К вопросу устойчивости прямолинейной формы равновесия стеблей зерновых культур против полегания. О максимальной высоте (длине) растений, не допускающей стеблевое полегание. Часть 2 Текст научной статьи по специальности «Сельское хозяйство, лесное хозяйство, рыбное хозяйство»

SCIENTIFIC SUPPORT AND MANAGEMENT OF AGRARIAN AND INDUSTRIAL COMPLEX

УДК 633.14.324:002.237 DOI: 10.24411/2587-6740-2019-15082

К ВОПРОСУ УСТОЙЧИВОСТИ ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ФОРМЫ РАВНОВЕСИЯ СТЕБЛЕЙ ЗЕРНОВЫХ КУЛЬТУР ПРОТИВ ПОЛЕГАНИЯ. О МАКСИМАЛЬНОЙ ВЫСОТЕ (ДЛИНЕ) РАСТЕНИЙ, НЕ ДОПУСКАЮЩЕЙ СТЕБЛЕВОЕ ПОЛЕГАНИЕ. ЧАСТЬ 2

В.Г. Григулецкий

ФГБОУ ВО «Кубанский государственный аграрный университет имени И.Т. Трубилина», г. Краснодар, Россия

Представлен анализ известного решения А. Гринхилла (Greenhill A.G. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, Mathematical and Physical Sciences, 1881, v. 4, pp. 65-73) задачи об упругой устойчивости прямолинейной формы равновесия тяжелого упругого вертикального стержня, верхний конец которого свободен, а нижний конец — защемлен. Для нахождения критической высоты (длины) стеблей зерновых культур (пшеница, овес, ячмень и т.д.) из общих формул А. Гринхилла получены простые приближенные инженерные соотношения. Рассмотрены примеры расчетов по определению критической высоты (длины) стебля пшеницы с учетом фактических значений модуля Юнга растения, наружного и внутреннего диаметров стебля, погонной массы стебля (И.В. Ариничева). Если фактическое значение высоты стебля пшеницы больше расчетного критического значения длины растения, то возможно полегание растения. Отмечается, что известное решение А. Гринхилла нуждается в уточнении и развитии в части учета изменчивости физико-механических и морфолого-анатомических свойств растений на разных фазах вегетации стеблей зерновых культур.

Ключевые слова: устойчивость стебля, полегание, максимальная высота, критическая длина, фактическая длина, точное решение, приближенные формулы.

1. В первой части работы (Григулецкий В.Г. К вопросу устойчивости прямолинейной формы равновесия стеблей зерновых культур против полегания. Введение. Часть 1 // Мо-сковскийзкономическийжурнал.2019. №9. URL: qje.su/selskohozyajstvennye-nauki/moskovskij-ekonomicheskij-zhurnal-9-2019-15/) п ро веден краткий обзор результатов опубликованных работ по проблеме полегания стеблей зерновых культур. Установлено, что полегание стеблей зерновых культур (пшеница, овес, ячмень и т.д.) приводит к значительным потерям урожая (до 50-60%), способствует нарушению фотосинтеза в растениях, ухудшает качество зерна, затрудняет уборку урожая и т.д. В литературе специально отмечается, что проблема полегания стеблей зерновых культур (пшеница, овес, ячмень и т.д.) имеет важное практическое значение для агропромышленного комплекса Российской Федерации, однако до настоящего времени практически нет соответствующих материалов и технологических рекомендаций, уменьшающих потери зерновых от полегания [1-3].

Авторы фундаментальной обзорной монографии по проблеме полегания пшеницы [4] еще в 1970 г. отмечали следующее: «В течение ряда лет ведутся поиски новых методов оценки растений на устойчивость к полеганию, а также выяснению таких свойств растений, которые находились бы в корреляционной связи с фактической устойчивостью к полеганию. Имеется много разнообразных лабораторных методов, однако большинство из них не удовлетворяют в полной мере селекционеров» [4, с. 46]. Из фактических данных и литературных источников, в частности, установлено, что «в 83% случаев полегание озимой пшеницы начинается в период колошение- восковая спелость и только в 17% — в более ранний или поздний периоды» (А.Д. Пасечник, 1978) и «полегание начинается после цветения» (И.А. Волков, 1940).

