Калибровка по току структуры Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681.335 (07)

КАЛИБРОВКА ПО ТОКУ СТРУКТУРЫ

© Е.И. Глинкин

Ключевые слова: калибровка; информативные параметры; нормированная влажность; ток структуры; статистические и аналитические методы.

Проанализированы методы аппроксимации градуировочной характеристики определения влажности для синтеза калибровки в адаптивном диапазоне с точностью образцовых мер информативных параметров тока структуры и нормированной влажности диэлектрических материалов.

Приведение нормировки по влажности W0 к единице, т. е. W0 = 1, упрощает вид модели из-за исключения информативных параметров {W0, I,}, а параметр тока I, структуры модифицируется в функцию 1,1, зависящую от предельного тока I влажности нормированных эквивалентов W0i. Математическая модель влажности Wi с кодом {1, 0} = {W0, I,} преобразуется из модели с информативными параметрами {1, 1} к виду

wi(,4) = (1 -1^) , (1)

предполагающую калибровку по току I^ структуры. При этом задача калибровки сводится к нахождению функции тока Iструктуры образца с известной влажностью W0i и предельным током I, которую возможно синтезировать методами статистического анализа [1] и аналитического контроля [2].

1. Статистические методы. Статистические методы синтезируют структуру функции Isi(Ii, W0i) степенным полиномом логических операторов [1] счисления (НДФ и НКФ, И-НЕ и ИЛИ-НЕ) и алгебраическим оператором исчисления (экспоненты и логарифмы, тригонометрические зависимости и комплексные переменные). Для определенности приведем примеры аппроксимации функции ^ от измеряемого предельного тока I образцовых мер влажности W0i в формах НКФ F(0) , НДФ F(1) и экспоненты [1, 2].

Аппроксимация в НКФ представляет функцию в нормальной конъюнктивной форме F (0) счисления [1] как произведение сумм (ак+ /к) к-тых аргументов//(0) с

весовыми коэффициентами {ак } 1 для к = 0, п — 1:

п—1

F (0) = П (а/ + /к) • (2)

к=0

При определении влажности по модели (1) калибруется характеристика Isi(Ii, W0i) тока структуры по измеренному предельному току I образцов с известной влажностью W0i. Это соответствует функции ^ = F(0) с аргументами / }0 = { , W0i} и коэффициентами а0, а1,

поэтому код в НКФ (2) калибровочной характеристики тока структуры имеет вид

4 =(а0 + Ь )(а1 + К ), (3)

что соответствует полиному второй степени

Isi = (а0а1 + а0^ + аlIi + ) , (4)

из суммы четырех слагаемых: нулевого а0а1, первого (a0W0i + а^.) и второго W0iIi порядка.

Весовые коэффициенты ак в полиноме (3) не отражают физический смысл, свойственный только информативным параметрам {W0, I,}, а лишь нормируют значимость вклада степенного члена при аппроксимации желаемой функции градуировки

4= I (1 — Wоi). (5)

Калибровка характеристики (5) статистической зависимостью (4) организуется методом наименьших квадратов, оптимизирующим весовые коэффициенты ак в

выбранном диапазоне по четырем эталонам I = 1,4 , соответствующим числу слагаемых, т. е. а0а1 = а01, а квадратичный член W0iIi на практике умножается на коэффициент а2. Параметрическая оптимизация к-тых коэффициентов производится в соответствии с алгоритмами их расчета, являющимися решением системы

из четырех уравнений (4) для I = 1,4 по четырем образам с известной влажностью W0i и нормированным током I-.

Алгоритм контроля включает режимы калибровки, измерения и останова. Калибровка начинается с измерения предельного тока ^ на г'-тых образцах с известной влажностью W0i для I = 1,4 . Затем рассчитывают токи Isi (I ) структуры на четырех образцах и аппроксимируют полиномом (4) функцию (5) статистическим методом для параметрической оптимизации весо-

вых коэффициентов ак (Іі, I ^ ,Щ)І). Зависимость

Iт (а0) с оптимальными коэффициентами {ак } запоминается (фиксируется) как желаемая статическая характеристика в выбранном диапазоне {^01,^04} с априори заданной точностью.

