К вопросу о связи ветвящихся процессов и случайных деревьев Текст научной статьи по специальности «Математика»

30 Ю. В. Заика, М. М. Кручек

Литература

1. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421 с.

2. Колмановский В. Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. 448 с.

3. Жидков Н. П. Линейные аппроксимации функционалов. М.: Изд-во МГУ, 1977. 262 с.

Груды Петрозаводского государственного университета

I '<>рия “Математика” Выпуск 2, 1995

VII,К 519.554

К ВОПРОСУ О СВЯЗИ ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ И СЛУЧАЙНЫХ ДЕРЕВЬЕВ

В. Н. Земляченко, Ю. Л. Павлов

Предлагается характеризация ветвящихся процессов

Гальтона—Ватсона в виде семейства маршрутов некоторого мультиграфа с целью описания известной связи между ветвящимися процессами и случайными деревьями.

Взаимосвязь между ветвящимися процессами Гальтона- Ватсо-Hii и деревьями была осознана достаточно давно (см., например, [1,2]). И последнее время особенно возрос интерес к исследованию деревьев и лесов с помощью методов теории ветвящихся процессов [3-4]. В

■ i.il'be предлагается характеризация ветвящихся процессов, которая может оказаться полезной в таких исследованиях.

1. Терминология и обозначения

Введем ряд терминов и обозначений в модификации, приспособленные для дальнейшего изложения.

1.1. Кванторные обозначения для сумм и произведений

Пусть / — неотрицательная функция с не более чем счетной "Ьластью определения и R — любой предикат, определенный на этой области. Введем следующие обозначения кванторного типа для сумм:

{<Tx\R}.f(x) : {crx\R}.f(x) = ZR(x)f(x)

ax.f(x) : R = true —► ax.f(x) = {ax\R}.f(x)

<т(Л, /) : R = A С dom(f) —* a(A, f) = {ax\R}.f(x)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 94-01-00036-а.

© В. Н. Земляченко, Ю. Л. Павлов, 1995

<т(/) : А - с1от(/) — <г(/) = <г(А, /)

<т(Л/В, /) : <г(А/В, /) = <т(Л, ЯМ*. Я

Аналогичные обозначения - с заменой (ГиЕнаттиП - вводим и для произведений:

{тг;г|Я}./(х), пх./(х), ж(Л, Я, ,г(/)-

Величины сг(Л,/) и 7г(Л,/) можно рассматривать как аддитивный и мультипликативный веса множества Л для данной весовой функции /, а сг(А/В,/) — как относительный аддитивный вес Л по отношению к В (для весовой функции /).

1.2. Натуральные числа, кортежи

N — множество всех целых неотрицательных (натуральных) чисел, понимаемых в теоретико-множественном смысле:

0 = 0, 1 = {0}, 2 = {0,1}, 3= {0,1,2}, ...

г,к, 1,т,п — переменные, область изменения которых есть N. п' — п + 1 — последователь числа п.

|Х| - число элементов конечного множества X, т.е. элемент

множества М, равномощный с X.

ге1(Щ — Я есть отношение, если каждый элемент »£й является упорядоченной парой, и> = (х,у).

Я(*) = {у\(х<у) е я}. Я-Ч*) = {г/|(х,у) е я}.

(ж < у| Я) — Д есть отношение частичного порядка и (гг, у) 6 Я, (ж = у|Я) — Я есть отношение эквивалентности и (х, у) е Я. /пс(/) — / есть функция, если / есть отношение, у которого любые две упорядоченные пары различаются первым элементом.

Лот(/) — область определения функции / (множество первых элементов упорядоченных пар из /).

гп9(1) — область значений функции / (множество вторых элементов упорядоченных пар из /).

/ : А —* В — / есть отображение из Л в В:

/ : А —► В = с1от(/) = Л А гпд(/) С В.

