CC BY
39
Качественное исследование эволюции дефектной подсистемы гетерофазных сплавов с некогерентной упрочняющей фазой при интенсивных воздействиях
С.Н. Колупаева, Е.В. Ерыгина, Т.А. Ковалевская, Л.Е. Попов
Томский государственный архитектурно-строительный университет, Томск, 634003, Россия
Для исследования возможных путей эволюции дислокационной подсистемы гетерофазных материалов с некогерентной упрочняющей фазой использована математическая модель, которая в зависимости от условий включает три либо пять уравнений баланса дислокаций различного типа. Проведено качественное исследование системы дифференциальных уравнений модели. Построены локальные фазовые портреты и проведен параметрический анализ. Показано, что при интенсивных деформирующих воздействиях на материал для широкого интервала значений параметров, характеризующих воздействие и состояние деформируемого материала, на диаграммах стационарных состояний возникает область деформационного разупрочнения, когда в процессе деформации дефектность материала снижается.
1. Введение
При исследовании процессов формирования деформационной дефектной субструктуры кристаллических материалов математическое моделирование приобретает особое значение, поскольку многие элементарные процессы структурообразования происходят настолько быстро, либо в таких условиях, что оказываются практически недоступными исследованию экспериментальными методами. Кроме того, экспериментальные результаты часто не позволяют определить динамику явления, выявить процессы, доминирующие на разных стадиях деформации и структурообразования. Математические модели оказываются весьма эффективным средством синтеза знаний (при этом объединяя информацию, полученную как экспериментально, так и при теоретическом, модельном, концептуальном рассмотрении) о многообразии частных микромеханизмов пластичности, о фундаментальных свойствах элементов реальных кристаллических структур и процессах, осуществляющих пластическую деформацию и деформационное структурообразование.
Одним из наиболее разработанных, имеющих долгую историю развития и перспективных направлений в математическом моделировании процессов пластической деформации является построение математических моделей в традициях физической кинетики. В физичес-
кой кинетике (и особенно в новых обобщенных ее развитиях — макрокинетике [1, 2] ё бё5ё^апё1е Й5Йаоа-¡ёёа [3-6]) макроскопическая картина явления строится на основе последовательного изучения микромеханизмов явления, начиная с уровня минимальных элементов структуры, вовлеченных в это явление. Исследуются взаимодействия этих фундаментальных структурных элементов, влияние неоднородностей, флуктуаций и неустойчивостей, порождающих их кооперативное поведение, прослеживаются причинно-следственные связи на различных структурных уровнях, поднимаясь от атомного или субатомного уровня ко все более высоким уровням и, наконец, до наблюдаемых или ожидаемых макроскопических реализаций исследуемого явления. В этом отношении явление пластической деформации, в процессы обеспечения которой вовлечены различные структурные и масштабные уровни в их динамических взаимодействиях [3-6], является благодатным полем для развития математических моделей физической кинетики.
Формоизменение кристаллических тел при механических взаимодействиях обычно происходит в результате суперпозиции и совместного проявления нескольких различных явлений (двойникования, кристаллографического скольжения, диффузионного массопере-носа, бездиффузионных фазовых переходов). Наиболее
© Колупаева С.Н., Ерыгина Е.В., Ковалевская Т.А., Попов Л.Е., 2000
универсальным явлением, ответственным за пластическую деформацию кристаллов является кристаллографическое скольжение. В основе элементарных процессов и механизмов пластичности лежит возникновение, размножение, движение и аннигиляция дефектов различного типа. Поэтому, как свидетельствует и анализ литературы, весьма эффективным и успешным математическим аппаратом для построения кинетических моделей пластичности различной степени общности (от частных моделей механизмов пластичности до весьма обобщенных концептуальных моделей) являются уравнения баланса деформационных дефектов различного типа в процессе деформации [7-21].
Одной из наиболее последовательно и детально проработанных моделей, основанных на уравнениях баланса деформационных дефектов, является концептуальная математическая модель сдвиговых процессов деформации, разрабатываемая и совершенствуемая исследователями коллектива Томского государственного архитектурно-строительного университета [13-17, 22-24]. Успешность этой модели, по-видимому, определяется прежде всего удачным выбором (в смысле его физической обоснованности и представительности при рассмотрении микромеханизмов явления) базового структурного элемента, относительно которого ведется рассмотрение механизмов сдвиговой пластичности. В качестве такого базового структурного элемента выбрана зона кристаллографического скольжения, которая является связующим звеном между микро- и макропроявлениями сдвиговой деформации. Зона кристаллографического сдвига, образованная серией дислокационных петель, сформировавшихся в едином динамическом процессе, является структурным элементом, порожденным при реализации всех дислокационно-динамических механизмов, которые “включаются “ потерей устойчивости некоторым элементом дислокационной структуры.
В этих работах описание механизмов и закономерностей формирования элементарных кристаллографических сдвигов последовательно базируется на фундаментальных физических и топологических свойствах дефектов строения решетки, осуществляющих пластический массоперенос [13-17, 22-24]. При этом последовательно исключается использование традиционного приближения бесконечных прямолинейных или квази-прямолинейных дислокаций, которое было основным источником трудностей теории дислокаций в ее приложениях к проблеме пластичности кристаллов. При таком подходе отсутствует принципиальная необходимость введения в уравнения, описывающие пластическую деформацию кристалла, эмпирических соотношений и параметров (кроме, естественно, определенного количества материальных констант). Все параметры уравнений имеют ясный физический или кристаллогеометрический смысл и, следовательно, могут быть вычислены (или указаны очевидные пределы их измене-
ния). Основным отличием моделей является тот факт, что при нахождении явного вида функциональных зависимостей не использовалась линеаризация. Дифференциальные уравнения, составляющие математическую модель кинетики пластической деформации, в большинстве своем нелинейны.
На основе разработанной концептуальной математической модели была разработана система математических моделей применительно к различным кристаллическим материалам и условиям деформирования [1317]. Математические модели успешно применялись для описания пластического поведения металлов и сплавов при различных воздействиях с низкими скоростями деформирования. Были рассчитаны зависимости концентрации дефектов различного типа от деформации при начальных условиях, соответствующих умеренной исходной степени дефектности кристалла, а также кривые деформационного упрочнения [13-17].
Формулировка математической модели в виде системы дифференциальных уравнений (в данном случае уравнений баланса деформационных дефектов) позволяет использовать аппарат теории устойчивости и методы качественного исследования динамических систем, что, в свою очередь, позволяет получить полную картину возможных путей развития исследуемой системы при различных исходных состояниях и возможных изменениях значений параметров. Такого рода исследований несмотря на многолетнюю историю использования уравнений баланса дефектов при моделировании процессов пластичности немного [21-30]. Они основаны, как правило, на линейных моделях известного типа (с известной структурой фазового пространства), коэффициенты которых каким-либо образом привязываются к процессам пластичности.
Поэтому представляет интерес провести системное исследование возможных путей развития дефектной подсистемы деформируемого материала на основе кинетической нелинейной модели сдвиговой пластичности. В настоящей работе такое исследование проведено на основе модели [16, 25], включающей три либо пять (для различных условий) уравнений баланса дислокаций различного типа, для деформируемого гетерофазного материала в широком спектре исходных дефектных состояний и интенсивностей деформирующего воздействия.
