CC BY
20
УДК 681.51
DOI 10.1555/2409-3203-2017-0-10-99-103
К ВОПРОСУ ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ПРОБЛЕМЫ ГИБРИДНЫХ СИСТЕМ С
ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
Яблонский Дмитрий Владимирович
к. т. н., доцент кафедры прикладной информатики Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского,
Арзамасский филиал, РФ.
Россия, г. Арзамас [email protected].
Аннотация. Под гибридной стохастической системой с запаздыванием понимают систему, пространство состояний которой состоит из непрерывной и дискретной компонент. При этом динамика непрерывной компоненты описывается стохастическими дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом, а динамика дискретной части - цепью Маркова с дискретным числом состояний. В представленной работе исследовалась история изучения проблемы робастных систем с запаздыванием. Значительным недостатком работ, посвященных исследованию устойчивости гибридных систем с запаздыванием, является зависимость полученных результатов от интенсивностей перехода между отдельными режимами. В реальных же процессах определить вероятности перехода между отдельными режимами достаточно трудно, а зачастую просто невозможно. Поэтому актуальной является задача получения таких условий устойчивости, которые бы не зависели от интенсивностей перехода.
Ключевые слова: системы с запаздыванием, робастная устойчивость, робастное управление, стохастические системы, нелинейные гибридные системы.
TO THE QUESTION ABOUT THE STUDY OF THE PROBLEMS OF HYBRID
SYSTEMS WITH DELAY
Yablonskii Dmitry Vladimirovich
Сandidate of Technical Sciences, Docent Department of Applied Informatics.
The State University of Nizhni Novgorod Arzamas branch, Rashia, Arzamas [email protected].
Abstract. Under a hybrid stochastic system with delay understand the system, the state space consists of continuous and discrete component. The dynamics of the continuous components is described by stochastic differential equations with retarded argument, dynamics and the discrete part of the Markov chain with a discrete number of States. In the present work we study the history of studying the problem of robust delay systems. Significant lack of works devoted to investigation of stability of hybrid systems with delay is the dependence of the results obtained from the intensities of transition between the individual modes. In real processes to determine transition probabilities between individual modes is difficult, and often simply impossible. Therefore, an
important problem is obtaining such conditions of stability, which would not depend on the intensity of the transition.
Keywords: Time-delay systems, robust stability, robust control, stochastic system, nonlinear hybrid systems.
В настоящее время все больший интерес у исследователей вызывают процессы и системы, математические модели которых описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, параметры которых - случайные функции времени. Среди таких систем выделяют класс так называемых гибридных систем, отличительной особенностью которых является наличие в пространстве состояний двух компонент: дискретной и непрерывной.
Примерами таких систем могут служить системы с возможными нарушениями (типа «отказ - восстановление»), многорежимные динамические системы, в которых смена режима определяется характером протекания некоторого внешнего случайного процесса (обнаружение цели), системы массового обслуживания. Поскольку одним из основных условий физической реализуемости процесса является его устойчивость, то изучение таких процессов привело к необходимости создания соответствующего направления в теории устойчивости.
Теоретические основы исследования устойчивости и управления гибридными системами были заложены в работах И.Я. Каца [3, 4, 5], Н.Н. Красовского [7, 8, 9], Е.А. Лидского [9]. К настоящему времени изучению гибридных систем посвящено множество работ, из которых, не претендуя на полноту, отметим монографии И.Е. Казакова и В.М. Артемьева [3], В.А. Бухалева [1,2], Мэритона M. [16], статьи П.В. Пакшина [17], Д.В. Яблонского [13, 17].
Многие реальные процессы в природе и технике имеют последействие, т.е. их поведение определяется состоянием не только в текущий момент, но и в предшествующие. В других случаях характерным является транспортное запаздывание. Примерами могут служить динамические системы, управляемые на значительном расстоянии (робот-луноход), системы с трубопроводами большой длины и т.п.
