CC BY
58
Северцев Н.А., Бецков А.В., Самокутяев А.М.
ВЦ РАН им. А.А. Дородницына
Академия управления МВД России.
космонавт-испытатель.
К ВОПРОСУ ОБ УТРАТЕ РАБОТОСПОСОБНОСТИ СИСТЕМ
Аннотация. В статье разработан подход и модели утраты работоспособности систем, влияющие на безопасность функционирования на основе аддитивно-марковских моделей расходования ресурса.
Как известно, строгого понятия ресурс системы не имеется, анализируется интуитивное понятие ресурса и его меры §, на которой строится теория расходования ресурса. Поэтому вместо понятия ресурса будем характеризовать функционирование системы ее работоспособностью. В качестве таких характеристик могут быть: вектор состояния параметров системы, изменение вектора фазовых координат, вектор возмущений параметров внешней среды, моменты отказов элементов (блоков, агрегатов) системы и др. Причем моменты отказов будут являться основной причиной потери работоспособности, на которую влияют множество причин и факторов. Поэтому мы будем исследовать потерю работоспособности системы по причине ее отказов.
Обозначим моменты отказов системы (изделия) как , i = 0, n — 1 Если на систему (изделие)
производится какое-то воздействие в режиме 4± в течение времени т, т < 4± , то продолжительность ее функционирования уменьшится и станет равной 4± — т, т = 0,n — 1 . Будем «изменять» моменты отказов в долях То (средняя наработка на отказ).
При этом справедливо условие
м4о = 1. (1)
Величину т можно рассматривать как характеристику утраты данной системой (изделием) работоспособности. Зафиксируем произвольное значение 0 < т < t и определим характеристику утраты эффективности функционирования системы на временном интервале [т, t] . Обозначим ее как q(i; t; 4±) . Очевидно, что
10, если т >£j т, если ^ >т,£; <т t — т, если ^ >т
Усредним функцию qfa; t; 4±) , зависящую от случайной величины 4± . Тогда получим Mqfa; t; §i) = : QOc; t; §i) — обобщенную характеристику утраты эффективности работоспособности системы на временном отрезке [т, t] при воздействии на систему (изделие) в режиме §i . Для определения показателя Q(t; t; ^i) необходимо знать функцию распределения Fi (t): = P(4i < t), i = 0, n,n — 1 .
На практике, как правило, такая информация не известна. Поэтому будем вместо Qfa; t; §i) выбирать другие характеристики Ь(т; t; §i) , которые должны быть тесно связаны с Qfa; t; §i) , являясь некоторым оператором, т.е. L(§i) = AQ(§i), i = 0, n — 1 . Однако не все операторы подходят для решения задачи. Функции Lfa; t; §i) должны также характеризовать безопасность функционирования системы (изделия) и удовлетворять следующим условиям. Чем больше значение LCs; t; §i) , тем больше утрата безопасности системы (изделия) и наоборот. Поэтому, будем предполагать, что функция Lfa; t; §i) (где §i — некоторый допустимый режим воздействия на систему (изделие)) удовлетворяет следующим условиям.
Обозначим Е — множество допустимых режимов воздействия на систему, которое состоит из Е и всех переменных режимов, составленных из исходных режимов i € Е. Рассмотрим. Пусть качество функционирования некоторой системы характеризуется двумя параметрами x1 и x2 . Наша задача -установить функциональную зависимость y(x1, x2) между ними. Предположим, что имеется n систем и у каждой из них удалость получить количественные оценки параметров x1 и x2 , т.е. получить информацию ( xj и ), где xj и xj — значение параметров соответственно x1, x2 i-й системы (изделия) , i = 1,n . Если в пределах погрешности измерений точки (xj , xj ) лежат на кривой, описываемой уравнением y(x1, x2) = 0, то между параметрами x1 и x2 существует функциональная зависи-
мость V[/(xi, х2) = 0 (рис. 1а, 16), в противном случае ее нет.
Наблюдаемых и одновременно не наблюдаемых параметров.
