CC BY
58
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ
О.В. РЕПЕЦКИЙ
проректор по международной деятельности Байкальского государственного университета экономики и права, доктор технических наук, профессор, г. Иркутск
e-mail: [email protected]
БУЙ МАНЬ КЫОНГ
аспирант Байкальского государственного университета
экономики и права, г. Иркутск e-mail: [email protected]
К ВОПРОСУ ВЫБОРА ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА АНАЛИЗА НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ОЦЕНКЕ МНОГОЦИКЛОВОЙ УСТАЛОСТИ ЛОПАТОК ТРАНСПОРТНЫХ ТУРБОМАШИН
Дан краткий обзор преимуществ и недостатков традиционных подходов, используемых при анализе напряжений в лопатках турбомашин методом конечных элементов, и показано применение нового метода анализа напряжений для оценки многоцикловой усталости лопаток транспортных турбомашин в реальных режимах работы двигателей. Полученные по разработанному новому методу результаты сравниваются с результатами по методам традиционного анализа. Также предложены рекомендации по использованию данного метода анализа напряжений при оценке усталостной долговечности лопаток транспортных турбо-машин во всех режимах работы двигателей.
Ключевые слова: турбомашины, усталостная прочность, метод конечных элементов.
УДК 336.71 ББК 65.262
O.V. REPETSKIY
Vice Rector for International Relations, Doctor of Science in Engineering, Professor of Baikal National University of Economics and Law, Irkutsk
e-mail: [email protected]
BUI MAN' KYONG
post-graduate student of Baikal National University of Economics and Law, Irkutsk
e-mail: [email protected]
ON THE CHOICE OF NUMERICAL METHOD FOR ANALYZING STRESS IN THE ESTIMATION OF TURBOMACHINE BLADE HIGH-CYCLE FATIGUE
The authors give a brief overview of advantages and disadvantages of traditional approaches to estimation of stress in turbomachine blades using finite-element method and describe the use of a new method of analyzing stress in the estimation of high-cycle fatigue of turbomachine blades for real engine operating conditions. The results obtained with the new method are compared to the results obtained with some traditional analysis methods. There are also some recommendations for the use of this method of stress analysis for turbomachine blade high-cycle fatigue estimation under all engine operating conditions.
Keywords: turbomachine, fatigue strength, finite-element method.
Методы анализа изменения напряжений во времени. Исходной информацией для определения расчетной долговечности лопатки турбомашины является измене-
ние напряжений во времени, или спектральная плотность мощности напряжений [3; 5; 6], в наиболее опасной точке лопатки. Для расчета этого изменения тради-
© О.В. Репецкий, Буй Мань Кыонг, 2010
ционно требуется решить задачу вынужденных колебаний (уравнение (1) или его разновидность) для всех режимов работы двигателей: разгон, стационарная часть, торможение:
[М]{<5> + [С + [К]{5> = {F(t)}, (1)
где {5} — вектор узловых перемещений для всей конструкции; {(5}, — векторы ускорений и скоростей узловых точек конструкции; {F(t)} — вектор эквивалентных узловых сил для всей конструкции; [К], [С], [М] — матрицы жесткости, демпфирования и масс всей конструкции.
Измерения
Вход нагрузок
F(f).j = 1...п
Моделирование
Квазистатический анализ
Временная область
Методы анализа напряжения
Динамический анализ
FFT / PSD нагрузок
Статический анализ МКЭ (часто для единичной нагрузки)
Передаточная
функция Нагружение-напряжение
Анализ собственных частот и форм колебания
Временная область
Область частоты
Метод прямого интегрирования уравнений динамики
Метод суперпозиции мод
Сокращенный метод
Изменение напряжений во времени
(Быстрое преобразование Фурье)
Обратное преобразование Фурье
Метод ковариационного анализа
Метод случайного колебания
Спектральная плотность мощности напряжения
Гипотезы накопления усталостных повреждений (Palmgren-Miner Menson, Haibach, Серенсен-Козлов и др.)
Схематизация нагружения
По методу экстремумов По методу максимумов По методу минимумов По методу размахов По методу полных циклов По методу пересечений По методу «дождя» и др.
Метод долговечности по напряжениям
Метод механики разрушения
Метод долговечности по деформациям
Методы виброусталости (Dirlik, Wirching, Bishop and Zhihua и др.)
Свойства материала
Рис. 1. Обзор процесса анализа напряжений и усталостной долговечности лопаток и других деталей турбомашин
На практике существуют разные подходы к решению уравнения (1) и его разновидностей. Типичными методами являются: метод прямого интегрирования уравнений динамики (полный метод), сокращенный метод, метод суперпозиции мод [1], метод случайных колебаний [6] и метод ковариационного анализа [8]. На рис. 1 показаны процесс и методы, которые могут быть использованы для анализа напряжений и оценки усталостной долговечности лопаток и других деталей турбомашин.
