К вопросу об аппроксимации дифференциальных включений с невыпуклой правой частью Текст научной статьи по специальности «Математика»

Рассмотрим задачи

СCx)(t) € F(t,x), t е [а, 6]; lx € <p{z)\ (2)

(£x)(i) G со F(t,x), t 6 [а, 6]; /х € <^(х); (3)

(£х)(<) б ext(coF(£,x)), t € [а,Ь]; /х € <^(x). (4)

Пусть Я, Ясо,#ехь множества решений задач (2) - (4), соответственно. В докладе рассматривается вопрос об условиях выполнения равенств Я = = #ехt = Ясс , где Я, Яехе - замыкания соответ-

ствующих множеств в пространстве Сп[а,Ь].

1. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 497 с.

2. Булгаков А.И., Ткан Л.И. Возмущение выпуклозначного оператора многозначным отображением типа Гаммер-штейна с невыпуклыми образами и краевые задачи для функционально-дифференциальных включений // Матем. сб. 1998. Т. 189. №6. С. 3-32.

К ВОПРОСУ ОБ АППРОКСИМАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С НЕВЫПУКЛОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

В.В. Скоморохов

Пусть 1йп - n-мерное пространство с нормой | • |, сошр[Мп] - множество всех непустых компактов пространства Кп , со(-) - выпуклая оболочка соответствующего множества, Сп[а, Ь] - пространство непрерывных функций х : [а, Ь] -> Еп с равномерной топологией сходимости.

Обозначим через К([а,Ь] х К" х [0, оо)) множество всех функций г] : [а, 6] х lRn ж [0, оо) -> -> [0, оо), обладающих следующими свойствами: при каждых (х,5) € Кп х [0, оо) функция г/(-,х,<5) измерима; при почти всех t € [а, 6] и всех S € € [0, оо) функция T](t,-,S) непрерывна; для каждых U е comp[Rn] и <5 6 [0, оо) существует такая суммируемая функция ти,б ' [а5&] [0>о°)5 что

при почти всех t € [а, Ь] и всех х 6 U и т G [0,5] выполняется неравенство т/(£,х,т) ^ тщ$(£); при почти всех t € [а, 6] и каждого х 6 К" выполняются равенства lim rj(t,z,6) = 0, r)(t,x, 0) = 0. i-»0+0

Рассмотрим дифференциальное включение

x(t) € F(£,x(t)), te[o,b], (1)

где отображение F : [а, b] х Rn -> сошр[Кл] удовлетворяет условиям Каратеодори.

Будем говорить, что многозначное отображение F : [а, Ь] х 1Г х [0, оо) —У

-> comp[lRn] аппроксимирует отображение F : [а, Ь] х R” -> сошр[Кп], если найдется такая функция £(•,•,•)€ #(¡0,6] х Rn х [0,оо)), что при почти всех t е [а, 6] и всех (х, Ö) € х [0, оо) выполняется оценка

hlF{ttx),F(t,xtS)]^Z{t,zt6). (2)

Отображение F(*, •>*) будем называть аппроксимирующим отображение F(-, •) или просто аппроксимирующим. Функция £(•»•>') € К([а,Ь\ х х Кп х [0, оо)) в неравенстве (2) определяет степень близости значения F(t,x,S) в точке (t,x) € £ [а, Ь] х RTl к значению F(t, х) для каждого фиксированного 6 £ [0,оо). Эту функцию £(-,-,•) будем называть степенью аппроксимации отображения F : [а, 6] х ln -) comp[Kn] отображением F : [а, 6] х En х [0,оо) —> comp[En] или просто степенью аппроксимации. Будем считать, что F(-, •, •) определяет способ или метод аппроксимации отображения F(-,-).

Рассмотрим дифференциальное включение

x(t) £ со F(t,x(t)), t £ [а, 6]. (3)

Пусть V - ограниченное замкнутое множество пространства Сп[а,Ь]. Обозначим H(V), Hco(V) множества решений включений (1),(3), принадлежащие множеству V £ Сп[о, Ь], соответственно.

В докладе доказывается, что выполнение ра-венства H(V) = Hco(V) (принцип плотности), где H(V) - замыкание множества H(V) в пространстве С” [а,6], является необходимым и достаточным условием для сходимости множеств решений дифференциальных включений, порожденных отображением F : [а,Ь] х х [0,оо) -> -> сотр[Кп], аппроксимирующим отображение F : [а, 6] х 1" 4 comp[Rn], определяющее дифференциальное включение (1).