CC BY
36
УДК 621.375.826
К.В. Соломатин
Качественное сравнение пространственной и плоской моделей расширения пара с учетом конденсации
Получение наноматериалов и исследование их физических и химических свойств является современным и чрезвычайно актуальным вопросом в науке. В зависимости от конкретной задачи получения определенной структуры наносреды существует несколько способов ее формирования [1]. Одним из возможных видов реализации этого процесса является конденсация пара, происходящая при его охлаждении, причем условия, в которых находится парогазовая среда, и способы охлаждения могут быть различны [2].
Рассмотрим процесс формирования наночастиц при адиабатическом расширении парогазового облака
[3]. Одна из основных задач данного исследования -сравнение двух моделей расширения (двух моделей облака) - плоской и пространственной, однако само облако может быть получено разными способами. Для практической реализации пространственной модели испаренное вещество получается, например, при сфокусированном воздействии мощного лазерного излучения на мишень - частицу малого диаметра
[4]. Плоскую модель можно реализовать при пропускании мощного импульса электрического тока по достаточно длинной проводящей нити [1]. Оба случая могут быть реализованы для углерода - пожалуй, наиболее интересного материала по количеству и разнообразию своих наноагрегатов, поскольку это и тугоплавкое, и электропроводящее вещество.
Для описания газодинамического потока однокомпонентного пара, в котором происходит фазовое превращение, запишем законы сохранения массы, импульса и энергии в потоке [5]:
дп дп
—- + й?/у(пуу) =-3, —- + Жу(псу) = 3, (1)
д/ д/
— + (v, V )f + grad(p) = 0,
дt mo(nc + nv)
дЕ
— + div(v((nvCV + nCV )T + p + дt
(2)
(3)
+(п- + Пс К-2 / 2)) = (Ь + (С- - СС )Т)3, где пи п - концентрация молекул, относящихся к паровой и конденсированной фазам, соответственно;
- - скорость расширения; Т- температура;р - давление; 3 - скорость межфазного объема (молекулярный поток в единице объема); т0 - масса молекулы; Ь - теплота
конденсации (в расчете на молекулу); СС и СС - молекулярные теплоемкости при постоянном объеме; Е - полная энергия единицы объема среды.
Расширение парогазового облака может быть ква-зистационарным процессом [4], если определенным образом контролировать параметры воздействия, а именно, скорость и распределение поступающей в систему энергии. Также при некоторых условиях можно считать это облако симметричным: сферическая симметрия (центральная симметрия) для пространственной модели расширения и осевая симметрия для плоской модели. Такой подход существенно упрощает рассмотрение задачи (хотя, разумеется, ограничивает при этих приближениях ее применимость) и позволяет систему (1-3) привести к следующему виду (единственная переменная - расстояние до центра (линии) симметрии (г)):
l d
dr
l d
— • — (n„vr )=- J, — • —
dr
(ncvr 2 )
= J,
(4а)
l d / \ rl d ґ ч
)=-J, -• —(%vr ) = J, (4б)
r dr r dr
dv dp
mo(nc + nv)v •^- = -“T, dr dr
-2 •d (r MinC + ncCcv )t+p+
r2 dr
+(nv + nc )mov2 / 2)) = (L + (CV - CV )T) J,
- •d (rv((nvCV + nCV )T + p + r dr
(5)
(ба)
(6б)
+(nv + nc )mov2 / 2)) = (L + (CV - CV )T) J,
где индексы «а» и «б» (здесь и далее) в нумерации формул относятся, соответственно, к пространственному и плоскому случаям, а уравнение с нумерацией без индекса для обеих моделей одинаково.
Сложим уравнения в (4а) и (4б) друг с другом и проинтегрируем:
4nr2(n +n )v = 4nr2nv = j = const (7а)
2nr(n +n )v = 2nrnv = j = const (7б)
где j - молекулярный поток испаренного вещества (через замкнутую поверхность, охватывающую центр испарения, для (7а) или через боковую поверхность единичной длины (вдоль линии симметрии) для (7б)); n = n+n - полная (суммарная) концентрация.
Для удобства записи введем степень конденсации материала в = n /(n +n ), а также будем считать паровую компоненту идеальным газомp = n kT = (l- в) nkT.