В режиме измерения на исследуемом материале регистрируется предельный ток I. и через статическую

характеристику Iт. (а°) рассчитывают ток I. структуры. Зная полный ток I. и структурный I., определяют искомую влажность Wj согласно математической модели (1) по формуле

(9)

(6)

Результаты аналитического контроля хранятся в памяти компьютера и выводятся на экран монитора для анализа оператором в диалоговом режиме. Программа измерения служит также для прогнозирования достоверности контроля влажности и поверочных испытаний на образцовых материалах с нормированными характеристиками. Адаптация к выбранному диапазону достигается очередной калибровкой характеристики I. (4) на соответствующих образцах с нормированными значениями.

Недостатками аппроксимации в НКФ является не-физичность весовых коэффициентов, избыточное количество эталонов (больше трех) и сложность алгоритмов расчета оптимальных коэффициентов, что значительно снижает метрологические и технологические характеристики. Сократить число эталонов в адаптивном диапазоне позволяет дизъюнктивное представление.

Аппроксимация в НДФ кодирует функцию в нормальной дизъюнктивной форме ^(1) счисления [1, 2] в виде суммы произведений ак/к к -тых аргументов

/к (1) с весовыми коэффициентами {ак} 1, где

к = 0, п -1:

где с0 = а0 + Ъ0 , с1 = а1, с2 = Ь1 - нормировочные

коэффициенты, калибруемые по трем эталонам.

Алгоритмы оптимизации коэффициентов ск находят при решении системы (9) из трех уравнений для

I = 1,3, как показано в монографии [2]. Сложность алгоритмов проиллюстрирована на примере расчета коэффициента с1

і + 2 - I 1 ті+1 Isi+1 - ^і

Woi + 2 - Woi+, Woi+, - Woi

Iі + 2 - Л+1 I+1 - I

Woi + 2 - Woi+, Woi+, - Woi

(10)

но это на порядок проще, чем аппроксимация в НКФ за счет уменьшения эталонов до трех, сокращающих квадратичный полином до линейного.

Калибровочную характеристику (9) с оптимальными коэффициентами (10), регламентируемыми образцами с известной влажностью +1,Щ0+2, норми-

рованными I, I+1,I+2 токами, используют для определения влажности Щ/ исследуемых /-тых материалов

по математической модели (6).

Относительно несложные модели (6), (9) и алгоритмы (10) повышают оперативность и точность аналитического контроля за счет способов калибровки характеристик по трем образцовым мерам в адаптивном диапазоне. Однако отсутствие в явном виде калибровочной характеристики (9) с весовыми коэффициентами, отражающими физические величины, вносит методическую и инструментальную погрешность из-за наличия трех эталонов.

Экспоненциальная аппроксимация [1] реально отражает физику контроля влажности за счет закономерной зависимости тока I^ от влажности Wj по двум эталонам:

1\і = а0 ехр(а1 Wi) .

(11)

^ (1) =£ ак/к .

(7)

В коде счисления (7) функцией служит ток структуры 1х1 = Е(1) , определяемый предельным током I и известной влажностью Щ) аргумента /к (I, Щ0г-) = = 1к + Щ0к , составляющих степенной полином

(8)

с весовыми коэффициентами ак, Ък. Структурная оптимизация с погрешностью не более 3% аппроксимирует кодом (8) желаемую функцию (5) линейным полиномом

При определении влажности Wi по току структуры

I. калибруется характеристика (11) на двух образцах с известной влажностью W0i ,№0і+1 на границах диапазона. Параметрическая оптимизация аппроксимирует желаемую функцию I. (Ші) с заданной точностью в адаптивном диапазоне W0i < Wi < W0i+1. Оптимальные весовые коэффициенты {ак }0 вычисляют по алгоритмам, полученным при решении системы из двух уравнений

(12)

составленных по математической модели (11). Коэффициент а1 находят при делении одного уравнения на другое

С1 =

к=0

к=0

^+1/ Iл= ехр^^+, - Woi)] после операции логарифмирования

1п Кі+1 - 1п К,

Woi+, - Woi

(13)

Для вычисления нулевого коэффициента а0 систему уравнений (12) за счет логарифмирования приводят к виду

г^0і = ^тії^

+1 = 1п(4+1/ а0).

