CC BY
72
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл N° ФС 77 - 30569. Государственная регистрация №0420900025. 15514 1994-040Е
К вопросу оценки разрешающей способности при масштабировании
цифровых изображений
# 06, июнь 2010
авторы: Веселов Ю. Г., Островский А. С.
УДК 778.35:629.7
(МГТУ имени Н.Э. Баумана)
Практически любой этап обработки цифрового изображения оказывает влияние на его качество. При дешифрировании цифровых изображений штриховых тест-объектов с целью оценки его показателей качества часто используется процедура изменения масштаба. Так как, разрешающая способность является одним из критериев ограничивающих условия применения аппаратуры наблюдения (например, Договор по Открытому небу), представляется интересной зависимость разрешающей способности от типа используемого алгоритма интерполяции при масштабировании.
Одним из методов оценки разрешающей способности оптикоэлектронных систем является визуальный метод. Для оценки разрешения применяются штриховые тест-объекты (рис. 1, 2). С целью обеспечения оптимальных условий наблюдений при визуальном дешифрировании используется изменение масштаба изображения.
Г “Г “Г т и
0 10 10 1
1_ _1_ _|_ _1_ J
Рисунок 1. - Тест-объект для оценки пространственно-частотных характеристик оптико-электронных систем в лабораторных условиях
При увеличении масштаба изображения, каждая точка исходного изображения должна быть сопоставлена группе точек увеличенного изображения. Для чего на первом этапе формируется вспомогательное изображение с разнесенными на расстояние согласно необходимому масштабу точками оригинального изображения, далее изображение дополняется точками, яркость которых определяется интерполирующей функцией. Качество масштабированного изображения определяется алгоритмами, используемыми для осуществления этих сопоставлений.
Для уменьшения масштаба, группы точек исходного изображения должны быть сопоставлены отдельным точкам уменьшенного изображения.
Рисунок 2. - Тест-объект для оценки пространственно-частотных характеристик оптико-электронных систем в летных условиях
Для управления качеством изображения при масштабировании используют различные методы интерполяции. Основными, из которых, являются метод «ближайшего соседа» (Nearest neighbor), билинейный (Bilinear) и бикубический (ВюиЫс) методы (рис. 3) [1-9].
Самый простой, легко реализуемый и наименее ресурсоемкий из вышеперечисленных - метод интерполяции "Ближайший сосед". При создании пикселя увеличенного изображения используется информация о ближайших точках оригинального изображения, т.е. сохраняются оригинальные значения пикселей без их усреднения, как в других методах (рис. 3 а, б., рис. 4).
Однако такой метод определения яркости вставляемых в изображение пикселей не является наилучшим, так как приводит к повышению заметности их растровой структуры, которая при больших увеличениях снижает качество воспроизводимых изображений [1-3]. При этом интерполяции (при увеличении) наблюдается появление эффекта ступенчатости диагональных линий и кривых (пила). Кроме того, при использовании метода «Ближайший сосед» некоторые
значения пикселей могут быть утеряны, а другие дублированы. Возможно возникновение разрывов узких линий на изображениях (дороги, реки и т.д.).
Метод «Ближайший сосед» используется, в основном, в геоинформационных системах обработки для масштабирования (трансформирования) тематических растровых изображений, значения пикселей которых являются качественными (обозначают тип растительности, влажность почв и пр.).
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
а.) Исходное изображение
Interpolyaciya Bilineynym metodom
0 100 200 300 400 500 600
600
0 100 200 300 400 500 600
б.) Интерполяция методом ближайшего соседа (Nearest neighbor)
Interpolyaciya Bicubi4eskim metodom
100
200
300
400
500
600
100 200 300 400 500 600
в.) Билинейная (Bilinear) интерполяция г ) Бикубическая (Bicubic) интерполяция
Рисунок 3. - К понятию интерполяции при масштабировании (увеличение в 150 раз)
1*1
к
О 50 100 150 200 250 300 350
а.) Исходное изображение б.) Интерполяция методом Nearest neighbor
Рисунок 4.- К понятию интерполяции методом «Ближайшего соседа» (Nearest neighbor) (увеличение в 5 раз)
Билинейная интерполяция - в вычислительной математике [2, 3] расширение линейной интерполяции для функций двух переменных. Ключевая идея заключается в том, чтобы провести обычную линейную интерполяцию сначала в одном направлении, затем в другом.