2. В последующем изложении будем понимать (Володарский Н. Полегание растений // Сельскохозяйственная энциклопедия. М.: Совет-

ская энциклопедия, 1973. 1375 с.) «полегание растений», как наклон побегов вследствие изгиба или излома нижних междоузлий стебля (стеблевое полегание) или слабого сцепления корней с почвой (корневое полегание). Полегание растений вызывается большой механической нагрузкой надземной массы растения на нижние междоузлия стебля. Растения полегают чаще всего в конце молочной-начале восковой спелости семян, когда вес сырой массы наибольший. В этот период часть веществ клеточных оболочек стебля может подвергаться распаду и использоваться на формирование (налив) семян, отчего стебель становится менее прочным.

Полеганию растений способствуют обильные осадки (особенно с ветром), недостаток света (в загущенных посевах), усиленное азотное питание, сильное увлажнение почвы, грибные заболевания стебля и корней. При недостатке света, как и при обильном азотном питании, нижние междоузлия стебля усиленно растут в длину в ущерб их утолщению и формированию механических тканей. Избыток азота, кроме того, вызывает усиленное развитие вегетативной массы, что ведет к увеличению механической нагрузки на стебель. Обильное увлажнение почвы вызывает слабое развитие механических тканей и способствует обрыву корней.

У полегших растений нарушаются физиологические функции, ненормально протекает налив семян (формируются щуплые с меньшим содержанием питательных веществ семена), снижается урожай. Механизация уборки таких растений затрудняется, резко увеличиваются потери урожая.

Устойчивость растений к полеганию — наследственный признак. Устойчивые к полеганию растения обычно отличаются укороченными и большими в диаметре нижними междоузлиями, умеренным развитием листьев на укороченных побегах (карликовые и полукарликовые формы), хорошо развитой корневой системой; у злаков— утолщенными стенками соломины с хорошо развитыми механическими тканями и проводящими

пучками. Установлены четкие различия в аукси-ново-ингибиторном обмене у наследственно устойчивых и неустойчивых к полеганию сортов. В условиях, способствующих полеганию растений, у устойчивых сортов значительно усиливается деятельность ингибиторов (замедлителей) роста типа фенолов и флавонидов, что предохраняет нижние междоузлия от усиленного вытягивания; у неустойчивых к полеганию сортов в этих же условиях увеличивается количество и усиливается деятельность активаторов роста — ауксинов, в результате чего междоузлия сильно вытягиваются и теряют прочность.

Меры для предупреждения полегание растений: возделывание устойчивых к полеганию сортов; соблюдение норм высева семян и достаточно глубокая их заделка; применение азотных удобрений в оптимальных дозах в сочетании с фосфорно-калийными и микроудобрениями; обработка посевов синтетическими ингибиторами роста (ретардантами). Предупреждение полегание растений приобретает особое значение в связи с развитием орошаемого земледелия и ростом применения удобрения.

Устойчивым будем называть равновесие прямолинейной формы стебля, если при малом отклонении от равновесия стебель растения возвращается в первоначальное вертикальное положение, как только устранена причина, вызывающая отклонение. Если изогнутая форма стебля растения не возвращается в исходное прямолинейное равновесное вертикальное положение при удалении внешних и внутренних воздействий, то равновесие называется неустойчивым [5, 6].