2. Математическая модель дислокационной подсистемы в деформируемых гетерофазных сплавах в докритической области плотностей дислокаций
Применительно к гетерофазным материалам модели, основанные на уравнениях баланса деформационных дефектов, были рассмотрены в работах [16, 25, 26]. В гетерофазных материалах дефектная структура зоны сдвига сложнее, чем в чистых металлах и однофазных
сплавах [31-33]. Вместе с генерацией сдвигообразующих дислокаций, в этом случае развиваются элементарные процессы, обусловленные взаимодействием дислокаций с частицами. Результатом является генерация новых типов дефектов — призматических петель, колец Орована, дислокационных диполей вакансион-ного и межузельного типов, петель вторичного скольжения и др. [31-33].
В работе [16] на основе детального анализа последовательных дислокационных превращений в дисперсно-упрочненных материалах, сопровождающихся формированием различных элементов дефектной структуры, сформулирована математическая модель пластической деформации гетерофазных материалов с недеформи-руемой упрочняющей фазой. При анализе учтены релаксационные и аннигиляционные процессы, связанные с генерацией точечных дефектов [16, 25]. Показано, что для гетерофазных материалов с недеформируемыми частицами кинетика пластической деформации существенно определяется текущим дефектным и фазовым состоянием [16]. Можно выделить две области, разделенные некоторой критической плотностью дислокаций рс, которая зависит от размера частиц и расстояния между ними. В условиях докритической плотности дислокаций смещение дислокаций в третьем измерении — в направлении нормали к плоскости скольжения — невелико, и расширение дислокационной петли, испущенной источником, можно рассматривать как двумерный процесс [16]. При этом накопление сдвигообразующих дислокаций происходит на барьерах дислокационной природы, ограничивающих зону сдвига (сдвигообразующие дислокации), и на частицах (геометрически необходимые дислокации: кольца Орована, призматические петли). Внутризонные протяженные барьеры отсутствуют. При построении модели предполагается, что все кольца Орована, образованные вокруг частицы при прохождении n дислокаций, перестраиваются в призматические петли, которые могут быть вакансионными и межузельными. Математическая модель содержит в этом случае три уравнения баланса: 1) сдвигообразующих дислокаций, 2) вакансионных призматических петель, 3) межузельных призматических петель.
Явный вид уравнений модели зависит от интервала температур, определяющего интенсивность процессов аннигиляции. В рамках используемой модели [16, 25] будем полагать, что влияние температуры определяет то, точечные дефекты каких типов участвуют в процессах аннигиляции и релаксации. В общем виде для области докритических значений плотности дислокаций математическая модель может быть представлена следующим образом:
_ (X8 С2 Pp Tdyn f
dPm
da
0.25FP^G 2
-P- ci
Pm
dyn
8t
dyn
(1)
da 2A2pb
(%)8b p
- <y/2
pp Tdynn
~P gT
dPp _ (x)8 + c2 Tdynn* - c _pp
da 2A2pb (x)8b P G
dyn
1P12 ~Gb
(2)
n*. (3)
Здесь а — деформация сдвига; р — суммарная плотность дислокаций; р т — плотность сдвигообразующих дислокаций; р^ и рр — плотности дислокаций, образующих вакансионные и межузельные петли; F — безразмерный параметр, определяемый геометрией зоны сдвига [13, 14]; Ь — модуль вектора Бюргерса; G — модуль сдвига; тйуп — напряжение, избыточное над статическим сопротивлением движению дислокаций [15-17]; £ = 0.5 — фактор Смоллмена; п* — эффективное число дислокаций в скоплении [16]; (х) — параметр, характеризующий геометрию дислокаций на частицах; Л р — расстояние между частицами; 8 — диаметр частицы; Pj — доля порогообразующих дислокаций леса; с1, с2, с3 — физические константы, зависящие от температурного интервала [16, 25]. Первое слагаемое в правой части уравнений (1)-(3) определяет интенсивность производства дислокаций соответствующего типа. Остальные слагаемые описывают скорость аннигиляции и релаксации соответствующего типа дислокаций за счет осаждения на них деформационных точечных дефектов.
Избыточное (будем называть его динамическим) напряжение тйуп определяется разницей между действующим напряжением т (возможно локальным) и сопротивлением движению дислокации в кристалле т я, то есть [22] тйуп =т-т я. Динамическое напряжение может быть обусловлено различными факторами. Для условий достаточно медленной деформации, когда пластичность реализуется преимущественно дислокационными механизмами, сопротивление материала деформированию обусловлено прежде всего статическими препятствиями движению дислокаций и в целом по образцу выполняется соотношение т = т я. В этом случае напряжение тйуп имеет локальный характер и обусловлено либо концентраторами напряжения, либо неустойчивостями, возникающими при работе дислокационного источника.
Однако в технологиях получения материалов и при изготовлении изделий из них, как правило, имеют дело с режимами деформирования, далекими от статических. При ковке, штамповке, прокатке, волочении, гидроэкструзии, обработке порошковых смесей в шаровых мельницах и аттриторах, резании и т. д. деформация материала осуществляется преимущественно в условиях, когда т >> тя. В этих условиях избыточное напряжение опре-
деляется условиями деформирования и имеет нелокальный характер.
В предлагаемом исследовании будем считать, что Tdyn = const. Такая ситуация наиболее близка к случаю деформации при постоянном приложенном напряжении при достаточно высоких его значениях [34].
Наиболее низкотемпературным релаксационным процессом пластической деформации является процесс, связанный с миграцией межузельных атомов и их осаждением на дислокациях. Если предположить, что аннигиляция дислокаций и другие релаксационные процессы в дислокационной подсистеме осуществляются только за счет межузельных атомов и все межузельные атомы, генерируемые в процессе деформации, осаждаются на дислокациях за время много меньше времени испытания, математическая модель эволюции дислокационной подсистемы может быть представлена уравнениями (1)-(3), где с = 16/3, с2 = 128/3, с3 = 0 [16, 25].
В области температур, где достаточно высокой подвижностью обладают бивакансии, необходимо учитывать релаксационные процессы диффузионной природы, которые управляются осаждением не только меж-узельных атомов, но и бивакансий на дислокациях. С учетом соответствующих вкладов от межузельных атомов и бивакансий в диффузионные релаксационные процессы (что в достаточно грубом приближении можно трактовать как условия деформирования, соответствующие средним температурам) математическая модель эволюции дислокационной подсистемы может быть представлена уравнениями (1)-(3), где c1 = 88/9, с2 = 64/9, с3 = 0 [16, 34].
Для модели с учетом вкладов межузельных атомов, бивакансий и моновакансий в диффузионные релаксационные процессы (что можно трактовать как условия деформирования, соответствующие высоким температурам деформирования) в уравнениях (1)-(3) имеем С = 96/9, с2 = 0, с3 = 96/9 [16, 34].