Понятие принципа билинейной интерполяции раскрывается простым примером.
Для интерполяции билинейным методом функции f в точке Р (X, у) необходимо знать значения функции в (окружающих Р) точках Q11 = (Х1,у1),
012 =(*1>У2 ) , Q21 =(Х2.У1 ) , Q22 =(Х2.У2 ) (рис 5).
Первым шагом интерполируется (линейно) значение вспомогательных точек R1 и R2 вдоль оси абсцисс, где R1 = (х, у1), R2 = (х, у2)
/ («1 )* / (Q11) + / (Q21),
х __X х _X
2 1 2 1
/ ( Й2 ) * / ( 012 ) + / ( Q22 ) .
X ____ V X _ X
2 1 2 1
Далее проводится линейная интерполяция между вспомогательными точками R1 и R2 вдоль оси ординат.
У 2- У у - У
/ (Р / (Я1 )+^ъ / (к2).
У2 - У1 У2 - У1
/(Р) является приблизительным значением функции в точке Р , т.е. /(X, У)
/ (^ У ) * Т------)(Х2 - Х)(У2 - У ) + (--------------------)(Х - Х1)(У2 - У ) +
(Х2 - Х1)(У2 - У1) (Х2 - Х1)(У2 - У1)
(Х2 _ Х1)(У2 _ У1)
(Х2 _ Х1)(У2 _ У1)
У2
У
ю
12
4?2.
Р
: Q22
У1
Q
11
Я1
021
Х1
X
Х2
Рисунок 5. - К понятию билинейной интерполяции
Достаточно подробно принцип получения интерполированного изображения методом билинейной интерполяции представлен на рисунке 6.
На первом этапе формируется вспомогательное изображение с разнесенными на расстояние согласно необходимому масштабу изображения точками (рис. 6, б.). Далее выполняется линейная интерполяция по столбцам (строкам) (рис. 6, в). На конечном этапе формируется конечное интерполированное билинейным методом изображение (рис. 6, г).
т
а.) Исходное изображение
200 -
250 -
300 -
в.) Линейная интерполяция по столбцам
50
100
150
200
250
300
50 100 150 200 250 300 350
б.) Вспомогательное изображение
Interpolyaciya Bilineynym metodom
50 100 150 200 250 300 350
г.) Билинейная (Bilinear) интерполяция
Рисунок 6. - К понятию билинейной (Bilinear) интерполяции (увеличение в 5 раз)
Бикубический метод интерполяции - дает наилучшие результаты при обработке фотоснимков, поскольку использует значения восьми прилегающих пикселей и добавляет эффект улучшения резкости за счет повышения контрастности переходов.
Бикубическая интерполяция - в вычислительной математике [2, 3] расширение кубической интерполяции на случай функции двух переменных, значение которой заданы на двумерной регулярной сетке. Поверхность, полученная в результате бикубической интерполяции, является гладкой функцией, в отличие от поверхностей, полученных в результате билинейной интерполяции или интерполяции методом ближайшего соседа. Так же бикубическая интерполяция часто используется в обработке изображений, давая более качественное изображение по сравнению с билинейной интерполяцией.
Рассматривается два подхода к реализации бикубической интерполяции: бикубическая интерполяция сплайнами; последовательная кубическая интерполяция [3].
При бикубической интерполяции сплайнами для интерполяции значения функции / (х, у) в точке Р (х, у), лежащей внутри квадрата [0, 1] х [0, 1], при
известном значении функции / в шестнадцати соседних точках (/, ]), / = _1...2, j = _1...2 общий вид функции, задающей интерполированную поверхность, может быть записан следующим образом:
3 3
Р(X у) = ЕЕаах‘у'.
/=0 ]=0
Для нахождения коэффициентов а^ необходимо подставить в
вышеприведенное уравнение значения функции в известных шестнадцати точках.
