К вопросу о взаимосвязи величин метрик и их весов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЯКІСТЬ, надійність і сертифікація ОБЧИСЛЮВАЛЬНОЇ ТЕХНІКИ І ПРОГРАМНОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ

УДК 621.3.019.3

А.В. ФЕДУХИН*, В.Н. ЯРОШЕНКО*, Ар.А. МУХА*

К ВОПРОСУ О ВЗАИМОСВЯЗИ ВЕЛИЧИН МЕТРИК И ИХ ВЕСОВ

Институт проблем математических машин и систем НАН Украины, Киев, Украина_

Анотація. Шляхом введення нових змінних розглянуто питання аналітичної оцінки ваг метрик атрибутів гарантоздатності систем. Розроблено базовий підхід до комплексної кількісної оцінки рівня гарантоздатності комп ’ютерної системи.

Ключові слова: атрибутивна модель гарантоздатності, атрибути метрики, нормовані оцінки, ваги, змінні.

Аннотация. Путем введения новых переменных рассмотрены вопросы аналитической оценки весов метрик атрибутов гарантоспособности систем. Развивается базовый подход к комплексной количественной оценке уровня гарантоспособности компьютерной системы.

Ключевые слова: атрибутивная модель гарантоспособности, атрибуты, метрики, нормированные оценки, веса, переменные.

Abstract. By means of introducing the new variables the questions of analytical evaluation of metric weights of attributes of systems dependability were considered. A basic approach to complex numerical estimation of the degree of computer dependability of systems was developed.

Keywords: attributive model of dependability, metrics attributes, normalized estimations, weights, variables.

1. Введение

В качестве так называемого обобщенного показателя в работе [1] предлагается представить линейный функционал, составляющими которого были бы нормированные значения атрибутов и метрик с соответствующими весовыми коэффициентами. Разумеется, что выбор величин весовых коэффициентов зависит от особенностей конкретной гарантоспособной системы. В случае, когда метрики не представляются аналитическими оценками, их измерение предлагалось осуществлять экспертными методами. Здесь же в статье [1] предложено, основываясь на количественных оценках метрик, получать количественные оценки атрибутов, а далее через них вычислять оценки достигнутого уровня гарантоспособности исследуемой системы для различных вариантов ее исполнения.

Ниже рассмотрен возможный подход к анализу упомянутого выше линейного функционала, представляющего атрибут как функцию составляющих его трех метрик. Полагаем, что с целью минимизации объема аналитических выкладок общность существенно не пострадает, если ограничиться рассмотрением только трех метрик.

Следует отметить, что определение весов показателей различных уровней, включая введенных в [1] понятий атрибутов и метрик, является, очевидно, всегда актуальной задачей как при анализе функционирования гарантоспособных систем, так и при получении сравнительной оценки двух гарантоспособных систем [2].

Определение весов метрик, характеризующих некоторый атрибут, является результатом анализа определенной модели, анализирующей взаимосвязи метрик и их весов. При этом численные значения метрик, как правило, будут отличаться от предлагаемых моделей. Но необходимым требованием к любой такой модели является логическая правдоподобность аналитически описываемого взаимодействия метрики с ее весом.

© Федухин А.В., Ярошенко В.Н., Муха Ар.А., 2015 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 3

191

2. О взаимосвязи метрик и их весов

Пусть дана система с конечным числом атрибутов, и некоторый ее атрибут описывается тремя метриками с именами Bj, B2, B3 и числовыми оценками A1, A2, A3. Необходимо отметить, что далее обозначения A1, A2, A3 будут использоваться в тексте как для имен метрик, так и их численных значений. Различать их нетрудно в контексте изложения.

Предполагается, что система, по аналогии с предложением из [1], представима некоторым показателем в виде линейного функционала P\Aj + Д> A2 + Д3A3, где Д (i = 1, 2, 3)

- численные оценки метрик с соответствующими неизвестными весами Pi , которые предстоит определить.