Типичной гибридной стохастической системой с запаздыванием является динамическая система массового обслуживания управляемая на расстоянии (энергосистемы, смесительные системы в химической технологии). В этих системах непрерывная компонента вектора состояния описывается дифференциальным уравнением с запаздывающим аргументом, а дискретная компонента, характеризующая режим работы системы, представляет собой марковскую цепь с конечным числом состояний. Примеры показывают, что поведение решений систем без учета запаздывания, даже при малой его величине, может существенно отличаться от поведения решений тех же систем с запаздывающим аргументом. Это обстоятельство подчеркивает необходимость и принципиальную важность изучения систем с запаздыванием.
Системы с запаздыванием начали активно изучаться сравнительно недавно. В СССР первые работы в этом направлении связаны с именами Л.Э. Эльсгольца, А.Д. Мышкиса [10], Г.А. Каменского, Н.Н. Красовского [7, 8, 9], Б.С. Разумихина [11]. Существенный вклад в развитие теории внесли В.Б. Колмановский, В.Р. Носов [15], Д.Г. Кореневский [6] и ряд других ученых. Среди работ, посвященных исследованию устойчивости и управления гибридными системами с запаздыванием, следует отметить работы Бенжеллуна К., Букаса E.K. [15], Као И.И., Лэма Й. [18].
Недостатком данных работ является то, что достаточные условия стохастической устойчивости и законы управления, полученные авторами, зависят как от режима, так и от вероятностных характеристик смены режимов, поэтому их применение проблематично в
100
условиях реально функционирующей системы управления. Определенным выходом из положения может служить применение робастного подхода к анализу и синтезу гибридных систем управления.
При изучении процессов, происходящих в природе и технике, в настоящее время по большей части, используются математические модели, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями. Считается, что поведение системы в будущем зависит только от ее состояния в настоящий момент времени. Однако всякий раз, когда в рассматриваемой физической или технической задаче сила, действующая на материальную точку, зависит от скорости и положения этой точки не только в данный момент, но и в момент, предшествующий данному, такой подход, вообще говоря, не является правильным и мы естественным образом приходим к процессам с последействием или с запаздыванием.
Наличие запаздывания в изучаемой системе зачастую оказывается причиной явлений, существенно влияющих на ход процесса. Например, в системах автоматического регулирования запаздыванием является промежуток времени, принципиально всегда имеющийся, который нужен системе для реагирования на входной импульс. Наличие запаздывания в автоматической управляемой системе может вызвать появление самовозбуждающихся колебаний, увеличение перерегулирования и даже неустойчивость системы. Причиной неустойчивости горения в жидкостных ракетных двигателях является, как принято считать, наличие времени запаздывания, времени, необходимого для превращения топливной смеси в продукты сгорания, и т.д.
Технологические и конструктивные усовершенствования требуют учета явлений последействия и в традиционных областях техники. Например, при изучении процесса впрыска топлива для современного быстроходного дизеля.
Таким образом, для изучения процессов с последействием приходится применять математические модели, описываемые дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом.
Дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом называются дифференциальные уравнения, в которые неизвестная функция и ее производные входят,
вообще говоря, при различных значениях аргумента. Например,
х(?) = /(7, х0 - Г)), Т > 0
или уравнение более общего вида
= /(*> х(0> - т\ X - т\ X■ ■ ■ > - X - )Х тч > (я = 1, • • • > ^Х
Впервые отдельные уравнения такого типа появились в литературе во второй половине XVIII столетия (Кондорсе, 1771 г.), но систематическое изучение уравнений с отклоняющимся аргументом началось лишь в XX веке (особенно в конце сороковых годов - А.Д. Мышкис, Л.Э. Эльсгольц, Е.М. Райт и Р. Беллман) в связи с обилием приложений в ряде прикладных наук, например, в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем, при изучении проблем, связанных с горением в ракетном двигателе, проблем долгосрочного прогнозирования в экономике, ряда биофизических проблем и во многих других областях науки и техники, число которых неуклонно расширяется.
