CC BY
48
2013
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика и механика
№ 4(24)
МАТЕМАТИКА
УДК 512.541
С.Я. Гриншпон, М.И. Рогозинский
А-ВПОЛНЕ ТРАНЗИТИВНОСТЬ ОДНОРОДНО РАЗЛОЖИМЫХ ГРУПП1
Полностью описаны ¿-вполне транзитивные сепарабельные и однородно разложимые группы без кручения, а также ¿-вполне транзитивные вполне разложимые группы.
Ключевые слова: к-вполне транзитивность, однородно разложимая группа, сепарабельная группа, эндоморфизм.
Одним из важнейших понятий в теории абелевых групп является понятие вполне транзитивности. Это понятие было рассмотрено И. Капланским в [1] для /-групп. Для групп без кручения данное понятие впервые появилось в работе П.А. Крылова [2]. Для произвольной абелевой группы понятие «вполне транзитивность» рассматривалось в [3]. Затем оно уточнилось в [9]. При этом введенное понятие вполне транзитивной абелевой группы согласуется с рассматриваемыми ранее определениями вполне транзитивной /-группы и вполне транзитивной группы без кручения. Отметим, что понятие вполне транзитивной группы тесно связано с исследованием вполне характеристических подгрупп абелевых групп [4, 9].
В [5] Д. Кэрролл вводит понятие к-вполне транзитивной /-группы, тем самым обобщая понятие вполне транзитивности для /-групп.
Пусть О - /-группа и к е N . Группа О называется к-вполне транзитивной, если из выполнения условий для кортежей X = (х1,х2,...,хк), У = (у1,у2,...,ук) элементов группы О
(1) Н(х) < Н(у), . = 1к;
(2) кортеж X высотно независим, в том смысле, что при . Ф ], И(гх.) Ф к(&х}) для любых г, 5 е Z, кроме случая гх. = &х}- = 0,
следует существование эндоморфизма 9 е Е(О) группы О со свойством
0(х) = у., I = 1, к .
В [6] рассматривается обобщение понятия вполне транзитивности для абелевых групп без кручения.
Определение 1 [6]. Пусть О - группа без кручения и к е N . Кортеж X = (х1,х2,...,хк) элементов группы О называется /-независимым, если при . Ф ] типы t(х) и t(х■) несравнимы. Наибольшую длину /-независимого кортежа
1 Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.B37.21.0354 «Сохранение алгебраических и топологических инвариантов и свойств отображениями»; работа выполнена также в рамках темы 2.3684.2011 Томского государственного университета.
группы О назовем /-длиной и будем обозначать к( (О). В случае, если в группе О существует /-независимый кортеж длины к для всех к е N , полагаем к/ (О) = ж .
Определение 2 [6]. Пусть О - группа без кручения и к е N . Группу О назовем к-вполне транзитивной, если для любых двух кортежей X = (х1,х2,...хк), У = (У1, у2,..., ук) элементов группы О, удовлетворяющих условиям:
(1) х(х) < х(У) для любого I = 1, к ;
(2) кортеж X является /-независимым,
следует существование эндоморфизма 9 группы О со свойством 9(х,)=у. (,=1,к).
При к = 1 получаем понятие вполне транзитивности. Ясно также, что при к > к (О) группа О является к-вполне транзитивной по определению. В частности, при к > 1 всякая однородная группа (в том числе любая делимая группа без кручения и группа без кручения ранга 1) является к-вполне транзитивной.
Везде далее в тексте под словом «группа» будем подразумевать абелеву группу без кручения.
Заметим, что условие /-независимости исключает возможность равенства элементов кортежа нулю.
В [6] показано, что в определении 2 условие /-независимости кортежа X нельзя заменить условием линейной независимости. Однако для к-вполне транзитивных групп имеет место следующая связь:
Теорема 3. Пусть к > 2 и О - к-вполне транзитивная группа. Тогда всякий /независимый кортеж длины к является линейно независимым.
Доказательство. Пусть группа О - к-вполне транзитивна для некоторого к > 2 и кортеж X = (х1,х2,...,хк) - /-независим. Предположим, что кортеж X линейно зависим. Тогда существуют целые щ,т2,...,тк , не все равные нулю, такие, что т1 х1 + т2 х2 +... + ткхк = 0 (*). Пусть т}- Ф 0(1< ] < к). Рассмотрим кортеж
У = (УиУ2,...,Ук^ где у, = х при .Ф]иУ] = 2х}. Ясно что х(х)<х(у,)0 =1к).