Учитывая особенности физиологического строения стебля зерновых культур [7-9], при изучении устойчивости прямолинейной формы равновесия стебля можно рассматривать его в качестве тяжелого упругого вертикального стержня, испытывающего совместное действие сил собственного веса (стебель) и сосредоточенной силы сжатия от веса колоса при разных фазах развития. Можно отметить, что впервые

НАУЧНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ АГРОПРОМЫШЛЕННЫМ КОМПЛЕКСОМ

Ш

задачу «о силе колонны», при которой «упругая колонна» изогнется и потеряет прямолинейную форму равновесия исследовал и решил в 1744 г. академик Российской академии наук Леонард Эйлер [10-12]. Для «критической силы» упругого прямолинейного стержня Л. Эйлер впервые получил [10, 11] следующую формулу: п-п

P=-

■ E ■ k ■ k,

ствующих сил собственного веса; р — радиус кривизны упругой оси изогнутого стержня. Дифференцируя по х, получим соотношение:

EAk

2 d2 p

dx2

= -aAjpdx' = -®Ax p,

4 - а - а

а = I — длина упругой колонны; Е — модуль упругости материала колонны; Е • к • к = Е1 — из-гибная жесткость упругой колонны; } — момент и нерции поперечного сечения колонны; Р — критическая сила, действующая на колонну.

Принято считать [5, б] наименьшую величину сжимающей силы, при которой первоначальная форма равновесия стержня — прямолинейная становится неустойчивой — искривленной, «критической силой». Будем считать наименьшую величину длины (высоты) стебля, при которой первоначальная вертикальная форма равновесия стебля растения становится неустойчивой — искривленной, при действующих внутренних и внешних силах и факторах, «критической длиной (высотой) растения».

Отметим, что решение Л. Эйлера [10-12] задачи об устойчивости прямолинейной формы равновесия «упругой колонны» имеет фундаментальное теоретическое значение; именно при решении этой задачи он впервые предложил «метод нахождения минимума или максимума» для определенных и непрерывных функций, который составляет основу современного вариационного исчисления [13]. Вместе с тем полученное Л. Эйлером решение «задачи о силе колонны», то есть задачи о нахождении «критической силы» для вертикального упругого стержня (колонны), имеет, в основном, теоретическое значение, поскольку при этом не учитывалось влияние сил собственного веса стержня на потерю прямолинейной формы равновесия (изгиб колонны). Отметим также, что формула Л. Эйлера (*) получена строгим аналитическим методом и является точной, поэтому ее можно использовать для оценки точности новых приближенных формул или соотношений при условии, когда рассматривается устойчивость прямолинейной формы равновесия оси упругого стержня (колонны, мачты, провода, растения и т.д.) при заделанном нижнем конце и свободном верхнем конце, без учета влияния сил собственного веса на изгиб.

Впервые приложение общей теории Л. Эйлера [10-12] для «определения наибольшей высоты, соответствующей устойчивости, на которой может быть установлен вертикальный столб или мачта, и наибольшей высоты, на которую может вырасти дерево заданных пропорций» дано А. Гринхиллом в 1881 г. [14]. Важно, что он впервые исследовал устойчивость прямолинейной формы равновесия вертикального столба (мачты) при действии распределенной нагрузки, обусловленной силами собственного веса.

3. Чтобы исключить разночтения, изложим работу А. Гринхилла [14] более подробно. Основное дифференциальное уравнение центральной линии оси имеет вид:

ЕЛк2 ^ = (/- уК,

Е — модуль упругости Юнга; А — площадь поперечного сечения стержня; Е— изгибная жесткость стержня Е = ЕЛк2); ш — плотность вещества стержня; у — прогиб стержня от дпраей-

2 d2 p И 2 п

x —- + —- x p = 0.

dx2 Ek2

2 d Z

x -j + x-+ , 2

dx dx I Ek

, V--I z = 0.

dx У Ek2 4)

Еще раз подставим x2 = r2, тогда получим:

,d2 z

dz 9 + x— =

dx dx 4

И, следовательно, уравнение:

2 d2z dz ( 4®

r--+ r--+ I-

dr2 dr I 9Ek2

dh

Г 2

+ r-

dz

r2 - 9 I z = 0.

где

k2 =- 4®

2 1 П =—.