I ' , Дх) — значение функции / на аргументе х. Первое из обозна-и и И применяется, когда /(х) есть функция: в этом случае пишем,

■ I шример, (/ о х) о у вместо неудобочитаемого (/(х))(у).

fox — результат действия функции / на множество х:

х 6 dom(f) => / о х, х С dom(f) => / о х = {/(£)|£ Е i}.

□ символ неопределенности: если f(x) = □, то значение функции / не определено на х, т.е. х £ dom(f).

crt(b) — 6 есть кортеж, (набор, конечная последовательность):

crt(b) = fnc(b) Л dom(b) — |6|.

Кпртеж х обычно записывается в виде

х =< ж(0),ж(1),.. .,1(1*1 - 1) > .

До х ... х Am-i — декартово произведение множеств .In,..., j4m_i.

{x|cr<(x) Л |х| = mAi(O) € Ao A ... Л x(m — 1) £ Am-\}.

Замечание. Понятие упорядоченной пары необходимо только 1.4 и определения понятия функции и в дальнейшем — после вве-н пия N — может быть полностью элиминировано из теоретико-нтжественных построений на основе понятия кортежа. В частности, нпрядоченную п-ку элементов в любом контексте (в том числе и для

II 2) можно заменить кортежем.

X — кортеж, получаемый из кортежа х с элементами-кортежами | пединением” составляющих его кортежей:

V =<< а,... ,Ь с,... ,d >>=» X =< а,... ,6,... ,с,..., d > .

Ni множество всех кортежей со значениями в N. N2 множе-( I во всех кортежей со значениями в Nj.

1.3. Графы

Согласно обычному интуитивному определению, граф (ориентированный) есть набор С =< V, Е > множеств V = V(б) и Е = Е(С) вершин и дуг с условием V х V Э Е\ если е £ Е и е =< х,у >, то х и у называются начальной и конечной вершинами дуги е. При более общем понимании графа в качестве дуг могут фигурировать произвольные множества (а не только пары), но с условием, что для любой дуги е задана ее граница д(е) — какой-то набор < х, у > из V х V, элементы которого и объявляются начальной и конечной вершинами дуги е. Рациональная реконструкция приведенных определений позволяет построить следующее удобное в техническом плане определение:

Пусть < V, Е,д > — набор функций такой, что для любого д, на котором задано значение каждой из этих функций, выполняется соотношение

до д : Е о д —*< Уод>х<Уод>.

Если на д задано значение каждой из функций V, Е, д посредством вводящего равенства

< V о д,Е о д,д о д >=< а,Ь, с >,

где а, 6, с — заданные множества, то д называется обобщенным графом, элементы множеств V о д и Е о д — вершинами и дугами, набор (д о д) о е — границей дуги е. Если е — дуга с границей < х, у >, то х м у называются ее начальной и конечной вершинами.

Граф (обычный) есть обобщенный граф д, для которого выполняется условие

Е о д с. (V О д) х (V О д) А е £ Е о д =>• [д о д) о е — е

и который записывается в виде <У о д,Еод> или даже — с допущением некоторой некорректности — в виде < V, Е >.

91 ~ 92 — (обычные) графы ду и #2 изоморфны, если существует взаимно однозначное отображение : V о ду -» V о д-2 такое, что <р(Е оду) = Е од2.

Замечание. В дальнейшем будет рассматриваться только один конкретный обобщенный граф, так что нет необходимости введения понятия изоморфизма для обобщенных графов.

а-граф — это любой граф д, на множестве V о д вершин которого (лдано некоторое бинарное отношение, обозначаемое через а о д.

(<71 ~ <72 |<*) — графы д\ и д2 изоморфны как а-графы, если суще-

■ I иует такое взаимно однозначное отображение <р множества V о ду на множество V о д2, что выполняется условие

<р(Е оду) — Е о д2 Л ^(аоду) = а о д2.

Маршрут в графе < V, Е,д > — это кортеж дуг, в котором для пибых двух последовательных дуг жиж' конечная вершина дуги ж

■ I)впадает с начальной вершиной дуги ж':

(д о ж) о 1 = (д о ж') о 0.

