Качественная важность критериев и аддитивность многокритериальной структуры предпочтений Текст научной статьи по специальности «Математика»

После того, как данные телеметрии собраны, происходит их преобразование в формат многомерного хранилища данных с последующей их конвертацией в таблицы БББ для использования в АгсОК. Для этого используется специально разработанный конвертер. В дальнейшем, конечный пользователь может оперативно просмотреть эту информацию, щелкнув мышкой по интересующему его объекту.

Геоинформационная система позволяет организовать эффективное хранение данных различных типов, обеспечивать их дальнейшее использование в режиме многопользовательского и автономного доступа. Также ей отводится значимая роль визуализатора текстовой и графической информации, инструментального модуля, позволяющего оценить взаимосвязь объектов. Кроме того, ГИС является базовой платформой для многомерной интеграции информационных ресурсов различного тематического характера.

В дальнейшем планируется расширить возможности системы модулями оперативного и интеллектуального анализа, пространственного анализа и комплексного статистического анализа, а также повысить удобство работы с данной системой путём использования математических графовых моделей для оптимизации инженерных сетей и т.п. Кроме того, планируются расширить систему возможностью автоматизированного высококачественного оформления карт.

Литература

1. Бершадский А. М., Финогеев А. Г., Бождай А. С. Разработка и моделирование гетерогенных инфраструктур для беспроводного информационного обеспечения процессов мониторинга // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки, №1. 2010. С. 36 - 46

2. НПФ Теплоком. Разработка, производство и продажа расходомеров, тепловычислителей, теплосчетчиков, котельной автоматики, контроллеров. // http://www.teplocom.spb.ru

3. Варгаузин В. А. Радиосети для сбора данных от сенсоров, мониторинга и управления на основе стандарта 1ЕЕЕ 802.15.4 // Теле - МультиМедиа, №6. 2005. С. 23 - 27.

УДК 519.816

КАЧЕСТВЕННАЯ ВАЖНОСТЬ КРИТЕРИЕВ И АДДИТИВНОСТЬ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ ПРЕДПОЧТЕНИЙ

В. В. Подиновский, д. т. н., ординарный профессор Тел. (495)6211342; e-mail:[email protected] Национальный исследовательский университет - Высшая школа экономики;

http://www.hse.ru

The author shows that criteria can be ordered in terms of importance (in the strict sense defined in the criteria importance theory) even if the preference structure with the value function is not additive.

Показано, что критерии могут быть упорядочены по важности (в смысле точных определений из теории важности критериев), даже если структура предпочтений с функцией ценности не является аддитивной.

Ключевые слова: многокритериальные задачи принятия решений, важность критериев, аддитивная функция ценности.

Key words: multiple criteria decision making problems, importance of criteria, additive value function.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Лаборатории анализа и выбора решений НИУ-ВШЭ.

1. Подавляющее большинство применяемых на практике методов анализа многокритериальных задач принятия решений использует информацию об относительной важности критериев, причем обычно в виде коэффициентов важности, или же «весов», входящих в состав аддитивной функции ценности (или приводимой к таковой), однако само понятие важности критериев не оп-

ределяется [1]. Математическая теория важности критериев была создана в России (историю и библиографию см. в [2]). Её базовый раздел - теория качественной важности критериев - опирается на строгие определения понятий «один критерий важнее другого» и «критерии равноважны». Эти определения не предполагают, что предпочтения могут быть описаны при помощи функции ценности; более того, допускается, что отношение предпочтения может быть лишь частичным. Поскольку в большинстве известных методов анализа многокритериальных задач информация о важности критериев представляется обычно в виде коэффициентов важности, или же «весов», входящих в состав аддитивной функции ценности (или приводимой к таковой), то значительный теоретический и практический интерес представляет вопрос о том, могут ли быть критерии упорядочены по важности (в смысле строгих определений из теории важности критериев), если функция ценности не аддитивна или даже если она вовсе не существует, хотя отношение нестрогого предпочтения является полным? Положительный ответ на этот вопрос дается в данной работе.