9

[ ( 21 ( 21

p = 4x\ AJ Г kx3 + BJ Г kx3

i 3 У ) - 3 У )

( 21

xJ Г kx3

- 3 У )

В точке А, наименьшей точке, должно быть р = 0; и поэтому предположим, что высота ОА будет Ь: 2.

(4')

J

kh3

= 0.

или, окончательно, дифференциальное уравнение:

2

(1)

Если c

Для решения этого линейного обыкновенного дифференциального уравнения, для начала, положим р = Х4!, тогда получим:

d2 г dz ( ю 2 1л

наименьшии корень уравнения

J Г (с) = 0, тогда имеем соотношения:

2 2 С = kh3,

или:

h =

2

С 13 k

Г

9Ek 2с213 4®

dr dr можно записать

(2)

Это стандартная форма дифференциального уравнения Бесселя:

r2dz + r— + ((2r2 -n2)z = 0, (3)

dr2 dr 1 '

9Ek2'

Решение уравнения (3) можно записать в виде:

z = AJn (kr)+BJ_n (kr), (3')

где

xn x

Jn (() = . f cos(x cos ф)п2п фdф

f"r( n+Г)0

(Тодхантер И. Функции Лапласа, Ламея и Бесселя, с. 285).

Следовательно, решение уравнения (2) имеет вид:

z = AJj (kr) + BJ j (kr),

3 3

а решение уравнения (1) можно записать в виде:

A, B — постоянные интегрирования; J j (z) —

функции Бесселя первого рода порядка ± 3.

При исследовании изгиба оси столба дерева (мачты) А. Гринхилл [14] принимает, что нижний конец дерева защемлен, а верхний конец — свободен. Расчетная схема задачи А. Гринхилла показана на рисунке.

Принимая, что нижний конец упругого стержня защемлен, а верхний конец — свободен, можно найти постоянные интегрирования А и В уравнения (3') из следующих условий. Для верхнего конца стержня при х = 0 должно быть:

^ = 0, dx

поэтому должно быть А = 0 и можно записать соотношение:

(4)

Это наибольшая высота, которую столб может достигать в вертикальном положении, чтобы оставаться устойчивым; если высоту увеличить и немного сместить, то столб прогнется под собственным весом. Из разложения ]п(х) в ряд возрастающих степеней х получим:

J 1 (x) =

2

x

Г

2-3

Г

2' 3x2 Г--+ -

2

32 x4

2 ■ 4 2 ■ 4 ■ 4-Г0

32 x4

2 ■ 4 ■ 6 ■ 44046

и путем подбора находим, что с = 1,88 и

2

„3 =1

с3 = Г,52, поэтому:

h = Г,52

9Ea

Г6®

Г

213 = Г,2б( E®

Г

2 I-

Рис. Расчетная схема изгиба вертикального столба дерева по А. Гринхиллу (I — критическая высота дерева; д — вес единицы длины столба дерева; б — максимальное отклонение оси столба дерева)

МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ЖУРНАЛ № 5 (371) / 2019

2

x

r

ш

SCIENTIFIC SUPPORT AND MANAGEMENT OF AGRARIAN AND INDUSTRIAL COMPLEX

Например, для сплошного цилиндрического ствола дерева можно найти:

7,8 х 62,5 487,5

Е = 31GGGGGG, ю = -

123

123

h = 1,26 x12

= 6,81x12.

= 1,989 3 ■

(б)

Из уравнения (5) формулу:

L„ = 2,805 „

также найти

] — момент инерции поперечного сечения стебля:

1 -II

и подставляя их в отношение (12), получим:

J = ^ D4

64

(8)

и если диаметр ствола будет 6 дюймов, то а = 3, к2 = 1/4 а2, а поэтому Ь = 89,45 х 12, а высота в футах достигает 89,45 (или 27,26 м; 1 фут = 30,48 см).