Утверждение 1. Веса Д (i = 1,2,3) представляют собой функции аргументов

A1, A2 , A3 •

Утверждение 2. Метрики A. (i = 1,2,3) представляются своими нормированными значениями относительно значений, установленных в спецификации (или в соответствующих нормативных документах).

Утверждение 3. Веса Д (i = 1,2,3) являются численным отражением результата взаимодействия процессов функционирования системы, связанных с метриками Д (i = 1,2,3) •

Утверждение 4. Каждая из метрик A. (i = 1,2,3) подвержена влиянию остальных

метрик, а степень этого влияния зависит от количественных оценок, представляющих метрики.

3. Г ипотетические равенства, представляющие сущность подхода

Д2

Д

Дъ

Д

Ai

A9

Л /г

A

A

V A2 + A1 A2 + A3 )/ V A1 + A2 A1 + A3 )

f

\ If

A

1

A

1

A3 +—A3— / ---^ +----

V A3 + A1 A3 + A2 л V A1 + A2 A1 + A3 )

(1)

(2)

Дъ

Д2

ґ A3 , A3 "

v A3 + A1 A3 + A2 )

A2 _ + _ A2

v A2 + A1 A2 + A3 )

(3)

Рассмотрим равенство (1). В нем Д2/Д1 - отношение весов Д и Д , A2/(A2 + A1)

- доля (вес) численного значения величины A2 относительно суммы A2 + A1, A2 / (A2 + A3 )

- относительный вес A2 в сумме A2 + A3 . Сумму этих отношений можно условно называть весом метрики A2 . В полной аналогии с этим величину, стоящую в правой круглой скобке в (2), можно называть весом метрики A^, а величину выражения в левых скобках равенств (2) или (3) - весом метрики A3 .

4. О ранжировании величин метрик Д (i = 1,2,3)

Пусть имеется набор из трех метрик с именами B1, B2, B3, которым могут быть некоторым образом присвоены численные значения. После такого присвоения упомянутые значения располагаются так, что A1 - это максимальное из присвоенных значений, A2 - следующее

192

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 3

по убыванию и, наконец, A3 - минимальное из таких значений. Итак, величины A (i = 1,2,3) образуют цепочку неравенств

А1 ^ А2 ^ А3, (4)

которую можно назвать условием ранжирования (УР). Подразумевается, что не обязательно значение Ai присвоено метрике Bi, а значение A3 - метрике B3, то есть условие ранжирования в различных случаях может соответствовать любой перестановке имен Bi, B2, B3. Разумеется, что при каждом присвоении именам Bi, B2, B3 численных значений можно фиксировать, какой именно перестановке имен соответствуют значения, подчиненные УР.

Следует сделать замечание, касающееся дальнейших рассуждений. Цепочка (4), в которой будут фигурировать знаки только строгого неравенства, также является УР, и именно оно будет использовано далее.

Отсутствие знаков равенства в цепочке (4) в некоторой степени оправдывается не только желанием избежать излишней громоздкости в дальнейшем изложении, но и тем фактом, что полное равенство (например, A2 = A3 ) практически заменимо неравенством при численных расчетах с использованием достаточно большого числа десятичных знаков. Принятое допущение, на наш взгляд, не коснется сути представленной здесь модели.

5. Преобразование вида гипотетических равенств

Эти преобразования очевидным образом получаются посредством деления числителей и знаменателей дробей - слагаемых, стоящих в скобках равенств (1), (2) и (3), на соответствующие величины A (i = 1,2,3). Итак, теперь равенства (1), (2) и (3) примут следующий

вид:

P

Pi

' 1 і 1 '

v1 + A1A2 1 + A3 / A2 і

f 1 , 1 1

v1 + A2/A1 1 + A3/A1 j

(5)

P

P

ґ 1 + 1 1

v1 + p/A3 1 + A2/A3 j

f 1 | 1 1

V1 + A2/A1 1 + A3/A1 ;

(6)

P

P2

f 1 I 1 1

v1 + Р/A3 1 + A2/A3 л

f 1 I 1 1

v1 + p/A2 1 + A3/ A2 у

(7)

6. Введение новых переменных a, b, c

Для слагаемых, находящихся в скобках равенств (5), (6) и (7), введем следующие обозначения:

1

1 + A1 / A2

= a,

1

1 + A1 / A3

b,

(8)

(9)

1

1 + A2 / A3

= c .