2. Дальнейшее изложение опирается на следующую математическую модель ситуации принятия индивидуального решения в условиях определенности:

М = < Т X,/ 2, Р>,

где т - тип постановки задачи (выбрать один наилучший или несколько лучших вариантов, упорядочить все варианты по предпочтительности, и т.д.), X- множество вариантов,/ = (/1, ...,/„) - векторный критерий, / - частные критерии (т > 2), 2 - область значений векторного критерия, Р - модель предпочтений лица, принимающего решение (ЛПР).

Каждый вариант х из множества всех вариантов X характеризуется значениями критериев / Под критерием / понимается функция с областью определения X и областью значений (множеством оценок) 2. Будем полагать, что большие значения критерия предпочтительнее меньших. Таким образом, каждый вариант х характеризуется т числами - значениями /(х) всех критериев, образующими векторную оценку этого варианта у = /х) = (/1(х), ... ,/т(х)). Поэтому сравнение вариантов по предпочтительности сводится к сопоставлению их векторных оценок. Множество всех векторных оценок (как реальных, т.е. соответствующих вариантам из X, так и гипотетических) есть 2 = 21 х ... х 2т.

Предпочтения ЛПР моделируются на 2 при помощи отношения нестрогого предпочтения Я или же функции ценности V: 2 ^ (-<», +да), т.е Р = {Я} или Р = {у} соответственно, так что уЯг или же ’(у) > ’(г) означает, что вектоценка у не менее предпочтительна, чем г. Пара <2, Я> или, соответственно, пара <2, ’> называется структурой предпочтений (с отношением нестрогого предпочтения или с функцией ценности).

Отношение Я порождает отношение безразличия I и (строгого) предпочтения Р: у1г ^ уЯг л гЯу; уРг ^ уЯг л гЯу (запись гЯу означает, что гЯу неверно). Отношение Я называется (частичным) квазипорядком, если оно рефлексивно (гЯг верно для любой вектоценки г) и транзитивно (для любых у, г, и е 2 из уЯг и гЯи следует уЯи).

Функция ценности V порождает на 2 отношение нестрогого предпочтения - квазипорядок Я’: уЯ’г ’(у) > ’(г). Этот квазипорядок является связным, или полным: для любых у, г е 2 верно, по крайней мере, одно из двух: уЯ’г или гЯ’у. Функции ценности V и V называются стратегически эквивалентными, если они порождают одно и то же отношение нестрого предпочтения: Я’ = Я’.

Функция ценности Vя представляет связный квазипорядок Я, когда Vя (у) >Vя (г) »уЯг. Условия существования таких функций ценности приведены в [3 - 5].

Определение 1. Аддитивной называется функция ценности вида ’(у) = ’1 (ух) + . + ’т(ут).

Определение 2. Структура предпочтений <2, ’> называется аддитивной, если существует аддитивная функция ценности, стратегически эквивалентная V.

Необходимым условием существования аддитивной функции ценности, представляющей связный квазипорядок, (и необходимым условием аддитивности структуры предпочтений) является взаимонезависимость критериев по предпочтению (при т = 2 необходимым является и условие соответственных замещений) [3, 4]. Если указанное условие нарушено, то структура предпочтений с функцией ценности не является аддитивной (не существует аддитивной функции ценности, представляющей квазипорядок).

3. В теории важности полагается, что все критерии однородны или приведены к таковым. Это означает, что критерии имеют общую шкалу (которая может быть всего лишь порядковой) и, в частности, у них общая область значений 20, так что множество векторных оценок 2=2^.

Пусть А, В е {1, ..., т} - два непустых непересекающихся набора номеров критериев, которым соответствуют группы критериев {/}геА и {/¿}геВ. Обозначим через уАВ векторную оценку, полученную из векторной оценки у, в которой все компоненты уI с номерами из А равны между собой и все компоненты у{ с номерами из В равны между собой (т.е./ = / при г, ] е А и при г, ] е В), заменой каждой компоненты уг, геВ, на любую компоненту уг, геА, и заменой каждой компоненты у, геА, на любую компоненту у, геВ. Например, если у = (2, 4, 4, 3, 2, 2), А = {1, 5, 6}, В = {2, 3}, то уАВ = (4, 2, 2, 3, 4, 4).

