CC BY
34
Вычислительные технологии
Том 2, № 5, 1997
К ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ В ИНТЕРВАЛЬНЫХ ЛОГИКО-ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ*
Ю. И. Шокин
Институт вычислительных технологий СО РАН Новосибирск, Россия e-mail: [email protected]
З.Х. ЮЛДАШЕВ Ташкентский государственный университет, Узбекистан
The control problem is considered in the interval logical-dynamic system serving as a structured model for multi-regime technological cycles where uncertain parameters with a given oscillation amplitude are treated for by interval methods. On the basis of the suggested interval analogue of the Bellman’s optimality principle the algorithm of construction of the optimal solution has been developed and substantiated for a certain local structure which can simulate a specific technological regime.
Известно, что современное производство отличается многоцелевым характером функционирования, многорежимностью и многостадийностью. В работах [1-13] рассмотрены вопросы моделирования подобных технологических процессов в условиях интервальной недетерминированности параметров. Наряду с проблемой адекватного моделирования другой важной производственной задачей является задача оптимального управления на всех этапах технологического цикла, решению которой и посвящена данная работа.
Пусть некоторый п-режимный производственный цикл моделируется следующей интервальной логико-динамической системой (ИЛДС):
xv = Y,L? FAvtx«. <*)■
i= 1 T^Si
x (0) = Xo, (2)
u(t) = (ui(t),u2(t), ..., un(t)) Є Q, (3)
T
Q
J С(Х(1),п{1),1)(И о
В (1)-(4) и всюду ниже будем придерживаться обозначений, принятых в [4]. Кроме того, для (1)-(4) полагаются справедливыми следующие условия единственности и полноты:
Ь( Л Ь^ = 0, ЬХ Л Ь = 0 при I = р; ЬЦ Л ЬЦ = 0 при г = р, (5)
¥© Ю.И. Шокин, З.Х. Юлдашев, 1997.
\/ь( = 1, \/ЬХ = =1 где I = {1, 2,..., п}, Бг С I, г = 1,п. (6)
ге/ ге/ ге/
Наличие в (6) условия V Щ = 1 объясняется тем, что реальный производственный
ге/
процесс характеризуется существенной нелинейностью. В то же время в (6) не приведено
условие V Ь\ = 1, так как введением новой переменной всегда можно избавиться от Ь в ге/
правой части (1).
Функция X(¿) в (1)-(4) изначально полагается интервальнозначной, поскольку недетерминированные параметры считаются учтенными методами интервального анализа уже на этапе составления ИЛДС. В рамках вещественного анализа, при наличии недетерминированных параметров, по существу речь идет об определении бесконечного множества вещественных функций х(Ь) и соответствующих управлений и(Ь). Однако функция управления и(Ь) априори полагается вещественной, так как в в условиях какой бы то ни было неопределенности необходимо принимать вполне конкретные решения.
Пусть некоторым конечным автоматом {Ар, Ах, Аи} [5] из (1)-(4) выделена следующая локальная структура, моделирующая 5-й режим (1 < в < п):
X(i) = LfF,(LJX(t), П;Щ(y), (7)
X (Ts-i) = X0‘-1, (8)
ur(i) G Qs С П, (9)
Ts
Q
G(X (i),u(i),i)di
Ts-1
где Т3-1 — момент окончания предыдущего режима, Х0-1 — состояние системы на начало в-го режима, а (Т3-1 — Та) — период функционирования в-го режима.
Функционал Q для рассматриваемых ИЛДС, например, может иметь вид
Q = !£ (X„, (i) е Y(i))2di
i=l о
11)
где е — операция вычитания интервалов по Маркову [4]. В частности, при Yi(i) = Ai = const мы имеем ситуацию необходимости воспроизведения системой некоторого набора контрольных показателей, когда задана их амплитуда колебания, выражаемая интервалами Ai.
Понятие производной [6], используемое в (1), и понятие интеграла от интервальнозначной функции [7] в (4) имеют теоретико-множественный смысл. Отсюда для (1)-(4), и в том числе и для (7)—(10), можно сформулировать интервальный вариант принципа оптимальности по Беллману [8]:
Оптимальное поведение s-й структуры обладает тем свойством, что, каково бы ни было ее первоначальное состояние или конечное состояние s-й структуры и решение в начальный момент времени, последующие решения должны составлять оптимальное поведение относительно состояния, получающегося в результате первого решения.