При формулировке явного вида уравнений (1)-(3) принималось во внимание, что при оценке интенсивности накопления призматических петель вакансион-ного типа необходимо учесть, что осаждение межузель-ных атомов на вакансионные петли приводит к сжатию петель и их аннигиляции, при осаждении на них бивакансий и моновакансий призматические петли ваканси-онного типа разрастаются, происходит их дополнительное накопление [16, 25]. Предполагалось также, что вакансионные петли, размеры которых изначально были больше средних, довольно быстро разрастаются при осаждении вакансий, вплоть до их вовлечения в процессы сдвигообразования, порогообразования, и аннигиляции по механизмам, свойственным сдвигообразующим дислокациям.
При осаждении межузельных атомов призматические петли межузельного типа разрастаются, в этом слу-
чае имеет место парадоксальная релаксация , при осаждении бивакансий межузельные петли уменьшаются, происходит аннигиляция. Но поскольку межузель-ных атомов генерируется больше, чем бивакансий, можно предположить, что межузельные петли разрастаются, достигая некоторых размеров, при которых могут терять устойчивость под действием сил Пича-Келера, обусловленных приложенным напряжением и включаться в число скользящих дислокаций. Аннигиляция последних может происходить как за счет межузельных атомов, так и за счет бивакансий.
Математическая модель эволюции дислокационной подсистемы деформируемого сплава с некогерентной упрочняющей фазой (1)-(3) представлена в виде нелинейной системы дифференциальных уравнений. Надо отметить, что теория нелинейных динамических систем находится пока в том состоянии, когда формулируются и разрабатываются методики анализа лишь отдельных типов нелинейных моделей.
3. Качественное исследование модели эволюции дислокационной подсистемы гетерофазных материалов с некогерентными частицами
В предлагаемом исследовании анализ динамической системы (1)—(3) проводился следующим образом: 1) определяли стационарные точки (аналитически или численно); 2) далее определяли тип стационарных точек (по первому приближению); 3) проводили расчеты траекторий и строили локальные фазовые портреты в окрестностях стационарных точек; и, наконец, 4) проводили параметрический анализ.
3.1. Качественное исследование модели эволюции дислокационной подсистемы при низких температурах
Для наглядности систему (1)-(3) представим в виде:
—- = с А!р - С2 А2 ,
da ^р
—У = СА - С А У
— сз Аз с4 а4 ,
—а р
- -
— = Сз Аз + С4 А4 - - С2 А2-—а
(4)
22 р л/р
В системе (4) введены следующие обозначения:
константы (не варьируемые в проводимых исследованиях)
C =<х) C = 128
C3 = ~ГГ, C4 “ '
(5)
2b ’ 3Xb '
параметры (варьировались в физически разумных пределах)
тсуп, МПа
И
Лр, 1Сг4см
1.0 1.5
в, ю5МПа
Рис. 1. Диаграммы стационарных плотностей дислокаций для дисперсно-упрочненного материала на основе никеля при и* = 2, Лр = 7 • 10 5 см,
О = 105 МПа, 8 = 5 • 10-6 см, F =2:....— неустойчивое стационарное состояние;-------------устойчивое стационарное состояние (фокус);
Ж&ЗЖК — устойчивый узел; ИН! — неустойчивый фокус
А1 -
FG
Тгїуп
А — А
3 Л2 ’
р
А2 -
^уп п
. Tdynп
а4 -—-----------,
4 8G
(6)
переменные
Х —Р m, У — рр,
— Pp,
следовательно, р = х + у + z.
Решая систему (4) относительно х, у, z, получаем:
( ГЧ — (С1С42АдА42 + СІС4А|А4 - СІС3А|А3) ±
^ Р )1,2 2СдС2С4 Ад А2 А4
± -у/Сс42(А42 + С22С4А22А4 - С22С3А22А3) - 4С1С22С43)А22А43 “ 2СдС2С4 Ад А2 А4
и соответственно
— Сд АдР32
С2 А2
У —
С3 А3р С4 а4 !
С3 А3р С2 А2^Р — С4 А4
(7)
Таким образом, система уравнений (4) имеет два стационарных решения. Заменяя х,у, z на рт, рр, рр соответственно и подставляя значения констант и пара-
метров, получим значения стационарных плотностей дислокаций для исходной системы уравнений (1)-(3).
Далее, чтобы выяснить является ли стационарное решение устойчивым, запишем характеристическое уравнение и найдем его корни. Поскольку система (1)-(3) является нелинейной, используем метод первого приближения. Необходимые выкладки являются весьма громоздкими, поэтому приведем только полученные результаты исследований.
Исследование системы дифференциальных уравнений (1)—(3) проведено для значений параметров модели и интенсивности деформирующего воздействия (напряжения тёуп), характерных для дисперсно-упрочненных материалов на основе меди, алюминия и никеля [1316, 25]: F= 2, ..., 5.7; и * = 2, ..., 16; Л р = 2-10 5 7-10-5см; О = 2-104,..., 105 МПа; 8 = 10-6 тёуп = 100, ..., 2 000 МПа. Поскольку модель содержит большое число параметров, выберем некоторый основной (эталонный) набор значений параметров и затем проанализируем влияние изменения отдельных параметров (при этом варьируется лишь один или небольшое число параметров). Основной набор значений параметров: F = 2; Ь = 2.56 • 10-8 см; Л р = 7 -10-5 см; £ = 0.5;
.., 10-5 см;
Рис. 2. Стационарные значения составляющих суммарной плотности дислокаций для дисперсно-упрочненного материала на основе никеля (соответствуют рис. 1)
(х) = 4, 8 = 5 • 10-6 см; О = 105 МПа; Р} = 0.5; и * = 2; т ёуп = 1 000 МПа.
Показано, что в фазовом пространстве (рт, р^, рр) в зависимости от значений параметров наблюдаются
следующие ситуации (рис. 1, 2): 1) два стационарных состояния, которые при увеличении некоторого параметра сближаются и при определенном значении параметра одновременно исчезают; 2) стационарные состоя-
Рис. 3. Локальные фазовые портреты для дисперсно-упрочненного материала на основе алюминия при тЛуп = 500 МПа: а — неустойчивое стационарное состояние при 8 = 0.98 • 10-6 см; б — неустойчивый фокус при 8 = 1.1 • 10-6 см; в — предельный цикл при 8 = 1.1822 • 10-6 см; г — устойчивый фокус при 8 = 1.2 • 10-6 см
ния отсутствуют; 3) возникает пара стационарных состояний (бифуркация “вилки”), область между которыми с ростом значения параметра расширяется. В широком интервале физически имеющих смысл значений параметров существуют две стационарные точки; одна из которых при всех значениях параметров неустойчивая типа “седло” (рис. 3, а), вторая может быть следующей: устойчивой типа “фокус” (рис. 3, г) или “узел”, либо “предельным циклом” (рис. 3, в), либо неустойчивой типа “седло” или “фокус” (рис. 3, б).
Термины “фокус”, “узел”, “предельный цикл” и “седло” традиционно применяются при анализе динамических систем на плоскости, но, как видно из рисунка
3, аналогии вполне уместны. Необходимо отметить, что построение глобального фазового портрета на одном рисунке затруднительно, поскольку значения переменных в стационарных точках часто имеют различие в несколько порядков величины, поэтому приведены локальные фазовые портреты.