Определение 3 [6]. Группы критериев {/¿}геА и {/¿}геВ равноважны, или одинаково важны, когда векторные оценки у и уАВ одинаковы по предпочтительности.

Определение 4 [6]. Группа критериев {/}геА/ важнее группы критериев {/}геВ, когда из пары векторных оценок у и уАВ первая предпочтительнее второй, если компонента уг с номером из А больше компоненты уг с номером из В.

Отметим, что если множества А и В одноэлементны, то определения 3 и 4 говорят об упорядочении по важности отдельных критериев.

В теории важности критериев разработаны способы получения и анализа информации о важности критериев, основанные на этих определениях, и методы использования такой информации для решения многокритериальных задач. При этом предполагается, что отношение нестрогого предпочтения Я является частичным квазипорядком.

4. Следующий пример показывает, что все критерии могут быть упорядочены по важности даже в случае связного квазипорядка Я, для которого не существует представляющей его функции ценности.

Пример 1. Рассмотрим структуру предпочтений <2, Я1>, где 2 = (-да, +да)т, а Я - лексикографический квазипорядок, определяемый следующим образом:

уЯ1г»(у1 >г1)V(у1 = г1,у2 >г2)v...v(у=г). Лексикографический порядок Р определяется этим условием при у Ф г. Пусть векторная оценка (у II уi = а, у}- = Ь) (соответственно векторная оценка (у II у}-= а, уг = Ь)) получена из векторной оценки у заменой компоненты у{ числом а и компоненты у}-числом Ь (соответственно, компоненты у^ числом а и компоненты уг числом Ь). Если а > Ь и г < /, то верно (у II у г = а, у3 = Ь) Р (у II у3 = а, у г = Ь). Это, согласно определению 4, означает, что критерий/ важнее критерия/. Известно, однако, что Я нельзя представить функцией ценности [4].

5. Обратимся к случаю существования функции ценности.

Пример 2. В трехкритериальной задаче (т = 3) задана структура предпочтений <2, ’>, где 2 = 203, 20 = [1, +да), ’(у) = (у3+^)у1 + у2 + у3. Для пары векторных оценок у' = (2, 1, у3) и у" = (1, 3, у3) имеем:

если у3 = 1, то ’(у') = 5 < ’(у") = 5%; если у3 = 2, то ’(у') = 8 > ’(у") = 7‘А

Следовательно, из пары векторных оценок у', у" с равными третьими компонентами при у3 = 1 предпочтительнее вторая из них, а при у3 = 2 - первая. Таким образом, соотношение по предпочтительности между этими векторными оценками зависит от фиксированного значения компоненты у3. Это означает, что первые два критерия зависят по предпочтению от третьего, так что критерии не являются взаимонезависимыми по предпочтению. Поэтому структура предпочтений

не аддитивна.

Пусть а, Ь е 20 и а > Ь. Имеем:

’(Ь,у2,а) - ’(а, у2,Ь) = 1/2(а - Ь) > 0 ; (1)

’(у1,Ь,а) - ’(у1,а,Ь)=(а - Ь) у1 > 0; (2)

’(а,Ь,у3)-’(Ь,а,у3)=(у3 -Х)(а-Ь)>0 ; (3)

’(а,а,Ь) - у(Ь,Ь,а) = 1/2(а - Ь) > 0; (4)

у(а,Ь,а)-у(Ь,а,Ь)=(а-Ь)(а+Ь+12) >0 ; (5)

у(Ь,а,а) - ’(а,Ь,Ь)=3/2(а - Ь) > 0. (6)

Согласно определению 4:

из (1) следует, что третий критерий важнее первого; из (2) следует, что третий критерий важнее второго;

из (3) следует, что первый критерий важнее второго;

из (4) следует, что группа из первого и второго критериев важнее третьего критерия; из (5) следует, что группа из первого и третьего критериев важнее второго критерия; из (6) следует, что группа из второго и третьего критериев важнее первого критерия.