Например:
/( 1, 0) а00 а10 + а20 а30
/ ( 0,0 ) = а00
I (X 0) = а00 ^ а10 ^ а20 ^ а30 / ( 2, 0 ) = а00 ^ 2а10 ^ 4а20 ^ 8а30
Полностью в матричном виде:
М ат = ут ,
где
а [ а00 а01 а02 а03 а10 а11 а12 а13 а20 а21 а22 а23 а30 а31 а32 а33 ]
у=/( _1_} /(а_1) /1,_1 /(2,_1 / _1С) /(С0С) /(10 /(2,0 /(/ (01) /(1,1) /(21 / 42) / 02) /12) / 2>2(
1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1
1 -1 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1
1 -1 1 -1 2 -2 2 -2 4 -4 4 -4 8 -8 8 -8
1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 2 0 0 0 4 0 0 0 8 0 0 0
1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 4 8 8 8 8
1 2 4 8 -1 -2 -4 -8 1 2 4 8 -1 -2 -4 -8
1 2 4 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 4 8 1 2 4 8 1 2 4 8 1 2 4 8
1 2 4 8 2 4 8 16 4 8 16 32 8 16 32 64
Решая получившуюся систему линейных алгебраических уравнений, можно найти значения а ^ в явном виде:
т
а = -
36
0 0 0 0 0 36 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 12 0 0 0 -18 0 0 0 36 0 0 0 -6 0 0
0 18 0 0 0 6 3 - 0 0 0 18 0 0 0 0 0 0
0 -6 0 0 0 18 0 0 0 -18 0 0 0 6 0 0
0 0 0 0 -12 -18 36 -6 0 0 0 0 0 0 0 0
4 6 -12 2 6 9 -18 3 -12 -18 36 -6 2 3 -6 1
—6 -9 18 -3 12 18 6 3 - 6 -6 -9 18 -3 0 0 0 0
2 3 -6 1 -6 -9 18 -3 6 9 -18 3 -2 -3 6 -1
0 0 0 0 18 6 3 - 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0
—6 12 -6 0 -9 18 -9 0 18 6 3 - 18 0 -3 6 -3 0
9 -18 9 0 -18 36 -18 0 9 -18 9 0 0 0 0 0
-3 6 -3 0 9 -18 9 0 -9 18 -9 0 3 -6 3 0
0 0 0 0 -6 18 -18 6 0 0 0 0 0 0 0 0
2 -6 6 -2 3 -9 9 -3 -6 18 -18 6 1 -3 3 -1
-3 9 -9 3 6 -18 18 -6 -3 9 -9 3 0 0 0 0
1 -3 3 -1 -3 9 -9 3 3 -9 9 -3 -1 3 -3 1
1
т
X
Единожды найденные коэффициенты а^ теперь могут быть использованы
для многократного вычисления интерполированного значения функции в произвольных точках квадрата [0,1]Х[ 0,1].
Последовательная интерполяция заключается в том, что для нахождения интерполированного значения можно сначала произвести кубическую интерполяцию в одном направлении, а затем в другом.
Для функции f (х) с известными значениями f (-1), f (0), f (1), f (2)
3
можно построить кубический сплайн: р(х) = ^Ь X, или в матричном виде
1=0
р (х ) = [1
х х2 х3
Ь0
Ь1
Ь2
Ь
где
Л " \1 (-1)1 \ 0 6 0 0 "
Ь1 = А / (0) , А = I -2 -3 6 -1
Ь2 Г (1) 6 3 -6 3 0
[Ь3 _ / (2) -1 3 -3 1 _
Таким образом, для нахождения интерполированного значения р (х, у) в квадрате [0,1] х[0,1] можно сначала рассчитать четыре значения р (х,-1), р (х,0), р (х,1), р (х,2) для зафиксированного х, затем через полученные четыре точки построить кубический сплайн, и этим завершить вычисление
р (х У).
р(X у) = \1 У У2 У3 _
А
7(4-1) f(0,-1) Д1,-1) f( 2,-1)11
\1 х х2 х31 А I В0) I (0,0) I (1>°) I (2,°)
1 X «/V «/V «/V f (-1.1) I (°л) I (1,1) I (2,1)
V f (-1,2) I («,2) I (1,2) I (2,2)_У
:[1 у у2 у3 ] А
I (-1 -1) I (0-1) I (1,-1) I (2,-1)" \ 1 "
I (-1,0 ) I(0,0) I (^) I (2,0) Ат х
I (-и) I (0>0 I (и) I (2,1) х2
I (-и) I (0,2) I (1,2) I (2,2)_ х3
Подробно принцип получения интерполированного изображения методом бикубической интерполяции представлен на рисунке 7.