Для стальной проволоки находим:

Е иппппп п 7>8 х 62,5 487,5 Е = 31000000, ю =-5— = —т—,

123 123 а если диаметр проволоки будет составлять одну десятую дюйма, а = 1/20, тогда можно найти:

31000000

^487,5 х 400;

Тогда высота в футах будет составлять 6,81 (или 207,4 см). Если нагрузка сосредоточена в верхней части В, весом, равным длине I столба, то дифференциальное уравнение изогнутой оси принимает вид:

ЕАк2 ^ = - у))' + ®Л1(ОБ - у),

продифференцировав один раз, получим уравнение: ,2

Ек2 = -и(х + е)р,

ск

то же самое дифференциальное уравнение, что и раньше, с заменой х + I на х.

Такое положение вещей будет представлено в природе экзотическим деревом, таким как пальма Арека, растущим в цилиндрическом стволе и имеющим группу листьев наверху. Отметим, что в разделе 2 статьи А. Гринхилла [14] рассмотрен вариант, когда стержень равномерно сужается до точки, являющейся прямым круговым конусом с полувертикальным углом а при действии сил собственного веса и изгибающего момента, действующего по радиусу И. В разделе 3 статьи А. Гринхилла [14] изучен вариант устойчивости тяжелого вертикального стержня с формой параболоида. В разделе 4 статьи А. Гринхилла [14] рассмотрена наиболее общая задача об устойчивости прямолинейного вертикального растения, в виде тела вращения, подобного дереву, радиус сечения ствола которого на глубине ниже вершины равен г, и если № — вес в фунтах части дерева над этим сечением, и когда дерево имеет такую высоту, чтобы быть слегка согнутым под собственным весом [14].

4. Важно отметить, что решения всех задач в статье [14] получены А. Гринхиллом с помощью сложных специальных функций, что представляет определенные трудности при инженерных расчетах. Запишем формулу А. Гринхилла [14] в более удобном и простом виде. Критическое значение длины стебля (£кр) при защемленном нижнем конце и верхнем свободном конце стебля можно найти из формулы (на основании корня уравнения (4')):

Икр = 7,87 ^ • (5)

Из этого уравнения получаем формулу:

ГЕ1

й — наружный диаметр стебля; d — внутренний диаметр стебля.

Чтобы оценить точность основных расчетных зависимостей решения А. Гринхилла [14] (5)-(7) отметим следующее. Выдающийся русский механик-инженер, профессор Киевского политехнического института С.П. Тимошенко опубликовал в 1910 г. монографию [15], в которой получил решение многих задач теории устойчивости упругих систем энергетическим методом из условия минимума общей энергии системы. За эту монографию С.П. Тимошенко был удостоен премии Д.Н. Журавского, которая присуждается один раз в десять лет за лучшие научные работы в области строительной механики и теории упругости. Положительный отзыв на работу С. П. Тимошенко дан проф. И.Г. Бубновым, В.Л. Кирпичевым, Г.В. Колосовым, С.И. Белзецким и Н.А. Белелюбским.

В работе [15] С.П. Тимошенко впервые применил энергетический метод Релея-Ритца [16] при решении задачи об устойчивости тяжелого вертикального упругого стержня с нижним защемленным, а верхним — свободным концами [15, с. 17-19, §2]. Чтобы исключить разночтения, изложим решение С.П. Тимошенко более подробно [15]. Потенциальная энергия изгиба при искривлении оси стебля будет равна:

V = 2 EJ {{y'fdx,

и найти отношение:

EJi{{y"fdx

o_

' i .

{{i - x {) dx

Е£

- и ' (7)

q — вес единицы длины растения; № — общий вес растения; Е—модуль Юнга материала стебля;

EJ

1 + 4zi2136z2i4

11 — zi2 11 z Y

12 30 14

. (15)

Далее полагая:

36 2

—г I

5 , 12 30 14

u = 1 + 4zi2136z2i4 u = - + -zi211 z2i4

из условия:

ми'-м'и = 0, находим уравнение для «критических» значений

г(2 (2 = г^р

118 2 „4 37 „2 1 А —гГ +— гГ + - = 0, (16)

175 35 5 ()

и корни:

0,2200 1,3475 z1 =--TT-, z2 =--7Т~. (17)

Подставляя значение г1 = гЬ в отношение (15) получим соотношение:

{qi)p=IJ |8,15,

(18)

или

(9)

Б — жесткость стебля растения при изгибе; I — общая высота (длина) стебля; у"(х) — производная второго порядка от функции прогиба оси стебля у(х).

