К вопросу о построении математических моделей виброзащитных систем с динамическими гасителями нетрадиционного типа Текст научной статьи по специальности «Физика»

В данном окне ERES - сопротивление индуктора (ERES = 1,475 Ом), EIND - индуктивность (EIND = 0,012 Гн). Расчетный программный комплекс ANSYS позволяет рассчитывать индуктивность только для индукторов, имеющих форму соленоида (спиральной катушки) в 3D- и 2D^rn-лизе. В 3D-анализе с использованием трехмерных элементов Solid97, в отличие от двумерных элементов Plane53, возможно применение различных геометрических форм нагреваемых ферромагнитных тел (цилиндр, куб, шар, конус и т. п.). Данная возможность в дальнейшем позволит:

• создать различные формы индукционных установок;

• добиться эффективности и надежности в работе установки;

• снизить затраты на материалы.

3. Заключение

Программный комплекс ANSYSпозволяет проводить полноценное моделирование устройств индукционного нагрева, обеспечивая хорошую точность и быстроту решения поставленной задачи. Результаты, полученные в данном анализе, были подтверждены в испытательном центре «НИСЦЭО» электромонтажной фирмы «РАДИАН».

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙСПИСОК

1. ANSYS Electromagnetic Field Analysis Guide. -ANSYS Inc, 1998.

2. Слухоцкий А. Е. ,Рыскин С. Е. Индукторы для индукционного нагрева. - Л. : Энергия, 1974. -264 с.

УДК 621.883 Елисеев Сергей Викторович,

д-р техн. наук, профессор, директор НИИ современных технологий, системного анализа и моделирования ИрГУПС, тел.: 8(3952)59-84-28

Ермошенко Юлия Владимировна, канд. техн. наук, доцент, декан заочного факультета ИрГУПС, тел.: 8(3952)63-83-92

Трофимов Андрей Нарьевич, директор Инженерного центра УпрНИР ИрГУПС, e-mail: [email protected]

К ВОПРОСУ О ПОСТРОЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ВИБРОЗАЩИТНЫХ СИСТЕМ С ДИНАМИЧЕСКИМИ ГАСИТЕЛЯМИ НЕТРАДИЦИОННОГО ТИПА

S. V. Eliseev, Yu. V.Ermoshenko, A.N. Trofimov

ON CREATING MATHEMATICAL MODELS OF VIBROPROTECTION SYSTEMS WITH NONTRADITIONAL DYNAMICAL ABSORBER

Аннотация. Рассматриваются вопросы построения математических моделей виброзащитных систем как технология последовательного введения сочленений. Показаны условия появления рычажных связей при использовании сочленений в системах с твердыми телами на упругих опорах.

Ключевые слова: виброзащитные системы с сочленениями, математические модели динамических гасителей, рычажные механизмы в динамике механических систем.

Abstract. Issues of creating mathematical models of vibroprotection systems as technology of consistent introduction of coupling are considered. Conditions of appearance of lever ties by using couplings in mechanical systems with rigid bodies on elastic support are shown.

Keywords: vibroprotection systems with couplings, mathematical models of dynamical absorbers, lever mechanisms in dynamics of mechanical oscillation systems.

I. Введение

Вопросам динамического гашения колебаний в теории и практике вибрационной защиты машин и оборудования уделяется достаточно большое внимание, что инициировало поиск и разработки новых конструктивно-технических решений, основанных на идеях введения в механические колебательные системы дополнительных обратных связей [1-4]. Особенности динамического гашения колебаний на основе использования устройств для преобразования движения, а также

иркутским государственный университет путей сообщения

иных механизмов в составе механических колебательных систем рассмотрены достаточно подробно в работах [5, 6].

В первую очередь такими устройствами стали шарнирно-рычажные механизмы, затем несамотормозящиеся винтовые и зубчатые механизмы и др. Вместе с тем появление устройств для преобразования движения можно рассматривать и с позиций общей трансформации структур механических колебательных систем на основе использования сочленения в качестве как подхода для получения упрощенных структур, так и способа построения нетрадиционных для теории колебаний элементов механических колебательных систем [7].