(10)

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 3

193

Это равносильно введению в рассмотрение новых переменных a, b, c, зависящих от соответствующих отношений метрик A (І = 1,2,3). Теперь из трех равенств (8)—(10) нетрудно получить выражения для соответствующих отношений метрик A (І = 1, 2, 3).

A\

Так, из ссылки (8) вытекает цепочка следствий a—- + a = 1, откуда

2

Далее

A

A2

1 - a 1

a 1 + A2 ! Aj

1 - a.

A2 A

a

1 - a

< 1 и, как следствие, a <0,5.

(11)

(12)

Здесь использовано положение < Ay согласно с условием ранжирования (4).

bA

тт. ЬЛл , A 1 - b

Из ссылки (9) имеем —1 + b = 1, откуда -1 =---------.

A

A3 b

В итоге получаем

1

= Ъ.

и, как следствие,

1 + AIA

A1 1 - b

A3 = b ’

1

1 + A3/A

= 1 - b

По аналогии, из (10) вытекает

Ao At 1 - С

c----+ c = 1, откуда — =---, и далее

A3

Итак, имеем:

A3 c

1 + A3 / A2 1 + c

1 - c

= 1 - c.

1

1 + A2 / A3

A = Ac

A3 c

1

= c.

1 + A IA

= 1 - c.

■3/ A2

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

Из равенств (14) и (17) и условия ранжирования (4) получаются верхние оценки для переменных b и c :

A 1 - b , 7 ъ г At 1 - c

=----->1, откуда b <0,5; аналогично, —2 =--->1, то есть c <0,5.

A3 b A3 c

В итоге получается, что верхняя оценка для всех трех переменных a , b , c равна 0,5.

1

1

194

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 3

7. Определение двухсторонних оценок для переменных a , b , c

Но сначала получим важное равенство, связывающее эти переменные. С этой целью ис-

A A A

пользуем тождество —1--- = —-. Заменяя отношения метрик их выражениями (11), (14),

А2 Аз Аз

(17) через переменные a, b, c, вместо упомянутого выше тождества получим выражение

1 - a 1 - c 1 - b a c b

(19)

Это равенство назовем равенством связи переменных (РСП). Далее приступим к получению нижних оценок для переменных b и c . Воспользуемся неравенством, вытекающим из условия ранжирования (4). Тогда справедлива цепочка

<А- = 1 ^ А3 < А1 + А2 + А3 ^ 2 А3 < 1(А1 + А2 ) ^ А3 < . (20)

3 3 А 3 3 3 2

Z А 3

i =1

Далее

А1 + А2 1 - b А2

Аз < -у- ^ Аз < ~ьАз + т ^ Аз

f 2b -1 + b Л А2 . ЬА2

--------I < — ^ А3 < —

^ 2b ) 2 3b -1

1

откуда следует необходимое ограничение на величину b : b > —, в противном случае положительная величина А3 оказывалась бы меньше отрицательной, что невозможно.

Итак, для переменной b получена уже двухсторонняя оценка:

1 . 1

- < b< —. 3 2

(21)

Следует напомнить, что в цепочке неравенств, из которой получена оценка (21), использована формула (14). Аналогичные действия необходимы и при получении нижней оценки для переменной c :

А3 <'

А1 + А

2

2

^ А3 < — +

А1 1 - c

2 2c

А3 ^ А | 1

1-c

2c

А1 .

< — ^ А3 2 3

3c -1 2c

А1 .

< — ^ А3 2 3

<

c—l

3c -1.

Из последнего неравенства этой цепочки следует ограничение на величину c :

c > — . Значит, и для переменной c получена двухсторонняя оценка:

1 < c < 1. (22)

3 2

При получении оценки (22) в цепочке неравенств использована формула (17). Осталось получить двухстороннюю оценку для переменной a. Но сначала найдем для a нижнюю оценку. Здесь существенно используется РСП.