Под оптимальным поведением, в данном случае, понимается такое поведение системы, что ее функционирование или процесс происходит под воздействием искомого управления,
а именно, речь идет об этапе, когда найдено решение, обеспечивающее удовлетворение условий технологического регламента.
Следует заметить, что в данном случае под словом “система” понимается не система математических отношений, моделирующих технологический цикл, а совокупность коммуникаций, узлов, сырья и продукции, в том числе и промежуточной, обеспечивающих функционирование этого цикла.
Принцип оптимальности для п-го режимного производственного цикла в целом утверждает, что, если система оптимально фунционирует на этапе [Т,-2,Т,,], то оптимальным будет сам по себе и 5-й режим, для которого известно, что X(Т8) = X-1. В то же время интервальный принцип оптимальности по Беллману справедлив и для каждого подынтервала времени функционирования системы. Следует отметить, что здесь каждый раз речь идет о континуальном множестве вещественных подзадач, охватываемых одной задачей, записанной в интервальных связях.
Перейдем непосредственно к определению оптимального поведения системы и решения для 5-го режима, т. е. к определению таких X(і) и иг (і), для которых при (8) и (9) выполняется (7) и (10). Речь будет идти о некоторых интервальнозначных функциях X(і) и иг(і), таких, что X(і) С X(і) и иг(і) Є иг(і) С Иг(і), Уі Є [0,Т], где иг(і) — совокупность всевозможных управлений из П, удовлетворяющих (7) и (10).
Будем искать значения X(і) и иг(і) в точках tj = Т3-1 + ^'т5, где т3 = (Т — Т8-і)/ш8.
Пусть в (7)—(10) = ¿X = ¿и = ¿ь3 = 1, кроме того, с целью дальнейших упрощений (в
основном для избежания громоздкости в записях) положим в = 1 и договоримся индексы г и в опускать, что, в силу сформулированного принципа оптимальности, не ограничивает общности.
Пусть функция Г удовлетворяет соответствующим требованиям [4], таким, что по некоторому методу р-го порядка в точках tj могут быть определены интервалы Xj• (^' = 1, т), а функционал Q аппроксимирован таким образом, что вместо (7)—(10) получена следующая, дискретная в интервальном смысле, задача:
Xj+1 = $(Xj,uj,tj) (j = 0,m - 1), (12)
X (0) = Xo, (13)
u(t) G ür, (14)
m— 1
Q = ^ |G(Xj,Uj,tj)t| + |H(Xm)| ^ min. (15)
j=o
При этом условие (15) получено из (10) в предположении, что
T m—1
/ G(X(t),u(t), t)dt С |G(Xj,Uj,tj)t| + H(Xm) + Rq, (16)
0 j=o
где ^(Дд) = 0(тР).
Пусть нам известно Xm-1, а і Є [(т — 1)т, тт]. Выберем на этом интервале, в соответствии с принципом оптимальности, некоторые ит-1, минимизирующие <5т-1 = ІС^т-і, ит-1, іт-1 )| + |Н1, ит-1, іт-1^ 1.
Решая задачу минимизации <5т-1, по некоторому интервальному методу р-го порядка, получим интервал ит-1 Э ит-1, для которого ^(ит-1) = 0(тр). В качестве такого
метода, например, можно указать использование интервального метода Чебышева [4] для уравнения
d (G(Xm—1, um—1, tm—1
) + H (f(Xm—1, um—1, tm—1 .ш = 0 (17)
dUm— 1 ■ ( )
Ясно, что для решения последнего уравнения выполнено включение
min Rs (G(Xm—1, um—1, tm—1) + H(^(Xm—1, um—1, ^m,—1))) G Um—1, (18)
um-1^“T Xm-1——xm-1 xm-1 ^=Xm-1
где Rs — операция сужения интервальной функции [4] и оно, т. е. Um—1, зависит от Xm—1:
Um—1 Pm—1(Xm—1).
