CC BY
16
ИЗВѢСТІЯ
Томскаго Технологическаго Кнститгта Императора Николая II.
т. XXIV. 1911. До 4.
Къ вопросу о шатунномъ полюсѣ.
'і'.ІІ: 1 *
А В. Угарова.
Опредѣленіе точнаго геометрическаго мѣста точекъ пересѣченія сопряженныхъ хордъ въ прямолинейно-производномъ шатунно-кривошипномъ механизмѣ.
Въ моей работѣ „Шатунный полюсъ" *) при отысканіи точнаго геометрическаго мѣста точекъ пересѣченія сопряженныхъ хордъ для прямолинейно-производнаго шатунно-кривошипнаго механизма былъ намѣченъ слѣдующій путь: искомое геометрическое мѣсто найдется .какъ результатъ исключенія перемѣннаго параметра к изъ уравненій [59] и [69] **).
Такъ какъ въ уравненіи [69] имѣются члены подъ знакомъ радикала, заключающіе въ себѣ параметръ, то я привожу это уравненіе къ раціональному виду путемъ возвышенія въ квадратъ и получаю уравненіе [80] очень сложнаго вида.
Очевидно, что „уничтоженіе ирраціональности обращаетъ уравненіе
[69] въ произведеніе двухъ уравненій, изъ которыхъ одно представляетъ собою изслѣдуемую нами линію, а другое новую линію, параллельную первой и отстоящую отъ нея на перемѣнномъ разстояніи, такъ какъ только при к когда В,х — Щ — О, оба уравненія представляютъ собою одну и ту же линію".
„Такимъ образомъ, мы видимъ, что, за исключеніемъ одного част-« •
наго случая, эта новая линія не проходитъ черезъ точку пересѣченія сопряжённыхъ хордъ и слѣдовательно, для от ысканія интересующаго насъ геометрическаго мѣста является совершенно излишней". ***)
Изъ приведенной выдержки ясно, что послѣ исключенія параметра к, мы должны полученное урзвнёніе разложить на произведеніе
*) «Извѣстія Томскаго Технологическаго Института* 1909 г. 1.
**) См. стр. 58.
***) Ш. п. стр. 59.
уравненій и опредѣлить, которое изъ нихъ является для насъ нужнымъ.
Уравненіе [80], не смотря на рядъ принятыхъ сокращенныхъ обозначеній, получилось очень сложное, а потому, для упрощенія рѣшенія вопроса, я ввелъ нѣкоторое произвольное допущеніе, при посредствѣ котораго и получилъ геометрическое мѣсто, какъ гиперболу.*)
Очевидно, что подобное приближенное рѣшеніе вопроса не даетъ точныхъ указаній на характеръ и свойства геометрическаго мѣста и если нѣкоторые выводы и получились согласными съ истиной, то другіе могутъ быть ошибочными.
Для отысканія возможности существованія шатуннаго полюса намъ надо получить точное выраженіе геометрическаго мѣста и изслѣдовать его.
Намѣченный нами путь, являясь по существу правильнымъ, привелъ насъ, какъ уже было сказано, къ уравненію [80]. Послѣ подстановки въ это уравненіе параметра к2, опредѣленнаго изъ уравненія [59] и выражаемаго формулою [82] мы получимъ „уравненіе 6-ой степени относительно х и у, кромѣ того уравненіе это будетъ заключать въ себѣ и всѣ убывающія степени неизвѣстныхъ".
„Такимъ образомъ, мы приходимъ къ заключенію, что отысканіе точнаго геометрическаго мѣста точекъ пересѣченій сопряженныхъ хордъ для прямолинейно-производнаго шатунно-кривошипнаго механизма приводитъ насъ къ изслѣдованію уравненія шестой степени съ очень большимъ числомъ членовъ".**)
Настоящая статья и является продолженіемъ и дальнѣйшей разработкой намѣченнаго пути.
Для того чтобы разложить уравненіе 6-ой степени, имѣющее быть полученнымъ, на произведеніе уравненій нисшихъ степеней, мы постараемся упростить уравненія линій, выражаемыхъ формулами [59] и [69J.
Какъ намъ извѣстно,***) уравненіе [59] представляетъ собою поляру радикальнаго центра трехъ круговъ—кривошипнаго и двухъ шатунныхъ;—съ другой стороны мы знаемъ, что поляра радикальнаго центра всегда проходитъ черезъ полюсъ шатунной радикальной оси.
Слѣдовательно, если мы перейдемъ къ новой прямоугольной системѣ координатъ, оси которой параллельны осямъ прежней системы, а начало совпадаетъ съ полюсомъ шатунной радикальной оси, то уравненіе [59]. изъ котораго въ дальнѣйшемъ мы должны опредѣлить вы-
*) Стр. 67 уравненіе [87].
**) См. стр 64.
***) Шатунный полюсъ—стр. 45.
рэженіе для параметра к, будетъ имѣть болѣе простую форму, какъ уравненіе линіи, проходящей черезъ начало координатъ.
Координаты полюса шатунной радикальной оси въ прежней системѣ выражаются формулами [61]:
О о
Y**
хр = —» ур = — ta Ь ■
Такимъ образомъ, для перехода къ новой системѣ координатъ, мы имѣемъ формулы:
т2 , т2
х'— х и у — у — tab —> п ѵ у п
гдѣ х и у относятся къ прежней системѣ, а х и у къ новой.
Беремъ уравненіе поляры въ формѣ, выражаемой уравненіемъ [81]:
(т2 к2) х + (т2 + к2 — 2 п2) у' ctg «> — 2 nr2 = 0.
Преобразуемъ его, опираясь на формулы перехода къ новой системѣ.
Тогда получимъ:
т2
(т2 -(- к2) х 4- Ы2 4" — 2 п2) у ctg 4- (ш2 4* к2)-
т2
— (т2 4-к2 — 2w2)-----2nr2 = 0,
* ’
что по сокращеніи даетъ:
(т2 4~ к2) х 4- (пі£ 4~ к2 — 2 п2) у ctg Ь =0. (1)
Переходимъ затѣмъ къ уравненію [69].
|(т2 4~ к2) (п2 4- к2) — 4 п2 к2 cos2 Я)} х + {(ж2 4- к2) {к2 — п2) 4~
4- 2 п2 [п2 4* к2 — 2 к2 cos2 6)| у' ctg it 4~ 2 п jRj 4-
-j- ^ {4 м2 к2 cos2 it— (m2 4- А:2)2} == 0. (69)
Преобразуя координаты, имѣемъ слѣдующее измѣненіе постояннаго члена:
— |(ж2 4- к2) («2 4~ *2) — ^ w2 к2 cos2 0 1 — — ( (ш2 4" &2) (&2 — «2) 4" л 1 » п 1
4- 2 и2 (п2 4- к2 — 2 к2 cos21>)} 4- ^- { 4 м2 А:2 cos2 Ь — (т2 4“ к2)2 j 4.