На рисунке 1 приведены диаграммы стационарных суммарных плотностей дислокаций, на рисунке 2 диаграммы стационарных плотностей сдвигообразующих дислокаций и дислокаций, входящих в призматические петли межузельного и вакансионного типа. Сплошной линией на диаграммах изображаны ветви устойчивых стационарных решений (устойчивый “фокус”), а пунктирной линией ветви неустойчивых стационарных решений (типа “седло”), малыми черными кружками обозначен неустойчивый “фокус”, крестиками - устойчивый “узел”. На рисунке 1 при изменении значений параметров модели наблюдаются бифуркации фазового портрета исследуемой системы различного типа: типа “вилки” (рождения пары стационарных состояний), исчезновения пары состояний, смены типа устойчивости, смены типа состояния. Закономерности изменения стационарных решений при изменении значений параметров для дислокаций различного типа могут быть различными (рис. 2). Отметим наиболее интересные особенности:
1. Плотность дислокаций, образующих вакансион-ные призматические петли, соответствующая устойчивому стационарному состоянию на один-два порядка ниже, чем плотность сдвигообразующих дислокаций и межузельных призматических петель (рис. 2). Эта закономерность подтверждается экспериментально [3537] — более 90 % наблюдаемых призматических петель относится к межузельному типу.
2. Плотность дислокаций, образующих межузельные призматические петли, соответствующая устойчивому состоянию, выше соответствующей неустойчивому состоянию плотности, т. е. в широком интервале значений исходной плотности дислокаций плотность призматических межузельных петель в процессе деформации приближается к устойчивому стационарному значению (рис. 2).
Рассмотрим влияние изменения значений параметров модели на вид фазовых портретов и диаграммы стационарных решений.
Влияние тdyn. При относительно низких напряжениях (для сплавов на основе никеля — тdyn < 950 МПа, на основе алюминия — тdyn < 390 МПа) не существует стационарных состояний. В этом случае происходит накопление деформационных дефектов всех типов. Такая ситуация, как правило, наблюдается экспериментально при квазистатических режимах деформирования. При больших напряжениях тdyn наблюдается два стационарных состояния (рис. 1, а, рис. 2), одно из них— устойчиво pS ((рm)S, (Рр^> (Pp)S)> второе — неустойчиво р2 ((рm)s2, (РV)2, (Рр)2) С ростом тdyn устойчивое и неустойчивое положения равновесия удаляются друг от друга, область деформационного разупрочнения (когда процесс деформирования сопровождается снижением дефектности кристалла) возрастает на несколько порядков. Таким образом, при высоких значениях тdyn (при высоких деформирующих напряжениях т) в сильно упрочненных материалах, характеризуемых высокими величинами исходной плотности дислокаций, возможно значительное уменьшение плотности дислокаций в процессе деформации.
Влияние Л р. При малых расстояниях между частицами Л р не существует стационарных решений (рис.
1, в, рис. 2). При некотором значении Л р происходит рождение пары стационарных состояний — стационарное состояние р S, соответствующее меньшей плотности дислокаций, устойчиво, значение его с ростом Л р уменьшается, второе неустойчиво Р2 (с большей плотностью дислокаций), значение его увеличивается с ростом Лр, при этом область динамического разупрочнения растет.
При увеличении тdyn стационарные состояния появляются при меньших расстояниях между частицами, а область динамического разупрочнения растет для сум-
марной плотности дислокаций и плотности сдвигообразующих дислокаций и убывает для плотностей дислокаций, образующих призматические петли вакансионного и межузельного типов.
Влияниеразмера частиц 8. При малых значениях 8 стационарных решений не существует, происходит накопление деформационных дефектов всех типов. При некотором значении 8 (рис. 1, б, рис. 2) происходит рождение пары стационарных состояний. Верхнее (с большей суммарной плотностью дислокаций) стационарное состояние р2 при всех значениях параметра 8 неустойчивое типа “седло”. Нижнее стационарное состояние р ^ при малом значении размера частиц 8 может быть неустойчивым типа “седло” (рис. 3, а). Далее тип нижнего стационарного состояния изменяется от неустойчивого “фокуса” (рис. 3, б) до устойчивого “фокуса” (рис. 3, г), причем при этом переходе появляется предельный цикл (рис. 3, в). С ростом параметра 8 значение нижней устойчивой стационарной плотности дислокаций уменьшается, верхней — сначала увеличивается, а затем уменьшается, вместе с этим область между р ^ и р2 сужается.
Для стационарных значений плотности ваканси-онных призматических петель характерно следующее (рис. 2): с увеличением размера частиц первая стационарная плотность сначала убывает, затем наблюдается ее возрастание, вторая — возрастает, область между стационарными решениями увеличивается как с увеличением 8, так и с увеличением т^. Интересно поведение стационарных значений плотности межузельных призматических петель. Неустойчивое стационарное состояние при малых значениях 8 по своему значению меньше устойчивого стационарного состояния. При некотором 8 (слабо отличающемся при различном т ^) стационарные плотности становятся равными, а затем неустойчивое стационарное состояние превышает устойчивое.
Качественное исследование модели позволяет выявить основные тенденции поведения дефектной подсистемы в различных условиях. И, как свидетельствует проведенный анализ, такое поведение может иметь весьма сложный характер. Но, как правило, особенности, связанные со сложной структурой фазового пространства, проявляются лишь при воздействиях высокой интенсивности и при больших деформациях. На рис. 4 приведены зависимости плотности дислокаций от деформации в случае неустойчивого “фокуса” (колебания относительно равновесного значения плотности дислокаций с возрастающей амплитудой, рис. 4, а), “предельного цикла” (периодические колебания, амплитуда которых зависит от начальной плотности дислокаций, рис. 4, б), устойчивого “фокуса” (затухающие колебания относительно состояния равновесия с убывающей амплитудой, рис. 4, в). Но поскольку период доста-
Рис. 4. Зависимость суммарной плотности дислокаций от деформации для дисперсно-упрочненного материала на основе алюминия при тЛуп = 500 МПа: а — неустойчивый фокус при 8 = 1.1 • 10-6 см; б — предельный цикл при 8 = 1.1822 • 10-6 см; в — устойчивый фокус при 8 = 1.2 • 10-6 см
точно большой, при малых деформациях такие колебания не выявляются (рис. 4, слева).