Представленный подход - это методология установления, является основной (доминирующей) в физике, химии, биологии и других областях науки. При интенсивных воздействиях на систему (изделие) такая методология не пригодна. У исследуемой системы нельзя измерить моменты отказов §0(^0) и 4i(®0) . При воздействии на i-ю систему (изделие) с конструкторскими параметрами ©0 в режиме §1 можно определить момент отказа (©) . Однако при этом система изменит свои первона-
1
z
•оиа
$
§
$
('№
• иинояоАинои'пхнАф ээ ndu Аиоооио он XHaooHotfooa ниижэй HHOxaoootfodu OHaHoodooaxxH g *3Hd og
(L) -^ > a > П Hdn (°3 .'4 + П - a 'o)7 =
= (:j .'a '1)7 + (:3 :l ' о) 1 = (3 •'n ' 0) 1 311231 вояшк1гэЦэсЗцо
ootfAg [U 'o] охояАоони eh (хихоНои) шэлоиэ иооондоооноооодоА xdooou хонАоииАо 'nooodgo шнв^
• ((g) оияохоА) (| yq.) U иооондоооноооодоА raoodoA anioodoHO xoooxxotfoduo онноноонНо оон ухин -eiretTeduoed ниАхнАф хи и шэлоиэ (aooooodiio) яооноиохо яооохоо яооноиои оо иоШхоияоо 'ниоооио хиноясАиноиАхнАф XHHOtnodxodu охияоАн ооо — U оон 'ииооиоо OHXxooHdoatfodn • [U yo] охоАжоиоАн а ниоооио noooHgooouoooogod AoodoA HHXotfoduo 'иооояохАои и noooHaHOHtftfo валоиоаэ хАояхонои
О) • (°3 -a 'o)7 = (l3 •'ч 'o)7
ояоонояоА ей xoooxxotfoduo OIЛIИжed оаоле i яoooняxeoижxotfodц • IAIИжэd иихооеж eexog oeAaoonetf (euxetfon) Аиэ^оио он оон 'оеононоо ооо 00 ysq. > a > xq. инод
(S) -I7 > a > 0 Hdn (°3 .'a '0)7 = (^'a '0)1
*[g] я IЛIHннeжoнtfedu 'ixotfooeiAi воиэХеаяоиоод *яооонооио (аЛноэьилЕЮ) яЛнаяв -иАнеооп ини aAxoeHHixoHHtf oeoiioxoutfedu гамеооио noooHgooouoooogod xdeoou oih 'яоооино ixetfAg
о
(f-) H э 3ax = (3 'a) др(!#:<1‘о)7 J = (T3 -a 'o)7W
*0*0 'АИОООИО BH ХИЯОО
-notfooa яoIAIИЖ0d хннжоиаоя Х0эя xxtf и он yg э xxtf oxairoi 0H eaxHtfoaeduo (g) exaodniAidoH oih 'iaioo я оиооооо 0HH0FiHHedjo оонянооинноиоЦ *(g) аияоноА HoxdoaoexaotfA oetfAg xodooox y To / (T|
/а 'о)! ниеооио noooHgooouoooogod xdeoou AxnooMdeoxodox aAoAdtf ixetfeaa (T| .ya 'о)! оюяия оо
i-«‘o = т 'x * т= 'о < т= = (т3 'о)ти
инод
(е) -а э т3д х = (3 •'« 'о)ти
ООН 'iAi^oLfoutfodn • (HMxetfsM) ниэооио иооондоооиоооодod raoodoA ooetiodu ээШа -бяноипо y0HH0HaedA i/MMdooiAiooog • XMHOHetfeduood хиАхнАф ооэ — (q. > (|) a) <3 = yq.)H ииноноодо
• ион
-ининэя ионивнАю во10К1гав и q. яооонАэиооА оээии (|) а онияоАц • ондоооиоооодоА он оиэооио оон 'иэооино Aixodooox оноонооо у (|) а охияеАн яоеяояяхонои inotTAg 5 зояеноо яооноиои ооооид • д
U+^g.*U+I J-Ц
| и+1/-"> ] ц-f, '/-Ч a
i I i
! ;
= (I -а 'i)t
l
otTna я Honaeootrodu онжои (3 -a 'i)7 аиАннАф etfjog
. JP О ^‘0)7
: (3 '7)П
HHaooHotTsoa 00H он одонаиоооАдв ooeoaxAsod
Н1Н0ООИО HoooHgooouooooged HoedoA яоооАоно HtToaa (t -'7 '0)7 ииАннАф HoooHdoiAised яоияиноц *1
• HHHeaosedgoodu ontnaAtToxo aoexotTo OHsedgooooxod HHHeaotfoifooH xntnaAtToxo
-OU вяшодоЦЛ BIгЦ -g э 3 ' (3 .'7 + l '1)7 = (3 -a + 0 '0)7 oi ' (l3 !i 'o)7 = (s3 -0 '0)7 Miroa
•0tTna iAiotnaAtToxo я ялвоиива онжои оияоноА oog HHHOxaoootTodu ионнояооихоиАоф д • (Армоооио он onaooHotrsoa ооняиоооАоо ооннохяоАн -ОН0Х0А онжоиооя) 01Д1ИЖ0А iaiohoh я - odAood оооо нооодоАня wosedgo иинон уоооо оо оиоияоо он и 1 xiAioda os (I -1 '0)7 iAioxmodu я oodAood оооннооодоАня ннинихоя оо оиоияоо (3 -а '1)7 ниАннАф
•00tnaAtT0XO HHH0Lf0tf0dUO 1А10ГПОН Я ИОООЯОНАОИ 0ИЯОХОЛ
*u0> ■" > s0 > x0 хндсяьг ndu
Z=!