ы
4~ 2 п Z?2 •
Дѣлая приведеніе подобныхъ членовъ получаемъ:
2 пг2 (т2 — п2) -f j { 4 п212 cos2 ft — (т2'4" А:2)3) + 2 п В] Д.
Вставляя полученное выраженіе въ уравненіе (69) и освобождаясь отъ знаменателя, имѣемъ:
2 j (т2 + А2) (я2 4- к2) — 4 «2 А2 cos2 ft | я 4" 2 {(m2 + А2) (А;2 — п2) «+■
-f- 2 п2 (п2 + к2 — 2 А2 cos2 ft) j у ctg ft + 4 n Д Д 4- 4 w r2 (m2 — n2) -f-
(2) n j 4 n2 k2 cos2 ft — (m2 + A2)2 j = 0.
Для того чтобы упростить уравненіе (2), помножаемъ уравненіе (1) на— 2 (п2 -J- А2) и складываемъ его съ уравненіемъ (2). Продѣлавъ это, получимъ новое уравненіе:
— 8 п2 А2 х cos ft — 4 п2 (т2 — 2 п2 — А2 4- 2 А2 cos2 ft) у ctg ft 4 п Д Д 4~
(3) 4~ 4 ю г2 (т2—п2) 4- w 14 w2 А2 cos2 ft — (т2 4- А2)2 J = О
Помножимъ теперь уравненіе поляры (1) на * п2 и сложимъ съ уравненіемъ (3). Въ результатѣ получимъ уравненіе слѣдующаго вида:.
4 п (т2 — А2 cos 2 ft) х 4- 8 п к2 у cos ft sin ft 4- 4 It] Д 4* 4 r2 (m2 — w2) -f-
4“ 4 w2 A2 cos2 ft — (m2 4~ A2)2 = 0.
* » .
Такимъ образомъ, вмѣсто уравненія (2) мы получили уравненіе (4), представляющее собою нѣкоторую прямую изъ пучка прямыхъ, проходящихъ черезъ ту же точку, черезъ которую проходятъ и прямыя линіи, выражаемыя уравненіями (1) и (2).
Слѣдовательно, для нахожденія геометрическаго мѣста мы можемъ манипулировать съ уравненіями (1) и (4).
Для еще большаго упрощенія дальнѣйшихъ дѣйствій мы найдемъ точку пересѣченія линій (1) и (4).
Обозначимъ сокращенно уравненія (Г) и (4) такъ:
■ Oot* .
(5) Ах 4- By 4~ С = 0, * Н9Гѵ?
(6) А]Х 4- В]у = 0. ~ ■■ 0 • * ..
Тогда координаты точки пересѣченія этихъ линій будутъ:
- :: «•-. . • К'-ям-
4 СВ] СА]
х~ АВ\ —В А] *у~ АВХ-ВА]
(6')
Каждое изъ полученныхъ такимъ образомъ выраженій, взятое въ отдѣльности, представляетъ собою прямую линію, параллельную какой либо изъ осей и принадлежащую нашему пучку линій, при чемъ уравненія этихъ линій содержатъ только по одной величинѣ неизвѣстной.
Беремъ выраженіе для у. Будемъ имѣть уравненіе прямой параллельной оси х:
{АВі — ВАі) у = СА{.
Подставляя вмѣсто величинъ А, В, С и т. д. ихъ значенія, получимъ послѣ нѣкоторыхъ преобразованій уравненіе слѣдующаго вида:
4 п | (ж2 — к2 cos 2 ft) (m2 + к2 — 2 и2) — 2 к2 (т2 + &2) sin2 ft } У ctg ft —
— (т2 + к2) | 4 г2 (т2 — п2) + 4 п2 к2 cos2 ft — (т2 + к2)2 J —
— 4 (т2 + к2) В,х В2 = 0. (7)
Упростимъ коэффиціентъ при у, раскрывая малыя скобки и дѣлая приведеніе подобныхъ членовъ.
(пі2 — к2 cos 2 i)),(w2 -f к2 — 2 п2) — 2 к2 (т2 -f- к2) sin2 0 =
= (т2 + к2) (т2 — к2 cos 2 ft — 2 к2 sin2 ft) — 2 ю2 (т2 — к2 cos 2 ft),
что даетъ далѣе:
(т2 4~ к2) (т2 — к2) — 2 п2 (т2 — к2 cos 2 И) = (ш2 4- А:2) (т2 — к2) —
— 2 и2 (т2 -j- к2 — 2 к2 cos2 ft),
или, окончательно:
(ш2 -f- к2) (т2 — к2 — 2 п2) + 4 п2 к2 cos2 ft. (8)
Такимъ образомъ уравненіе (7) принимаетъ видъ:
4 п | (т2 4- к2) (т2 — к2 — 2 п2) 4- 4 п2 к2 cos2 ft [ у ctg ft —
— {т2 4- Л2) { 4 г2 (т2 — п2) -j- 4 п2 к2 cos2 ft — (т2 -\- к2)21 —
— 4 (m2 + к2) jBj JRg — 0- (9)
Прежде чѣмъ освободить уравненіе (9) отъ ирраціональности, преобразуемъ его, опираясь на значеніе множителя (т2 4- ^2). опредѣляемое изъ уравненія (1).
Мы имѣемъ:
Откуда:
(т2 4~ к2) х 4- ( w2 4- к2 — 2 п2) у ctg ft = 0.
w2.^_2^ctg_9 ' х 4- у ctg ft
(1)
и
k2=-
тъх — (2 n2 — m2)y ctg b x-\ уctgb
(H)
Подставляя въ уравненіе (9) выраженія (10) и (11), мы исключаемъ параметръ к изъ всѣхъ раціональныхъ членовъ уравненія, что даетъ намъ возможность, сдѣлавъ приведеніе подобныхъ, получить въ дальнѣйшемъ сравнительно менѣе сложныя выраженія.