На первом этапе формируется вспомогательное изображение с разнесенными на расстояние согласно необходимому масштабу изображения точками (рис. 7, б.). Далее выполняется линейная интерполяция в одном направлении - по столбцам (рис. 7, в). На следующем этапе выполняется кубическая интерполяция в другом направлении - формируется конечное интерполированное бикубическим методом изображение (рис. 7, г).
т
50 100 150 200 250 300 350
а.) Исходное изображение
0 50 100 150 200 250 300 350
в.) Кубическая интерполяция по столбцам
б.) Вспомогательное изображение
Іггїегроіуасіуа ВісиЬіДеєкіт теїосіот
г.) Бикубическая (ВісиЬіс) интерполяция
Рисунок 7. - К понятию бикубической (ВісиЬіс) интерполяции (увеличение в 5 раз)
Электронный журнал, №6 Июнь 2010г. http://technomag.edu.ru/ Страница 16
Процесс эффективности интерполяции при масштабировании можно наглядно (качественно) оценить по одномерному срезу интерполированного различными методами изображения (рис. 8, 9).
Рисунок 8. - Одномерный срез по яркости (в уровнях серого тона) интерполированного различными методами изображения самолета представленного на изображениях выше
Рисунок 9. - Локальный участок кривых из рисунка 6 (зеленая линия - метод «ближайшего соседа», красная линия - билинейный метод, синяя линия - бикубический метод)
Из представленных выше иллюстраций видны особенности трансформирования исходного изображения при использовании различных методов интерполяции при масштабировании.
Для количественного исследования эффективности методов интерполяции изображений при масштабировании использовались изображения штриховых тест-объектов (рис. 10), полученные в летных условиях. В эксперименте использовались три типа мир: двухштриховая разнесенная мира G (темно-серые штрихи на светло-сером поле), традиционная трехштриховая мира R1 (светло-серые штрихи на темно-сером поле), трехштриховая разнесенная мира R3 (светло-серые штрихи на темносером поле, три штриха между соседними группами полос). Съемка выполнялась с четырех высот (250м, 300м, 350м, 400м) с беспилотного летательного аппарата с использованием цифровой аэрофотосъемочной системы с реализованной схемой Байера (RGBG), фокусным расстоянием
3
180*10" м, относительным входным отверстием объектива 1:2,8 и линейным размером пикселя 3,275*10-6 м.
Рисунок 10. - Изображение тестового полигона
Дешифрированию подвергались цветные и черно-белые изображения с использованием при масштабировании интерполяции методом «ближайшего соседа», билинейным и бикубическим методами. Причем, используемые для дешифрирования черно-белые изображения были получены из цветных с помощью стандартных, встроенных в известные редакторы изображений типа Photoshop и ACDSee, алгоритмов (grayscale) [4] (рис. 11).
Исходное цветное изображение Черно-белое изображение
Рисунок 11. - Перевод цветного изображения в черно-белое
Для дешифрирования выбирались кадры, содержащие полные изображения всех указанных трех мир. Для статистического анализа полученных результатов использовались данные съёмки не менее пяти проходов над мирами на каждой высоте. При дешифрировании изображений применялось правило - «Последняя разрешаемая группа миры. Необходимо разрешение всех триад, чтобы считать группу разрешенной».
К визуальному анализу были привлечены десять дешифровщиков.
В работе все зависимости построены с использованием значений ожидаемой минимальной высоты нтіп_ехрЄсіеЛ.
H' min-expected рассчитывается посредством усреднения значений
min-calculated .
Значение H
min-calculated
определяется по формуле:
H
min i
Нтт I - минимальная высота над уровнем земли, на которой
конфигурация видеокамеры, установленная на летательном аппарате, может эксплуатироваться в ходе наблюдательного полета и разрешение на местности которой не лучше чем 30 см.