II. Постановка задачи исследования. Общие положения

Если режимы динамического гашения колебаний при силовых внешних воздействиях в системах цепного типа достаточно полно освещены в научной литературе, то этого нельзя сказать о задачах динамического взаимодействия в системах, в которых в качестве объекта защиты выступает твердое тело, имеющее две или более упругие опоры. В таких случаях режимы дианмчиеского гашения могут проявляться из-за того, что меняется характер перекрестных связей между парциальными системами: вместо упругих связей появляются инерционные или инерционно-упругие связи. В дальнейшем упомянутые обстоятельства будут приняты во внимание; при этом полагается, что силы сопротивления в системе являются исче-зающе малыми, что в реальных задачах встречается достаточно редко, однако это вполне допустимо при рассмотрении особенностей процессов на предварительном этапе.

На рис. 1 представлена расчетная схема виброзащитной системы, в которой имеется два блока, отмеченных контурами I и II.

Контур I

Контур II

В основе блоков - твердое тело, обладающее массой и моментом инерции; в составе виброзащитной системы (ВЗС) задействованы упругие элементы, предполагается, что смещение центра тяжести блока I не оказывает существенного влияния на динамику системы в целом. Такая расчетная схема в виде колебательной системы с тремя степенями свободы (у + у3) может рассматриваться как фрагмент ВЗС, в которой совместно работает блок I (контур I рис. 1) и блок II (контур II рис. 1), состоящий из твердого тела (т0,10), опирающегося на упругие опоры. Контуры I и II (рис. 1) находятся во взаимодействии через упругий связующий элемент к01.

В свою очередь, твердое тело (т0, /0) не только опирается на упругие опоры к1 и к2, но имеет упругую связь к0, линия действия которой проходит через центр тяжести балки в точке О. Примем, что А1О = ¡1, В 2 О = ¡2, а присоединенная масса т не вызывает значительных изменений массоинерционных параметров системы. Преобразуем исходную схему, используя представления о формировании шарниров [8], как показано на рис. 2.

^ / / /

Рис. 2. Преобразованная расчетная схема, содержащая сочленения

Полученная в результате упрощения схемы на рис. 1 расчетная схема на рис. 2 использовалась, например в работе [9], однако вопрос об особенностях сочленений в этой работе не рассматривался. Отметим, что схема на рис. 2 может быть использована для получения расчетных схем с двумя сочленениями. Запишем выражения для кинетической и потенциальной энергий для расчетной схемы ВЗС, приведенной на рис. 2.

Т = ^(т + т1)у2 +^т2у2,

(1)

Рис. 1. Расчетная схема колебательной ВЗС, имеющей два контура взаимодействия

1

1

П = - к (у - г ) + - к2 (у -11) + - к2 (у2 - 2з ) , (2)

где у2 - скорость элемента массой т2 в абсолютном движении, которая определяется выражением

(т + т2 + m2i2 ) + у(к + кх + k2i2 ) =

У 2 =

1

V'!

Л

Знак минус отражает изменения движения, вызванное рычагами второго рода, таким образом найдем, что (1) преобразуется к виду

Т = ^(т + т1)у2+^т2[-уг + 22(1 + /) ]2, (3)

12 ^ где г = — передаточное отношение рычага. По-

А

тенциальная энергия системы определяется выражением

у(т1 + т2 + т2' )+ У(к + к1 + к 2' )= (5)

= т2 (1 + ')22 + г2к2 (1 +') + кх2х + kz — к2'хъ, Для дальнейших расчетов примем, что г1 = ^ = ^; к = 0 и к2 = 0, тогда передаточная функция системы примет вид

Ж ( р )= У ( Р )

т

(1 + г) гр2

(р) (т + т+тт}2)р2 + к

(6)

П = -с

1 к (у — I)2 +1 к1 (ух — 2 )2 +

+ 1 к2 (У2аб — 23 )2 = 1 к(У — 2)2 +

+ 1 С1 (У1 — )2 + 1 С2 [— У' + 22 (1 + ')— 23 ]2.