Выполнивъ указанныя дѣйствія, послѣ освобожденія отъ знаменателя и нѣкоторыхъ сокращеній, мы получаемъ новое уравненіе, которому удобства ради придаемъ слѣдующій видъ:
+ x2yc\gb + ху2 ctg2 it + у3 ctg3 b + З2
+ ху ctg b + У* ctg2 b
— 2 nm2 cos2 >t
2 n [m2 — n2 — (3 m2 — 2 n2) cos2 it] -j-2n[2m2—3n2— (3 m2—4 w2) cos2 it]-f-
— 2 n (2 n2 — m2) (1 — cos2 it) + = Ri B^ ( aH- у ctg it)2.
m2 n2 cos2 it — r2 (m2 — n2) +
— 2 (m2 — w2) (r2 — n2 cos2 It) -|-
n4—r2(m2—n2)—(2w2— m2)w2cos2it (12)
Теперь мы уничтожаемъ ирраціональность, возвышая въ квадратъ обѣ части уравненія (12).
Выпишемъ сюда значенія ирраціональныхъ величинъ Вх и Ж2 *)
7? _ -I А о I 70 (т2 + к2 — 2пкcos it)2
( р _ і / , о , ,9 . Л J й (т2-\-к2 + 2 пк cos ft)2
I/ (п2 + к2 -j- 2 п к cos Ь) г£ —--------1---------
Произведеніе В2 В^, очевидно представляетъ собою произведеніе подкоренныхъ величинъ и будетъ имѣть видъ: **)
В2 Въ2 = [{п1 /г2)2 — 4 п2к2 cos2 it] tA —
— [in2 + k2 -f- 2 n k cos it) (m2 + k2—2 n k cos d)2 -j-
T2
-f (w2 -f- &2—2 n k cos it) (m2 -f k2 -f 2 и A: cos it j2] — -f-
4
(m2 -j- &2 — 2 w £ cos It)2 (m2 -f- /г2 2 n k cos d)2
+ i6 •
*) Стр. 61.
**) Стр. 62.
(13)
Яі2 Вг2 =
(z+t/ctg &)'
х4 г4 (п2— m2)2 -f-4 п2 т2 г4 ros2Я —
— 2 г2 п2 т2 (т2 — п2) cos2 Я 4-4- п4 т4 cos411 хя у ctg 11 4 г4 (w2 — iw2) (2 п2 — т2) 4-
-Ь 8 г4 и2 (2 т2 — п2) cos2 11 —
—4 г2 п2 (w4 -f 2 т4— 4 т2 п2) cos211—
— 8 г2 т2 п4 cos211 4-4~ 4 w4 т2 {т2 — п2) cos4 Я
х2 у2 ctg2 11 г4 (3 м2 — т2) (1 п2 — 5 т2) 4-
4- г4 (п2 — т2) (п2— т2 — 24п2cos2Я) —
— 2 г2 п4 (п2 — т2) —
— 4 г2 п2 (5 и4 -j- 3 т4—9 п2 т2) cos2 Я 4-4- 8 г2 п4 (2 п2 — 3 т2) cos2 Я 4-
4-4 гі4 (т2 — w2)2 cos4 Я 4~
4- 2 ж2 п4 [п2 —(2 п2 — т2) cos2 Я] cos2 Я хуя ctg3 Я 4 г4 (3 п2 — т2) (2 п2 — т2) —
j —8 г4 п2 (3 п2 — 2 т2) cos2 Я —
— 4 г2 п4 (2 п2 — т2) —
—4 г2 п2 (7 и4 4" 2 т4— 8 п2 т2) cos2 Я 4-
4- 8 г2 п4 (4 п2 — 3 т2) cos2 11 4~
4- 4 п4 (т2 — п2) \п2 —
— (2 п2 — т2) cos2 Я] cos2 Я у4 ctg4 Я ^(3 w2—т2)2—4 г4 п2 (2 п2—т2) cos2 Я —
— 2 г2 п2 (3 п2 — т2) [п2 4-4- (2 п2 — тг) cos2 Я] 4-
4- 8 г2 п4 (2 п2 — т2) cos2 Я 4-4_ \п2 — (2 м2 — т2) cos2 Я]2
Вернемся къ уравненію (12).
Назовемъ для сокращенія лѣвую часть уравненія буквою L. Послѣ возвышенія въ квадратъ обѣихъ частей уравненія мы будемъ имѣть:
L2 = R}2 R? (х 4- у ctg Я)4 (14)
при чемъ L2 представляетъ собою выраженіе слѣдующаго вида:
ь
а?
хьус tg ft
X2 у4 Ctg4 ft
xyr> ctg5 ft
y°C tg6 ft xb
x4 у ctg it
Xs t/2Ctg2 ft
4w2w4 cos4 ft
— 8 n2 m2 \m2 —n2 — (3 m2 — 2 n2) cos2 ft] cos2 ft ejZ* }> 4 n2 [ni2 - n2 — (3 m2 - 2 n2) cos2 ft]2 -
— 8 n2 m2 [2 m2 — 3 n2 — (3 m2 — 4 n2) cos2 ft] cos2 ft Xs v* ctg3 ft 8 n2 w2 (2 n2 — m2) (1 — cos2 ft) cos2 ft 4* 8 n2 [m2 — n2 —
___ (3 m2 - 2 n2) cos2 ft] [2 m2 - 3 n2 — (3 m2 — 4 n2) cos2 ft]
— 8 w2(2 n2—m2) [m2—n2—(3 tn2--2 w2)cos2 ft] (1 - cos2 ft) 4" 4 n2 [2 m2 — 3 n2 — (3 m2 — 4 n2) cos2 ft]2
— 8 n2 (2 n2 — m2) (1 — cos2 ft) [2 m2 — 3 n2 —
— (3 m2 — 4 n2) cos2 ft]
4 n2 (2 n* - ■ in2)'2 (1 — cos2 ft)2
4n m2 [m2 n2 cos2 ft — r2 (m2 — w2)] cos2 ft 8 n m2 (m2 — ir) (r2 — ril cos2 ft) cos2 ft -|- 4 n [m2 — n2 —
— (3 m2 — 2 ;/2) cos2 ft] [m2 n2 cos2 ft — r2 (m2 — w2)] 4 n m2 cos2 ft [»4 — 7*2 (w2 — n2)—(2 w2 — m2) w2 cos2 ft] —