где Ні - высота над проверочной мирой самолета в метрах в момент съемки изображения проверочной миры;
Li - разрешение на местности;
По результатам проведенных исследований получены зависимости (рис. 12-19) значения Hmnexpected (далее по тексту будет употребляться просто
как Hmin) от использованного метода интерполяции при масштабировании (метод «ближайшего соседа» (Nearest neighbor), билинейный (Bilinear) и бикубический (ВюиЫс) методы) для различных типов мир.
i
La =30 см.
тремя методами интерполяции для трех типов мир 1^, 2^1, 3^3
Рисунок 13. - Зависимость НтЫ от применяемого метода интерполяции при визуальном анализе цветного изображения
Рисунок 14. - Значения НтП при визуальном анализе черно-белого изображения тремя методами интерполяции для трех типов
мир 1^, 2^1, 3^3
Рисунок 15. - Зависимость НтП от применяемого метода интерполяции при визуальном анализе черно-белого изображения
Рисунок 16. - Зависимость НтП от цвета изображения при различных
методах интерполяции
1200,000
1150.000
1100.000
1050.000
1000.000
950.000
900.000
850.000
бикубическая Билинейная ближ сосед
Рисунок 17. - Зависимость НтП от цвета изображения и типа используемой миры при различных методах интерполяции
Рисунок 18. - Зависимость Нтіп от цвета изображения
1100,000
1080,000
1060,000
1040.000
1020.000 1000,000
980.000
960.000
R1
R3
G
Рисунок 19. - Зависимость НтП от типа используемого тест-объекта
Анализируя полученные зависимости можно сделать следующие выводы.
Оценка разрешающей способности и следовательно НтП, полученная при визуальном дешифрировании с применением различных методов интерполяции при масштабировании, имеет максимальное значение при использовании бикубической интерполяции и минимальное значение при использовании интерполяции методом «ближайшего соседа» (рис. 12-17). Различие между НтЫ, полученных при использовании методов «ближайшего соседа» и бикубической интерполяции для цветного изображения составляет 6%, для черно-белого - 9% (в пользу бикубической интерполяции), а при использовании методов «ближайшего соседа» и билинейной интерполяции для цветного изображения - 4 %, черно-белого - 5% (в пользу билинейной интерполяции) (таблица 1).
Проведенные исследования (рис. 8, 9) показали, что бикубическая интерполяция вносит некоторые изменения в пространственно-частотную структуру сгенерированного изображения, хотя прирост разрешения, как уже было сказано, не превосходит 10%. По это причине, наиболее «прозрачным» выглядит алгоритм интерполяции при масштабировании «ближайший сосед». Хотя на практике при дешифрировании цифровых изображений реальных объектов опытные дешифровщики при масштабировании пользуются бикубическим методом.
Таблица 1 - Различия между оценками значений НтЫ, полученных при
визуальном анализе изображений с использованием различных методов интерполяции при масштабировании
Тип интерполяции Ч-Б изображение ЦВ изображение
«Ближ. сосед» - Бикубическая 8,5% 5,9%
«Ближ. сосед» - Билинейная
4,8%
3,7%
Причем среднее арифметическое значение оценок CKO Hmin в процентах относительно среднего арифметического значений Hmin составило аН ~ 6% (таблица 2).
Н min
Таблица 2 - Oценки CKO значений Hmin в процентах относительно среднего арифметического значения Hmin для каждого типа миры и цвета изображения
Тип интерполяции Oценка CKO Hmin в % относительно среднего арифметического Hmin Cреднее арифм. значение
Ч-Б ЦВ
G R1 R3 G R1 R3
Бикубическая 6,657 5,971 6,081 6,534 5,279 5,939 6,077
Билинейная 6,805 5,264 5,071 6,356 4,984 5,737 5,703
Ближ. сосед 6,431 4,588 4,945 6,841 5,474 5,211 5,582
Cреднее арифм. значение 6,631 5,275 5,366 6,577 5,246 5,629 5,787
Анализ приведенных выше данных позволяет сделать вывод, что изменение значения Hmin при визуальном анализе изображения с использованием различных алгоритмов интерполяции при масштабировании соизмеримо со среднеарифметическим значением среднеквадратического отклонения (СКО) Hmin в процентах относительно среднего арифметического Нтт. Этот факт говорит о незначительном изменении значения разрешающей способности, а, следовательно, и Hmin при использовании различных алгоритмов интерполяции в ходе визуального анализа изображений штриховых тест-объектов.