Мг о д — множество всех маршрутов в графе д.

Продолжим функцию д на множество маршрутов, постулируя 11-л любого маршрута £ выполнение условия

|£| = т Л ж = £ о 0 Л у — £ о (т — 1) => д о £ =< ж о 0, у о 1 > .

Наличие символа д в любом выражении предполагает по умолчанию, чю аргумент есть объект, для которого функция д уже определена, м дуга или маршрут.

Если X — маршрут, то величина |Х| рассматривается как длина маршрута. Отдельная вершина формально рассматривается как маршрут нулевой длины (вообще не содержащий дуг), состоящий тлько из начальной вершины.

Имея в виду, что применительно к графам набор < ж,у> можно рассматривать как ’’переход” из ж в у, для его обозначения естественно использовать стрелку —+ и ввести следующую символику:

(г ^ у\е) = е £ Е А д о е =< ж, у >,

(х —♦ у\Х) = X € Мг А д о Е =< ж, у >.

2. Пространство маршрутов

В этом пункте описывается пространство элементарных событий ветвящегося процесса Гальтона— Ватсона в виде семейства маршрутов некоторого графа.

Ветвящийся процесс Гальтона—Ватсона —- это любая неотрицательная функция 7, определенная на N с условием нормировки стп.у(п) = 1 и продолженная на множество N1 и (К х К) соотношениями

X €N1 А X = 0 — 'у(Х) = 1 (70.1)

X £ N1 А X ф 0 — 7(Х) = 7гг • 7(Х(г)) (Т0.2)

X €(МхМ)АХо0 = 0АХо1^0-» 7(Х) = О (7О.З) X 6 (ГС х К) А X о 0 ф 0 — 7(Х) =

= {<те|е £ N1 А д(е) = Х}.7(е) (тО-4)

Принятая здесь форма нумерации соотношений в виде (70.г) с использованием символа 0 предназначена для указания их определяющего характера; в дальнейшем функция 7 будет продолжена и на другие множества — в этих случаях используются номера вида (7.2).

Пусть Я, — граф, определяемый следующим образом:

V о Я = К, ВоЯгНь (д о II) о е =< |е|, <т(е) > .

Обозначая через Мг о К множество всех маршрутов графа Л, определим следующие множества маршрутов:

Я = {Х6 Мг о Я|(0 о X) о 1 = 0}

П,п = {X £П\(доХ)оО = тп}

П1 = {Хе МгоЩдоХ) о 1 ф 0}.

Любой маршрут множества Г2 можно рассматривать как ’’завершенный” в том смысле, что он не допускает продолжения (поскольку из вершины 0 не исходит ни одной дуги). В этой связи маршруты множества О. будем называть тупиковыми, а все остальные маршруты —-нетупиковыми. Предварительно говоря, тупиковые маршруты будут сопоставляться реализациям ’’завершенных” ветвящихся процессов, а нетупиковые — реализациям "продолжающихся” процессов.

Сопоставим ветвящемуся процессу 7 набор < Я, 7 >, рассматриваемый как граф, каждой дуге X £ N1 которого приписан вес 1 \ ) Этот граф можно трактовать как диаграмму переходов одно-

I 'И.мой дискретной марковской цепи с множеством N состояний, в

< и 'рой непосредственные переходы т —* п между состояниями мо-

II | осуществляться многими способами: каждая дуга X, для которой • М \ ) =< т, п >, задает один из таких способов, а 7(Л") есть вероят-|(ц| и, непосредственного перехода т —* п по этому способу. Величина

I т,п >) есть ’’полная” вероятность непосредственного перехода м| ■ п, так что можно принять следующее выразительное обозначение:

7(т —» п) = 7(< т, п >).

В терминах ветвящегося процесса 7(Х’) есть вероятность непо-

■ I и-дственного превращения т частиц в п новых частиц таким обра-юм, что частица с номером i превращается в X(г) новых частиц, а величина 7(т —*■ п) есть ’’полная” вероятность непосредственного превращения т частиц в п новых частиц.