Тогда, в силу к-вполне транзитивности группы О, существует 9 е Е(О), такой,
что 9(х,) = у, (, = 1,к). Подействуем эндоморфизмом 0 на обе части равенства (*).
к
Получим 9 (т1 х1 + т2 х2 +... + ткхк) = ^ т,у1 = ^ т1 х, + 2т] х] = 0 . Перепишем
,=1 , * ]
данное равенство в следующем виде: (т1 х1 + т2х2 +... + ткхк) + т^х^ = 0 (**).
Учитывая равенство (*), получаем, что х] = 0 , что противоречит /-независимости
кортежа X. Таким образом, кортеж X линейно независим. ■
Следствие 4. Группа без кручения О конечного ранга не является к-вполне транзитивной для всех к, удовлетворяющих неравенству г (О) < к < к/ (О).
Доказательство. Для группы конечного ранга длина линейно независимого кортежа не превосходит г (О). Для к-вполне транзитивной группы, в силу теоремы 2, всякий /-независимый кортеж является линейно независимым. Следовательно, при г (О) < к < к (О) в группе О не существует /-независимого кортежа, который бы являлся линейно независимым, то есть группа О в таком случае не является к-вполне транзитивной. ■
Теорема 5. Группа О к-вполне транзитивна для некоторого к > 1 тогда и только тогда, когда к-вполне транзитивна ее редуцированная часть.
Доказательство. Необходимость очевидна, поскольку прямое слагаемое к-вполне транзитивной группы само к-вполне транзитивно [7].
Достаточность. Пусть к > 1 и О = Я © Б , где Я - редуцированная часть группы О, Б - делимая часть. Пусть также группа Я - к-вполне транзитивна. Рассмотрим кортежи X = (х1,х2,...,хк), У = (у1,у2,...,ук), удовлетворяющие условиям определения 2. Имеем х, = г, + di; у, = г, + ё ■ , где г,,г. е Я; di, ё- е Б (, = 1,к). Понятно, что х(х,) = х(г) и х(у,) = Х(г/). Таким образом, условия определения 2 выполнены для кортежей XR = (г1,г2,...,гк), УЯ = (г1',г2',...,гк'), а значит, в силу к-вполне транзитивности группы Я, существует фе Е(Я), такое, что ф(гг) = г/ (, = 1, к). Рассмотрим подгруппу Н группы Я, порожденную элементами г1,г2,...,гк . Поскольку кортеж XR - /-независим, то по теореме 2 он линейно независим. Тогда Н = (гх) ©(г2) ©... ©(гк). В силу того, что Н - свободная абелева группа, всякое отображение а множества Xя в любую абелеву группу А продолжается до гомоморфизма у: Н ^ А [8, теорема 14.2]. Значит, отображение а : XЯ ^ Б , где а(г) = ё, (, = 1, к), продолжается до гомоморфизма у: Н ^ Б, т.е. для любого элемента НеН , к = т1г1 + т2г2 +... + ткгк , получаем у(Н) = тё + т2ё2 +... + .
Поскольку группа Б инъективная, гомоморфизм у может быть продолжен до гомоморфизма с группы Я в группу Б [8, с. 119].
Итак, существует гомоморфизм ст е Нот(Я; Б), такой, что ст(г) = ё ■ . Рассмотрим эндоморфизм 0 группы О, действующий по правилу 9(г + ё) = ф(г) + ст(г), где
г е Я, ё е Б . Тогда получим, что 9(х,) = 9(г, + ё,) = ф(г,) + ст(г,) = г/ + ё, = у,.
Следовательно, О также к-вполне транзитивная группа. ■
Учитывая аналогичный результат для вполне транзитивных групп [9], далее будем рассматривать только редуцированные группы.
Рассмотрим к-вполне транзитивные однородно разложимые группы. Напомним, что группа О называется однородной, если все элементы группы О имеют один и тот же тип [10]. Группа О называется однородно разложимой, если ее можно представить в виде прямой суммы однородных групп [10].