(4)

Используя ряд преобразований [3], получим дифференциальное уравнение движения:

где р = ]с - переменная Лапласа (у = %/-!). В качестве примера на рис. 3 показано семейство амплитудно-частотных характеристик, построенных на основе (6) при изменении параметра г в пределах 0^3 с шагом 0,5. В качестве исходных приняты следующие параметры системы:

т = 100 кг; т1 = т2 = 20 кг; к = 10000 Н/м.

На рис. 3 через с1 ^ сб обозначены частоты динамического гашения. Значения частот собственных колебаний в сопоставлении с частотами динамического гашения приведены в табл. 1.

Особенности амплитудно-частотных характеристик заключаются в том, что при увеличении передаточного отношения г происходит смещение

Рис. 3. Семейство амплетудно-частотных характеристик системы с передаточной функцией (6)

Таблица 1

Значения частот собственных колебаний в сопоставлении с частотами сс с6 для системы на рис. 3

г 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Значение частот динамического гашения с1 с2 сз сз с5 сб

25,81 15,81 11,54 9,12 7,55 6,45

Значение частот собственных колебаний Ссоб1 Ссоб 2 Ссоб3 Ссоб 4 Ссоб5 Ссоб б

8,94 8,45 7,78 7,07 6,38 5,77

иркутским государственный университет путей сообщения

частот динамического гашения влево, то есть разность частот сособ - один уменьшается. При этом частота собственных колебаний также уменьшается, но гораздо медленнее. На высоких частотах коэффициент передачи амплитуды колебаний после режима динамического гашения стремится

•2

к предельному значению W(p) = m1 + m1— < 1;

m + m + m21

чем больше i, тем больше будет значение W(p)l; при1 ^ - \W(p)\^ = 0.

III. Оценка динамических свойств

Развивая метод получения математических моделей систем с сочленениями, основанный на упрощениях некоторых более общих систем с использованием особенностей, возникающих при наложении связей в сочленениях произведем ряд выкладок. Вернемся к полной схеме, приведенной на рис. 1. Тогда выражения (1) и (2) для кинетической и потенциальной энергий можно преобразовать к виду

1 2 1 ■ 1 2

T = -m0y0+-JJ + -my , (7)

П=1 k (y - z )2 +1 ki (У1- zi )2 +1К (Уо- z2 )2 +

1

— 1 2

\2 1 +

2

+1 k2 (У2 - )2 + 1 k 01 (У - У )2-

шшт

Рассмотрим движение системы в координатах у0 , ф . Запишем ряд обозначений и соотношений:

У0 = «У1 + ЬУ2 ;ф=с (У2- У1):

1

а = -

12 ;b = - l

11 +12

11 + 12

■; c = -

¡1 + ¡2

При движении объекта защиты в системе координат у0, у2 и у1 выражение для кинетической энергии можно привести к виду

Т = 1 m0 (аух + Ъу2 )2 +

2

+ 1J0с(У2 -У1 )2 +

(9)

ту

2 0 ^ 2 ' 2 Выражение для потенциальной энергии в данном случае определяется:

П =1 к (у - г )2 +1 к1 (у - г )2 +

+1 k0 (аУ1 + ЬУ2 - Z2 )2 + +1 к2 (У2 - Z3 )2 + 1 к 01 (У - Z1 )2-

(10)

Система дифференциальных уравнений движения системы может быть представлена в форме

(8) ('т0а2 + J0c2 ) + у1 (к^ + к0а2 ) +

(11)

На схеме (рис. 1) приняты следующие обозначения: у0 - момент инерции, т0 - масса промежуточного тела (может превращаться в т1 и т2 , соединенные рычагом); т - масса объекта; к, к1, к0 , к2 - упругие элементы, промежуточного тела, опирающегося на основание; г + z3 - кинематические возмущения. Координаты точек А1 и А 2 (рис.1), определяются следующим образом: уА = у1 и уа = у. Для получения сочленений между элементами необходимо выполнение условий у - у = 0, у 10 = 0, где принимается уш = у0 - г2 .

(12) (13)

+у2 (т0аЬ - Зйс2) + у2к0аЬ = кхгх + к0аг2, (т0а Ъ - 70с2 ) + у1 (-к0аЬ) + у2 (т0Ь2 +

+Л>с2) + У2 (коЬ2 +к2) = КЬг2 + к2гъ, у1(0) + у1(0) + у2(0) + у2(0) +

+ут + у [к + кт^ = к г

В табл. 2 приведены значения коэффициентов уравнений в координатах у1, у2 и у .