Работа сил тяжести стебля, соответствующая тому же искривлению оси стебля, будет равна:

1 I х 1 I

Т = -1 дсХ|(у'рсХ = - 9_|О - хХо'рсХ, (10)

2 0 0 2 0

д — вес единицы длины стебля; у'(х) — производная первого порядка от функции прогиба оси стебля.

Критическое значение длины стебля (£к) определяется из равенства изменения энергикри внутренних сил (Т) и работы внешних сил (V), поэтому можно записать равенство:

1 1 1 1

- q¡|i - х Хо'Р Сх = - Е5 |(у"рсХ, (11)

(?е)р Нщ] ш • (19)

Из соотношения (18) можно получить значение критической высоты (длины) стебля растения:

Ш

или

, = 2,012 3

IFÍ

i кр = 2,267 J —.

кр ' V W

(20)

(21)

(12)

Сравнивая соответственно соотношения (5) и (18), (6) и (20), (7) и (21) можно отметить достаточную близость точных (А. Гринхилл) и приближенных (С.П. Тимошенко) результатов. С.П. Тимошенко [15, 16] специально отмечает [15, с. 19], что «сравнивая этот результат с точным решением, находим, что в данном случае погрешность составляет менее 2%».

5. Рассмотрим пример расчета. Пусть известны значения [9, с. 52, табл. 3, 4]:

• жесткость при изгибе стебля пшеницы Е= 0,005 Нм2;

• наружный диаметр стебля й = 0,004 м;

• внутренний диаметр стебля 6 = 0,002 м;

• опытное значение веса единицы длины стебля д = 0,0219 Н/м.

По формуле (6) находим значение критической высоты (длины) стебля:

Е

Учитывая граничные условия на концах оси стебля: нижний конец — защемлен, а верхний — свободный, прогиб оси растения можно приближенно представить в виде:

у(х) = Ь0 + Ь1х2 + Ь2 х4, (13)

Ь0, Ь1, Ь2 — постоянные коэффициенты, определяемые по граничным условиям на концах изогнутой оси стебля.

Определив производные функции прогиба оси стебля уМ:

у'(х) = 2Ь0х + 4Ь2х3, у"(х) = 2Ь0 + 12Ь2 х, (14)

или, подставляя численные значения, находим:

е кр = 1,9893(Ж * 1,22 м кр у 0,0219

По формуле (20) получаем значение:

! 0,005

. = 2,012 ^ |—^-* 1,23 м.

0,0219

Отличие результатов расчетов составляет менее 1%. Рассмотрим случай, когда известен общий вес растения и можно использовать формулы (7) и (21). Пусть опытное значение общего

2

о

кр

НАУЧНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ АГРОПРОМЫШЛЕННЫМ КОМПЛЕКСОМ

веса одного растения равно М = 0,027 Н. По формуле (7) находим значение критической высоты (длины) стебля:

/ кр = 2,805 = 1,20 м. "р у 0,027

По формуле (21) находим значение:

,кр = 2,267 Ю0тт = 0,98 м.

0,027

Если фактическое значение высоты стебля пшеницы (£ф) больше критического значения (I ), то возможно полегание растения. Примеры расчетов даны для иллюстрации методики.

В качестве выводов выполненной работы можно отметить следующие положения:

• Известное решение А. Гринхилла [14] можно использовать для приближенного расчета критической длины (высоты) стеблей злаковых культур, определяющих устойчивость прямолинейной формы равновесия стеблей против полегания.

