К вопросу о знакопостоянстве функции Грина двухточечной краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929 © В. П. Плаксина

К ВОПРОСУ О ЗНАКОПОСТОЯНСТВЕ ФУНКЦИИ ГРИНА ДВУХТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Сформулированы условия знакопостоянства функции Грина двухточечной краевой задачи для функциональнодифференциального уравнения второго порядка.

Ключевые слова: функционально-дифференциальные уравнения, краевые задачи, функция Грина.

Пусть Ш2 — пространство функций х: [а, 6] ^ М, первая производная которых абсолютно непрерывна на отрезке [а, 6]. Это пространство изоморфно прямому произведению Ь х М2. Пусть, далее, Ш2Б(в) — пространство функций у: [а, 6] ^ М, первая производная которых абсолютно непрерывна на отрезках [0,8) и [8,6], а в точке в € (а, 6) может иметь конечный разрыв. Вторая производная функций из пространства Ш2 Б (в) суммируема на отрезке [а, 6]. Пространство Ш2Б (в) изоморфно прямому произведению пространств Ь х М3.

Рассмотрим двухточечную краевую задачу для функционально-дифференциального уравнения второго порядка

( (Сх)(г) = х(г) + (Тх)(г) = /(г), г € [а, 6]

|х(а) = 0, х(6) = 0 Здесь Т: Ш2 ^ Ь — вполне непрерывный оператор.

Пусть задача (1) однозначно разрешима. Тогда ее решение в пространстве Ш2 имеет вид х(г) = ^ С(г, в)/(в) ^в, где С(г, в) — функция Грина задачи (1). Функция С(г, в) при каждом фиксированном в € (а, 6) является решением краевой задачи

Г(Су)(г)=0, г € [а,6]

\у(а) = 0, у(6)=0, у(в) - у(в - 0) = 1

в пространстве Ш2 Б (в). Оператор С: Ш 2 Б (в) ^ Ь является расширением оператора С на пространство Ш2£(в).

Н.В. Азбелев сформулировал следующий критерий знакопостоянства функции Грина задачи (1) [1, теорема 2.2, стр. 140]: функция Грина задачи (1) сохраняет свой знак при г, в € (а, 6) тогда и только тогда, когда для всех в € (а, 6) и всех т € (а, 6) в пространстве Ш2£(в) однозначно разрешима краевая задача

Г(Су)(г) = 0, г € [а, 6]

\у(а) = 0, у(6)=0, у(т )=0

Следствием этого критерия являются следующие необходимые условия знакопостоянства функции Грина.

Теорема 1. Если задача (1) однозначно разрешима и ее функция Грина сохраняет знак, то в пространстве Ш2 однозначно разрешимы следующие краевые задачи:

{(Сх)(г) =0, г € [а, в], а ^ а < в ^ 6,

|х(а) = 0, х(в) = 0,

((Сх)(г) = 0, г € [а,в], а < а < 6,

1 х(а) = 0, х(а) = 0,

|(Сх)(г) =0, г € [а,в], а < в < 6,

|х(в) = 0, х(в) = 0.

(2)

Отметим, что в формулировке задач (2) и (3) равенства а = а и в = b невозможны. Пример,

подтверждающий этот факт, был найден среди обыкновенных дифференциальных уравнений.

2

Действительно, рассмотрим краевую задачу x(t) — —x(t) = 0, ж(0) = 0, ж(1) = 0. Эта задача является сингулярной, но критерий Н.В. Азбелева знакопостоянства функции Грина переносится на такие задачи практически дословно. Функция Грина рассматриваемой задачи имеет

вид Git} s) = -s)- *3(1~/3), где 9(t) = Ih еСЛИ t ^ °’ Очевидно, что G(t, s) < 0

3s2 3s2 [0, если t< 0.

2

при (t,s) € (0,1) x (0,1). Однако задача x(t) — ~x{t) = 0, x{(3) = 0, ж(0) = 0, ж(0) = 0 имеет нетривиальное решение x(t) = ct3 с произвольной постоянной с. Отметим, что все задачи вида

2

ж (t) — -x(t) = 0, ж (ск) = 0, ж (а) = 0 при а > 0 однозначно разрешимы.

Список литературы

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функциональнодифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Институт компьютерных исследований, 2002. 384 с.

Поступила в редакцию 15.02.2012

V. P. Plaksina

Conditions of fixed sign of Green function of two-point boundary value problem for functional differential equaiton

Conditions of fixed sign of Green function of two-point boundary value problem for functional differential equations of second order are obtained.

Keywords: functional-differential equation, boundary value problem, Green function.

Mathematical Subject Classifications: 34K06, 34K10

Плаксина Вера Павловна, к.ф.-м.н., доцент, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, 614990, Россия, г. Пермь, Комсомольский пр., 29. E-mail: [email protected]

Plaksina Vera Pavlovna, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Perm National Research Polytechnic University, Komsomolskii pr., 29, Perm, 614990, Russia