Метод прямого интегрирования уравнений динамики работает во временной области (см. рис. 1) для некоторых подходов, например методы Newmark или ННТ [4; 7; 9]. Результаты перемещений после каждого временного периода получаются методом прямого интегрирования уравнений динамики, поэтому полный анализ выполнен для каждого временного шага, а расчет матриц жесткости, демпфирования и масс нужно выполнять один раз. Метод прямого интегрирования уравнений динамики имеет следующие преимущества: наиболее прост в использовании, так как не нужно заботиться ни о выборе главных степеней свободы, ни о получении форм собственных колебаний; использует полные матрицы, поэтому нет необходимости применять аппроксимации матрицы масс; может работать с несимметричными матрицами; вычисляет все перемещения и напряжения за один проход. К недостаткам метода можно отнести то, что он обычно более «дорогой» по сравнению с другими по времени расчета.
Сокращенный метод может работать как во временной области, так и в области частоты (см. рис. 1). Данный метод позволяет уменьшить размер задачи путем использования мастер-степени свободы и сокращения размера матриц. После того как вычислены мастер-степени свободы (главные), решение восстанавливается до полного набора степеней свободы. Достоинства метода таковы: быстрее по времени выполнения расчета полного метода; могут быть учтены предварительные напряжения. Недостатки метода: на первом шаге вычисляются только мастер-степени свободы; для нахождения полного набора степеней свободы требуется второй расчетный шаг; все нагрузки должны быть приложены к выбранным мастер-степеням свободы, что ограничивает применение по-
верхностных и объемных нагрузок; нагрузки на элементы (давление, температура и т.д.) не используются.
Метод суперпозиции мод использует формы собственных колебаний (собственные векторы) для того, чтобы определить отклик конструкции. Этот метод может работать во временной области или в области частоты (см. рис. 1). Достоинства метода таковы: быстрее и экономнее сокращенного и полного методов для большинства задач; нагрузки на элементы могут быть учтены; позволяет получить решение, сгруппированное около собственных частот конструкции, и точнее построить кривую зависимости отклика от частоты; могут быть учтены предварительные напряжения; позволяет учитывать модальное демпфирование (коэффициент демпфирования как функция частоты). Недостатком метода суперпозиции мод является невозможность учета заданных напряжений.
В общем случае, на стадии проектирования, нелегко решить уравнение (1) для всех режимов работы двигателей (см. рис. 2). Это связано с тем, что для того чтобы решить уравнение (1), требуется уточнить компоненты матриц масс, жесткости и демпфирования, действие внешних нагрузок в процессе работы двигателей, кроме этого, нужно учитывать, что реальные режимы работы двигателей очень сложны. Например, на рис. 2 приведен график работы двигателя, установленного на пассажирском самолете [2]. Дополнительно к вышеперечисленным проблемам следует понимать, что свойства и характеристики колебаний лопатки в процессе работы двигателей изменяются из-за температуры и скорости вращения. Поэтому полученные при решении уравнения (1) результаты всегда являются приближением. Если мы признаем результаты приближенного решения, то можно использовать другой метод — метод квазистатического анализа, который основывается на результатах статического анализа. Он позволяет легко анализировать усталостную прочность лопатки в соответствии со всеми режимами работы двигателей на стадии проектирования и быстро получить результаты анализа долговечности на основе результатов статического анализа и изменения действия внешних нагрузок во времени. Этот метод представлен в работе [5]. Сущность метода сводится к следующему.
Очевидно, что если мы рассчитываем линейную конструкцию, то отклик конструкции должен быть линейным. Это значит, что отклик конструкции (перемещение, напряжение или деформация) линейно связан с прикладываемыми нагрузками. Прикладываемые нагрузки необязательно являются силами, они могут быть давлением, скоростью, ускорением. Если имеется увеличение амплитуды прикладываемых нагрузок, то это приводит к пропорциональному увеличению отклика конструкции (перемещение, напряжение или деформация).