Основной заслугой Л.Э. Эльсгольца является то, что он одним из первых, оценив значение и перспективы этой области, организовал ее всестороннее изучение, которое привело в конечном итоге к оформлению теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом как самостоятельной области математического анализа. В 1950 г. на заочном отделении механико-математического факультета МГУ (Москва) им был организован семинар по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся
аргументом, который стал общепризнанным центром исследований в данной области той поры.
При изучении реальных систем с последействием в качестве исходного приближения предполагалось, что запаздывание Т постоянно. Такое рассмотрение представляет собой шаг вперед по сравнению с моделью "идеального" процесса, которая получается, если предположить, что последействия вовсе нет, что "срабатывание" происходит мгновенно. В ряде случаев предположение о том, что Т = const, хорошо отражает действительные явления, например, когда запаздывание связано с передачей звукового сигнала, с гидравлическим ударом или другим волновым процессом. В других случаях такое предположение описывает процесс лишь приближенно. Более полный анализ показывает, что в ряде важнейших случаев в реальных системах запаздывание Т зависит не только от времени, но и от самой искомой функции и даже ее производных. В некоторых случаях естественно предположить, что указанная зависимость вообще не является детерминированной, а имеет случайный характер.
Обилие процессов с последействием стимулирует бурное развитие теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, и в настоящее время эта теория принадлежит к числу наиболее быстро развивающихся разделов теории дифференциальных уравнений и теории управления.
Литература:
1. Бухалев В.А. Оптимальное управление в системах со случайной скачкообразной структурой // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1992. No. 4.
2. Бухалев В.А. Распознавание, оценивание и управление в системах со случайной скачкообразной структурой. М.: Наука, Физматлит. 1996
3. Казаков И.Е., Артемьев В.М. Оптимизация динамических систем случайной структуры. М.: Наука. 1980.
4. Кац И.Я. Красовский Н.Н. Об устойчивости систем со случайными параметрами.// Прикл. Математ. и Механ. 1960. Т.27. С.809-823.
5. Кац И.Я. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случайной структуры. Екатеринбург: Изд-во Уральской государственной академии путей сообщения, 1998.
6. Кореневский Д.Г. Устойчивость динамических систем при случайных возмущениях параметров. Алгебраические критерии. Киев: Наукова Думка. 1989.
7. Красовский А.А. Системы управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973.
8. Красовский Н.Н. О применении второго метода Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени. // Прикладная математика и механика. 1956. Т.20. No. 2. С. 315327.
9. Красовский Н.Н., Лидский Э.А.: Аналитическое конструирование регуляторов в системах со случайными свойствами. Ч. I, II, III // Автоматика и телемеханика. 1961. Т.22. С.1145-1150, 1273-1278, 1425-1431.
10. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Гостехиздат, 1951.
11. Разумихин Б.С. Об устойчивости систем с запаздыванием // Прикладная математика и механика. 1956. Т. 20. No. 4. С. 500-512.
12. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Москва: Наука. 1971.
13. Яблонский Д.В. Робастное субоптимальное управление гибридными системами с запаздыванием // Тенденции и перспективы развития современного научного
знания материалы XIII Международной научно-практической конференции. Научно-информационный издательский центр "Институт стратегических исследований". 2014. С. 45-50.
14. Benjelloun K., Boukas E.K.: Stochastic Stability of Liner Time-Delay System with Markovian Jumping Parameters // Mathematical Problems in Engineering, 1997. V.3. P.187-201.
15. Kolmanovskii V.B., Nosov V.R. Stability of functional differential equations. London. Academic, 1986.
16. Mariton M. Jump linear systems in automatic control. Marcel Dekker, Inc., New York, 1990.
17. Pakshin P.V., Yablonskii D.V. Robust stability and control of hybrid stochastic systems with time-// European Control Conference, ECC 1999 - Conference Proceedings 1999. С. 2164-2169.
18. Yong-Yan Cao, James Lam Stochstic stabilizability and control for markovian jump time-delay systems //Proceedings of 14th World Congress of IFAC. China. 1999. P.235-240.