(14)

Поделив второе уравнение системы (14) на первое и принимая W0i+1 /W0i = к , получают тождество

к 1n(Im7a0) = ^+7а0) >

которое после экспоненцирования преобразуют к равенству

^ті / а0 ) к = Аті+7 а0 .

После несложных преобразований получают алгоритм вычисления нулевого коэффициента:

а0 = Iік -ЩК

(15)

где к-1 = (.+, - Woi )^0і+, - отношение нормированных влажностей адаптивного диапазона.

Влажность на исследуемом материале Wj определяют при измерении тока I . по оптимизированной статической характеристике (11) с откалиброванными по алгоритмам (13,15) коэффициентами {а^},:

где информативные параметры W0 и I т вычисляются по алгоритмам

W = Woi+1 - Woi

1пIi+l - 1п

(18)

I т = Iті (IМті+1)"

К недостаткам способа калибровки по экспоненциальной характеристики относятся сложная реализация прямых измерений токов I. структуры и методическая погрешность при их косвенных измерениях через предельные токи 11 переходной динамической характеристики. Устраняют указанные недостатки методы калибровки по математическим моделям адаптивных физике аналитического контроля влажности через прямые измерения полного тока.

Анализ статистических методов показывает:

1. Способы калибровки статистическими методами развиваются по метрологической и технологической эффективности от аппроксимации счисления в НКФ через НДФ к операторам алгебраического исчисления за счет сокращения избыточности аргументов и уменьшения числа образцовых мер в адаптивном диапазоне.

2. Совершенствуются способы калибровки по току структуры от статистических методов структурной и параметрической оптимизации весовых коэффициентов фиксированной градуировочной характеристики до методов аналитического контроля параметрической оптимизации информативных параметров метрологической модели, программно управляемой в адаптивном диапазоне за счет соответствующих образцовых материалов с нормированными мерами его границ.

3. Эффективность способов аналитического контроля повышается при замене косвенных измерений по аппроксимирующим зависимостям на прямые измерения характеристик для оптимизации информативных параметров по алгоритмам в явной форме и достоверного определения искомых характеристик веществ.

а =

W

W

Щ/ = О-Щ^/ао) . (16)

Оценить размерность весовых коэффициентов ак позволяют алгоритмы (13) и (15) с учетом безразмерно-сти отношения токов 1 „/4+1 . при этом а0 = I . , а

коэффициент а1 = (/01 )-1 = Щ0-1, что соответствует физическому смыслу информативных параметров Iз -оптимального тока структуры высушенного материала и Щ0 - максимальной влажности адаптивного диапазона. Важным преимуществом экспоненциальной модели (11), в отличие от других статистических аппроксимаций (3) и (8), является ее адекватность физике аналитического контроля влажности древесины, моделируемой зависимостью

Щ = „р ,), (17)

2. Аналитические методы. Методы аналитического контроля [1, 2] влажности с калибровкой по току I ^ структуры определяются возможными комбинациями использования градуировочных характеристик полного тока I- (I , W0i) и тока структуры I ^ ^, W0i) , которые отличаются прямыми и косвенными измерениями тока структуры.

Аппроксимация косвенных измерений тока структуры I ^ (I, W0i 1) по прямым измерениям полного тока

I. образцов с известной влажностью W0i [12] является логическим развитием калибровки по току структуры статистическими методами. Это обусловлено определением влажности по модели (1) с кодом {1,0}=К , I,,}, а статистическая аппроксимация градуировочной характеристики I^ заменена аналитической моделью (5) калибровки I ^ (I , W0i)

I ті = Л [1 - Wo(1 - КП,).