• Результаты решения А. Гринхилла [14] нуждаются в уточнении и дальнейшем развитии по двум причинам. Во-первых, в основной расчетной формуле (б) не учитывается действие осевой сосредоточенной сжимающей силы (Рк) от веса колоса (метелки). Во-вторых, реше-

ние А. Гринхилла [14] необходимо уточнить в методическом плане; многими исследователями физико-механических и морфолого-ана-томических своИств стеблеИ зерновых культур показано, что основные характеристики архитектоники растении изменяются при разных фазах вегетации, что необходимо учитывать в теоретическом исследовании.

Литература

1. Волков И.А. Исследование механических своИств стебля пшеницы и устойчивость к полеганию при различных условиях минерального питания и водного режима // Вестник агротехники. 1940. № 2. С. 3-15.

2. Пасечник АД. Методическое пособие по составлению прогноза полегания озимой пшеницы в Нечерноземной зоне ЕТС. М.: Гидрометеоиздат, 1978. 11 с.

3. Пикуш Г.Р., Гринченко А.Л., Пыхтин И.Н. Как предупредить полегание хлебов. Киев.: Урожай, 1988. 200 с.

4. Дорофеев В.Ф., Пономарев В.И. Проблема полегания пшеницы и пути ее решения. М.: Всесоюзный НИИ информации и технико-экономических исследований по сельскому хозяйству, 1970. 125 с.

5. Динник А.Н. Устойчивость упругих систем. М.: АН СССР, 1950. 133 с.

6. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. М.: Гостехтеориздат, 1955. 5б9 с.

7. Гуминский С. Механизм и условия физиологического действия гумусовых веществ на растительный организм // Почвоведение. 1957. № 12. С. 67-79.

8. Григулецкий В.Г., Лукьянова И.В. Влияние физико-механических свойств растений на их устойчивость к полеганию // Труды Кубанского государственного аграрного университета. 2000. № 382 (410). С. 39-48.

9. Ариничева И.В. Полегание растений: монография. Краснодар: КубГАУ, 2018. 283 с.

10. Euler L. Methodus inveniendi lineas curvas Maximi Minimive proprietate qaudentes, sive solutio Problematis Isoperimetrici latissimo sensu accepti. Geneve, 1744, MDCCXLIV, 324 p.

11. Euler L. Sur la dolce des colonnes. Memoire de l'Akademie Royale des sciences el belles-bettres de cette Academie. Berlin, 1759, v. 13, рр. 252-282.

12. Euler L. De artitudine columnazum sub poprio poudere corruetium. Acta Academia Scientiarum Imperialis Petropolitanae, 1778, v. 2, part 1, рр. 163-193.

13. Эльсгольц Л.Э. Вариационное исчисление. М.: Гостехтеориздат, 1952. 167 с.

14. Greenhill A.G. Determination of the greatest height consistent with stability that a vertical pole or mast can be made, and of the greatest height to which a tree of given proportions can grow. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, Mathematical and Physical Sciences, 1881, v. 4, рр. 65-73.

15. Тимошенко С.П. Об устойчивости упругих систем. Применение новой методы к исследованию устойчивости некоторых мостовых конструкций. Киев, 1910. 188 с.

16. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, 1971. 808 с.

Об авторе:

Григулецкий Владимир Георгиевич, доктор технических наук, профессор, Заслуженный деятель науки Российской Федерации, заведующий кафедрой высшей математики, economic@kubsau.ru

TO THE QUESTION OF STABILITY DIRECT EQUILIBRIUM FORMS OF GRAIN CROPS AGAINST LAYING. ABOUT MAXIMUM HEIGHT PLANTS NOT PERMITTING A STEM LODGING. PART 2