Рассмотрим интервал [(m — 2)т,тт], которому соответствует сумма
Qm—2 |G(Xm—2, um—2, tm—2) 1 + 1 G(Xm— 1, um— 1, tm— 1 )| + |H (Xm)|.
Пусть нам известно Xm—2. Тогда из принципа оптимальности следует, что лишь состояние Xm—2 и цель управления минимизация Qm—2 определяют оптимальное управление на [(m — 2)т,тт]. Так как, согласно (12), Xm—1 выражается через Xm—2, то аналогично предыдущему определим некий интервал Um—2, зависящий лишь от Xm—2 и такой, что
min Rs (G(Xm—2, um—2, tm—2) + P(^(Xm—2, um—2, tm— 2))) G Um—2 Pm—2(Xm—2)-
um- Xm-2——xm-2
xm- 2 ^=Xm- 2
Последнее включение выражает также и смысл сформулированного принципа оптимальности: применение принципа оптимальности при минимизации Qm—2 лишь к интервалу [(m — 2)т, (m — 1)т] не может дать оптимальное решение на интервале [(m —
2)т, mT ].
Таким образом, мы, предполагая известным Xm—j (j = 2, 3, ... , m), на частичном интервале времени [(m — j)т, mT] можем определить рекуррентно интервалы Um—j такие, что
min Rs (G(Xm—j, um—j, tm—j) + Pm—j (^(Xm—j, um—j, tm—j))) G Um—j —
'-m —j *xm — j
= )• (19)
Приведенные рассуждения обосновывают следующий алгоритм:
Алгоритм ІЖСЮ
1. Используя Xo, находим интервал [70, удовлетворяющий (19) при І = т.
2. Используя Ц0 и X0, по (12) при І = 0 находим X1 = Ф(X0, Ц0,і0).
3. Используя опорное значение X!, находим интервал Ц1, удовлетворяющий (19) при
І = т — 1 и, в соответствии с интервальным принципом оптимальности, гарантированно содержащий оптимальное и1 для задачи (12)—(15).
4. Действуя аналогичным образом, каждый раз по Xj определяем интервал Ц, содержащий оптимальное поведение (состояние) системы Xj+1, вплоть до Xm.
После того, как будет найдено решение, т. е. совокупность интервалов Ц (і = 0,1, ... , т — 1), мы, с учетом условия (3), можем построить подходящую функцию управления. В том случае, когда информация об управляющем воздействии на систему используется для корректировки динамики процесса, например с использованием микрокомпьютерной техники, из Ц выбираются подходящие значения. На практике и, как правило, имеют
содержательную характеристику, и поскольку мг € Ц = [Мг,мг], в качестве реального значения мг может быть взято мг (либо мг) как наименьшее (наибольшее) значение для мг. К примеру, и(£) может быть подлежащей определению величиной давления, силы тока, количеством того или иного вещества и т. п.
Предшествующие формулировке алгоритма 1М0В рассуждения могут быть приняты в смысле теоремы существования решения задачи (1)-(4). Доказательство единственности проводится стандартным образом [8], на основе интервального принципа оптимальности Беллмана. Ниже будет доказана теорема, которая обосновывает алгоритм 1М0В: будет показано, что полученные по нему интервалы включают в себя всевозможные состояния системы и соответствующие им решения, а также по ширине не превышают априори указываемых величин.
Сделаем необходимые предположения.
При описании 1М0В мы неявно предположили, что
1) правая часть (7) представляет функцию Ф(Х, У, ¿), определенную и непрерывную для всех интервалов Х и У, получаемых в соответствии с условиями (2)-(4) на промежутке [0, Т]. (В действительности Ф порождается функцией ^ и условия вычислимости Ф выражаются через эту функцию [4].)
Пусть, кроме того,
2) Ф(Х,У, ¿) монотонно по включению.
3) справедливо неравенство
и(Ф(Х,У,*)) < Ь(и(Х) + и (У)).