Покажем, что нижняя оценка переменной a равна —. Доказательство проведем от

противного, предположив, что a < —. Из равенства (19) найдем выражение для a . Итак,

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 3

195

1

1 - a c(1 - b)

b(l - c)^ a , , c(l - b) ■ 1 + b(l - c)

a

Согласно с предположением, имеем

1+4^

+—-----г > 3 ^ c - bc > 2b - 2bc ^ 2b - bc < c ^ b < —-— < —0,5— = — ^ b < — .

b(l - c) 2 - c 2 - 0,5 3 3

Пришли к противоречию, так как, согласно (21), — < b. В цепочке использована

верхняя оценка для c, а именно c <0,5. Показано, что предположение оказалось ложным, следовательно, получили нижнюю оценку для а и ее двухстороннюю оценку:

1 1

— < а<—. 3 2

(23)

Таким образом, получены двухсторонние оценки для всех трех переменных a, b, c. Но важно также получить неравенства, связывающие эти переменные как результат того, что они обозначают некоторые выражения - функции от метрик A. (i = 1,2,3), а также от введения в рассмотрение условия ранжирования (4).

8. Неравенства, связывающие переменные a, b, c

Из обозначений -1-= a и --1--= b следует, что a > b , так как —- < —1, ибо

1 + A1/A2 1 + A1/А3У A2 А3

А2 > A3 согласно условию ранжирования (4). Аналогично из обозначений

1 A 2 A1

------— = b выходит, что c >b , поскольку — < — из-за действия УР.

1 + A1I A3 A3 A3

1

1 + A2 / A3

= c и

Итак, известно, что a > b и c > b . Сравнение величин a и c приводит к следующе-

му.

Из обозначений 1 + A1 / A2

A2 , и a > c, если A3 , , A1 < A2_ A2 A3

= a и

1 + A2 / A3

= c следует, что a < c в случае, когда

венств:

и A1 A2

c > a > b при условии, что--->---,

A2 A3

и A1 A2

a > c > b при условии, что ---<---■

A2 A3

(24)

(25)

1

9. Получение выражений для весов Д (i = 1, 2, 3) - функций переменных a, b, c

После введения в рассмотрение переменных a, b, c - обозначений выражений, зависящих от отношений метрик A (i = 1,2,3), преобразованные гипотетические равенства приобре-

196

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 3

тают другой вид, где фигурируют введенные переменные. Так, равенство (5) преобразуется к виду

Р2 _ а +1- с а +1- с Pi 1 - а +1 - b 2 - а - b

(26)

При переходе от равенства (5) к (26) произведены замены в правой части равенства (5), обозначенные ссылками (8), (11), (15) и (18). Аналогично равенство (6) приобретет такой вид:

Рз _ b + с $1 2 - а - b

(27)

Здесь при переходе от равенства (6) к (27) необходимы ссылки на (9), (10), (11), (15). И, наконец, равенство (7) преобразится так:

Рз _ b + с Рз _ b + с Рз _ b + с

$2 а +1 - с р2 а +1 - с р2 а +1 - с

Переход от равенства (7) к (28) сделан с использованием ссылок (9), (10), (11), (18). Необходимо также отметить, что равенство (28) является очевидным следствием равенств (26) и (27).

Далее веса Р2 и Рз определяются в зависимости от веса Р\. Так, из (26) следует

Р2

а +1 - с 2 - а - b

Р,

Рз

b + с 2 - а - b

(29)

(30)

Определяемые веса Р (i = 1,2, з), по предположению, связаны также нормирующим условием

з

ІР = 1.

i=1

(31)

Теперь легко находятся выражения для весов Р (i = 1,2, з) . Для веса Р1, с учетом условия (31), получаем

А

2 - а - b 2 - а - с

2 - а - b + (а +1 - с) + {р + с) з

(32)

Подставляя в выражения (29-30) полученную формулу (32) для Р1, получаем формулы для весов Р2 и Рз :

Р2

а +1 - с

з

(33)

Рз

b + с

з

(34)

Любопытен тот факт, что дроби - выражения для весов Р (i = 1,2, з), имеют общий

знаменатель, представляющий целое число 3. Возможно, это связано с тем, что в предлагаемой модели рассматривается случай именно трех метрик.