Обобщенные силы по координатам у0 , у2 и у1 имеют вид

Яу1 = к1г1 + к 0 аг2 ; Яу2 = к0Ьг2 + к 2 г3 ;

Таблица 2

Значения коэффициентов уравнений (11)-(13) в координатах У1, У2 и y

а11 а12 а13

/ 0 0 \ 0 0 (m 0 а + J0c ) p + к1 + к0а (m^b - J0c2) p2 + к0 аЬ 0

а21 а22 а23

(m 0 аЬ - J0c2) p2 + к0аЬ (m0b2 + J0c2) p2 + к0 b2 + к2 0

а31 а32 а33

0 0 mp2 + к + к01

бу = к 2 + к0!. . (14)

Уравнения (11)—(13) описывают движение в системе координат, отражающих вертикальные перемещения массоинерционных элементов ВЗС. Такую математическую модель можно назвать базовой. Особенность матрицы заключается в том, что а13 = а31 = 0, а23 = а32 = 0, что зависит от особенностей динамических взаимодействий, определяемых структурой ВЗС (рис. 1) и выбором системы обобщенных координат.

Перейдем к системе координат х = у — у1, у0 и р; запишем ряд соотношений у = х + у = х + у0 — 1рр и получим выражение для кинетической энергии

Т = ^т0(уау+^0ф2+^т(х + у0-11ф)2. (15)

Запишем выражение для потенциальной энергии в развернутой форме

П =1 к(х + Уо —11( — 2)2 +1 к1 (Уо —Ар — ^ )2 + „„ 1 2 2 1 2 1 (16)

+ 1 ко (Уо — ^2 )2 + 1 к2 (Уо + 12( — )2 + Тк 01(х)2.

2

2

2

Уравнения движения системы в координатах р, у0 , х имеют вид

р(+ т1х) + р(к1х + Ы 2 + к212 ) + у0 (—т I) +

Ш ----1/ ' N-1-1 ■ '-2'2/ ' ^ЮЧ ----1/

+ у0 (— к^ + кх1х + к212 )+ х(— т\) + х(— к1х )= (17) = + к111г1 +к ,

(р—т1х ) + р(—к^ + кх1Х + к.Л2 ) + У0 (т + т0 ) +

и^) + Р(—кх1 + *1х1 + ках 2) + ^ (к + кх + к0 + к2 ) + х(т) + х(к) =

(18)

(19)

+ Уо (к + кх +

— к% + кд^ 2 к ,

ф(-т1х ) + А ) + Уо О) + +_у0 (к) + х(т) + х(к + к01) = ¿2.

Значения коэффициентов уравнений (17)-(19) в координатах р, у0 их соответственно представлены в табл. 3.

Обобщенные силы по координатам ф , у0 и х имеют вид

бр = — + к 111.г'1 + к212 23 ;

бо = ^ + к 1+ к022 — к223 ; бх = к. . (20)

Математическая модель в системе координат р , у и х отличается от предыдущей модели (координаты у1, у2 и у) тем, что нулевые клетки (табл. 2) отсутствуют (то есть связи существуют между всеми парциальными системами). Что касается координаты х = у — у1, то она может быть «обнулена» предположением, что к01 и образуется сочленение твердых тел т и тх. Физически это означает, что масса т присоединяется к элементу ВЗС в Т.А с массоинерционными параметрами т0, J0 . Движение системы будет описываться в этом случае координатами у0 и р [8].

Необходимые данные для определения передаточных функций можно получить, исключая в матрице (табл. 3) столбец и строку, содержащие х (переменная устраняется, а порядок матрицы уменьшается на единицу).