Подробно анализируя зависимости Hmin от цвета изображения и типа используемой миры при различных методах интерполяции, представленные
на рисунке 17, видно, к примеру, что, для черно-белого изображения разброс между значениями ИтЫ, оцененными с использованием методов «ближайший сосед» и бикубической интерполяции, больше на 2,5%, чем для цветного изображения. Аналогичное соотношение можно наблюдать и при сравнении методов «ближайший сосед» - билинейная интерполяция, где разброс незначителен и составляет 1% (таблицы 3-6).
Таблица 3 - Зависимость ИтП от цвета изображения и типа используемой миры при различных методах интерполяции (черно-белое изображение)
Тип интерполяции Итп , м
G R1 R3
Бикубическая 1131,543 1053,993 1137,042
Билинейная 1078,622 1009,506 1073,069
«Ближайший сосед» 1028,135 967,737 1044,168
Таблица 4 - Сравнительная оценка значений ИтП определенных при использовании различных методов интерполяции (черно-белое изображение)
Тип интерполяции Разница между значениями ИтП, % Среднее значение, %
G R1 R3
«Ближайший сосед» -Бикубическая 9,139 8,184 8,168 8,497
«Ближайший сосед» -Билинейная 4,677 4,221 5,626 4,841
Таблица 5 - Зависимость ИтП от цвета изображения и типа используемой миры при различных методах интерполяции (цветное изображение)
Тип интерполяции Итп , м
G R1 R3
Бикубическая 1144,015 1046,959 1135,284
Билинейная 1102,380 1013,697 1085,299
«Ближайший сосед» 1066,593 1005,482 1053,984
Таблица 6 - Сравнительная оценка значений Иmin определенных при использовании различных методов интерполяции (цветное изображение)
Тип интерполяции Разница между значениями ИтП, % Среднее значение, %
G R1 R3
«Ближайший сосед» -Бикубическая 6,768 3,962 7,161 5,963
«Ближайший сосед» -Билинейная 3,639 3,177 4,403 3,740
В целом значения ИтП, полученные по цветным изображениям, на 1,3% выше, чем по черно-белым (преобразованным из цветных) рис. 18.
Из выше сказанного следует, что перевод цветного изображения в черно-белое не обеспечивает увеличения разрешающей способности.
Анализ зависимости ИтП от типа используемого тест-объекта (рис. 19) показывает, что более высокое значение разрешающей способности, было получено при использовании двухштриховой разнесенной миры ^) (темносерые штрихи на светло-сером поле) и трехштриховой разнесенной миры ^3) (светло-серые штрихи на темно-сером поле, три штриха между соседними группами полос) по сравнению с трехштриховой традиционной мирой ^1).
Полученные в работе результаты помогут создать подробные методики оценки качества цифровых изображений, полученных современными цифровыми аэрофотографическими системами, а также оценить технические характеристики последних с использованием различных типов штриховых тестовых полигонов.
Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, проект 08-08-00613
Литература
1. Красильников Н.Н. Цифровая обработка изображений. - М.: Вузовская книга, 2001.
2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. - М.: Главная редакция физико-математической литературы, 1984.
3. Математическая энциклопедия. Под редакцией И.М. Виноградова. -М.: Советская энциклопедия, 1977.
4. Дик Мак-Клелланд, Лори Ульрих Фуллер. Photoshop CS2. Библия пользователя.: Пер. с англ. - М.: ООО «И.Д. Вильямс», 2006.
5. Battiato. S.. Gallo. G., and Stanco. F. A locally-adaptive zooming algorithm for digital images. Image and Vision Computing, 2002.
6. Chen. M.. Huang. C. and Lee. W. A fast edge-oriented algorithm for image interpolation. Image and Vision Computing, 2005.
7. Li. X. and Orchard. M. T. New edge-directed interpolation. IEEE Trans, on Image Processing, 2001.
8. Muresan. D. and Parks. T. Adaptively quadratic (aqua) image interpolation. IEEE Transactions on Image Processing. 13(5), 2004.
9. H. Hou and H. Andrews, “Cubic splines for image interpolation and digital filtering,” IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing, 1978.