Теорема. Пусть справедливы условия 1)-3) и интервалы Х^-(^ = 1, т), Ц(^ = 0, т — 1) вычисляются по алгоритму 1МОБ. Тогда для любого оптимального состояния я(£) € X(¿) и и(£) 'решения задачи (7)-(11), таких, что ж(Тд-1) € Х0-1, справедливы включения
ж(^) € Х О' = 17^ (20)
м(^) € Ц (^ = 0,1 — т) (21)
и имеют оценки
и(Ц) < стр, ^ = 1,т, (22)
и(Х^) < атр + Ьи(Х0), ^ = 0,т — 1, (23)
где а, Ь, с — вещественные константы, не зависящие от т и ^.
Доказательство. Включения (20), (21) можно доказать по индукции. Действительно, при ^ = 0 имеем Х1 = Ф(Х0, [/0,£0), и так как на первом шаге по Х0 было получено Ц0,
удовлетворяющее (19), то, на основании 2), первый шаг индукции справедлив: ж(^1) € Х1,
м(^0) € Ц). _ _______
Пусть ж(^) € Х^- для ^ = 2, к и м(£г) € Ц для г = 1, к — 1, к < т. Из я(£к-1) € Хк-1,
й(^к—1) € Цк-1 и (19) следует, что и(£&) € Ц. Это, в свою очередь, на основании 2) влечет
х(^к+1) € Хк+1.
Справедливость включения (22) следует из предположения о порядке итерационного метода, используемого для определения интервалов Ц.
Поскольку формула (12) при известных Ц задает интервальный метод порядка р, мы можем считать, что и(Х^-) < а0тр + Ь0и(Х0) [9]. Отсюда получаем, что
и(Х^-) = и (Ф(Х,-Ь Ц?-1,^^--1)) < Ь (и(Х^-1) + и(Ц-1)) < Ь(а4амр + Ь0и(Х0) + С0тр) =
= Ь(а0 + С0)тр + ЬЬ0и(Х0) = атр + Ьи(Х0).
Теорема доказана.
Список литературы
[1] АБДУКАДЫРОВ А. А., ТАХИРЖАНОВ М., ЮЛДАШЕВ З. Х. Об интервальном варианте модели топочного устройства. Вычислительные технологии, 4, №13, 1995, 4-9.
[2] Абдукадыров А. А., Алимов И. И., Юлдашев З. Х. Об интервальных методах исследования логико-динамических систем. В “Вопросы кибернетики”, Ташкент, вып. 151, 1995, 65-72.
[3] ЮСУПБЕКОВ Н. Р., АБДУКАДЫРОВ А. А., ТАХИРЖАНОВ М., ЮЛДАШЕВ З. Х. Интервально-аналитические решения логико-дифференциальных уравнений. В “Ма-тем. методы в химии и хим. технологии: Сб. тез. докл. междунар. конф.”, Ч. I, Секция I, Тверь, 1995, 69.
[4] КАЛМЫКОВ С. А., ШОКИН Ю.И., ЮЛДАШЕВ З. Х. Методы интервального анализа. Наука, Новосибирск, 1986.
[5] ЖУК К. Д., ТИМЧЕНКО А. А. Автоматизированное проектирование логикодинамических систем. Наукова думка, Киев, 1981.
[6] SCHR’üDER G. Differentiation of interval functions. In “Proc. Amer. Math. Soc.”, 36, 1972, 485-490.
[7] MOORE R. F. Interval analysis. Prentice Hall, Englewood Cliffis, 1966.
[8] РОйТЕНБЕРГ Я. Н. Теория нелинейных колебаний и автоматическое регулирование.
Ч. 2, Изд-во Моск. ун-та, М., 1962.
[9] КАЛМЫКОВ С. А., ШОКИН Ю. И., ЮЛДАШЕВ З. Х. Интервальные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Учебное пособие. Изд-во Ташкентского госун-та, Ташкент, 1986.
Поступила в редакцию 11 июня 1997 г.
Правила для Авторов
1. Статья должна быть представлена в редакцию в одной из двух форм:
1.1. Два экземпляра рукописи, отпечатанных на одной стороне листа стандартного формата A4 (297x210 мм) + файлы рукописи в формате LTEX или AmS-LTEX + файлы рисунков на дискете;
1.2. Два экземпляра рукописи, отпечатанных на одной стороне листа стандартного формата A4 (297x210 мм) + электронная версия рукописи, набранная в текстовом формате Microsoft Word (RTF) + файлы рисунков на дискете.