— 8n [w2-w2- (3 m2-2 a/2) cos2 ft] (»j2-w2) (r2—w2cos2 ft) + 4- 4 w [w2 n2 cos2 ft — r2 (m2 — w2)] [2 tn2 — 3 n2—
(1 f>) — (3 m2 — 4 n2) cos2 ft]
4 n [m2 — n2 — (3 m2 — 2 w2) cos2 ft] [n4 — r'2 (m2 — n2) —
— (2 n2 — m2) n2 cos2 ft] — 4 n (2 n2— m2) [m2 n2 cos2 ft —
— y- (m2-rt2)\ (1 -cos2 ft)—8 n (т--пг) (r'2—n2 cos2 ft) [2 m*—
— 3 ir — (3 m2 — 4 it2) cos2 ft]
8 n (2 n2 — m'2) (m2 — n2) (r2 — n2 cos2 ft) (1 — cos2 ft) 4*
4- 4 n [w4 — r 2 (m2 — tr) — (2 n2 — in2) n2 cos2 ft] [2 m2 —
— 3 n2 — (3 m* — 4 «-) cos2 ft]
— 4 // (2 n2 — m2) [m4 — »*2 (m2 — n2) —
— (2 n2 — in2) n2 cos2 ft] (I — cos2 ft)
[m-n2 cos2 ft — r2 (m2 — n2)}2
— 4 (w2 • - n2) (r2 — n2 cos2 ft) [in2 it'2 cos2 ft — t2 (m2 — n2)}
4 (ni2 — n2)2 (r2 — ir cos2 ft)2 4~ 2 [ni2 n2 cos2 ft —
— r2 (ni2 — n2)\ [w4 — i2 (m2 — n2) — (2 n2 — m2) n2 cos2 ft]
— 4 (m2 — и2) (/•'■ — n2 cos2 ft) — r2 (ni2 — n2) —
— 2 n2 — in2) n2 cos2 ft]
[n l — rs (ni2 — n2) — (2 ti2 — ni2) n2 cos2 ft]2
x2y2 ctg3 ft
xy* ctg4 ft
f ctg5 ft xA
x* у ctg ft X2 if ctg2 ft
xyz ctg3 ft у4 ctg1 ft
Вставляя въ уравненіе (14) полученныя нами выраженія (13) и (15), иеренося всѣ члены въ одну часть, дѣлая соединеніе подобныхъ и располагая коэффиціенты при неизвѣстныхъ по степенямъ cosinus’a, мы получаемъ уравненіе, содержащее въ себѣ искомое нами геометрическое мѣсто, въ слѣдующемъ окончательномъ видѣ:
#5yctgi) a?y2e tg2ft
#8?/3ctg3ft
aj2?/4ctg4ft
a^ctg5!)
?/6ctg6ft
x&
x*yc\%$ x9y2ci% 2ft
a;2?/3ctg3ft
n2 w4 cos4 ft
— 2 w2 m2 (m2 —w2) cos2 ft 4 2 n2 m2 (m2 — w2) cos4 ft w2 (m2 _ w2)2 _ 2 w2 (5 m4 _ 8 W2 rn2 4 2 w4) cos2 ft 4
+ w2 (15 m4 4 4 ю4 — 20 vw2 w2) cos4 ft 2 w2 (w2 _ w2) (2 m2 _ Зу) _ 4 w2 (5 w4 — 11 m2 w2'-f
4 5 w4) cos2 ft +*4 n2 (5 m4 — 10 m2 w2 4 4 w4) cos4 ft
w2(6wa4_j_ iз w4 — ]8 m2n2) 4 4w2( 14m2n2 -5m4-
- - 9 w4) cos2 ft 4 w2 (15 m4 4- 24 n* — 40 m2 w2) cos4 ft
— 2 w2 (2 n2 - m2) (2 m2 — 3 w2) 4 2 w2 (2 w2 — m2) (5 m2 -
— 7 w2) cos2 ft — 2 rc2 (2 n2 — m2) (3 m2 — 4 w2) cos4 ft n2 (2 »«- • m2)2 — 2 w2 (2 n2—m2)2 cos2 ft4w2 (2 w2-m2)2 cos4 ft w m2 r2 (m2 — n2) cos2 ftn2 — w3 m4 cos4 ft —nr2 (m2-n2f-\-n (m2-n2) (5 m2 r24w2,«2—2r2 w2)cos2 ft —
— m2n9 (5 m2 — 4 w2) cos4ft (16).
— n r2 (»r — n2) (4 m2 — 5 n2) 4 2 n [2 n2 m2 (m2 — 2 n2) 4
4 w4 (n2 4 4 r2) 4 y2 w2 v5 w2 — 9 w2)] cos2 ft —!
— 2 w3 (5 m4 — 8 m2 n2 4 2 w4) cos4 ft |= (K
w (m2—w2) (w4—6 w2 r249 r2 w2) 4 2 w [3 w2 w2 (ш2—3 w2)4i 4 w4 (5 w2 4 6 r2) 4 г2 м2 (5 w2 — 11 w2)]cos2 ft +j
4 2 w3 (12 m2 w2 ■— 5 w4 — 6 w4) cos4 ft I
xy4ctg4ft n[r2(m2 — n-)(In2 — 4m2) 4 2 w4(w2 — 3w2)] — )
— w [2 w4 (8 w2 — 7 w2) — m2 w2 (4 m2 — 13 r2) — ■
— r2 (5 w448 n4)] cos2 ft4»* (2 n2 — m2) (5 m2 — 6 n2) cos4 & y>ctg5ft — n (2 n2 — m2) (n2 — r2) (n2 4 r2 — 2 n2 cos2 ft) (1 —cos2 ft)
xK
rtyctgft
iC2f/20tg2ft
a?y3ctg3ft
— r4 n2 m2 cos2 ft I
r4 n2 (m2 • - n2) — r2 n2 (4 r2 m2 —m2 n2 — 2 r2 w2) cos2 ft j. r2 «2 [n2 (w2 — 4 r2) — m2 (w2 — 3 r2)] 4 j
4 t2 n2 [3 m2 (»2 — 2 r2) — 2 n2 (n2 — 3 r2)] cos2 ft r2n2 [n2 (3 n2 — 2 m2) 4 r2(3 m2 — 5 w2)] 4
4 >”2 w2 [w2 (3 m2 — 4 n2) 4 2 r2 (3 n2 — 2 m2)] cos2 ft
y4ctg4ft
r2 n2 (w2 — r2) (2 n2 — m2) (1 — cos2 ft)
Вотъ это то уравненіе 6-ой степени намъ надо разложить на произведеніе уравненій нисшихъ степеней и затѣмъ опредѣлить, которое изъ нихъ представляетъ собою интересующее насъ геометрическое мѣсто.