Таким образом, все непересекающиеся группы критериев, включая отдельные критерии, оказываются упорядоченными по важности.

Пример 3. Пусть в условиях примера 2 множество 20 заменено на {1, 2, 3}. Легко видеть, что все выводы, полученные в примере 1, остаются в силе.

Пример 4. В двухкритериальной задаче (т = 2) задана структура предпочтений <2, ’>, где 2 = 202, 20 = (0, +да), ’(у) = 2у1 + уу + у2. Проверим выполнение условия соответственных замещений, которое для рассматриваемой структуры предпочтений можно сформулировать следующим образом. Пусть у1 и у2 - произвольные фиксированные векторные оценки, компоненты которых удовлетворяют неравенствам у2 >у^, у2 >у2, ¿1 - положительное число, а положительные величины Е\, е2, ¿2 и £3 последовательно определяются уравнениями:

v(y1 +8, у2)=v(yl У 2 +£i); (7)

v(y\ +8, yl)=v(yí, У22 +^2); (8)

v( y2 +82,y2)=v(y2,yl +£1); (9)

v( y2 +^2,y22) = v( y2 , y2 +ез)' (10)

Тогда должно выполняться равенство s2 = s3.

Положив y1 = (1, 1), y2= (3, 3) и 81 = 1, из (7) - (10) получим: Sl = 2, s2 = 3, 82 =1, s3 = % . Поскольку s2 Ф s3, то условие соответственных замещений не выполняется, и поэтому структура предпочтений аддитивной не является. Однако для a, b е Z0 при a > b имеем: v(a,b) - v(b,a)=a - b > 0, так что, согласно определению 4, первый критерий важнее второго.

Пример 5. Пусть в условиях примера 4 функция ценности v заменена на v(y) = y2 + y1 y2 + y22. Проверим выполнение условия соответственных замещений. Для y1 = (1, 1),

y2= (5, 3) и 81 = 1 получим:

1 л/7э -7 ^0772 8 Зл/п-11 7109+12/17 -11^0794

е1 =1, е2 =—2—=0,772,82 =---2--, е3 =-------------------2-=0.794 .

Поскольку s2 Ф s3, то условие соответственных замещений не выполняется, и структура предпочтений аддитивной не является. Однако для любых чисел a, b е Z0 справедливо равенство v(a, b) = v(b, a), так что, согласно определению 3, критерии равноважны.

6. Автор считает, что в данной работе новым является выявление и доказательство того, что отдельные критерии и группы критериев могут быть упорядочены по важности (в смысле точных определений из теории важности критериев), даже если структура предпочтений с функцией ценности не является аддитивной или даже если функции ценности вовсе не существует, хотя отношение нестрогого предпочтения является связным. Это обстоятельство расширяет возможности корректного применения подходов и методов теории важности критериев к анализу прикладных многокритериальных задач принятия решений.

Литература

1. Ларичев О. И. Теория и методы принятия решений: Учебник. Изд. третье, перераб. и доп. - М.: Логос, 2006. - 393 с.

2. Подиновский В. В. Введение в теорию важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений: Учебное пособие. - М.: Физматлит, 2007. - 64 с.

3. Кини Р. Л., Райфа X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения / Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1981. 560 с.

4. Krantz D. H., Luce R. D., Suppes P., Tverski A. Foundation of measurement. V. 1. - New York: Academic Press, 1971. Р. 578

5. Фишберн П. С. Теория полезности для принятия решений // Пер. с англ. - М.: Физматлит, 1978. -352 с.

6. Подиновский В. В. Аксиоматическое решение проблемы оценки важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений // Современное состояние теории исследования операций / Под ред. Н.Н. Моисеева. - М.: Наука, 1979. С. 117 - 145.