Время прохождения издательского цикла для рукописей, представленных в форме 1.1, минимально, а для рукописей в форме 1.2 — максимально.
2. Все файлы предоставляются на дискете 3.5м формата 1440 Кбайт. Возможна пересылка файлов по электронной почте [email protected] в виде *.zip архива. Текстовые файлы и файлы TEX представляются в кодировке CP866 (MS-DOS).
3. Статья предваряется аннотацией, содержащей не более 300 знаков. На отдельной странице прилагаются на русском и английском языках название статьи, имена авторов, аннотация и ключевые слова.
4. Статья должна сопровождаться разрешением на опубликование от учреждения, в котором выполнена данная работа. В сопроводительном письме необходимо указать почтовый адрес, телефоны, e-mail автора, с которым будет вестись переписка.
5. Для каждого автора должна быть представлена (на русском и английском языках) в виде отдельного файла следующая информация:
о Фамилия, имя, отчество о место работы и должность о почтовый адрес о ученая степень и звание о год рождения
о телефоны с кодом города (дом. и служебный), факс, e-mail, URL домашней страницы о область научных интересов (краткое резюме)
6. Рекомендации по оформлению статьи в LaTeX.
Оформление статьи в LTEX 2.09 Оформление статьи в LTEX 2Є
7. Все материалы следует направлять по адресу: редакция журнала “Вычислительные технологии", Институт вычислительных технологий СО РАН, проспект Ак. Лаврентьева 6, 630090, Новосибирск, 90, Россия, Пестунову Игорю Алексеевичу (отв. секретарь) — тел.: +7(3832)343785, Митиной Галине Григорьевне (зав. РИО).
Оформление статьи в LTEX 2.09
Стиль журнала jctart.sty.
Для представления статей на английском языке используйте стиль jctart-e.sty.
Структура файла формата LaTeX должна быть следующей:
\documentstyle{jctart}
\setlength{\textwidth}{170mm}\setlength{\textheight}{240mm}
\begin{document}
\pagestyle{myheadings}
\markboth{<^ О. Фамилия автора(ов)>}{<КРАТКОЕ НАЗВАНИЕ СТАТЬИ (ДО 40 СИМВОЛОВ)>} \^^є{<НАЗВАНИЕ CTАТЬИ>\footnote{<Ссылка на поддержку (факультативно)>.}} \author{\sc{<^ О. Фамилия первого автора>}\\
\^{<Место работы первого автора>}\\[2mm]
\sc{<^ О. Фамилия второго автора>}\\
\^{<Место работы второго автора>}\\[2mm] ...}
\maketitle
\begin{abstract}
<Текст аннотации>
\end{abstract}
<Текст статьи>
\begin{thebibliography}
<Библиография (\item-список)>
\end{thebibliography}
\end{document}
<Перевод названия статьи на английский язык (или на русский, если статья на английском)> <аннотации на английский язык (или на русский, если статья на английском)>
Список литературы составляется по ходу упоминания работы в тексте и оформляется по образцу:
[1] Иванов И. И., Иванова И. И. К вопросу о вычислительных технологиях // Вычислительные технологии. 1999. Т. 11, №11. С. 1123-1135.
[2] Иванов И. И. Что такое вычислительные технологии? Новосибирск: Наука, 1995.
[3] Ivanov 1.1. Problems in computational techologies // Intern. Conf. Comput. Techs. Novosibirsk, 1988. P. 225-229.
Следует учитывать, что иллюстрации будут воспроизводиться в масштабе 1:1 с разрешением 300 dpi. Наиболее предпочтительной формой представления иллюстраций являются файлы черно-белых растровых рисунков в форматах .pcx, .bmp, .tif или векторном формате PostScript (.eps).
Иллюстрации вставляются в текст статьи с помощью следующих команд:
\begin{figure}[htbp]
\hspace*{<сдвиг рисунка по горизонтали в мм>шш}
\special{em:graph <имя файла рисунка>}
\vspace*{<BbicoTa рисунка в мм>шш}
\caption{<Подрисуночная подпись>}
\end{figure}
Оформление статьи в L-TEX 2е
Для представления статей на английском языке используйте опцию english: \documentclass[english]{jctart}.