Следует отметить, что указанная интерпретация графа И как анаграммы ветвящегося процесса содержит предположение, что ча-гицы, рожденные данной частицей, можно каким-то образом занумеровать: только при таком предположении дуга х специфицирует картину превращения т частиц в п новых частиц. Это предположение имеет не математический, а, скорее, философский характер и, будучи принятым, приводит к онтологизации формальных объектов г, т.е. к необходимости их трактовки в качестве объектов той же степени реальности, что и сами состояния т и п.

Продолжим функцию 7 на множество N2 и, в частности, на множество Мой маршрутов в графе И, соотношением

X Е N2 =» 7(Х) = (т-5)

Обозначим через 7(т —+ 0) сумму весов у(Х) по всем тупиковым маршрутам с начальной вершиной т:

7(т » 0) = {стХ\Х 6 Пт}.7ф}.

Очевидно, что при т ф 0 величина 7(1771 —* 0) есть вероятность вырождения процесса 7, начинающегося с т частиц,и для нее выполняется условие

7(т —*—* 0) < 1.

Любой тупиковый маршрут, начинающийся в вершине т € К, будем рассматривать как реализацию ветвящегося процесса, начинающегося с т частиц; длина маршрута есть время жизни процесса в данной его реализации. В случае, когда у(т —<—♦ 0) = 1, т.е. для докри-тических и критических процессов, будем рассматривать Г2т как дискретное пространство элементарных событий А' с приписанными им вероятностями у(А') и называть Г2т пространством маршрутов. В качестве (т-алгебры рассмотрим множество В(Г2т) всех подмножеств множества От. Функция 7 трактуется как вероятность, естественным образом продолженная на В(Г2т) посредством соотношения

X е В(Г2т) =>• 7(А') = {ах\х е Х}.7(Х). (7.6)

В этих обозначениях набор

, В(Пт ) , 7 >

есть вероятностное пространство, соответствующее ветвящемуся процессу, начинающемуся с пг частиц и имеющему функцию 7 в качестве распределения числа потомков одной частицы; функция 7 продолжена посредством соотношений (70.1 )-('у0.4), (7.6), (7.6).

3. Маршруты и плоские леса

В этом пункте будет установлено соответствие между тупиковыми маршрутами и плоскими лесами специального вида, определяемыми далее посаженными лесами.

Введем несколько определений, относящихся к деревьям и лесам (рассматриваемым в данном пункте как обычные графы)

Если д — граф, то полагаем

д(х) = {у\ < х,у >£ Е од}, д~1(х) = {у| <у,х>е Еод}.

Выходящий лес — это граф /, у которого в каждую вершину входит не более одной дуги и отсутствуют контуры:

(Чх){\Г'(х)\< 1) А (Чх)(Щ(х$ /*(*)).

Корень (выходящего леса) — любая вершина, в которую не входит ни одна дуга; 1/о(/) — множество всех корней леса /. Для любой

некорневой вершины х будем обозначать через ту единственную вершину, из которой имеется дуга в вершину х, т.е. для которой выполняется условие

{*?} = ГХ(х).

Для любой корневой вершины х значение х^ не определено, так что полагаем выполненным условие

которое можно рассматривать как определение корневой вершины х.

Выходящее дерево — это выходящий лес / с условием Ц ■„(/)! = 1. Корень выходящего дерева / обозначаем через 1>о(/) или просто через Уо, если из контекста ясно, какое именно дерево имеется и виду. В дальнейшем будем, для краткости, иногда опускать слово выходящие” для лесов и деревьев.

(Но/)ох — высота вершины х в выходящем лесе /: длина маршрута с начальной вершиной в корне дерева, содержащего вершину х, н конечной вершиной в ж. Но/ — наибольшая из высот (Но/) ох но всем х.

(О о /) о х — кратность, или степень, вершины х в выходящем и се /, т.е. число дуг, исходящих в лесе / из вершины X.