Послѣ нѣкоторыхъ попытокъ я нашелъ, что удобнѣе всего представить уравненіе (16) въ видѣ произведенія двухъ уравненій: одного уравненія четвертой степени и одного—второй.
Разложеніе я веду слѣдующимъ путемъ. Возьмемъ въ общемъ видѣ два уравненія съ двумя неизвѣстными, указанныхъ выше порядковъ-
Мы будемъ имѣть:
+ BlX*y f С]х2у2 + D1x f + Ех у4 + IV + Gi х2у + Щху2 + 4~ h 2/3 Н~ -й-і £2 + Li %У + Мі у2 -Ь Ni х + Pi у -f- Qi = 0, (17)
~Ь -®2%У~\~ @2У2 “I" D2x-\~ Е2 У 4~1*2 = 0. *) (18)
Если мы, перемноживъ эти два уравненія, сдѣлаемъ соединеніе подобныхъ членовъ и составимъ при нихъ коэффиціенты, то у насъ получится уравненіе, заключающее въ себѣ неизвѣстные члены всѣхъ порядковъ начиная отъ 6-го и кончая нулевымъ.
Разсматривая же уравненіе (16) мы видимъ, что оно не заключаетъ въ себѣ неизвѣстныхъ членовъ порядка ниже четвертаго. Отсюда мы заключаемъ, что въ уравненіи четвертой степени общаго вида рядъ коэффиціентовъ равенъ нулю. Анализируя подобнымъ образомъ схемы коэффиціентовъ, полученнаго нами въ общемъ видѣ уравненія ■6-ой степени, мы приходимъ къ заключенію, что коэффиціенты уравненія (17) при неизвѣстныхъ членахъ порядка ниже четвертаго должны быть равны нулю.
Такимъ образомъ мы получаемъ, что уравненіе (16) можетъ быть представлено какъ результатъ произведенія двухъ уравненій слѣдующаго вида:
А\ х* + /іі xhy + Cj х2у2 + + -Е]= 0, (19)
А2х2 + В.2ху + С2у2Н- В2х + Е>у -f- F2 = 0. (20)
Перемноженіе между собою этихъ двухъ уравненій даетъ намъ уравненіе 6-ой степени слѣдующаго вида:
а?
E^/Clg*)
seyctg2&
2i/4Ctg4i>
;«/r,ctg5i)
A\ A2
A j Bi -f- A2
A1C2 B\ ~b Cl A 2
Bi C2 4“ Cj B2 H~ l)x A2 E,A2 + I)lB.2+ClC2 Ex B2 + Di 02
exc2
+
+
X4 A\ F2
artyetgi) Вг Ft
х2у2с tg2l) Oi F2
Xlf ctg3i> l>i I2
?/4ctg4i> E, Ft
a? a,d2
^4y/ctg*l .A1E2A-BlI)2
x*y2 ctg2}) Bx E, + I)2
^V3ctg3i> Ci E2 -f- J\Di
xy4 ctg4i> B\ E2 + E\ D2
i^ctg5» EiE2
+
= 0.
(21)
*) При каждомъ у имѣется множитель ctgU въ соотвѣтственной степени, который для краткости здѣсь упущенъ, т. е. включень въ коэффиціенты В, С, D и т. д.
Разсматривая схемы коэффиціентовъ уравненія (21), мы видимъ прежде всего, что коэффиціентъ F2 уравненія (20) является общимъ множителемъ пяти послѣднихъ членовъ уравненія (21), а такъ какъ это уравненіе должно представлять собою уравненіе (16), то мы и находимъ F2 =—п2г2. Знакъ минусъ беремт, разсматривая коэффиціентъ при #4 въ уравненіи (16), для того чтобы получить коэффиціентъ Ау уравненія (19) съ знакомъ плюсъ.
Опредѣливъ F2, мы тѣмъ самымъ можемъ опредѣлить изъ пяти послѣднихъ членовъ уравненія (16) всѣ коэффиціенты уравненія (19).
Согласно сказанному мы получимъ, что уравненіе (19) имѣетъ видъ:
А і хі
В{arty ctg Я Cyxhfctffi
Byxy^ctg2^
і/ ctg4 О
ж4
х2у ctg Я х~ у2 ctg- it
XI/3 ctg3 it
У4 ctg1 1)
г2 т2 cos2 it J
г2(n2—m2)-f-(4г2т2 — т2п2—2г2п2) cos2}) j [т2 (п2 — 3 г2) — п2 {п2 — 4 г2)] — !
— [3 т2 (и2 — 2 г2) — 2 п2 (и* — 3 г2)] cos2 і) [п2 (2т2 — 3 п2) — г'1 (3 т2 — 5 п2)\ —
—[п2 (3 т2—4 п2) -f-2 г2 (3 п2—2 м2)] cos2 tt (г2 — и2) (2 п2 — т2) (1 — cos2 it)
= 0.
(22)-
Зная коэффиціенты уравненія (19) и (22) теперь нетрудно опредѣлить и коэффиціенты уравненія (20), опираясь на уравненія (21) и (16).
Въ уравненіи (21) мы видимъ, что коэффиціенты при гс6, гг5 и уъ имѣютъ сравнительно простую форму, а потому мы и обратимся къ таковымъ же коэффиціентамъ уравненія (16).
Обратимся къ х6.
А у А2 хг' — п2 ш4 cos4 Я.
Мы знаемъ уже, что Ay = г2 т2 cos211, откуда
. п2 т2 cos2 It
Jit, = 9 *
r-
Для того чтобы въ дальнѣйшемъ не имѣть дѣла съ коэффиціентами въ видѣ алгебраическихъ дробей, преобразуемъ здѣсь же найденное нами значеніе коэффиціента А2.
Мы знаемъ, что т2 = п2 + г2 — Т2 *)
Съ другой стороны, мы имѣли ранѣе **) слѣдующую зависимость между всѣми элементами шатуннокривошипнаго механизма:
Іг= по cos tt и
Z2 4- г2 = п2 4- о2.
*) См. Шатунный полюсъ стр. 55.
**) Шатун. полюсъ стр. 49.
На основаніи этого мы можемъ написать:
т2 = г- -j- п2 — Z2 = 2 г2 — а2.