Для продолжения исследования введем систему координат у0 , у1 их, тогда выражения для кинетической и потенциальной энергий в координатах у0 , у1 и х преобразуются к виду:

Т = ^то (Уо) (Уо~У\)2 -(21)

Проведем замену системы координат по отношению к выражению для (21)

2 V / 2 4 ' 2 где у = у1 + х ; х = у — у1, тогдар = с(у2 — у ) ;

Т = \т0 (у0) (ф)2 + \т(у)2,

(22)

уо = ол + ьУ2 ; у2 =

Запишем

уо — оу1 ь '

р= СУ2 — СУ1 =

с •(Уо — аУ1)

ь

СУ1 =

сУо — саУ1 — ЬсУх _ с, , -Т-= 7" (Уо — У1)

ьь

(23)

Таблица 3

Значения коэффициентов уравнений (17)-(19) в координатах р, уо и х

а11 а12 а13

(т/^ + J0) р2 + к/]2 + к1/12 + к21\ (—т/1) р2 — к/1 + к1/1 + к2/2 (—т/х) р2 — к/х

а21 а22 а23

(—т/1) р2 — к/1 + к1/1 + к2/2 (т0 + т) р2 + к + к1 + к0 + к2 (т) р2 + к

°31 а32 а33

(—т/х) р2 — к/х (т) р2 + к (т) р2 + к + к01

иркутским государственный университет путей сообщения

и найдем <р = a0 (y0 - y), где a0 = -; y0 = ayx + by2

b

уо- avi 1 a

; у2 =-7-= tуо - tу1 = - a0iyi

b 2 b

Выражение для потенциальной энергии в развернутой форме в координатах у0 , у1 их принимает вид

П =1 к(ух + х - г)2 +1 кх (ух — г )2 +

2 4 ' 2

+ - kо (yо - z2)2 +

+ 2к2 (аюУо - Wi - z3)2 + -ко!(х)2,

(24)

2 2w°.° ^ 2

1 a

где a 10 = 7 и a 01=7 • b b

Произведем ряд вспомогательных выкладок и найдем уравнения движения системы в координатах y0 , y1 и х:

>1 (н + rn) + У! (а- + а'х + А'2Яо1 ) + Уо [-Jal) + +у0 (_A'2í701í710) + х(-от) + х(А') = kz - k2a01z3 + kxzx\

Í\ [~Jao ) + Л [~к2атаю ) + Л [то + Joao)

(25)

(26) (27)

+Уо (к + к2а^о ) + х(0) + х(0)

= к0 ^2 + к2а0^ }\(-т) + }\(к) + у0(0) + +у0 (0) + х(т) + х(к + кт ) = —кг.

В табл. 4 представлены значения коэффициентов уравнений (25)-(27) в координатах у, у0 и х.

Обобщенные силы по координатам у1, у0 и х имеют вид

ву1 = к — к2а01г3 + к1г1; ву0 = к022 + к2а01г3;

вх =-к?. (27)

В этой системе координат возможно также введение сочленения и по координате х. Для получения передаточной функции системы, которая имеет две степени свободы у0 и у1, необходимо

исключить соответствующие столбцы и строку. Отметим, что если х = 0, то у = у и движение системы при одном шарнире в точке А, будет описываться координатами у0 и у1 . В данном случае рычаг имеет упругое опирание для своего центра вращения. Наибольший интерес представляет все же случай с двумя сочленениями.

Рассмотрим систему координат у10, у и х. Вводя ряд соотношений (у10 = у — г2), запишем выражение для кинетической энергии системы:

+^оао2 (jio+¿2 " У + + (У')2

(28)

с

где а 0 = —, а также запишем выражение для по-Ь

тенциальной энергии системы: где

П = П1 + П2 + П3 + П4 + П5,

(29)

П- = - к (y - z)2 = - к (y2 - 2yz + z2); П2 = 2 к1 (У - x - Z1)2 = 2 к1 (У2 -

2

2

- 2yx + x2 - 2zjy + 2zxx + z2);

1 2 1

П3 = 1 k0 (У10 ) ; П4 = 1 k2 («10У10 - а01У + a01x + Z0 )2 =

= -k2 («'юУш - 2a10ОиУюУ + ^У2 + 2a021X +

+2a,1XZ0 + Z02 + xyw - 20^ +

1

+2a10Z0У10 - 2a01z0У); П5 =-k01x >

где z0 = a10 z2 - z3 •

Уравнения движения системы в координатах У10 , у и х примут вид

"¿-от + J оa 2) + У1о(ко + к 2 аД2о) +

+ y(- М) + y (-к 2 а-оао-) + x(j о a^)+ (3о)