Посаженное дерево — выходящее дерево <, для каждой вершины I которого задано бинарное отношение на множестве г(ж), являюще-

I ' /I линейным порядком. Объединение этих линейных порядков есть бинарное отношение, которое будем обозначать через а о (. Иначе |оцоря, посаженное дерево рассматривается как а-граф.

Посаженный лес / характеризуется бинарным отношением

о о /, которое — в дополнение к линейным упорядочениям множеств /(•/■) — задает еще и линейное упорядочение множества всех корней.

В случае, когда возникает необходимость рассмотрения для одно-юи того же выходящего леса / нескольких заданных на V о / бинарных отношений, соответствующие посаженные леса представляются

и.сборами вида < /, £ >, где £ — отношение.

Плоское дерево с висячим корнем — посаженное дерево, у которого из корня выходит ровно одна дуга.

Плоский лес — посаженный лес, состоящий из плоских деревьев

■ висячими корнями.

Пусть / -— посаженный лес. Продолжим бинарное отношение а = ао/ до бинарного отношения а' Э а, определяемого рекурсивным условием

(х < у|«') = х = □ V (хт = Л (х < у|а) V (х^ ф ут) Л (хт < ?/т |а').

Исходя из определения отношения а.' легко доказать по индукции следующие очевидные предложения:

Предложение 1. Отношение а' есть линейный порядок на V о /.

Предложение 2. Для любых двух посаженных лесов /] и /2 выполняется соотношение

</1,0-1 >~< /2,<*2 > = < /ьа! >~< /2,«2 > .

Пусть < /, а > — посаженный лес. Рассмотрим лес < /, а' >, где а' — построенное ранее продолжение отношения а до отношения линейного порядка на множестве Ко/. Перенумеруем вершины леса/в соответствии с линейным порядком а', т.е. если вершина х имеет при этом порядке номер г, то в / вершина х всюду заменяется на г. Полученный таким образом лес обозначим через /'. Поскольку между двумя линейными порядками существует не более одного изоморфизма, то справедливо следующее

Предложение 3.

< /ь«1 >~< /2,«2 > = (/1)/ ~ (/гУ-

Из последнего предложения непосредственно следует

Предложение 4. Посаженный лес < /, а > не имеет нетривиальных автоморфизмов, т.е. если <р есть взаимно однозначное отображение множества'У- о / на себя и <ро < /, а >=< /, а >, то ^ есть тождественное отображение множества V о / на себя.

Леса и деревья являются естественной моделью для разнообразных процессов роста, представителем которых можно считать и ветвящиеся процессы. В этой связи возникает необходимость построения

модели для процессов, которые в каком-то смысле не являются завершенными (сохраняются некоторые ’’точки роста”). Простейшей возможностью является указание в дереве или лесе вершин, в которых может происходить ’’рост” — например, появление новых исходящих |,уг. Для наших целей достаточно рассматривать в качестве точек роста в лесе множество всех вершин максимальной высоты, ассоциируя с этим множеством последнее (еще живущее) поколение частиц. >тими соображениями мотивируется следующее определение:

Растущий лес / — это лес, связанный с некоторым посаженным лесом /\ соотношениями

Н(х,/1)<Н(/1)-1 => /(х) = /1(х),

Я(х,/,) = Я(/0 => /(*) = о.

Завершенный лес — так мы будем называть ( в контексте рас-| могрения растущих лесов) обычный посаженный лес, т.е. такой ”не-| обственный” растущий лес, у которого отсутствуют точки роста — игршины х, для которых выполняется условие /(х) = □.

Обозначим через ЯЛГ множество всех посаженных лесов / с условием V о / 6 М, а через ЯМ' — множество растущих лесов с тем же условием. Предварительно говоря, посаженные леса соответствуют руииковым маршрутам, а растущие -— нетупиковым.