Такимъ образомъ коэффиціентъ Л2 будетъ имѣть видъ:
(2 г2 — а2) п2 cos2ft Л» = ---------о----
или
Л=
2 г2 п2 cos2 ft — п2 а2 cos2 ft
что даетъ окончательно:
А2 = 2 п2 cos2 ft — Р. Переходя къ у6 имѣемъ:
(23>
Д С% уС) = yr> ctg6 ft
п2 (2 п2 — т2)2 — 2 п2 (2 п2 — т2)2 cos2 ft 4-
+ п2 (2 п2 — т2)2 cos4 ft.
Коэффиціентъ при у6 ctg6 ft можетъ быть цредставленъ въ слѣдующемъ видѣ:
Д С2 у6 = 2/c;ctg° ft U2 (2 п2 - т2)2 (I — cos2 ft)2.
Отсюда мы получимъ значеніе коэффиціента С2.
п2 (2 п2 — ш2)2 (1 —cos2 ft)2
д
или, такъ какъ Д = (г2 — п2) (2 п2 — т2) (1 — cos2 ft),
п2(2 п2 — т2), <
С2 = —r2Zrn2~~ (1 " C0S l))-
Преобразуемъ это выраженіе, дабы не имѣть алгебраическихъ-дробей.
Опираясь на различныя обозначенія величины т2, мы можемъ написать:
п2 (2 м2 — w2) «2 (2 w2 — т2) 9 u
С2 = “о “о о COS ft
г2 — W2
г2 — W2
ИЛИ!
w2 (2 w2 — п1 — г2 + I2) п2 (2п2 — 2 г2 + о2) cos2 ft
Г2 — W2
г2 — п2
что даетъ намъ:
6Ь«
г2 — М2
„ п2 (п2 — г2) -f-12 {п2 — г2) — 2 п2 (п2 — г2) cos2 Я Ч =
или, окончательно:
С\ = 2 п2 cos3 1) — {п2 + ^). * (24)
Переходимъ къ коэффиціенту х5 уравненія (16):
х? [п т2 г2 (т2 — п2) cos21) — ns т* cos4 Я] = Ах D
Такъ какъ Ах = r2m2cos2 Я, то мы приводимъ наше выраженіе къ виду, дѣлящемуся на эту величину, опираясь на ранѣе выведенное значеніе т2 =2 г2 — о2.
Откуда: п2 т2 cos2 Я = п2 (2 г2 — а2) cos2 Я, '-что по раскрытіи ско_ бокъ и подстановкѣ вмѣсто п2 о2 cos2 Я равной ей величины г2 Р даетъ намъ: п2 т2 cos2 Я = г2 (2 п2 cos2 Я — I2).
Такимъ образомъ мы имѣемъ:
А\ Т)2 = п т2 г2 (т2 — п2) cos2 Я — п г2 (2 п2 cos2 Я — 1?) т2 cos2 Я. Откуда:
т2 г2 п cos2 Я \т2 — п2 + 1? — 2 п2 cos2 Я]
А=--------------------------------
или, такъ какъ т2 == п2 -f- г2 — Z2:
І)о =
п т2 г2 cos2 Я (г2 — 2 п2 cos2 Я)
т2 г2 cos2 Я
= п(г2—2 п2 cos2 Я). (25)
Обращаясь къ ?/5ctg5ft, мы имѣемъ:
«у5 ctg5 Я [ — п(2п2 —та) (п2 — г1) (п2 -{-г2 — 2 п2 cos2 Я) (1 — cos2 Я)] =
= JSi Eg у'° ctg5 Я.
Такъ какъ
Ех = (г2 — п2) (2 п2 — т2) (1 — cos2 Я) то, очевидно, что
Е2 = п(п2-\-г2 — 2 п2 cos2 Я). . (26)
Для опредѣленія коэффиціента В2 мы обратимся въ уравненіи (16) къ члену съ хъ у ctg Я.
По уравненію (21) мы знаемъ, что схема коэффиціента этого члена такова:
х5 у ctg Я [Ах В2 + Ві Л2_|.
Такъ какъ А\, А2 и В{ нами уже опредѣлены, то отысканіе значенія В2 не представляетъ уже трудности.
Составимъ произведеніе извѣстныхъ намъ величинъ Л2 и В\.
А2 Ві = (‘2 п2 cos2ft — I2) [г2 (п2 — т2) (4 г2 т2 — т2 п2 — 2 г2 п2) cos2 ft].
Для упрощенія дальнѣйшихъ дѣйствій преобразуемъ коэффиціентъ Вх такъ:
Ві = г2 (п2 — т2) + [4 г2 т2 — п2 (т2 + 2 r2j] cos2 ft, что даетъ намъ далѣе:
Ві = г2 (п2 — т2) -f- [4 г2 т2 — п2 (4 г2 — о2)] cos2 ft, или,
В\ — г2 (п2 — т2) + п2 о2 cos2ft + 4 г2 (т2 — п2) cos2 ft,
откуда:
В\ = г2 (п2 — т2 -(- Z2) + 4 г2 (т2 — п2) или окончательно:
Ві = г2 (212 — г2) + 4 г2 (т2 — п2) cos2 Такимъ образомъ Л2 Вх принимаетъ видъ:
А2 Ві = (2 п2 cos2 ft — l2) [г2 (2 Z2 — г2) -f- 4 г2 (m2 — п2) cos2 ft].
Перемножая почленно получаемъ:
Л2 Ві = г2 (2 п2 cos2 ft—/2) (2 /2— г~) + 4 г2 (2 п2 cos2 ft—Г2) (пг2— п2) cos2 ft.
Мы нашли ранѣе при выводѣ коэффиціента D2, что п2 ш2 cos2 ft = = г2 (2 п2 cos2 ft — Z2); слѣдовательно, произведенію Д2 можетъ быть придана слѣдующая форма:
А2 Ві = (2 Z2 — г2) w2 ш2 cos2 ft + 4 {т2 — п2) т2 п2 cos4 ft.
- Вычитая это выраженіе'изъ коэффиціента при къу ctgft уравненія (16) мы получаемъ:
Аі В2 = — 2п2т2(т2 — п2)cos2 ft + 2п2т2(Вт2 — 2п2)cos4ft —
— (2 /2 — г2) п2 т2 cos2 ft — 4 (т2 — п2) ml п2 cos4 ft,
что послѣ приведенія подобныхъ членовъ принимаетъ видъ;
Аі В2 = — г2 п2 т2 cos2 ft + 2 п2 w4 cos4 ft.
