д/ди)/*г(рк(х), рг _ 1(х), и) = 0, т. е. функция /*. не зависит от вектора и и, следовательно, р/х, и)) = /*г<рк(х), р. _ 1(х)), г = 2, 3, ..., к. При г = 1 из равенства р1 = т(а) = т(рк) следует существование функции /*1 такой, что р1(/(х, и)) = = /*1(рк, и). Из условия (12) после ряда подстановок функций р. друг в друга получаем неравенство р < к, или к*р = к для некоторой функции к*. Тогда, если положить х*. = рг(х) и заметить, что х*г(? + 1) = рг(Дх(?), и(?))) = /*г(рк(х(0), р. _ Дх(?))), г = 2, 3, ..., к, и хп(? + 1) = р1(/(х(?), и(?))) = = /*1(рк(х(?), и(?))), то в итоге получим описание (10). ♦
Анализ доказательства необходимости теоремы показывает, что оно справедливо и для непрерывных систем, так как в нем не используются специфические свойства таких систем; в доказательстве достаточности используется свойство т(а) < в ^ (а, в) е А, справедливое только в дискретном случае.
Алгоритм 1 (проверка выполнения условий (11) и (12)).
1. Если к < М(к), то условия теоремы выполняются тривиальным образом при к = 1 на одном блоке элементов задержки, который будет содержать I отдельных элементов задержки; выход каждого из них совпадает с некоторым выходом системы.
2. Положить а = р.
3. Найти минимальное значение г, при котором выполняется неравенство (12). Если при этом г выполняется неравенство (11), перейти к п. 5.
4. Положить а =: а ® т(а х (р ® т(а х х (р ® т(а х ... х т(а)...))))) (оператор т применяется г раз) и перейти к п. 3.
5. Положить к = г.
Выполнение неравенств, предусмотренных алгоритмом, может быть проверено (для дифференцируемых функций / и к) на основе рангового кри-
терия. Ясно, что к < п; равенство достигается в случае, когда исходная система уже реализована в УКФ 1.
4.2. Вторая форма
Перейдем к УКФ 2, представленной на рис. 4; детальное ее описание имеет следующий вид:
х *1 (?) = /*1(х*1(?),
х*2(?), ...,
х*к(?), и(?)),
х* / (?) = /*г-(х*г. _ 1(?)), г = 2, 3, ..., к, (13)
у(?) = к*(х*(?));
в дискретном случае производная л: *г- (?) заменяется
на х*.(? + 1).
Теорема 4. Если для некоторой функции а справедливы неравенства
р т а X М(а) X ... х Мк - 2(а), (14)
а х М(а) х ... х Мк - 1(а) < к х Мк(а), (15)
то система (1) или (2) представима в УКФ 2 размерности к>
Доказательство (рассмотрим только непрерывный случай, дискретный получается по
аналогии). Положим рк = М0(а) = а, рк _ . = Мг(а), г = 1, 2, ..., к - 1, р = р1 х р2 х ... х рк, откуда р. _ 1 = М(рг), г = 2, 3, ..., к. Из условия (14) следует соотношение р < Мг(а), г = 0, 1, ..., к - 2, которое с учетом равенств рк = а и рк _ . = Мг(а) дает условие р < р., г = 2, 3, ..., к. Из равенства р; _ 1 = М(рг) следует существование функции /*. такой, что (3рг/3х)/(х, и) = /*г(рг _ 1(х), и), г = 2, 3, ..., к. Из определения функции р и неравенства р < р; тогда следует (3/3и)/*;.(рг. _ 1(х), и) = 0, т. е. функция /*. не зависит от вектора и и, следовательно, (3рг/3х)/(х, и) = = /*г(рг- - 1(х)), г = 2, 3, ..., к. Из условия (15) следует соотношение р = р1 х р2 х ... х рк < М(р1), что означает выполнение равенства (3р1/3х)/х, и) = = /*1(р(х), и) для некоторой функции/*1. Также из условия (15) следует р < к, откуда к*р = к для некоторой функции к*. Положим х*. = рг(х), откуда х */ = (др/дх)Дх, и) = /*г.(рг. - 1(х)), г = 2, 3, ..., к, х *1 = (3р1/3х)/(х, и) = /*1(р1(х), и), что в итоге дает описание (13). ♦
Преобразуем условие (14). Из неравенства р < Мг(а) благодаря свойствам операторов т и М следует тг(р) < а, г = 0, 1, ..., к - 2, что можно записать в виде одного условия р ® т(р) ® ...
... ® тк(р) < а. Обратный переход к неравенству (14) возможен только для дискретных систем из-за немонотонности оператора М в непрерывном случае. С учетом этого обстоятельства предлагается следующий алгоритм.