Результаты проведенных исследований позволяют, не проводя расчетов для конкретных значений исходной плотности дислокаций и параметров модели, сказать каким будет характер изменения переменных. Качественное исследование сформулированной модели позволяет судить об особых точках, вблизи которых развитие дислокационной подсистемы деформируемого материала может иметь существенно различный характер в зависимости от начального дефектного состояния, характеристик материала и внешнего воздействия. Поскольку экспериментально наблюдают развитие дефектной подсистемы при заданных условиях с ростом деформации, представляет интерес исследовать зависимости р т(а), р Р(а), рр(а) при начальных условиях, соответствующих различным областям относительно стационарных значений каждой из составляющих дислокационной подсистемы. В области значений параметров, где наблюдаются два стационарных состояния, они делят все пространство начальных значений на три области: 1) ниже стационарного состояния с меньшей плотностью дислокаций, 2) между стационарными состояниями, 3) выше стационарного состояния с большей плотностью дислокаций. Если учесть, что дислокационная подсистема характеризуется тремя составляющими рт, р^, рр, возможное число вариантов, учитывающих нахождение каждой из составляющих дислока-
ционной подсистемы в различных областях, равно 27. Таким образом, минимальное количество кривых, которые необходимы, чтобы проследить возможные варианты поведения дислокационной подсистемы, должно быть равно 27 для каждой составляющей дислокационной подсистемы (рис. 5). На рис. 5 представлены зависимости плотностей суммарной, сдвигообразующих и геометрически необходимых дислокаций от степени деформации при следующих значениях параметров: Л р = 4 •Ю-5 см, О = 2.7 •Ю4 МПа, т ёуп = 500 МПа (значения остальных параметров соответствуют базовому набору). Начальные значения плотности дислокаций различного типа приведены в табл. 1.
Как следует из анализа рисунка 5, поведение дефектной подсистемы существенно зависит от начального состояния, точнее, от того в какую область относительно стационарных точек попали начальные значения составляющих дефектной среды. Отметим некоторые общие тенденции. Наблюдается тенденция к установлению динамического равновесия между генерацией и аннигиляцией деформационных дефектов, то есть при увеличении деформации плотность дислокаций приближается к стационарной величине. При этом для значений исходной суммарной плотности дислокаций р0 < р^ (кривые 1, 2, 4, 5,10,11, 13,14) наблюдается возрастание исходной плотности до стационарной величины (в случае “фокуса” плотность дислокаций осциллирует, приближаясь к величине, соответствующей стационар-
Таблица 1
Начальные значения плотности дислокаций, соответствующие кривым на рисунке 5
№ кри- вой Начальные значения плотности дислокаций № криво й Начальные значения плотности дислокаций
(р т)0 (ррТ)0 (рр)0 (рт)0 (рр)0 (рр)0
1 1010 109 1010 15 1011 6 • 1010 4 •Ю11
2 1010 109 2 •1011 16 1011 7 • 1011 1010
3 1010 109 4 •1011 17 1011 7 • 1011 2 •Ю11
4 1010 6 •1010 1010 18 1011 7 • 1011 4 •1011
5 1010 6 •1010 2 •1011 19 8 •Ю12 109 1010
6 1010 6 •1010 4 •1011 20 8 •Ю12 109 2 •Ю11
7 1010 7 •1011 1010 21 8 •Ю12 109 4 •Ю11
8 1010 7 •1011 2 •1011 22 8 •Ю12 6 • 1010 1010
9 1010 7 •1011 4 •1011 23 8 •Ю12 6 •1010 2 •Ю11
10 1011 109 1010 24 8 •Ю12 6 • 1010 4 •Ю11
11 1011 109 2 • 1011 25 8 •Ю12 7 •Ю11 1010
12 1011 109 4 • 1011 26 8 •Ю12 7 •1011 2 •1011
13 1011 6 •1010 1010 27 8 •Ю12 7 •Ю11 4 •Ю11
14 1011 6 •1010 2 • 1011
б
Рис. 5. Зависимость плотностей дислокаций р, рт, рV, рр от деформации для дисперсно-упрочненного материала на основе алюминия при Л р = 4 • 10-5 см, О = 2.7 • 10-4 МПа, Г = 2, и * = 2, 8 = 5 • 10-6 см и избыточном напряжении т^ = 500 МПа. Начальные значения плотностей дислокаций приведены в табл. 1
ному состоянию). При значениях исходной полной плотности дислокаций р^ < р0 < р^ (кривые 3, 6, 7, 8, 9, 12, 15-24) происходит уменьшение значений плотности дислокаций до стационарной величины. В области между стационарными точками преобладает динамическое разупрочнение.
Особый интерес представляет поведение дислокационной подсистемы при плотностях дислокаций выше верхнего, неустойчивого стационарного значения (кри-
вые 25-27). Возрастание плотности дислокаций в процессе деформации в этой области не ограничено в рамках математической модели, а физически, по-видимому, если тёуп поддерживается постоянным, плотность дислокаций в этой области возрастает, пока это возрастание совместимо с существованием кристаллической решетки и дислокаций в ней. Возможно, что деформация дисперсно-упрочненного материала в таком режиме есть способ его приближения к аморфному состоянию.
8, 1СГ5 см
а
' (Рз)з (рз)2
\ (Рз)1
- \ 1 (Рз)1
(Рз)з^-^
1 (Рз)2
5 10
Лр, 10~5 СМ
Рис. 6. Зависимость стационарных плотностей дислокаций от размера частиц и расстояния между частицами для дисперсно-упрочненного материала на основе алюминия при п* = 2, F = 2, G = 105 МПа, тЛуп = 800 МПа, Лр = 7 • 10-5 см, 8 = 5• Ю-6 см, где (р^),, (р2), i = 1, 2, 3 — стационарные решения для низких, средних и высоких температур соответственно
При средней плотности дислокаций, близкой к верхней, неустойчивой стационарной точке, плотность дислокаций в локальных объемах может быть меньше или больше ее стационарной величины. В первом случае плотность дислокаций уменьшается, приближаясь к ее стационарной величине, во втором — возрастает и величина возрастания ограничена лишь существованием кристаллической решетки и механизмов, ею обусловленных. Дислокационная подсистема может распадаться на две “фазы”, различающиеся по плотности дислокаций на порядки величины.
3.2. Эволюция дислокационной подсистемы деформируемого сплава с некогерентной упрочняющей фазой при средних температурах
Как и в случае модели для низких температур, в фазовом пространстве (рт, рр, рр) в широком спектре рассматриваемых значений параметров существуют две стационарные точки; одна из которых может быть устойчивой или неустойчивой в зависимости от значений параметров, вторая — всегда неустойчивая. В этом случае, в отличие от модели для низких температур, значения стационарных плотностей дислокаций р т, р V, р р в стационарных точках имеют не столь большие различия (в пределах порядка).
3.3. Модель эволюции дислокационной подсистемы деформируемого сплава с некогерентной упрочняющей фазой при высоких температурах
С повышением температуры подвижность деформационных моновакансий становится достаточно высокой и их осаждение на дислокациях вносит заметный вклад в диффузионные релаксационные процессы. Исследова-
ние модели для таких условий показало, что в фазовом пространстве (р т, р р, рр), аналогично моделям при низких и средних температурах, в широком спектре значений параметров модели и интенсивности деформирующего воздействия (напряжения тёуп) также существуют две стационарные точки, изменение которых в зависимости от параметров качественно аналогично моделям для низких и средних температур. Но отметим, что в этом случае одно из стационарных состояний при всех значениях параметра является устойчивым, второе — всегда неустойчивое.