\documentclass{jctart}
\setlength{\textwidth}{170mm}\setlength{\textheight}{240mm}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\pagestyle{myheadings}
\markboth{<^ О. Фамилия автора(ов)>}{<КРАТКОЕ НАЗВАНИЕ СТАТЬИ (ДО 40 СИМВОЛОВ)>} ^^^{<НАЗВАНИЕ СТАТЬИ>\footnote{<Ссылка на поддержку (факультативно)>.}}
\author{\sc{<И. О. Фамилия первого автора>}\\
\it{<Место работы первого автора>}\\[2mm]
\sc{<И. О. Фамилия второго автора>}\\
\it{<Место работы второго автора>}\\[2mm] ...}
\maketitle
\begin{abstract}
<Текст аннотации>
\end{abstract}
<Текст статьи>
\begin{thebibliography}
<Библиография (\iteш-список)>
\end{thebibliography}
\end{document}
<Перевод названия статьи на английский язык (или на русский, если статья на английском)> <аннотации на английский язык (или на русский, если статья на английском)>
Список литературы составляется по ходу упоминания работы в тексте и оформляется по образцу:
[1] Иванов И.И., Иванова И. И. К вопросу о вычислительных технологиях // Вычислительные технологии. 1999. Т. 11, №11. С. 1123-1135.
[2] Иванов И. И. Что такое вычислительные технологии? Новосибирск: Наука, 1995.
[3] Ivanov 1.1. Problems in computational techologies // Intern. Conf. Comput. Techs. Novosibirsk, 1988. P. 225-229.
Следует учитывать, что иллюстрации будут воспроизводиться в масштабе 1:1 с разрешением 300 dpi. Наиболее предпочтительной формой представления иллюстраций являются файлы черно-белых растровых рисунков в форматах .pcx, .bmp, .tif или векторном формате PostScript (.eps).
Иллюстрации вставляются в текст с помощью следующих команд:
\includegraphics{<имя файла рисунка>}
Instructions for Authors
1. The paper may be submitted to the editorial board in one of the following forms:
1.1. As two copies of the manuscript typed on one side of the standard A4 sheet (297x210 mm) + figures on separate sheets + file with electronical manuscript in LTEX or AmSLTEX + files with figures, created in one of the appropriate graphics formats (see below);
1.2. As two copies of the manuscript typed on one side of the standard A4 sheet (297x210 mm) + figures on separate sheets + file with electronical manuscript (saved as RTF-format) with (or without) formules + files with figures, created in one of the appropriate graphics formats (see below).
The duration of the publishing cycle for the manuscripts, submitted in the second form is the longest one and for the manuscript in the forms first - the shortest.
2. All files should be submitted on a 3.5" floppy disc (1440 Kbytes) or sent by e-mail [email protected] as a *.zip - archive. All text-files and TeX-files in Russian must be submitted in CP866 (MS-DOS) Code Page.
3. The “hard copies"must be typed neatly with a fresh black ribbon. The typing should be double-spaced
and lettered as neatly as possible. Any material that cannot be typed such as symbols and formulae should be inked carefully in black meeting the existing standards. The drawings must be printed on a laser or high-quality
ink-jet printer or drawn directly in Indian ink on a sheet of a strong (bond) white paper.
4. Each paper must be preceded by an abstract of no more than 300 characters. The title of the paper and its abstract in English should be submitted on a separate sheet accompanied by the list of the key words (not more than 20) in Russian and English as well as the AMS/ZBL classification codes.
5. Authors are required to obtain permission for the publication from the company or institution at which
the scientific results presented in the paper had been obtained. The accompanying letter should contain the communicating author, his mail address, telephone number(s), e-mail address.
6. The following information pertinent to every author have to be submitted as a separate file:
o First name, Second name, Last name o Affiliation data: Institution/Organization, Position o Scientific degree, Title o Address
o Telephone numbers, including the area code, Fax number, E-mail address, Homepage URL o Scientific Interests (Breef Curriculum Vitae)
7. Submission in LaTeX — Case (3). Recommendations.
Using LTEX 2.09 Using LTEX 2e
8. All materials should be mailed to the following address: Journal of Computational Technologies, Institute of Computational Technologies SB RAS, Academician Lavrentyev Ave. 6, Novosibirsk, 630090, Russia, Ph. D. Igor A. Pestunov — Phone +7(3832)343785, Galina G. Mitina.