Алгоритм 2 (проверка выполнения условий (14) и (15) в дискретном случае).
1. Если к < М(к), то решение будет таким же, как в п. 1 алгоритма 1.
2. На основе равенства (9) найти функцию р и минимальное і 1 2 такое, что р X М(р) X ... х X Мг' х(р) 1 к X Мг(р).
3. Положить 8 = р ® т(р) ® ... ® тг - 2(р).
4. Найти минимальное j 1 і такое, что 8 х х М(8) х М7' - *(8) < к х М/(8); если j ф і, перейти к п. 3 с і = у.
5. Положить к = і, а = 8.
Выполнение неравенств, предусмотренных алгоритмом, может быть проверено (для дифференцируемых функций f и к) на основе рангового критерия [11], как и в алгоритме 1, к < п.
Процедура построения всех рассмотренных КФ сводится к поиску соответствующей функции ф и построению гомоморфного образа — искомой КФ — по изложенным в доказательстве теорем правилам.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе получены условия преобразования нелинейных систем к различным каноническим формам, обобщающим известные КФ для линейных систем. Полученные условия не требуют гладкости функций, входящих в описание исходной системы. Особенность примененного для решения этих задач математического аппарата заключается в том, что он с единой точки зрения позволяет рассматривать системы с непрерывным и дискретным временем. Канонические формы являются удобным инструментом для решения многих теоретических и практических задач. В частности, с помощью КФ, в которой все обратные связи реализованы с помощью вектора выхода, можно легко получить вход-выходное описание дискретной системы, что необходимо для диагностирования на основе соотношений паритета.
Отметим, что термин «наблюдаемые» в рассмотренных НКФ не совсем отвечает действительности, а используется по аналогии с соответствующим термином теории линейных систем, поскольку структуры рассмотренных нелинейных КФ
соответствуют аналогичным структурам линейных систем. Дело в том, что ни НКФ 1, ни НКФ 2 в общем случае ненаблюдаемы; достаточным условием их наблюдаемости может служить следующее требование к функции /*. в модели (7): /*г(х*;. - 1, и) =
СТг-х*. - 1 + /*. (и), стг- ^ 0 — постоянный коэффициент, /*. (и) — некоторая функция, г = 2, 3, ..., к
(аналогичное условие — для НКФ 1, где дополнительно требуется, чтобы функция к0 была взаимно однозначной). Действительно, это можно проверить по критериям работы [11], построив функцию, аналогичную матрице наблюдаемости. Аналогичным образом обстоит дело с УКФ 1 и УКФ 2 — в общем случае они неуправляемы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. — М.: Наука, 1976. — 424 с.
2. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. — М.: Мир, 1977. — 650 с.
3. Мироновский Л.А. Аналоговое и гибридное моделирование. Многомерные системы. — Л.: ЛИАП, 1986. — 88 с.
4. Birk J., Zeitz M. Extended Luenbeiger observer for nonlinear multivariable systems // Int. J. Control. — 1988. — Vol. 47, N 6. — P. 1823—1836.
5. Жирабок А.Н. Функциональное диагностирование на основе соотношений паритета // Автоматика и телемеханика. — 1998. — № 2. — С. 133—143.
6. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. — СПб.: Наука, 2000. — 549 с.
7. Isidori A. Nonlinear control systems. — London: Springer-Ver-lag, 1989. — 476 p.
8. Zeitz M. Controllability canonical (phase-variable) form for nonlinear time-invariant systems // Int. J. Control. — 1983. — Vol. 37, N 6. — P. 1449—1457.
9. Жирабок А.Н., Шумский А.Е. О преобразованиях нелинейных динамических систем // Техническая кибернетика. — 1994. — № 6. — С. 25—30.
10. Жирабок А.Н., Шумский А.Е. Функциональное диагностирование непрерывных динамических систем, описываемых уравнениями с полиномиальной правой частью // Автоматика и телемеханика. — 1987. — № 8. — С. 154—164.
11. Жирабок А.Н., Шумский А.Е. Управляемость, наблюдаемость, декомпозиция нелинейных динамических систем. — Владивосток: ДВГТУ, 1993. — 127 с.
12. Гретцер Г. Общая теория решеток. — М.: Мир, 1982. — 456 с.
Статья представлена к публикации членом редколлегии
В.Ю. Рутковским.
Жирабок Алексей Нилович — д-р техн. наук, профессор,
Дальневосточный государственный технический университет,
г. Владивосток, S (4232) 45-08-64, e-mail: [email protected].
ПРОБЛЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ № О • 2000
17