(19)

Зависимость (19) следует из требований калибровки тождественности значений влажности, определяемых по модели (5) с кодом {1,0} и по эквиваленту с кодом

{1,1}

Wo1 (I., I ті ,1) = 1 - IS1|I1 WoI (Ц , Iт, ^0) = ^0(1 - Is/Idl).

(20)

Учитывая закономерности калибровки: тождественность токов ^ = Iл и влажностей Щ0г (Iг, I, ,1) = = Щ0г (I., I,,, Щ0) , находим из системы (20) равенство

1 - =Щ>(1-),

Wo(Ii - Л) = Ii -1і Wo(Ii+1 - ^ ) = Ii+1 - Iті +1 .

(21)

Деление уравнений системы (21) исключает параметр Щ0 и для поиска второго параметра I, приводит к тождеству

Л+1 (Ь - ^ ) - ^ (Л - ^ - Iя+1) - ((г+1 - Isi+1),

позволяющему после несложных преобразований получить алгоритм расчета информативного параметра тока структуры I, при нулевой влажности:

I I - II

I ____ і+1 ті і ті+1

т_ (Ii+1 - I )-(Iтi+1 - I ті)

(22)

из решения которого относительно тока I. получена калибровочная зависимость (19).

Зависимость I. можно аппроксимировать функцией (5), но из-за отсутствия информативных параметров {Щ0, I,} требуется множество эталонов с известной

влажностью Щ0г и нормированными токами ^, где

г = 1, т . Способ калибровки по множеству эталонов метрологически и технологически неэффективен из-за громоздкости и сложности, неоправданной избыточности и субъективной оценки. Субъективность вызвана неопределенностью выбора образца с известной влажностью Щ0. для однозначной идентификации определяемого значения Щ/. Снижает неопределенность

субъективной оценки идентификация по итерационному алгоритму эвристического приближения. Исключают неопределенность оценки закономерности калибровки, регламентирующие тождественность измеряемых и действительных значений образцовых мер. Это позволяет исключить неопределенность характеристики (5) и получить адекватную физике аналитического контроля метрологическую модель калибровки (19) тока структуры I. в явном виде с информативными параметрами {wо,^}. при этом эвристическая аппроксимация с субъективной оценкой по итерационному алгоритму идентификации заменяется программно управляемой калибровкой с объективной оценкой по априорному алгоритму оптимизации информативных параметров на образцах с нормированными мерами. Задача калибровки фактически свелась к синтезу алгоритмов расчета информативных параметров по информационной технологии проектирования метрологической модели с кодом {1,1}.

Проектирование метрологического обеспечения начинают с синтеза алгоритмов расчета {Щ0, I,} по двум измерениям на образцах с известной влажностью Щ0г и измеряемым полным током ^ для г = 1,2 . Для поиска двух неизвестных по модели (19) составляется система из двух уравнений на границах диапазона, соответствующих г-тым и (г+1)-вым измерениям:

Для поиска параметра Щ0 систему уравнений (21) приводят к виду

Wo I, = (I - Iті) - Wo I Wo Iт = (I+1 - Iті+ 1 ) - Wo Iі+ 1

(23)

из которой после подстановки одного уравнения в другое находят тождество

(Ii - Iті) - WoIi = (^ - Iті+і) - WoIi+, ,

а после приведения подобных членов получают алгоритм расчета нормируемой максимальной влажности W0:

I -1

W = 1 ті+і ті

0 I -1

1 і+1 1 і

(24)

Алгоритмы расчета (22), (24) оптимальных информативных параметров Щ0, I, калибруют зависимость (19) к желаемой характеристике косвенных измерений Iя(I.,Щ0,I,) в адаптивном диапазоне Щ0г,Щ0г+1 для расчета тока структуры Iя. исследуемого материала /-го эксперимента

(25)

Искомую влажность определяют по модели (1) с учетом выражения (25)

(26)

что в итоге тождественно аналитическому контролю влажности по метрологической модели в явном виде с информативными параметрами {Щ0, I, } = {1,1}

WJ = ^(1 - I т/11 ),

(27)

и следует из подстановки значения I . формулы (25) в

анализируемую модель (26) с кодом {1,0}.