V.G. Griguletsky

Kuban state agrarian university named after I.T. Trubilin, Krasnodar, Russia

The analysis of the well-known solution of A. Greenhill (Greenhill A.G. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, Mathematical and Physical Sciences, 1881, v. 4, pp. 6573) of the problem of elastic stability of a rectilinear equilibrium form of a heavy elastic vertical rod is presented. the end of which is free, and the lower end is pinched. To find the critical height (length) of the stalks of grain crops (wheat, oats, barley, etc.), simple approximate engineering relationships are obtained from the general formulas of A. Greenhill. Examples of calculations for determining the critical height (length) of a stem of wheat are considered, taking into account the actual values of the Young's modulus of the plant, the outer and inner diameters of the stem, and the linear mass of the stem (I.V. Arinicheva). If the actual value of the height of the stem of the wheat is greater than the calculated critical value of the length of the plant, then lodging of the plant is possible. It is noted that the well-known decision of A. Greenhill needs to be clarified and developed in terms of taking into account the variability of the physico-mechanical and morphological and anatomical properties of plants at different phases of vegetation of the stems of grain crops. Keywords: stem stability, lodging, maximum height, critical length, actual length, exact solution, approximate formulas.

OF STEPS (LENGTH)

References

1. VolkovI.A. Investigation of the mechanical properties of a wheat stalk and resistance to lodging under various conditions of mineral nutrition and water regime. Vestnik agrotekh-niki = Bulletin of agricultural technology. 1940. No. 2. Pp. 3-15.

2. Pasechnik A.D. Methodical manual on the forecast of winter wheat field in the Non-chernozem zone of the UTS. Moscow: Gidrometeoizdat, 1978. 11 p.

3. Pikush G.R., Grinchenko A.L., Pykhtin I.N. How to prevent the laying of bread. Kiev: Urozhaj, 1988. 200 p.

4. Dorofeev V.F., Ponomarev V.I. The problem of lodging wheat and ways to solve it. Moscow: All-Union research institute of information and technical and economic research on agriculture, 1970. 125 p.

5. DinnikA.N. Stability of elastic systems. Moscow: AN USSR, 1950. 133 p.

6. Timoshenko S.P. Stability of elastic systems. Moscow: Gostekhteorizdat, 1955. 569 p.

7. Guminskij S. Mechanism and conditions of the physiological action of humic substances on the plant organism. Pochvovedenie = Soil science. 1957. No. 12. Pp. 67-79.

8. Griguletskij V.G., Lukyanova I.V. Influence of physico-mechanical properties of plants on their resistance to lodging. Trudy Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo univer-siteta=Transactions of Kuban state agrarian university. 2000. No. 382 (410). Pp. 39-48.

9. Arinicheva I.V. Lodging of plants. Monograph. Krasnodar: KubSAU, 2018. 283 p.

10. Euler L. Methodus inveniendi lineas curvas Maximi Minimive proprietate qaudentes, sive solutio Problematis Isoperimetrici latissimo sensu accepti. Geneve, 1744, MDCCXLIV, 324 p.

11. Euler L. Sur la dolce des colonnes. Memoire de l'Akademie Royale des sciences el belles-bettres de cette Academie. Berlin, 1759, v. 13, pp. 252-282.

12. Euler L. De artitudine columnazum sub poprio pou-dere corruetium. Acta Academia Scientiarum Impe-rialis Petropolitanae, 1778, v. 2, part 1, pp. 163-193.

13. Elsgolts L.E. Variation calculus. Moscow: Gostekhteorizdat, 1952. 167 p.

14. Greenhill A.G. Determination of the greatest height consistent with stability that a vertical pole or mast can be made, and of the greatest height to which a tree of given proportions can grow. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, Mathematical and Physical Sciences, 1881, v. 4, pp. 65-73.

15. Timoshenko S.P. On the stability of elastic systems. Application of a new method to the study of the stability of some bridge structures. Kiev, 1910. 188 p.

16. Timoshenko S.P. Stability of rods, plates and shells. Moscow: Nauka, 1971. 808 p.

About the author:

Vladimir G. Griguletsky, doctor of technical science, professor, Honored scientist of the Russian Federation, head of the department of higher mathematics, economic@kubsau.ru

economic@kubsau.ru

МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ЖУРНАЛ № 5 (371) / 2019