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 3

197

Отметим, что полученные выражения (32) и (33-34) позволяют численно рассчитывать искомые веса Д (i = 1,2,3) соответствующих метрик Д (i = 1,2,3), подчиненных условию ранжирования (4).

10. Области возможных значений переменных a, b, c

Необходимо также определить области возможных значений аргументов функций Д (i = 1, 2, 3) . Описание таких областей стало возможным после получения двухсторонних оценок для переменных a, b, c согласно ссылкам (21-23), а также цепочек неравенств (24) и (25), связывающих эти переменные. Объединяя два упомянутых результата, можно описать области возможных значений аргументов a, b, c посредством следующих цепочек неравенств:

1 1 Д А

— > c > a > b > —, если— > —,

2 3 A2 A3

1 и 1 Ai A2

2 3 A2 A3

(35)

(36)

К ним должно быть присоединено равенство связи переменных (19). Если задать значения переменным a и c согласно (35) или (36), то значение переменной b определяется из равенства (19) по формуле

b

1

1 +

1 - a

a

1 - c c

(37)

11. Неравенства, связывающие веса Д (i = 1,2, 3)

Поскольку дроби - выражения для весов Д (i = 1, 2, 3) (32)-(34) - имеют общим знаменателем число 3, то сравнение величин этих весов сводится к сравнению числителей. Покажем, что Д1 > Д2, то есть, что числитель дроби (32) больше числителя (33). Итак, докажем справедливость следующей цепочки неравенств:

2 - a - b > a +1 - c ^ 1 - 2a > b - c .

Последнее неравенство удовлетворяется, так как все переменные a, b, c меньше 0,5. Неравенство Д1 > Д> доказано. Теперь покажем, что Д2 > Д3. Сравнивая числители (33) и (34), имеем a +1 - c > b + c ^ 1 + a - b > 2c, поскольку a > b . В итоге справедлива цепочка

Д1 > Д2 > Д3 . (38)

Эту цепочку можно интерпретировать условно как ранжирование весов Д (i = 1,2,3) вследствие условия ранжирования (4) соответствующих метрик Д (i = 1,2, 3).

Таким образом, показано, что большей величине метрики соответствует и большее значение ее веса.

12. Примеры численных расчетов для иллюстрации предлагаемого подхода

Пример 1. Пусть заданы a =0,4; c =0,45. Тогда по формуле (37)

198

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 3

b = 1/1 1 +

1 - a , 1 - c

f

= 1/

a

c

1 ±

1 - 0,4 , 1 - 0,45

V

0,4

0,45

= 0,3529411.

Теперь определяются веса 0 (i = 1, 2, 3) :

01 = 2-adb = ММ-М5 = 0,4,56863.

3

3

02 = 0±1-C = MU-045 = 0,95 = 0,з166666.

3

3

3

03 = Mi = 0,3529411± 0-45 = 0,267647.

3

3

3

^0 = 0,9999999 « 1. i=1

В этом примере a < c . Используя формулы (11) и (17) и предполагая, что

AL> AL

Ao A ’

имеем

следующую

цепочку

неравенств:

12 A3

1 - a A\ A2 1 - c 11

----= — > — =-------^-----1 > — 1 ^ a < c. Нетрудно видеть, что и обратно, из a < c

a A 2 A3

c

a

c

A\ A2

следует, что — > —, то есть эти неравенства эквивалентны.

A2 A3

Пример 2. Пусть теперь a = 0,45; c = 0,4. Согласно формуле (37) значение b останется прежним (как в примере 1) и равным 0.3529411. Рассчитаем веса0(i = 1,2, 3) . Итак, получим

01 = 2-a-b = 2 -°,45- 0,3529411 = 0,3990196.