На рисунке 6 представлены диаграммы стационарных решений для моделей с учетом участия в релаксационных процессах точечных дефектов различного типа. Как и можно было ожидать, устойчивая стационарная плотность дислокаций (р^) достигается быстрее всего в том случае, когда аннигиляционные и другие релаксационные процессы в дислокационной подсистеме осуществляются как за счет межузельных атомов, так и за счет вакансий и бивакансий (рис. 6). При этом область между устойчивым стационарным состоянием и неустойчивым (область деформационного, “динамического” разупрочнения) увеличивается в процессе увеличения числа типов дефектов, участвующих в диффузионных релаксационных процессах.
4. Математическое моделирование эволюции дислокационной подсистемы в деформируемых гетерофазных сплавах в закритической области плотностей дислокаций
При плотностях дислокаций выше критической (р > рс) характер дислокационной структуры материа-
ла, содержащего недеформируемые упрочняющие частицы, существенно меняется. В этом случае миграция скользящих дислокаций в направлении нормали к плоскости их скольжения играет важную структуроформирующую роль. Аннигиляция ветвей одной и той же расширяющейся дислокационной петли при встрече за огибаемой ими частицей становится неполной. На месте встречи участков дислокации противоположного знака остается диполь. Таким образом, при формировании зоны сдвига при р>рс помимо генерации замкнутых дислокационных петель (сдвигообразующие дислокации) и геометрически необходимых дислокаций образуются также дипольные и мультипольные дислокационные конфигурации [16].
При построении модели для плотностей дислокаций выше критического значения рс дополнительно к уравнениям для геометрически необходимых и сдвигообразующих дислокаций необходимо добавить уравнения баланса дислокаций в дипольных конфигурациях вакан-сионного и межузельного типов. Такое разделение дислокационных диполей на межузельные и вакансионные обоснованно тем, что осаждение точечных дефектов различного типа приводит к уменьшению плеча одних и к увеличению плеча других. Так, осаждение межузель-ных атомов на вакансионные диполи ведет к уменьшению плеча последних, а осаждение межузельных атомов на межузельные диполи ведет к увеличению их плеча [16].
Таким образом, для описания дислокационной подсистемы деформируемых дисперсно-упрочненных сплавов с некогерентными частицами к системе уравнений (1)—(3) необходимо добавить еще два уравнения [16]:
/ \
Ф!
йа йа
1
Л рь
Л рь
ь2 Л2 р.^р
+ с5р
12
р^ тёуп П*
р Gb
ра Тёупп
(8)
6 р1/2'
Gb
где р^ и р^ — плотности дислокаций, образующих вакансионные и межузельные диполи.
Для условий, когда диффузионные релаксационные процессы осуществляются только за счет межузельных атомов, с4 = 32л/6/з, с5 = 0, с6 = 16/3. При учете релаксационных процессов, управляемых осаждением на дислокациях межузельных атомов и бивакансий, имеем с4 = 16^/9, с5 = 0, с6 = 88/9. В случае учета релаксации дислокационной структуры, связанной с меж-узельными атомами, бивакансиями и моновакансиями, с4 = 0, с5 = 32/3, с6 = 32/3.
Исследование фазового пространства модели дислокационной подсистемы в деформируемых гетерофаз-ных сплавах в закритической области плотностей дислокаций в различных интервалах температур, проведенное для широкого спектра значений параметров модели,
Рис. 7. Зависимость стационарных плотностей дислокаций от т ^, размера частиц и расстояния между частицами для дисперсно-упрочненного материала на основе никеля при F = 2, G = 105 МПа,
т ^ = 1 000 МПа, Л р
-7 • 10 5 см, п * = 8, 6 = 5 • 10 6 см, где (р^.
(р , I = 1, 2, 3 — стационарные решения для низких, средних и
высоких температур соответственно
позволяет провести некоторую качественную аналогию с результатами исследования модели в докритической области плотностей дислокаций. А именно, в фазовом пространстве (рт, рр, рр, р^, р^) для набора значений параметров практически всегда существуют две стационарные точки, одна из которых устойчивая, вторая — всегда неустойчивая.
Проводя сравнение зависимости стационарных решений от размера частиц, расстояния между ними и динамического напряжения тёуп для модели в различных интервалах температур, можно отметить (рис. 7): 1) изменение стационарных решений качественно аналогично; 2) как и в случае модели в докритической области плотностей дислокаций устойчивая стационарная плотность дислокаций (р8) достигается быстрее всего в том случае, если аннигиляция и другие релаксационные процессы дислокационной подсистемы осуществляются как за счет межузельных атомов, так и за счет вакансий и бивакансий (рис. 7), хотя существует интервал значений параметров, при котором (р^) для модели средних температур имеет меньшее значение, чем для модели высоких температур; 3) область между устойчивым стационарным состоянием и неустойчивым (область динамического разупрочнения) увеличивается в процессе добавления числа типов дефектов, участвующих в диффузионных релаксационных процессах (с повышением температуры).
5. Исследование эволюции дислокационной подсистемы дисперсно-упрочненных материалов с некогерентной упрочняющей фазой в различных интервалах температур и плотностей дислокаций
Исследуемая модель эволюции дислокационной подсистемы деформируемых гетерофазных материалов с некогерентными частицами представляет собой систему трех либо пяти дифференциальных уравнений баланса деформационных дефектов различного типа; число и явный вид уравнений зависят от интервала температур и плотности дислокаций [16, 25]. Выше приведены результаты качественного исследования моделей для различных интервалов плотности дислокаций (р < рс и р > рс) и интервалов температур для предельно широкого спектра исходных значений плотности дислокаций. При этом не учитывалось, что переход через критическое значение плотности дислокаций может осуществляться в процессе деформации с изменением текущего дефектного состояния.
Проведем исследование с учетом условий сшивания по критической плотности дислокаций рс, т.е., когда при проведении расчетов достигается рс, происходит переход от модели при докритической плотности дислокаций к модели для закритической области плотностей дислокаций или наоборот. Так как ранее была показана
качественная аналогия в наличии стационарных состояний, их типов и влияния значений параметров модели на вид диаграмм стационарных решений для моделей в различных температурных интервалах, приведем результаты исследования модели в интервале температур, где процессы аннигиляции и релаксации осуществляются только за счет межузельных атомов.
Исследование модели с учетом сшивания показало, что в зависимости от значений параметров модели развитие дефектной субструктуры может определяться преимущественно элементарными процессами и механизмами, характерными для докритической области плотностей дислокаций или для закритической области плотностей дислокаций. Поскольку значение критической плотности дислокаций определяется масштабными характеристиками дисперсно-упрочненного материала (размером частиц и расстоянием между ними), рассмотрим зависимость стационарных плотностей дислокаций от размера частиц. На рис. 8, а приведены диаграммы стационарных значений плотности дислокаций для модели для докритических плотностей дислокаций (р^)з, (р^)з — соответственно первое и второе стационарные состояния) и модели для закритических плотностей дислокаций (р^)5, (р^)5, а также показана зависимость критической плотности дислокаций рс от размера частиц. Существуют (рис. 8) интервалы значений размера частиц, при которых развитие дислокационной подсистемы деформируемого материала может иметь существенно различный характер.