Калибровка по адаптивным характеристикам токов структуры I. и полной влаги ^ , в отличие от аппроксимации статистическими методами, повышает достоверность измерений за счет программного управления калибровочной зависимостью тока структуры по алгоритмам оптимизации информативных параметров метрологической модели определения достоверной влажности в априори выбранном диапазоне. Метрологическая и технологическая эффективность калибровки по косвенным измерениям тока структуры значительно повышается благодаря адаптации по двум образцам на границах диапазона, однако использование двух характеристик усложняет способ калибровки в частности и метод определения влажности в целом. Для снижения методической и инструментальной погрешности разработан оригинальный метод влажности по нормированным измерениям только тока структуры.

Аппроксимация прямых измерений тока структуры I.(IтЛ0Л0і) организует определение влажности по калибровочной характеристике с оптимальными информативными параметрами {W0, ^} тока структуры

I. в адаптивном диапазоне образцовых материалов с известной влажностью W0i на его границах. Характеристика прямых измерений тока структуры выводится из закономерностей калибровки тождественности полных токов ^ = Idi моделей {1,1} и {1,0}

(28)

После подстановки одного уравнения системы (28) в другое, с учетом закономерности Щ0г = Щ , получаем калибровочную зависимость I. от влажности Щ0г с информативными параметрами { Щ0, I,}

1 - Wol

т 1 - Woi/Wo^

(29)

Модель определения влажности W0i находится из характеристики (29) после несложных преобразований

I . -1

Wol = Wn—тl-----т-

(30)

Как видно из выражения (30), для определения влажности W0i необходимы прямые измерения структурного тока I. и калибровка информативных параметров {W0, !т}. Параметрическая оптимизация организуется в процессе калибровки характеристики (29) в адаптивном диапазоне на двух образцах с известной влажностью W0l. ,^0і+1 на его границах. Алгоритмы оптимизации информативных параметров находят при решении системы из двух уравнений характеристики (29)

I ті = I т

1 - Wo,

1 - Woi/Wo

1 - Wol

(31)

1 - Woм| Wo

Поделим второе уравнение системы (31) на первое и после перекрестного умножения запишем тождество

^+1 (1 - Щ») (1 - Щ01+1/Щ ) = (1 - Щ01+,) (1 - Щ01№ ),

из которого после приведения подобных членов получим алгоритм расчета информативного параметра максимальной влажности

W = Isi+lWai+1(1 - Woi)-^і (1 - Woi+1)

0 - Wol)-IJl - Woi+l) ■

(32)

Деление числителя и знаменателя соотношения (32) на выражения в скобках, с учетом формулы полного тока I = I я! (1 - Щ0г), получим алгоритм оптимизации параметра Щ0 эквивалентный способу калибровки с кодом {1,1}, что подтверждает правильность синтеза решения (32). Это доказывает закономерности калибровки, а также тождественность математического обеспечения калибровок с кодами {1,0} и {1,1}, отличающихся уровнем сложности реализации и, как следствие, технологической и метрологической эффективностью.

Исходя из вышеуказанного, для технологичности расчетов введем сокращения ^ = I(1 - Щ0г) и перепишем систему (31) уравнений относительно параметра Щ0 в виде

Woi/Wo = 1 -

Woi+7 Wo = 1 - КП,

(33)

алгоритм решения параметра I' т был получен выше (см. п. 1.1) для кода {1,1}

1 = . Woi+1 - Woi

Woi+1ІI - WJI+

(34)

После подстановки в выражение (34) значения ^ получаем алгоритм оптимизации минимального тока I, при нулевой влажности для способа калибровки с кодом {1,0}:

Iті+11ті (^01+1 - Woi )

т Іі^і^І - Woi)-^і (1 - Woi+l)

(35)

В предлагаемом методе определения влажности исключается погрешность косвенных измерений по двум характеристикам токов структуры и влажного материала, за счет контроля влажности при прямых измерениях тока структуры по одноименной калибровочной характеристике в адаптивном диапазоне, априори заданном нормированными мерами двух образцовых материалов на его границах. Недостатками данного

способа калибровки является сложная техническая реализация прямых измерений тока структуры и соответствующей калибровочной характеристики. Устраняет недостатки комбинированный способ.