Установим взаимно однозначное соответствие между множеством 1/'(т) всех нетупиковых маршрутов с начальной вершиной т и мно-| ■ ством Я/У'(т) всех растущих лесов с т корневыми вершинами, рассматриваемых с точностью до изоморфизма, в форме следующей норемы:

11 ОРЕМА. Существует пара отображений <р : И'(гп) —+ NЯ'(гп) и «/■ /'/Я'(т) —*■ П'(т), удовлетворяющих условиям:

(I) есть отображение множества 0'(т) в множество Л^Я'(т):

^оО'(т) С ЛГЯ'(т),

( '■') I/’ есть отображение множества N 1г'{т) на множество П'(т):

фо ЛГЯ'(т) = П'(т),

(■() /| ~ /2 => ^(/1) = ^(/2) Л^о^о/]) ~ /2.

Теорема будет доказываться посредством фактического построения отображений <р и 1/».

Построение отображения Пусть иЕЙ1 — нетупиковый маршрут с начальной вершиной т и пусть < /, а >= <р(и) — растущий лес, который необходимо построить по ш. Напомним, что ш' есть кортеж, получаемый соединением кортежей, входящих в кортеж ш, а величина есть вес множе-

ства г € N при весовой функции иЛ

Идея построения состоит в рассмотрении ш" о г как кратности вершины г в определяемом лесе, т.е. как (£> о /) о г, и рассмотрении отношения а как естественного линейного порядка на множестве натуральных чисел.

Вводим лес < /, а > следующим определением:

<т(0, ш") = 0, foi = [т + <т(г', иГ)] \ [т а-(*, и»")], иГ о г = р => /о! = п, (г < ;|а) = * <

Продолжение отображения ф на П Если и — тупиковый маршрут, то для построенного отображения у? выполняется условие

/ = <р(ш) Л г е И =>■ / о г ф □, т.е. в лесе / отсутствуют ’’точки роста”.

Построение отображения ф Обозначая через ш маршрут ф(/,а'). вводим следующее определение:

ш~ о а = |/' о г|.

Маршрут ш очевидным образом строится по кортежу и': начальная дуга маршрута есть отрезок кортежа иГ, содержащий т элементов, а длина следующего отрезка (представляющего следующую дугу) есть сумма элементов начального отрезка и т. д.

Утверждения теоремы 1 непосредственно следуют из проведенных построений отображений <р и ф и из уже доказанных предложений.

Теорема позволяет рассматривать в качестве пространства элементарных событий множество всех завершенных посаженных лесов с т корневыми вершинами. Каждому такому лесу / = <р(ш) приписывается вероятность 7(/) = т(^), и функция 7 естественным образом продолжается на всевозможные множества завершенных лесов, так что получается обычное вероятностное пространство.

Отметим, что рассмотрение растущих, незавершенных лесов также может иметь какой-то смысл. А именно, любое множество таких чесов, в котором никакой лес не является частью другого, может рассматриваться ’’почти” как пространство элементарных событий сумма вероятностей по этому пространству меньше единицы (как, иирочем, для надкритических процессов в обычном случае).

Литература

1. Колчин В. Ф. Случайные отображения. М.: Наука, 1984.

2. Athreya К. В., Ney Р.Е. Branching Process. Springer, Berlin,

11)72.

3. Ватутин В. А. Распределение расстояния до корня минимального поддерева, содержащего все вершины данной высоты // Теория иероятностей и ее приложения. 1993. Т. 38. №2. С. 273-287.

4. Ватутин В. А. О высоте ствола случайных корневых деревьев //Дискретная математика. 1994. Т. 6. №3. С. 110-121.

5. Дрмота М. Распределение высоты листов корневых деревьев // Дискретная математика. 1994. Т. 6. №1. С. 67-82.

6. Павлов Ю. Л. Некоторые свойства плоских деревьев с висячим корнем // Дискретная математика. 1992. Т. 4. №2. С. 61-65.

7. Павлов Ю. Л. Предельные распределения высоты случайного Н'са из плоских корневых деревьев // Дискретная математика. 1994.

I 6. №1. С. 137-154.