Сгруппировав однородные компоненты одного и того же типа, для однородно разложимой группы получим каноническое разложение О = © О/, где Т -
/еТ
некоторое множество типов, О/ - однородная группа типа /. Обозначим для всякого Т с Т ОТ = © О, с О . Тогда, в частности, ОТ = О; Ош = О/. Так-
1 /еТ1 ‘ ’
же, для всякого элемента g е О однородно разложимой группы обозначим 1Т (g) = е Т; п (g) * 0}, где п - проекция на прямое слагаемое О/.
Пусть Р = {д,р2,...,рп,...} - множество всех простых чисел, упорядоченных по возрастанию. Для произвольной группы без кручения О обозначим множество
п(О) = {р, е Р; р,О * О}.
Тип / = (х1,х2,. .,Хп,.) назовем р,-делимым для некоторого простого р, е Р , если соответствующая координата типа / х, = ж. Тип / делимый, если он р,-делимый для всех р, е Р .
Напомним, если ^ = (а!,...,ап,...), /2 = (Р^...,Рп,...), то ^ • /2 = (Х1,Х2,...,Xп,...), где х, = а, +Р,- и бесконечность плюс нечто есть бесконечность [10].
Определение 6 [4]. Будем говорить, что однородно разложимая группа
О = © О. удовлетворяет условию контрастности для типов, если для всяких
/еТ
двух типов /1, /2 е Т, /1 * /2 и любого простого числа р, такого, что
рО * О , имеет место рО = О .
Теорема 7 [4]. Однородно разложимая группа О = © О, вполне транзитивна
/еТ
тогда и только тогда, когда каждая однородная компонента ее канонического разложения вполне транзитивна и О удовлетворяет условию контрастности для типов. Предложение 8. Однородно разложимая редуцированная группа О = © О/
/еТ
удовлетворяет условию контрастности для типов тогда и только тогда, когда для любых различных типов /1, /2 е Т тип /1 • /2 - делимый.
Доказательство. Необходимость. Рассмотрим произвольные различные типы /1,/2 е Т . Рассмотрим множества п(О^) = {р, е Р; р,О^ * О^ };
л(О^) = {pi е Р; р-О^ * О^}. Поскольку группа О редуцированная, множества л(О^), л(О^) не пусты. Из выполнения условия контрастности для типов следует, что р^О^ = О^; р,2О^ = О^ для всех р, ел(О^ )(] = 1,2). Таким образом, если /1 = (а1,...,ап,...), /2 = (Р1,...,Рп,...), то для всех р, еп(О/1) Р, = ж и для всех р^ е л(О^) а, = ж. Тогда /1 • /2 = (ж,ж,...,ж,...), то есть /1 • /2 - делимый тип.
Достаточность. Пусть /1,/2 е Т, /1 = (а1,...,ап,...), /2 = (Р1,..., Рп,...). По условию /1 • /2 = (ж, ж,..., ж,...). Рассмотрим непустые множества
п(О)={р,е Р; р,Оч * О}; л(°2) ={р,е Р; р°2 * О/2}. Если р^е п(О), то
а, * ж , а значит, р,- = ж, и наоборот, если р^ е п(О(), то р,- * ж и а, = ж .
Другими словaми, рч О/2 = О/2; р,2 Ок = О/1. ■
Семейством Шпернера множества Е [11] называется семейство подмножеств Е множества Е, в котором ни один элемент не является подмножеством другого. Другими словами, если X, У е Е, то X С У и У С X .
Теорема Шпернера [11]. Для любого семейства Шпернера Е подмножеств конечного множества, состоящего из п элементов, справедливо |Е| < Ст, где
, причем верхняя оценка для |Е| достижима.
Предложение 9. Пусть G = © Gt - однородно разложимая редуцированная
teT
группа. Если G удовлетворяет условию контрастности для типов, то для любых подмножеств T1, T2 с T, образующих семейство Шпернера множества T, типы
inf t и inf t несравнимы.
teT1 teT2
Доказательство. Пусть Tj, T2 с T такие, что Tj С T2 и T2 С Tj . Выберем tj e Tj \ T2 и t2 6 T2 \ T1 . При этом, поскольку G - редуцированная группа, множества n(Gt) и n(Gt) не пусты. Пусть pt e n(Gt), e n(Gt ). Тогда из выполнения условия контрастности для типов следует, что для всех t 6 T, t Ф tj, Pij £n(Gt), j = 1,2.
Отметим также, что n(GT ) = U n(Gt). Получаем, что p, en(Gt ) cn(GT ),
j teT; 1 1 1
за-
P,, £ n(GT2) и P,2 6 n(Gt2) c n(GT2 X P,2 £ n(GT1).