На основе линейной суперпозиции изменение напряжений во времени элемента i (или опасного элемента /) от сил Fk(t) определяется следующим уравнением [5]:
(
ац (*) = 1 Fk ()
к=1
а
и, к
\
^ ^, FEA )
где о,у(/) — изменение во времени компонента напряжений у элемента / (или опасного элемента /); Fk(t) — изменение во времени нагрузки к; Fk| ¡=ЕА — величина нагрузки, которая использована для создания случая статического напряжения (она часто является единичной нагрузкой); Оу, к — компонент напряжений у элемента /, которым является результат статического анализа для случая нагрузки Fk,
Действие нагрузок на лопатки. Как известно, в процессе работы двигателя лопатка турбомашины подвергается действию газовых нагрузок, центробежных сил и термической нагрузки. При этом возбуждающие аэродинамические силы могут быть определены из следующих соображений. Диск вращается с переменной угловой скоростью по уравнению О = О0 + pt (где О0 — начальная угловая скорость ротора; в — угловое ускорение ротора; t — время), в результате каждая лопатка по длине возбуждается в зависимости от времени прохода сопловой решетки через число Z сопел. При проходе каждого сопла рабочая лопатка подвержена давлению газового потока внутри ^-й части сопла шириной 5, пока (5 - р,)-я часть свободна от нагрузки (рис. 3). Следовательно, в процессе работы двигателя воздействие давления газового потока на лопатку можно считать как ряд синусоидальных импульсов, амплитуда и частота которых могут быть увеличены, уменьшены или неизменны в зависимости от режимов работы двигателя. Например, в режиме разгона амплитуда и частота возбуждающего давления газового потока на лопатку увеличиваются во времени так, как показано на рис. 4.
Взлетный
1,0 1 1
0,9 [ 1 |
0,8 чь
0,7
0,6
0,5
0,4
МЛ II _1 _
/г редп олет 1 ная /Руление 20 48 1 1 22 з аход Руление! до 1 вокзала 1 5 мин \
/ подготовка Г 1 1 1 /до с1ар|а 1 1 15 мин Голе :т 90 мин на посадку 1 1
_I_I_I__ш_I____I_I____1_1
0 2 4 6 8 10 0 2 3 93 95 97 99 /,мин
Рис. 2. График работы двигателя
Итак, нами рассмотрены теория и принцип применения метода квазистатического анализа при определении изменяющихся во времени напряжений в лопатке турбомаши-ны. Этот метод эффективен и удобен, когда необходимо быстро проанализировать напряжение и усталостную прочность лопатки турбомашин в соответствии с реальным циклом работы двигателя. Также дан краткий обзор методов анализа динамических напряжений, методов анализа выносливости, реализованных в комплексе программ на основе метода конечных элементов.
™ 12,688
(U
| 11,420
ш
$ 10,151 П
8,882 7,613 6,344 5,075 3,807 2,538 1,269 0,000
0,000 0,325 0,487 0,650 0,812 0,975 1,137 1,300 1,462 1,625
Время, с
Рис. 4. Возбуждающее давление газового потока на лопатку
Список использованной литературы
1. Дульнев Р.А., Кото П.И. Термическая усталость металлов. М., 1980.
2. Кузнецов Н.Д. Проблемы термоциклической прочности деталей ГТД // Проблемы прочности. 1978. № 6. С. 3-7.
3. Репецкий О.В., Буй Мань Кыонг. Анализ усталостной прочности лопаток транспортных турбомашин в частотной области // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2010. № 1. С. 72-79.
4. Bathe K.J. Finite element procedures. Englewood Cliffs, 1996.
5. Bishop N.W.M., Sherratt F. Finite element based fatigue calculations. UK, 2000.
6. Bishop N.W.M., Zhihua H. The fatigue analysis of wind turbine blades using frequency domain techniques. Amsterdam, 1991. P. 246-250.
7. Chung J., Hulbert G.M. A time integration algorithm for structural dynamics with improved numerical dissipation: the generalized-a method // Journal of applied mechanics. 1993. Vol. 60. P. 371.
8. Dietz S., Knothe K., Kortum W. Fatigue life simulations applied to railway bogies. Czech Republic. 1998. Vol. 3. P. 283-295.
9. Zienkiewicz O.C. The Finite Element Method. L., 1977.
Рис. 3. Распределение нагрузки при прохождении лопатки через сопло
*1.Е + 03
Bibliography (transliterated)
1. Dul'nev R.A., Koto P.I. Termicheskaya ustalost' metallov. M., 1980.
2. Kuznetsov N.D. Problemy termotsiklicheskoi prochnosti detalei GTD // Problemy prochnosti. 1978. № 6. S. 3-7.
3. Repetskii O.V., Bui Man' Kyong. Analiz ustalostnoi prochnosti lopatok transportnykh turbomashin v chastotnoi oblasti // Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie. 2010. № 1. S. 72-79.
4. Bathe K.J. Finite element procedures. Englewood Cliffs, 1996.
5. Bishop N.W.M., Sherratt F. Finite element based fatigue calculations. UK, 2000.
6. Bishop N.W.M., Zhihua H. The fatigue analysis of wind turbine blades using frequency domain techniques. Amsterdam, 1991. P. 246-250.
7. Chung J., Hulbert G.M. A time integration algorithm for structural dynamics with improved numerical dissipation: the generalized-a method // Journal of applied mechanics. 1993. Vol. 60. P. 371.
8. Dietz S., Knothe K., Kortum W. Fatigue life simulations applied to railway bogies. Czech Republic. 1998. Vol. 3. P. 283-295.
9. Zienkiewicz O.C. The Finite Element Method. L., 1977.