Аппроксимация комбинированных измерений использует тождественность калибровки полного ^ и структурного I. токов для синтеза алгоритмов расчета оптимальных информативных параметров ^0, !т} и оценки влажности W0i исследуемых материалов в адаптивном диапазоне, программно управляемом нормированными мерами, по математической модели {1,1} с фиксированными параметрами {¥0, ^}. Эквивалентность математических моделей с кодами {1,0} и {1,1}

W, = 1 — IjIt =Wo(1 — Is/Ij = Wo, , за счет тождественных закономерностей

Ii = Idi , W. = Wo.,

(Зб)

(З7)

позволяет найти информативные параметры из калибровочной характеристики тока Iтi структуры

Ist= I[ [1 — Wo (1 — IJIt)].

(38)

Алгоритмы оптимизации параметров ^0, !т} соответствуют для прямых измерений Iтi формулам (32) и (35), а для косвенных - (22) и (24), которые несложно выводятся из соотношений (3) и (5) после подстановки значений соответственно ^ = I ті /(1 - К.) или

Woi = 1 - Iті 11 в систему уравнений

характеристики (38) и при определении влажности W0. по тождественной модели {1,1} равенства (36)

Wo. = ^(1 - ).

Комбинированный способ приближается к калибровке с кодом {1,1} и отличается лишь оптимизацией информативных параметров по зависимости (38), что привносит дополнительные методические и инструментальные погрешности.

Сопоставительный анализ способов калибровки характеристики токов структуры показывает:

1. Методы определения влажности развиваются от косвенных и прямых измерений токов структуры к комплексным измерениям через полный ток.

2. Повышается эффективность способов калибровки за счет сокращения числа аппроксимируемых характеристик: от полных и структурных токов по множеству неопределенных мер до калибровки по двум образцам с известной влажностью на границах адаптивного диапазона.

3. Совершенствуется технологичность проектирования метрологических средств благодаря выявленным закономерностям калибровки, регламентирующим тождественность измеряемых и действительных значений образцовых мер.

4. Закономерности калибровки замещают математические модели с кодом {1,0} на тождественные - с информативными параметрами {IV0, ^ }= {1,1}, поэтому эвристическая аппроксимация с субъективной оценкой по итерационному алгоритму заменяется объективной идентификацией по априори оптимальным алгоритмам калибровки информативных параметров по образцам с нормированными мерами.

ЛИТЕРАТУРА

Wo =

I+lWot+! — 11 Wot Ii+1 — Ii

s Wo.J11 — Wot/I.+,'

1. Глинкин Е.И. Схемотехника аналоговых интегральных схем. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2000. 120 с.

2. Глинкин Е.И., Глинкин М.Е. Технология АЦП. Тамбов: Изд-во

(39) Тамб. гос. техн. ун-та, 2008. 140 с.

Поступила в редакцию 3 апреля 2009 г.

Для измерения влажности применяют модель {1,1} с двумя информативными параметрами ^0, !т} , найденными при калибровке характеристики I. (38) на двух образцах с известной влажностью W0i, W0i+1 границ адаптивного диапазона. При этом правомерные прямые измерения полного тока ^ и при калибровке

Glinkin E.I. Calibration on a structure current. Approximation methods of the graduated characteristics of definition of humidity for calibration synthesis in an adaptive range with accuracy of exemplary measures of informative parameters of a current of structure and normalized humidity of dielectric materials are analyzed.

Key words: calibration; informative parameters; normalized humidity; structure current; statistical and analytical methods.