Если теперь обозначить tT = inf t = (a1,...,an,...) и tT = inf t = (P1,...,P„,...)
teT t6T2
ключаем, что a, Ф ж, P, = ж и P, Ф ж, a, = ж. То есть типы inf t и inf t несрав-
!1 h ,2 ,2 teT1 teT2
нимы. ■
Предложение 10. Пусть G = © Gt - однородно разложимая редуцированная
teT
группа. Если О удовлетворяет условию контрастности для типов, то к{ (О) = с при |Т| = п и к( (О) = ж при |Т| > К0 .
Доказательство. Заметим, что для /-независимости кортежа X = (х1,...,хк) необходимо, чтобы множества 1Т (х) образовывали семейство Шпернера. Действительно, если для некоторых х, х}- выполнено 1Т (х) с 1Т (х}-), то /(х) > /(х}-).
По теореме Шпернера, максимальная мощность семейства Шпернера в случае
|Т| = п равна к = с„ • То есть, если |Т| = п , то во множестве Т существует семейство Шпернера из к элементов. Пусть {Ті; і = 1,к} такое множество. Рассмотрим кортеж X = (х1, х2,..., хк), где 1Т (х) = Т (і = 1, к) • Из предложения 9 следует, что кортеж X - /-независим. Из теоремы Шпернера следует также, что семейства Шпернера большей мощности в группе О не существует, следовательно, не существует /-независимого кортежа, состоящего более чем из к элементов.
Если же |Т| > К0, то для всякого к є N в качестве /-независимого кортежа
можно взять кортеж X = (gtl, gt2,•••, gtt), где gt. є Оу (у = 1, к). ■
Замечание 11. Учитывая, что п < С'п J для любого п > 1, получаем, что для однородно разложимой группы О = © О( справедлива оценка к1 (О) > |Т|, если Т
конечно.
П
Замечание 12. Как следствие из предложения 10, для вполне разложимой
группы ранга п получаем верхнюю оценку /-длины к (О) < сп .
Замечание 13. В предложениях 9 и 10 группы удовлетворяют условию контрастности для типов, но не обязаны быть вполне транзитивными.
Следует отметить, что во вполне транзитивной однородно разложимой группе, в силу выполнения условия контрастности для типов, каждое однородное слагаемое О/ является вполне характеристической подгруппой.
Предложение 14. Если однородно разложимая группа О = © О/ вполне тран-
/еТ
зитивна, то для любых элементов а, Ь е О из %(а) < %(Ь) следует 1Т (Ь) с 1Т (а).
Доказательство. Пусть а, Ь е О и %(а) < %(Ь). Из вполне транзитивности группы О следует существование 9 е Е(О), такого, что 9(а) = Ь .
Получаем Ь = 9(а) = 9( X а) = X 9(а() е © О/, то есть 1Т (Ь) с 1Т (а). ■
/е/т ( а ) /е/т (а ) /Е/т ( а)
Теорема 15. Пусть О = © О/ - однородно разложимая группа, причем |Т| > 2 .
/еТ
Если О вполне транзитивна, то О не является к-вполне транзитивной для всех
1 < к < к (О).
Доказательство. Пусть |Т| >К0 и к > 1. По предложению 10 к(О) = ж . Рассмотрим кортежи X = (х1,х2,...,хк) и У = (у,у2,...,ук), где хг = gt + g/ ,
у = g/2, У2 = 2g/2, у у = ху, gt¡ е О^ (г = 1, к; у = 3, к). Поскольку группа О вполне
транзитивна, О удовлетворяет условию контрастности для типов. Тогда из предложения 9 следует, что кортеж X - /-независим. Ясно также, что условие (1) определения 2 выполнено. Предположим, что О - к-вполне транзитивна. Тогда существует 9 е Е(О), такой, что 9(хг) = уг (г = 1, к). Рассмотрим подробнее эти равен-
= 9g/ + 9g/ = у2 = 2g^ . Поскольку каждая однородная компонента О/ является
вполне характеристической подгруппой группы О, из приведенных равенств следует, что 9g/2 = g/2 и 9g/2 = 2g/2. Приходим к противоречию.
Пусть теперь |Т| = п . Из предложения 10 следует, что к( (О) = Сп . Если
та аі, а у є О , такие, что ІТ (аі) П1Т (а у) /0. Зафиксируем такой кортеж А = (а1,а2,...,ак), где аі є О (і = 1,к).