1. Если размер частиц 8 попадает в интервал, когда стационарные плотности дислокаций (р^)3 и (р^)5, соответствующие устойчивому состоянию системы, выше критической плотности дислокаций рс, то развитие дефектной субструктуры происходит по механизмам, характерным для закритической области плотности дислокаций. Эту ситуацию иллюстрирует рис. 8, б; видно, что с ростом деформации плотность дислокаций приближается к стационарной величине (р^)5 независимо от того, в какую область относительно рс попала начальная плотность дислокаций. При этом если значения исходной плотности дислокаций попали в область ниже (р!. )5, то наблюдается возрастание плотности дислокаций до стационарной величины. Если значения исходной плотности дислокаций выбраны в области между стационарными значениями (р^)5 < р0 < (р^)5, происходит уменьшение значений плотности дислокаций до стационарной величины (р|, )5. При значениях исходной плотности дислокаций выше второй стационарной плотности дислокаций (р^)5, соответствующей неустойчивому стационарному состоянию, будет происходить возрастание плотности дислокаций.
2. Рассмотрим второй интервал значений размеров частиц, когда стационарные плотности дислокаций, соответствующие устойчивому стационарному состоя-
101'
101
101‘
1 "... 2 0 1 "*-..>(Рз)з 8 ч 0
\ ■ ■ ■ • . . (Рз)б \ 6 (М
\ ' ■ г о
" \ . ' ° 4 І ■
(Рз)\ 1
(р^б/ 1 2
—— Рс 'III
0.0
0.2 0.4
б, 10~5 см
0.6
0.0
0.2
0.4
а
0.6
0.8
Рис. 8. Зависимость стационарных плотностей дислокаций от размера частиц (а) и зависимость плотности дислокаций от деформации (б, в, г) для дисперсно-упрочненного материала на основе никеля при при F = 2, G = 105 МПа, т^ = 1 500 МПа, Л р = 7 • 10- см, п* = 8, 6 = 5 • 10-6 см. Здесь (р13)з, (р^)з — соответственно первое и второе стационарные состояния модели при докритических плотностях дислокаций; (р^, (р2)5 — при закритических плотностях дислокаций, р с — критическая плотность дислокаций
нию системы, ниже критической плотности дислокаций ((р1)3 < рс и (р1)5 < рс). В этом случае развитие дислокационной субструктуры происходит преимущественно по механизмам, характерным для докритической области плотности дислокаций. Эта ситуация представлена на рис. 8, в. Независимо от того, в какую область относительно рс попала начальная плотность дислокаций, с ростом деформации она приближается к стационарному состоянию (р1)3, соответствующему устойчивому состоянию модели в докритической области плотностей дислокаций.
3. Особый интерес представляет интервал значений размеров частиц, когда одна стационарная плотность дислокаций (р1)3 для модели докритической области ниже критической плотности дислокаций, а вторая стационарная плотность дислокаций (р1)5 для модели
закритической области выше критической плотности дислокаций ((р'8)3 <рс и (р|,)5 > рс). В этом случае развитие дислокационной подсистемы происходит следующим образом (рис. 8, г): если значение начальной плотности дислокаций меньше чем значение рс (р 0 <р с), то развитие дислокационной подсистемы происходит по механизмам, характерным для докрити-ческой области плотности дислокаций, а с ростом деформации плотность дислокаций приближается к стационарному состоянию (р^)3. Если начальная плотность дислокаций выбрана в области выше рс (р0 > рс), то развитие дислокационной подсистемы происходит по механизмам, характерным для закритической области плотности дислокаций, а с ростом деформации плотность дислокаций увеличивается, приближаясь к стационарному состоянию (р^ )5.
Рис. 9. Диаграммы стационарных состояний при низких (а), средних (б) и высоких (в) температурах для дисперсно-упрочненного материала на основе никеля при = 1 000 МПа, F = 2, G = 105 МПа, Лр = 7 • 10-5 см, п* = 8, 6 = 5 •Ю-6 см. Здесь (р1 )з, (р^)з — соответственно первое и второе стационарные состояния модели при докритических плотностях дислокаций; (р1^5, (р^5 — при закритических плотностях дислокаций; р с — критическая плотность дислокаций
Интервал значений размеров частиц, где обе стационарные плотности дислокаций ниже р с, “сдвигается” в сторону увеличения 6 с ростом расстояния между частицами Л р.
Рассмотрим диаграммы стационарных состояний модели с учетом сшивания для различных интервалов температур (рис. 9) при эталонном наборе параметров тёуп = 1 000 МПа, О = 105 МПа, п* = 8, F = 2, 6 = = 5 • 10-6 см и Лр = 7 • 10-5 см. Наблюдается различный характер изменения стационарных плотностей дислокаций в зависимости от характеристик материала и критической плотности дислокаций. Для модели низких температур наблюдаются области значений параметров, где обе стационарные плотности дислокаций выше рс. Для модели средних температур появляется область значений параметров, где обе стационарные плотности дислокаций ниже рс. Для модели высоких температур практически всегда стационарные плотности дислокаций ниже критической плотности дислокаций.
6. Заключение
Приведенный пример использования методов качественного анализа динамических систем применительно к исследованию возможных путей эволюции дефектной подсистемы деформируемого материала свидетельствует о его больших возможностях. Тот факт, что для моделей, по своему исходному предназначению не ориентированных на получение фазового пространства сложной структуры и не включающих уравнений с известной структурой фазового пространства, получены различные типы стационарных состояний, является обнадеживающим в плане перспектив дальнейшего развития исследований.
Применительно к проведенным исследованиям для гетерофазных материалов отметим следующее. Кинетика дислокационной подсистемы гетерофазных сплавов, деформируемых в условиях интенсивных воздействий с постоянным избыточным напряжением тёуп, может иметь существенно различный характер в зависимости от характеристик материала (размер частиц, расстояние между частицами), интенсивности деформирующего воздействия (напряжения тёуп) и исходной дефектности материала. Исследование математической модели показало, что в фазовом пространстве переменных модели (составляющих дислокационной подсистемы деформируемого материала) для физически реальных значений параметров практически всегда существуют две стационарные точки; одна из которых при всех значениях параметров неустойчивая типа “седло”, вторая может быть следующей: устойчивой типа “фокус” или “узел”, либо “предельным циклом”, либо неустойчивой типа “седло” или “фокус”. В пространстве начальных плотностей дислокаций можно выделить три области с различным поведением дислокационной под-
системы: 1) область, в которой плотность дислокаций возрастает с деформацией, приближаясь к стационарному значению; 2) область, в которой плотность дислокаций уменьшается с деформацией (область деформационного разупрочнения); 3) область неограниченного (в рамках приближений модели) возрастания плотности дислокаций. Область деформационного разупрочнения (когда в условиях деформации снижается концентрация дефектов) растет при увеличении избыточного напряжения тdyn и расстояния между частицами. В этих условиях деформация будет иметь сильно локализованный характер; область деформационного разупрочнения является областью локализации деформации.
Литература
1. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. - М.: Наука, 1987. - 374 с.
2. Берлин А.А. Макрокинетика // Соросовский образовательный жур-
нал. - 1998. - № 3. - С. 48-54.
3. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Елсукова Т.Ф., Иванчин А.Г. Структурные уровни деформации твердых тел // Изв. вузов. Физика. -1982. - № 6. - С. 5-27.
4. Панин В.Е., Лихачев В.А., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации твердых тел. - Новосибирск: Наука, 1985. - 229 с.
5. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Данилов В.И. и др. Структурные уровни
пластической деформации и разрушения. - Новосибирск: Наука, 1990. - 255 с.
6. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2-х т. / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. - 298 с. и 320 с.
7. Акулов Н. С. Дислокации и пластичность. - Минск: Изд-во АН БССР, 1961. - 36 с.
8. Johnston W.J., Gilman G.G. Dislocation velocities, dislocation densities, and plastic flow in lithium fluoride crystals // J. Appl. Phys. -1959. - V. 30. - No. 20. - P. 129-144.
9. Orlov A.N. Kinetics of dislocation // Theory of Crystal Defects. -Prague: Prague Academia, 1966. - P. 317-338.
10. LagneborgR. Dislocation mechanisms in creep // Intern. Metals Rev. -1972. - V. 17. - P. 130-146.
11. Bergstrom J. A dislocation model for the stress-strain behaviour of polycrystalline a-Fe with special emphasis of the variation of the densities of mobile and immobile dislocations // Mater. Sci. and Eng. -1970. - V. 5. - No. 4. - Р. 193-200.
12. Essman U., Mugrabi H. Annihilation of dislocations during tensile and cyclic deformation and limits of dislocation densities // Phil. Mag. - 1979. - V. 40. - P. 731-756.
13. Попов Л.Е., Кобытев В.С., Ковалевская Т.А. Концепция упрочнения и динамического возврата в теории пластической деформации // Изв. вузов. Физика. - 1982. - № 6. - С. 56-82.
14. ПоповЛ.Е., КобыгтевВ.С., Ковалевская Т.А. Пластическая деформация сплавов. - М.: Металлургия, 1984. - 182 с.
15. Попов Л.Е., Пудан Л.Я., Колупаева С.Н. и др. Математическое моделирование пластической деформации. Томск: Изд-во Том. унта, 1990. - 185 с.
16. Ковалевская Т.А., Виноградова И.В., Попов Л.Е. Математическое моделирование пластической деформации гетерофазных сплавов. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 1992. - 168 с.
17. Колупаева С.Н., Старенченко В.А., Попов Л.Е. Неустойчивости пластической деформации кристаллов. - Томск: Изд-во Том. унта, 1994. - 301 с.
18. Ханнанов Ш.Х. Кинетика дислокаций и неоднородная деформация кристаллов при одиночном скольжении // Математические модели пластичности. - Томск: Изд-во Том. политехн. ун-та, 1991. -С. 11-16.
19. Малыгин Г.А. Кинетический механизм образования периоди-
ческих дислокационных структур // ФТТ. - 1989. - Т. 31. - № 1. -С. 175-180.
20. Малыгин Г.А. Кинетический механизм образования полос сброса при пластической деформации кристаллов // ФТТ. - 1990. - Т. 32. -№ 4. - С. 1102-1107.
21. Малыгин Г.А. Самоорганизация дислокаций и локализация скольжения в пластически деформируемых кристаллах // ФТТ. - 1995. -Т. 37. - № 1. - С. 4-42.
22. Попов Л.Е., Колупаева С.Н., Вихоръ Н.А. Исследование дислокационной кинетики при деформации ГЦК-монокристаллов в условиях интенсивных деформирующих воздействий // Изв. вузов. Физика. - 1997. - № 8. - С. 43-48.
23. Popov L.E., Kolupaeva S.N. Dislocation subsystem stability in polycrystals of F.C.C. materials under intensive loading // Transactions of St-Petersburg Academy of Sciences for Strength Problems. - 1997. -V. 1. - P. 219-225.
24. Старенченко В.А., Колупаева С.Н., Коцюрбенко А.В. Математическое моделирование разориентированных структур деформации // Заводская лаборатория. - 1995. - № 8. - С. 28-35.
25. Колупаева С.Н., Ерыгина Е.В., Ковалевская Т.А. Моделирование эволюции дислокационной подсистемы при деформации гетеро-фазных сплавов с некогерентной упрочняющей фазой // Математическое моделирование систем и процессов. - 1998. - № 6. -С. 43-50.
26. Колупаева С.Н., Ерыгина Е.В., Ковалевская Т.А. Моделирование дислокационной подсистемы при деформации дисперсно-упрочненных ГЦК-сплавов // Вестник Тамбовского университета. -1998. - Т. 3. - Вып. 3. - С. 281-283.
27. Тюменцев А.Н., Гончиков В.Ч., Олемской А.И., Коротаев А.Д. Коллективные эффекты в ансамбле дислокаций и вакансий при формировании полосы локализованной деформации. - Томск, 1989. - 40 с. / Препринт ТГУ № 5.
28. Олемской А.И., Хоменко А.В. Численное исследование самоорганизующихся систем, реализуемых в процессе пластической деформации // ФТТ. - 1996. - № 6. - С. 3-9.
29. Kratochvil J. Stability approach to problem of work hardening in metals // Rev. Behav. of Metals. - 1989. - V. 2. - P. 353-370.
30. Нагорныгх С.Н., СарафановГ.Ф. О возникновении диссипативных дислокационных структур при пластической деформации // Металлофизика. - 1991. - Т. 13. - № 9. - С. 93-98.
31. Orowan E. Condition for dislocation passage of precipitations // Proc. Symp. on Intern. Stresses in Metalls and Alloys. - London: Inst. of Metals. - 1948. - P. 451^54.
32. Hirsch P.B. The interaction of the slip pattern in terms of dislocation movements // Thomas G., Natting J. The plastic deformation of aged aluminium alloys. - J. Inst. Met. - 1957-58. - V. 86. - P. 7-14.
33. Ashby M.F. Work hardening of dispersion-hardened crystals // Phil. Mag. - 1966. - V. 14. - No. 132. - P. 1157-1178.
34. Колупаева С.Н., Вихоръ Н.А., Попов Л.Е. Математическое моделирование эволюции дислокационной подсистемы г.ц.к. кристаллов при различных деформирующих воздействиях // Компьютерный анализ данных и моделирование. Ч. 3.: Сб. научных статей 5 международной конференции, 8-12 июня 1998 г. - Минск, 1998. -C. 182-187.
35. Хирш П.Б., Хэмпфри Ф.Дж. Пластическая деформация двухфазных сплавов, содержащих малые недеформируемые частицы // Физика прочности и пластичности. - М.: Металлургия, 1972. -С. 158-186.
36. GouldD., Hirsch P.B., Humphreys F.J. The Bauschinger effect, work-hardening and recovery in dispersion-hardened copper crystals // Phil. Mag. - 1974. - V. 30. - P. 1353-1377.
37. Stewart A.T., Martin J.W. Dislocation particle interactions in plastically deformed two-phase aluminium crystals // Acta Met. - 1975. -V. 23 - P. 1-7.