Проинтегрируем уравнения (ба) и (бб), с приближением CV = CV = CV :
l35
пСуТ + р +-
4ят 2у
- + П^Ь :
■СРТ + —Р( Ь + кТ) = —%
пСуТ + р +
пшпу
4лг 2у
'^Т + —Д Ь + кТ) =
4^г пу
+ псЬ ^ %
(8а)
. . . , (8б)
2 2ягпу
где Ср - молекулярная теплоемкость при постоянном
давлении; q - тепловой поток непосредственно на
поверхности испарения.
Рассмотрим приближенное решение, когда все излишки пара мгновенно конденсируются (характер такого приближения обсудим ниже), т. е. пар в каждый момент времени является насыщенным и для давления можно принять:
р=р”'ехр [-кт
(9)
где рю - постоянная величина. Тогда подстановка в уравнение (5) с использованием (7а) и (7б) даст
шппу
йу Ьр,
йг кТ ]ш0 йу _ Ьр,
4^г2 йг кТ2
йу Ьр,
0 пу-------=---------
0 йг
Ш йу
■ ехр
Ь_ \ йТ_ кТ) йг
Ь Л йТ
(10а)
2лг йг
кТ2 ЄХРI кТ )' йг ^
А | Т
кТ I йг
Ьрх
кТ 2
• ехр
(10б)
Если теперь заменить в уравнениях (8а) и (8б) в = 1 - р/(пкТ) и умножить результат на уравнения (10а) и (10б), получим для обоих случаев одинаковое выражение (12):
4яг уря І
1+кТ )•ехр (- кТ|=
= 1 + Ь - СуТ — і
2ягура_
(11а)
і
1+кТ )•ехр (- кТ|=
= 1 + ь - СуТ —
шп -| 1 + -^ | • уйу = кТ
(11б)
% + Ь - СуТ - шу
2 Л
-■ йТ
(12)
Уравнение (12) допускает группировку параметров, которая приводит его к полному дифференциалу. После интегрирования получаем:
ш0 у
1+
= \% + Ь
-1 ш0 у2
кТ ) 2
( Ь ь ]
[ кТ к^,
2
1 +
Ь_
кТ
СуЬ , Т
• 1п-
Т
(13)
где индекс «5» здесь и далее означает, что значение величины взято непосредственно вблизи поверхности испарения.
При интенсивном испарении (газодинамический режим) начальная скорость разлета испаренного вещества
равна местной скорости звука в паре: — =^/кТ5 / т0 , где у - показатель адиабаты газа. Для потока энергии
у (у +1)
при этом получим: q = ]Т,, (С +ук /2) = ДТ • —---------.
2(7 -1)
Также приведем (для удобства качественного анализа и получения числовых оценок) переменные к безразмерному виду и введем параметр а:
Т _ р _ п,
у = -
Т = ■
Т
р =■
„ г Ь
, г = —, а=-----
а кТ„
(14)
где а - радиус поверхности, с которой происходит испарение.
На основе уравнений (7), (9) и (14) получаем систему уравнений:
у2 =
( 2а2
а(у +1) Г-1
ґ
1 -
2а 2а
7~1
Г
2а
Г(/~ 1)
р = ехр I а
• 1п Т
а Т
/(Т + а)
Р =
г 2 =
у(2Т + (у- 1)у2 -у-1) 2(у- 1)(Т + а)
1 -Р
г =
пуу 1 -Р
(15)
(16)
(17)
(18) (19а) (19б)
Исходя из смысла нормировки, все параметры, нормированные согласно с перечнем (14), имеют на поверхности испарения значения, равные 1, а степень конденсации равна 0. Поскольку при расширении температура, очевидно, понижается, то, прогоняя температуру от Т = 1 до Т = 0 для каждого из ее значений по уравнениям (15-19) получаем совместную таблицу
2
%
2
2
значений параметров пара. Основные результаты численных расчетов представлены на рисунках 1-6 для углеродного пара (у = 5/3, Ь = 1,19-10-18 Дж/К).
На рисунках 1-4 показаны результаты для пространственной и плоской моделей, соответственно, при трех значениях температур поверхности испарения. Каждая зависимость характеризуется монотонным изменением параметра на всем промежутке рассмотрения. На рисунках 5-6 в сравнении дано изменение параметров для каждой из моделей - как и ожидалось, в случае плоской модели изменения происходят медленнее.