сгм. Имеем 9(х) = 9(gtl + gt2) = 9gtl + 9^ = у = gt2 и 9(х2) = 9(gh + gh)
п
п < к < сп ^, то во всяком ^независимом кортеже (а1,...,ак) найдутся два элемен-
Пусть I е 1т (аг) П1Т (ау), аг = g¡ + аг, а;. = // + а;., где g¿■, // е О?,
? й(/т(а)и 1Т(ау)). Построим кортежи X = (х1,х2,...,хк), У = (у1,у2,...,ук) следующим образом.
Полагаем ут = хт = ат при т / і, т / у ; хі = gt + аі, х;. = gt + а у,
у = gt, уу = 2gt, где gt є О?. Из построения следует, что кортежи удовлетворяют
условиям определения 2. Предположим, что О - к-вполне транзитивная группа. Тогда существует 9єЕ(О), такой, что 9(хі) = уі (і = 1,к). Получаем, что
9(хі) = 9Й + 9(аі) = Уі = gt и 9(ху) = 9gt + 9(ау) = У] = 2gt • Но тогда 9gt = gt из
первого равенства и 9gt = 2gt из второго. Приходим к противоречию.
Осталось рассмотреть случай к < п. Рассмотрим кортежи X = (xl,х^..,хкX У = (уиУ2,•••,Ук), где х, = gti. + gti.+1, хк = gtk + gt1, У1 = gt2, У2 = 2gt2, Уу = ху, gt¡ є о/. , gtk є Оtk (і = 1, к -1; у = 3, к). X, У удовлетворяют условию (1) определения 2, кортеж X является /-независимым по предложению 9. Предполагая, что О - к-вполне транзитивна, получаем, что существует 9 є Е(О),
такой, что 9(хі) = уі (і = 1, к). Из первых двух равенств, аналогично случаю |Т >К0, приходим к противоречию. ■
Теорема 16. Однородно разложимая группа О = © О/ является к-вполне тран-
/єТ
зитивной для всех к є N тогда и только тогда, когда О удовлетворяет одному из двух условий:
(I) О - однородная вполне транзитивная группа;
(II) О = О( © О^ , где О^, О^ - вполне транзитивные группы и /1 • /2 - дели-
мый тип.
Доказательство. Необходимость. Пусть О = © О/ к-вполне транзитивна для
/єТ
всех к є N . Тогда, в частности, О вполне транзитивна и 2-вполне транзитивна. Из теоремы 15 и 2-вполне транзитивности группы в следует, что |Т| < 2. Если |Т = 1, получаем случай (I). Пусть |Т| = 2, то есть О = О^ © О^ . Тогда каждая однородная компонента О(, О^ вполне транзитивна и из вполне транзитивности группы О и предложения 8 следует, что /1 • /2 - делимый тип.
Достаточность. В случае (I) получаем, что группа О вполне транзитивна и к/ (О) = 1, то есть О к-вполне транзитивна для всех к > 1.
Пусть О = О( © О^ , причем О( , О^ - вполне транзитивные группы и /1 • /2 -
делимый тип. Из предложения 8 следует, что О удовлетворяет условию контрастности для типов, то есть О - вполне транзитивная группа. Ясно также, что к/ (О) = 2 , то есть О - к-вполне транзитивна для всех к > 2 .
Докажем, что О - 2-вполне транзитивна. Рассмотрим кортежи X = (х1, х2); У = (Уі,У2), удовлетворяющие условиям определения 2. Поскольку типы / (х) и / (х2) несравнимы, то, не умаляя общности, можно считать, что / (х1) = /1 и /(х2) = /2. Из предложения 14 получаем также, что /(у1) = /1 и /(у2) = /2. Таким образом, х, Уі є О/, и х(х) < х(Уі) (і = 1,2).
Поскольку группы О( вполне транзитивны (г = 1,2), существуют 9г е Е(О/), такие, что 9г (хг) = уг (г = 1,2). Рассмотрим эндоморфизм 9еЕ (О), 9 = 91п^ +92л^ , где п/ - проекция на прямое слагаемое О/ . Получаем тогда: 9(хг) =9гп/ хг =9гхг = уг (г = 1,2). Таким образом, искомый эндоморфизм найден,
то есть О - 2-вполне транзитивная группа. ■
Напомним определение однородно сепарабельной группы. Абелева группа О без кручения называется однородно сепарабельной [4], если существует такое семейство С однородных прямых слагаемых этой группы, что каждое конечное множество элементов группы О можно вложить в прямое слагаемое этой группы, являющееся прямой суммой некоторых групп семейства С. Заметим, что однородно сепарабельными группами являются, в частности, вполне разложимые группы без кручения, сепарабельные группы без кручения, однородно разложимые группы.