Подставивъ во второй членъ вмѣсто т2 равную величину 2 г2—<з2, мы преобразуемъ наше выраженіе такъ:
Аі В2 — — r2n2 т2 cos2 ft + 2 п2 т2 (2 г2 — а2) cos4 ft или,
откуда, окончательно получаемъ:
А\ В2 = 4 г2 п2 т2 cos4t) — г2 т2 (п2 + 212) cos2 #.
Теперь легко опредѣлить величину коэффиціента В2.
п 4 г2 п2 т2 cos41> — г2 т 2 (п2 + 2I9) cos2 Я
Уі2=— ^
Подставляя сюда вмѣсто Аь равную ему величину А\ — г2 т2 cos2 ft, имѣемъ значеніе коэффиціента В2:
В2 = 4 п2 cos2 Я — (2 Р + п2)-
(27)
Такимъ образомъ у насъ опредѣлены всѣ коэффиціенты уравненія (20).
Составляя, далѣе, по схемѣ уравненія (21) коэффиціенты для остальныхъ степеней а? и у и приравнивая ихъ къ коэффиціентамъ уравненія (16), мы во всѣхъ случаяхъ получаемъ тождества, что и является доказательствомъ правильности нашихъ дѣйствій.
Итакъ уравненіе (16) шестого порядка относительно х и у разлагается на произведеніе двухъ уравненій второй и четвертой степени.
Выпишемъ сюда оба найденныя уравненія:
ж4
trtyclgft $у2 ctg2ft
ху2сі^Ь
*/4ctg4ft
г2 т2 cos2ft
г2 (п2 — т2) -f- (4 г2 т2 — м2 п2 — 2 г2 п2) cos2 ft [т2 (п2 — 3 г2) — п2 (п2 — 4 г2)] —
— [3 т2 (п2 — 2г2) — 2п2 (гіг — 3 г2)] cos2 ft =0,
[п2 (2т2 — 3 п2) — г2(3 т2 — 5 п2)] —
—[п2 (3 т2—4 п2) +2 г2 (3 п2—2 т2)] cos2 ft (г2 — п2) (2 п2 — т2) (1 — cos2 Я) (22)
Z2 ' 2 п2 cos2 ft — Z2
xyclgb 4 п2 cos2 ft — (2 Z2 п~)
У2 ctg2t> 2 п2 cos2 3 — 0 -j- w2)
X п (г2 — 2 п2 cos2 3)
yctg» п (г2 -f п2 — 2 п2 cos2ft)
х° — п2 г2
(28)
Теперь намъ надо опредѣлить, которое изъ этихъ двухъ уравненій является искомымъ геометрическимъ мѣстомъ.
Для этого мы вспомнимъ, что у насъ имѣется одна, найденная
к»
ранѣе, точка, принадлежащая геометрическому мѣсту; точка эта опредѣляется формулами (65) *) имѣющими видъ:
х =
г2 -\-п2 — 1? 2 п
и у = -
(Z2 — г2 — /г2)2 — 4п2г2
2 w (Z2 — г2 + w2) ctg ^
Такъ какъ г2 -\-п2 — V2 — ж2, то этимъ формуламъ мы придаемъ слѣдующій видъ:
пг
ті — 4,п2 г2
Х 2п’ У 2п(2пР—ж2) ctg ft
Выраженія эти найдены въ прежней системѣ координатъ; намъ надо ихъ преобразовать для новой системы.
Формулы перехода, указанныя въ началѣ настоящей статьи, таковы:
^•2 ,|*2
X =х-\-----и у = у — tg ft
п J у ° п
Слѣдовательно координаты контрольной точки въ новой системѣ будутъ:
т2 г2 _ ж2 — 2 г2 Х 2 п п 2 п
пг — 4 п2 г
2 ,.2
'Л +
ж4— 4 п2 г2 4- 2 г2 (2 п2— ж'2)
У 2п(°2 п2—т2) ctg i),Tw cig ft 2 п (2 п2 — т2) ctg ft
Такъ какъ ж2 = 2г2— о2, то мы получаемъ-
х=— 0-- и у = —-■ 2 п
ж2 а2
2 п (2 п2— т2) ctg ft
(29)
Подставляя въ уравненіе (28) значенія величинъ х и у, опредѣляемыя формулами (29), мы имѣемъ:
а4 ж2
. о (2 п2 cos2 ft — l2) -*Г Г О /о 2-27 (4 **8 cos2 ft — 212 — п2) +
4 п2 ѵ 4 п2 (2 п2 — ж2)
jp Ш4 3^
+ 7-7777-0------72 (2 w8 cos2 ft — ^ — w2) — 7 О'2 — 2 «2 cos2 ft) —
4w-(2wz — ж2)2 2
а2 ж2
■ (г2 + n2 — 2 w2 cos2 ft) — n2 r2 = 0,
2 (2 n2 — m2)
*) См. Шатунный полюсъ, стр* 57.
новъ и подстановка вмѣсто т2 величины ей равной (2 г2 — а2), принимаетъ видъ:
о2 I2 — 2 п2 о2 + 2 г2 а2 — а4 -)- п2 /2 — г2 Z2 — w4 -|- 2 п2 г2 — г4 = 0.
Разлагая на множители, мы получаемъ:
— {п2 + о2)2 -f Г2 (м2 + а2) + 2 г2 (n2 -J- а2) — г2 (Z2 + г2) = 0.
Такъ какъ I2 г2 = гіг + о2, то мы производимъ сокращеніе, послѣ котораго получаемъ:
— (п2 -J- а2) • |-12 -f- 2 г2 — г2 = 0, или
Р г2 = п2 + о2, откуда видимъ, что уравненіе (28) вполнѣ удовлетворяется координатами контрольной точки.
Переходимъ къ уравненію (22).
Подстановка величинъ х и у по формуламъ (29) даетъ:
О® О® W2
(М4 ‘ r* т* COs2 Ь + (2rif' 2п2-т2 ^ ^ ~ + (4 г* т* ~ ™2 п2 ~
— 2 г2 п2) COS2 Ь] + 2 ■ (2^2 _ш2)2 |^2 (»* — 3 г2) — ю2 (W2— 4 г2) —
— [3 ш2 {п2 — 2 г2) — 2 п2 (п2 — 3 г2)] cos2 & | +
О® Ml® I
+ tT“4' То~2----2VJI»8 (2 т2 — 3 w2) — г2 (3 т2 - 5 w2) —
2пА (2 и2— т2)'\| ѵ ’ ѵ
— [іг2(3 т2 — 4#г2) -)■• 2 г2(3п2 —2m2)]cos2 31 +
о® т8
+ ,7—4 * 7—2------о\4 (f2 — ^2) (2 W2 — Ж2) (1 — COS2 &) = 0.