Writing paper in English in LTEX 2.09
Journal style jctart-e.sty
Writing paper in Russian using L-TEX 2.09
Journal style jctart.sty.
In this case LaTeX file structure should look like this:
\documentstyle[jctart]
\setlength{\textwidth}{170mm}\setlength{\textheight}{240mm}
\begin{document}
\pagestyle{myheadings}
\markboth{<Name(s) of the author(s)>}{<SHORT TITLE (LESS THAN 40 SYMBOLS)>} \title{<TITLE OF THE PAPER>\footnote{<Name of the supporting institution (optional)>.}} \author{\sc{<Name of the first author>}\\
\it{<Affiliation of the first author>}\\[2mm]
\sc{<Name of the second author>}\\
\it{<Affiliation of the second author>}\\[2mm] ...}
\maketitle
\begin{abstract}
<Text of the abstract>
\end{abstract}
<Body of the paper>
\begin{thebibliography}
<References(\item-list)>
\end{thebibliography}
\end{document}
The list of references should only include works that are cited in the text and should be sorted in the order they appear in the text. Here is a short example of the style of references:
[1] Ivanov 1.1., Ivanova 1.1. On computational technologies. Computational technologies // 1989. V. 11, No. 11. P. 1123-1135.
[2] Ivanov 1.1. What is computational technology? Novosibirsk: Nauka, 1995.
[3] Ivanov 1.1. Problems in computational techologies // Intern. Conf. Comput. Techs. Novosibirsk, 1998. P. 225-229.
The preferred representation of figures (along with the hard copy) are the files of black and white or greyscale drawings (resolution = 300 dpi) in the raster formats (.pcx, .bmp, .tif) or as a vector graphics in Encapsulated PostScript format (.ps, .eps). File names for the figures should contain the figure number. Figure captions should be included in the text not in the figure file. The illustrations are inserted into the text by the following commands:
\begin{figure}[htbp]
\hspace*{<horizontal shift of the drawing in \special{em:graph <name of the drawing file>}
\vspace*{<height of the drawing in mm>mm}
\caption{<caption>}
\end{figure}
Writing paper in LTeX 2e
Writing paper in English use the option english:
\documentclass[english]{jctart}.
\documentclass{jctart}
\setlength{\textwidth}{170mm}\setlength{\textheight}{240mm}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\pagestyle{myheadings}
\markboth{<Name(s) of the author(s)>}{<SHORT TITLE(LESS THAN 40 SYMBOLS)>}
\title{<TITLE OF THE PAPER>\footnote{<Name of the supporting institution (optional)>.}} \author{\sc{<Name of the first author>}\\
\it{<Affiliation of the first author>}\\[2mm]
\sc{<Name of the second author>}\\
\it{<Affiliation of the second author>}\\[2mm] ...}
\maketitle
\begin{abstract}
<Text of the abstract>
\end{abstract}
<Body of the paper>
\begin{thebibliography}
<References (\item-list)>
\end{thebibliography}
\end{document}
<Russian translation of the paper title for papers in Russian>
<Abstract in Russian>
The list of references should only include works that are cited in the text and should be sorted in the order they appear in the text. Here is a short example of the style of references:
[1] Ivanov 1.1., Ivanova 1.1. On computational technologies. Computational technologies // 1989. V. 11, No. 11. P. 1123-1135.
[2] Ivanov 1.1. What is computational technology? Novosibirsk: Nauka, 1995.
[3] Ivanov 1.1. Problems in computational techologies // Intern. Conf. Comput. Techs. Novosibirsk, 1998. P. 225-229.
The preferred representation of figures (along with the hard copy) are the files of black and white or greyscale drawings (resolution = 300 dpi) in the raster formats (.pcx, .bmp, .tif) or as a vector graphics in Encapsulated PostScript format (.ps, .eps). File names for the figures should contain the figure number. Figure captions should be included in the text not in the figure file.