Учитывая, что однородно сепарабельная вполне транзитивная группа является однородно разложимой [4], получаем
Теорема 17. Однородно сепарабельная группа О - к-вполне транзитивна для всех к е N тогда и только тогда, когда О - однородная вполне транзитивная группа или О представима в виде О = О( © О^ , где О( , О^ - однородные вполне
транзитивные группы различных типов /1, /2, причем /1 • /2 - делимый тип.
Учитывая, что однородная сепарабельная группа является вполне транзитивной [4], для сепарабельных групп получаем такой результат:
Теорема 18. Сепарабельная группа О - к-вполне транзитивна для всех к е N тогда и только тогда, когда О - однородная группа или О представима в виде прямой суммы двух однородных групп различных типов /1, /2, причем /1 • /2 - делимый тип.
Для вполне разложимых групп критерий к-вполне транзитивности для всех к е N можно представить в следующем виде:
Теорема 19. Пусть О - вполне разложимая группа и О = © О/ - ее канониче-
/еТ
ское разложение. Эквивалентны следующие утверждения:
Группа О к-вполне транзитивна для всех к е N ;
О - однородная группа или О = О( © Ох , причем /1 • /2 - делимый тип;
О удовлетворяет условию контрастности для типов и к/ (О) < 2 ;
О удовлетворяет условию контрастности для типов и |Т| < 2 ;
О удовлетворяет условию контрастности для типов и для любых элементов
а, Ь е О с несравнимыми типами справедливо 1Т (а) П1Т (Ь) = 0 .
Доказательство. Эквивалентность условий I и II следует из теоремы 16.
Из предложения 8 также следует эквивалентность условий II и IV.
Покажем эквивалентность условий III и IV. Пусть О удовлетворяет условию контрастности для типов и |Т| < 2 . Если |Т| = 1, по предложению 10 получаем, что
Г11
к{ (О) = С-2 ^ = С° = 1. Если же |Т| = 2, то к{ (О) = С = 2. В обоих случаях получаем, что к( (О) < 2 .
Обратно, пусть к/ (О) < 2 . Из замечания 11 следует, что 2 > к/ (О) > |Т| , то есть |Т| < 2.
Осталось показать эквивалентность условий I и V.
I ^ V. Пусть О - к-вполне транзитивная группа для всех к е N . Тогда из вполне транзитивности группы О следует выполнение условия контрастности для типов.
Пусть а, Ь е О и тип /(а) несравним с типом /(Ь). Предположим, существует / е 1т (а) П1Т (Ь). Тогда имеют место разложения а = а/ + а; Ь = Ь/ + Ь , где а/,Ь е О/ и / £ 1Т (а) и 1Т (Ь). Рассмотрим кортежи следующего вида: X = (ху + а; у у + Ь); У = (х;. ;2у;), где ху, уу е Лу с О/, г (Лу) = 1.
Поскольку / (ху) = / (у у) = / (Лу) = / (О/) = / (а/) = / (Ь/), получаем, что тип / (ху- + а) несравним с типом / (у у + Ь). Таким образом, кортежи Х,У удовлетворяют условию определения 2. Так как О является, в том числе, 2-вполне транзитивной, существует 9 е Е (О), такое, что 9( ху + а) = ху и 9( у у + Ь) = 2 у у (*).
Поскольку ху, у у е Лу, найдутся т, п е Z , такие, что тху- = пу;- (**).
Из вполне транзитивности группы О следует, что каждая однородная компонента канонического разложения О/ является вполне характеристической. Тогда из равенства (*) следует, что 9( ху) = ху и 9(у;-) = 2 у у. Учитывая (**), получаем тху = 9(тху) = 9(пу;-) = 2пуу, что противоречит (**). Таким образом, выполнение
второго условия пункта V также доказано.
V ^ I. Пусть условия пункта V выполнены. Тогда получаем, что О является вполне транзитивной. Осталось показать к-вполне транзитивность группы О при к > 1.