2 fir (2 w2 — ж2)4 ѵ 7 'ѵ
Производя сокращеніе и приведеніе къ одному знаменателю мы получаемъ:
г2(2 п2— m2)3cos23-f- (2 п2—т2)2\г2{п2—/w2)—(—(4 г2ж2—т2п2—2r2w2)cos23] -(-+ т2 (2 w2— ж2) {ж2 (п2 — 3 г2) — п2 (п2 — 4 г2) — [3 т2 {п2 — 2 г2) -
— 2 п2 {п2—3 г2)] со2&} + »г4 \п2 {2 т2 — 3 п2) — г2 (3 т2 — 5 п2) —
— [іп2 (3 т2 — 4 іг2) + 2 г2(3 п2 — 2 ж2)] cos23} +ж6 {r2—n2){ 1 — cos2 &)=0.
Раскрывая скобки и дѣлая приведеніе подобныхъ членовъ мы получаемъ въ результатѣ:
2м6о2 = 0, что очевидно невозможно, такъ какъ п и а представляютъ собою конечныя величины.
Итакъ уравненіе (22) не удовлетворяется значеніями координатъ контрольной точки и, слѣдовательно, не представляетъ собою искомаго геометрическаго мѣста, уравненіе же (28), какъ мы видѣли, обратилось въ тождество.
Такимъ образомъ мы приходимъ къ заключенію, что геометрическое мѣсто точекъ пересѣченія сопряженныхъ хордъ для криволинейно производнаго шатунно-кривошипнаго механизма выражается уравненіемъ второй степени.
Изслѣдуемъ геометрическое значеніе этого уравненія. Напишемъ его въ общемъ видѣ:
Ax2 + Вху -f Оу2 Dx + Еу -|- F = 0.
Дискриминантъ этого уравненія имѣетъ видъ:
А = 2(4 AGF - АВг - CD2 + BDE - B2F).
Опредѣлимъ значеніе дискриминанта, опираясь на слѣдующую зависимость между коэффиціентами уравненія (28):
^ = 2w2cos2ft -J2,
В = (4 п2 cos2 ft — 2 /2 — п2) ctgft = (2 А — w2) ctg ft,
С = (2п2 cos2 ft — l2 — п2) ctg2 ft = (A — n2) ctg2 ft,
D=n(r2 — 2 n2 cos2 ft),
E= n (r2 -J- n2 — 2 n2 cos2 ft) ctg ft = (D + w3) ctg ft,
F= — n2 r2.
Такимъ образомъ имѣемъ, преобразуя сперва дискриминантъ:
Д = 2 { С(4 AF— D2) + Е (BD — АЕ) — B2F} или подставляя:
А = 2 { ctg2 ft (А — п2) (4 AF — D2)-|-ctg ft (D -j- w3) [ctg ft (2 A — n2)D — — ctg ft A (D -f- w3)] — ctg2 ft (2 A — n2)2 F |.
Производя дѣйствія получимъ:
A = 2 n4 ctg2 ft (— An2 — Dn — F).
Подставимъ значенія коэффиціентовъ A, D и F.
или окончательно:
/\ = 2 п& Р ctg2 О, что представляетъ собою величину большую чѣмъ нуль. Итакъ Д > 0.
Опредѣлимъ теперь значеніе выраженія:
Н = J?2 — 4 АС.
Н = ctg2ft[(2 А - п2)2 -4 А (А — и2)].
Раскрывая скобки имѣемъ:
Н — ctg2 ft [4А2~і~п4 — 4 Ап2 — 4 ^t2 + 4 или
Н=п4 ctg2 & > 0.
Итакъ уравненіе (28) представляетъ собою гиперболу.
Вернемся теперь къ прежней системѣ координатъ, подставляя вмѣ* сто х и у соотвѣтственныя величины:
у*2 ^2
Х—Х — — И У — у + tg г) — (смотри СТр. 3). fb fl
Послѣ выполненія всѣхъ дѣйствій мы получимъ слѣдующее уравненіе:
х2 2 п2 cos2 ft — l2 х у'ctgft 4 п2 cos2 ft — 2l2—n2
у'2с tg2ft 2 п2 cos2 $ — Р — п2 (30)
х — 2 w3 cos2 ft ?/'ctgft — w8 cos 2 0.
Откуда мы видимъ, что найденная нами гипербола проходитъ черезъ центръ кривошипной окружности—начало координатъ прежней системы.
Уравненію (30) мы можемъ придать слѣдующій болѣе компактный видъ (опуская какъ ненужные теперь штрихи при неизвѣстныхъ):
х2
хусіф У2 ctg2» х
yctgft
2 w2 cos2 ft j
w2 (4 cos2ft — 1) j X2 l2
n2 (2 cos2ft — 1) = | xyctgb 2J2
— 2 w3 cos2 ft I y2cig2b P
— n3 cos 2 ft !
или иначе:
о '
Xй <
zyctgft
/ctg2t>
х
yctgft
что даетъ далѣе:
! 2 cos
2 cos2 3 + cos 2 0 cos 2 ft ! — 2 n cos2 ft — n cos 2 0
= ^(* + Ус tg&)2,
p
(x + у ctg ft — n) (x. 2 cos2 ft + 2/ ctg ft cos 2 ft) = —2 (я ctg ft)2,
откуда имѣемъ окончательно:
(x + У ctg ft — n) {x sin 2 ft -f У cos 2 ft) = ' (31>
Въ заключеніе замѣтимъ что, подставляя въ найденное нами уравненіе геометрическаго мѣста координаты точки, опредѣляемой формулами (61) на страницѣ 54-ой „Шатуннаго полюса", мы не получаемъ тождества.
Это показываетъ намъ, что хотя указанная точка и удовлетворяетъ условію полярности, но она не представляетъ собою точки пересѣченія сопряженныхъ хордъ для разсмотрѣннаго предѣльнаго случая и, слѣдовательно, всѣ выводы, основанные на значеніяхъ координатъ этой точки, являлись неправильными, какъ напр. числовой выводъ въ концѣ шестой главы.