(г) аэ| ‘(O'rIO)7g = (3-u0'l0),i
0ИН0ШОНОООО 00Шдо 00xog ооомооня otTaooo • (| -7 '0)7+ (3 -7 '1)7= (3 -7 ' 1) 7
oaooHoaod oanxtToaoduo (q. yi) э Q йодах ndg • HoooHanoHtrtro оияохоА iAindooiAiooog • HiAiHiAiootTaxgoH OHHOiaodaoHtro оаояноон (°©) °| и (°C9) x| HdooiAiodon *оноо0яои он ootfAg ((°co) ‘ (°co)x^) edooxoa ооонионАхо oohohouiaioh xodooa о y (°co) ^
osoxoo ОН01ЛЮ1Л1 iAinxotroduo hiai 0ooooxAo0d g xnaooHotrooa 0IAIИЖ0d я o0Adинoи'пxнAф (оихо^ои)
OIAI0Oоио х-т otroox уо0охинооя хиАоАоио xohhhiIoxohv • (дд *ond) ((°©) ‘ (°®) °5) edooxoa ооонион
-Ахо HOOHHtTdoox ионИо оинононо яоинАхон онжои (оихо^ои) Аиоооио он xnaooHotrooa oxoou 'nooodgo ииход * (°со) °| ооохоо яоияоноооооя оойАд ожА хояхон 00Н xxtT и (°со iodooixodou) ояооиояо онняхон
Преобразованный режим воздействия на систему с n — 1 ступенями
Аналогично поступим при u € [t2, t3] . Первую ступень режима воздействия на систему (изделие) §(\(t) заменим на эквивалентную по утрате работоспособности в режиме §2* Продолжительность воздействия T2 находится из равенства
L(0, t2 — ti +Ti; §1) = L(0, T2; §2). (8)
Снова используя условия (1) и (2), запишем суммарную утрату работоспособности на временном промежутке [0, u] в виде
L(0, u; §) = L(0, Т2; §2) + L(T2 — ti +Ti, u — ti + X2; §2) =
= L(0, u — t2 + X2; §2), t2 < u <t3. (9)
После замены первой ступени в на эквивалентную согласно (9) получим переменный режим
воздействия на систему (изделие) как ^^(t) с n — 2 ступенями (рис. 3)
&
$
1 1 1 1 1 1 1 1
Тг 1 1 1 1 1 1 ft ft 1 1 1 1 1 1 1 | t„~ti 1 t
Рис. 3
b-ti+ъ
Иллюстрация переменного режима воздействия
Ж 2)
Исходя из (1 - 3), методом математической при любых u € (tj, tj+i), j = 0, n — 1 , tn = + w.
s j
L(0, u; § ) = £L (Tk, tk+i — tk + Tk; §k) +
индукции можно получить выражение для L(0, u; § )
+ L (Tj, u — tj + T; §j). (10)
Значения tj определяются из рекуррентных выражений L(0, Ti; §i+i) = L(0, ti — ti—i — Ti—i; §i—i), (11)
i = 0, 1, T0 = t0 = 0.
Введем функцию
Г 0,0 < t < t1
v(t, 1) = У, t1 < t < t_,
Г 0, 0 < t < tj
y(t, II •j tj, t < t < t2
и
p(t, 1) = G(t, | ) - \|/(t, | ) + t.
Тогда (10) и (11) можно представить в виде
L(0, 0; |) = \KP{t,iU,)dt= L(0, P(u, | ) ; 1 )
о
Здесь £ означает режим § е Е, в котором система функционировала в момент времени t.
После замены в (4) характеристики L(0, u; §) на правые части (12) получим два уравнения, описывающие процесс утраты работоспособности системы при воздействии на нее любого переменного режима
о о
и
J Ц0,Р(и, |), 4)dH(vJ) = \
о
ЛИТЕРАТУРА
1. Карташов Г.О. Аддитивно-марковские модели расходования ресурса // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1997. № 2.
2. Пешес Л.Я., Степанова М.Д. Основы теории испытаний на надежность. Минск: Наука и жизнь, 1972.
3