3

3

02 = £±ІМ = 0,45 - 0,4 = 1=25 = 0,35 .

3

3

3

„ b ± c 0,3529411± 0,4 03 = — = —-------:-----— = 0,2509803.

3

3

3

Проверка значений весов 0i (i = 1,2,3) дала ^0i = 0,9999999« 1.

i=1

В отличие от первого примера, здесь a > c. Легко проверить, что. соответственно. Aj A2

имеем — < —, которое по аналогии со случаем в примере 1, эквивалентно неравенству

A2 A3

a > c.

Общим для рассмотренных примеров является то, что в обоих численные результаты, полученные для весов 0 (i = 1,2,3). подтверждают справедливость цепочки

01 > 02 > 03 .

13. О взаимосвязи условия ранжирования и введения новых переменных a, b, c

В преобразованных гипотетических равенствах (5)-(7) их правые части зависят от отношений метрик A. (i = 1, 2, 3). Этих равенств достаточно, чтобы вместе с нормирующим ус-

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 3

199

3

ловием ^ Д = 1 получить выражения для весов - функций от аргументов, которыми яв-

i=1

ляются отношения пар метрик A. (i = 1,2,3).

Удачным оказалось решение об обозначении выражений от этих отношений (8-10) новыми переменными a, b, c, приведшее к тому, что веса Д (i = 1, 2, 3) стало возможным выражать в качестве функций только этих введенных переменных.

Главным фактором для определения весов метрик Д (i = 1,2,3) явилось введение в рассмотрение УР (4) значений этих метрик, где они располагаются в порядке убывания значений, то есть когда Ay>A2 > A3.

Наличие УР вместе с введением новых переменных дало возможность получить неравенства, связывающие переменные a, b, c. Благодаря формулам (12),(14),(17) получены верхние оценки для a, b, c. Оказалось, что для всех них верхняя оценка равна 0,5. Были оп-

A1 A1 А2

ределены также выражения для —, —, —

A2 A3 A3

согласно ссылкам (11), (13), (17), откуда по-

лучено важное РСП a, b, c (19). Далее были получены двухсторонние оценки (21) и (22) для переменных b и c , а при получении такой же оценки (23) для переменной a использовалось РСП. Важным, на наш взгляд, результатом является получение цепочек неравенств, связывающих как величины a,b, c, так и полученные для них двухсторонние оценки. Такими цепочками являются (35) и (36). Цепочки определяют области возможных значений переменных a, b, c. С использованием формул для весов Д (i = 1,2, 3) , зависящих от аргументов a, b, c , показано, что имеет место интуитивно напрашивающийся вывод, что Д\ > Д2 > Д3 в связи с введенным условием ранжирования (4), то есть показано, что большей величине метрики соответствует и больший ее вес.

14. Выводы

Подытожив вышесказанное, можно утверждать, что основой предлагаемого подхода являются условие ранжирования и введение в рассмотрение новых переменных a, b, c. Определив области возможных значений этих переменных, являющихся аргументами функций Д (i = 1, 2,3), можно численно находить значения весов соответствующих метрик

A (i = 1, 2,3) по формулам (31)—(33). Также стало возможным задавать отношения метрик

A1 A1 A2 A2 A3 A3

и обратных отношений не произвольно, а подсчитывая их значения в зависи-

мости от выбора значений их аргументов из областей (35) или (36). В этом прослеживается связь введения в систему условия ранжирования и рассмотрение новых переменных a, b, c.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Федухин А.В. Атрибуты и метрики гарантоспособных компьютерных систем / А.В. Федухин, Н.В. Сеспедес Гарсия //Математичні машини і системи. — 2013. — № 2. — С. 195 — 201.

2. К вопросу о сравнительной оценке гарантоспособных систем / А.В. Федухин, В.Н. Ярошенко, А.И. Сухомлин [и др.] // Математичні машини і системи. — 2014. — № 1. — С. 185 — 194.

Стаття надішла до редакції 28.05.2015

200

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 3