Пусть к > 2 и кортежи X = (х1,...,хк); У = (у1,...,ук) удовлетворяют условиям определения 2. Из /-независимости элементов кортежа X и пункта V теоремы следует, что при г ф у 1Т (хг) П1Т (ху) = 0 . В силу того, что х(хг) < х(уг), группа О
вполне транзитивна, из предложения 11 следует, что 1Т (уг) с 1Т (хг). Тогда группу О можно представить следующим образом: О = © Ог ©( © О/), где
г=1 \/еТ )
~ —к _
Ог = © О/, Т = Т \( и 1Т (хг)). Группы Ог также вполне транзитивны, поэтому
/е1т (х) г =1
существуют 9г е Е(Ог-), такие, что 9г- (хг) = у. (г = 1, к). Рассмотрим эндоморфизм
9 е E(G), действующий по правилу: для всякого элемента g е G полагаем
k
9( g) = 9( Z g] ) = Si Z 9- (gt)) • Тогда очевВДНо, что 9( x) = 9г (x) = У
\jel (g) / i=1 \ teIT (g )П1г (x) /
(i = 1, к) • Таким образом, G - к-вполне транзитивная группа. ■
ЛИТЕРАТУРА
1. Kaplansky I. Infinite Abelian Groups. Ann Arbor: Univ. of Michigan Press, 1954.
2. Крылов П.А. О вполне характеристических подгруппах абелевых групп без кручения // Сб. аспирантских работ по матем. Томск, 1973. С. 15-20.
3. Гриншпон С.Я., Мисяков В.М. О вполне транзитивных абелевых группах // Абелевы группы и модули. - Томск, 1986. - С. 12-27.
4. Гриншпон С.Я. Вполне транзитивные однородно сепарабельные группы // Матем. заметки. 1997. № 62. С. 471-474.
5. CarrollD. Multiple transitivity in abelian groups // Arch. Math. 1994. V. 63. P. 9-16.
6. Рогозинский М.И. О k-вполне транзитивности вполне разложимых абелевых групп без кручения // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2012. № 4 (20). С. 25-35.
7. Рогозинский М.И. k-вполне транзитивные абелевы группы без кручения // Современные проблемы математики и механики: материалы II Всерос. молод. науч. конф. Томск, 2011. С. 41-44.
8. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т. 1.
9. Гриншпон С.Я. Вполне характеристические подгруппы абелевых групп и вполне транзитивность // Фундамент. и прикл. матем. 2002. Т. 8. № 2. С. 407-473.
10. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1977. Т. 2.
11. EngelK. Sperner Theory. Camb. Univ. Press, 1997.
12. Добрусин Ю.Б. О продолжениях частичных эндоморфизмов абелевых групп без кручения // Абелевы группы и модули. Томск, 1986. Вып. 4. С. 36-53.
13. Крылов П.А. Сильно однородные абелевы группы без кручения // Сиб. матем. журн. 1983. Т. 24. № 2. С. 77-84.
14. Крылов П.А. Вполне транзитивные абелевы группы без кручения // Алгебра и логика. 1990. Т. 29. № 5. С. 549-560.
15. Крылов П.А., Чехлов А.Р. Абелевы группы без кручения с большим числом эндоморфизмов // Тр. ИММ УрО РАН. 2001. Т. 7. № 2. С. 194-207.
16. Чехлов А.Р. О разложимых вполне транзитивных группах без кручения // Сиб. матем. журн. 2001. Т. 42. № 3. С. 714-719.
17. Чехлов А.Р. Об одном классе эндотранзитивных групп // Матем. заметки. 2001. Т. 69. № 6. С. 944-949.
Статья поступила 02.04.2013 г.
Grinshpon S. Y, Rogozinsky M. I. k-FULL TRANSITIVITY OF HOMOGENEOUSLY DECOMPOSABLE GROUPS. In this article we introduce the concept of k-full transitivity for torsion free abelian groups. A complete description of k-fully transitive separable and homogeneously decomposable groups, as well as of k-fully transitive completely decomposable groups is presented.
Keywords: k-full transitivity, homogeneously decomposable group, separable group, endomorphism
GRINSHPON Samuil Yakovlevich (Tomsk State University)
E-mail: [email protected]
ROGOZINSKY Mikhail Ivanovich (Tomsk State University)
E-mail: [email protected]