1 2
1 10 100
Рис. 1. Зависимость степени конденсации (в) от радиуса (Г ) для пространственной модели при температурах поверхности испарения:
1 - 4000 К; 2 - 4500 К; 3 - 5000 К
Рис. 2. Зависимость температуры (Т ) от радиуса ( г ) для пространственной модели при температурах поверхности испарения:
1 - 4000 К; 2 - 4500 К; 3 - 5000 К
Отметим особенности газодинамического режима расширения испаренного вещества. Во-первых,
Рис. 3. Зависимость скорости расширения (- ) парогазового облака от радиуса (Г ) для плоской модели при температурах поверхности испарения: 1 - 4000 К; 2 - 4500 К; 3 - 5000 К
Рис. 4. Зависимость давления (р ) пара от радиуса (г ) для плоской модели при температурах поверхности испарения: 1 - 4000 К; 2 - 4500 К; 3 - 5000 К
Рис. 5. Зависимость степени конденсации (в) от радиуса (Г ) для пространственной модели (1) и плоской модели (2) при температуре поверхности испарения 4500 К
Рис. 6. Зависимость давления пара (р ) от радиуса (Г ) для пространственной модели (1) и плоской модели (2) при температуре поверхности испарения 4500 К
вследствие нормализации («максвеллизации») распределения молекул по скоростям в потоке испаренного вещества возникает небольшой обратный поток, приводящий к скачку параметров у поверхности испарения [6]. Во-вторых, образование зародышей конденсата при расширении происходит не сразу, но если кривизна поверхности испарения невелика, то зародышеобразование сосредоточено в узком приповерхностном слое [7], а сам процесс является
чрезвычайно кратковременным. В дальнейшем пересыщение пара очень невелико (оно как бы «следит» за давлением) вплоть до наступления эффекта «закалки». В-третьих, вокруг частицы при расширении в атмосфере может возникать ударная волна [4].
Если требуется определить параметры парогазового облака на некотором расстоянии от поверхности испарения, то первые две особенности можно легко обойти [8] и для большинства параметров получить правильные оценки (например, для степени конденсации). При расширении в инертную среду конденсация происходит до ударной волны [9] (для пространственной модели), причем понижение давления приводит к удалению положения ударной волны от поверхности, поэтому в значительной области пространства третья особенность также не слишком изменит результаты моделирования.
Конденсация, как уже было сказано выше, прекращается при наступлении термодинамической неравно-весности («закалка») [7]. Это происходит при существенном разрежении, если расширение происходит в вакуум, или при падении относительной концентрации испаренного вещества до значения много меньше 1 при расширении в атмосферу. Поэтому доля конденсата в потоке не равна своему предельному значению, а ограничена областью (0,2-0,4). Поскольку падение давления в пространственной модели происходит более стремительно, то в случае плоской модели возможна конденсация большей части испаренного материала.
Библиографический список
1. Гусев, А.И. Нанокристаллические материалы /
A.И. Гусев, А. А. Ремпель. - М., 2001.
2. Хирс, Д. Испарение и конденсация / Д. Хирс, Г. Паунд. - М., 1966.
3. Горбунов, В.Н. Неравновесная конденсация в высокоскоростных потоках газа / В.Н. Горбунов, У.Г. Пирумов.
- М., 1984.
4. Букатый, В.И. Воздействие лазерного излучения на твердый аэрозоль / В.И. Букатый, И.А. Суторихин,
B.Н. Краснопевцев, А.М. Шайдук. - Барнаул, 1994.
5. Нигматуллин, Р.И. Динамика многофазных сред : в 2-х т. / Р.И. Нигматуллин. - М., 1987. - Т. 1.
6. Анисимов, С.И. Действие излучения большой мощ-
ности на металлы / С.И. Анисимов, Я.А. Имас, Г.С. Романов, Ю.В. Ходыко. - М., 1970.
7. Райзер, Ю.П. О конденсации в облаке испаренного вещества, расширяющегося в пустоту / Ю.П. Райзер // ЖЭТФ. - 1959. - Т. 37, вып. 6(12).
8. Букатый, В.И. О составе пара вокруг тугоплавкой частицы при лазерном воздействии / В.И. Букатый, К.В. Соломатин // Оптика атмосферы и океана. - 2001.
- №1.
9. Букатый, В.И. Влияние переконденсации на положение фронта ударной волны при высокоскоростном расширении парогазового облака / В.И. Букатый, К.В. Соломатин // Известия АлтГУ - 1998. - №1(6).