+ x(к2al°a°l) = —к2a^zо - тоz2 - Jоа z 2;

Таблица 4

Значения коэффициентов уравнений (25)-(27) в координатах yj, У0 и х

a11 a12 a13

(m + J0a0) p2 + k + k1 + k2la^1 (-J0a02 )P2 - k2a01a10 (-m) p2 + k

a21 a22 a23

(-J0a02 )P2 - k2a01a10 (m + J0a0) p2 + k + k2a20 о

a31 a32 a33

(-m)p2 +k о ( m) p2 + k + k01

У10 0 а02 ) + У10 (—к 2 aX0a0X) + У(т + М ) + Ч

01) + х(— J0 а0 )+ х(— к1 — к2 а 201)=(31)

(32)

+ к2ао1.о;

(?х=-('/0а02)22 "кА "Мо^о ■

&У10 = —(т0 + J 0 а02 К — к:

= —(т0 + J 0 а02) Р 2 — к 2 а120^ 2 — к 2 а1023;

^У = —(/0а02 К + кк + к1 + к2а01^0 =

— J ^а д р + кк + к^к^ + к2а10а01к2 к 2а ^;

<2х = —(J0а02 2 — к1

'0 а0 )К 2 к1 к 2 а10К0 =

= "^0а0 Р к к2а10а01К2 + к2а10К

темы с двумя сочленениями:

,2ч „2

у (то + Joa^) р2 + к = /оа2о р2 + к ,

+ У(к + к + к2а01) + х (— ^а0 )+ х(— к — к2а 01 )= = ^а0 2 ¿2 + кк + +к2а01^0;

У10 (J0 а02) + Ую(к2 а10а01) + У (— •/а02) + + У(—к1 — к2а201) + Х(— J0а° )+ + х(к + к2а201 + к01 )= —^ао ¿2 — к К — к2а0к.

В табл. 5 приведены соответствующие коэффициенты уравнений (30)-(32).

Обобщенные силы покоординатами у10 , у и х имеют вид

вЛо = -(т0 + Л«02 " к2аЮг0 ;

откуда передаточная функция системы принимает вид

,2

Ж ( р) = у =

/0а2 + к т + /0 а^ + к

(39)

(33)

При = а10г2 — получим следующие выражении для обобщенных сил:

(34)

(35)

(36)

Сравнение (39) и (6) показывает, что структура передаточных функций является общей и предлагаемый подход позволяет построить необходимые математические модели.

Для получения полного совпадения результатов необходимо представить расчетную схему более детализированной. Для вывода (6) использовалась схема, показанная на рис. 2. Особенность этой расчетной схемы заключается в учете мас-соинерционных свойств рычажных связей. Рассмотрим в связи с этим расчетную схему системы на рис. 2, которая отражает массоинерционные свойства системы. На расчетной схеме (рис. 4) показаны массы т1 и т2 ; учет особенностей их движения является существенным фактором для совпадения выражений (6) и (39).

В данной системе координат имеется возможность выхода на два сочленения: по координате у10 и по координате х. Используя матрицу

(табл. 5) и исключая соответствующие строки и столбцы, получим уравнение движения для сис-

(37)

(т0 + ^а °) р + к + к2а ° + кх = — ^'0к 2 + кк + кхкх + о.

Для упрощения принимаем, к2 = 0, к1 = 0 , = 0 , г3 = 0 ; при этом г = , тогда уравнение (37) преобразуется к виду

" " (38)

г

Рис.4. Расчетная схема ВЗС на рис. 2, но с разнесенными массами т1 и т2

Выберем для дальнейших расчетов систему координат у, у10 и х, полагая при этом, что

Таблица 5

Значения коэффициентов уравнений (30)-(32) в координатах , у и х

2

а11 а12 а13

(то + /0а02 ) р2 + к0 + к2а120 (— /0а02 )р2 — к2а10а01 (/0а2 ) р2 + к2а10а01

а21 а22 а23

(— /0а02 )р2 — к2а10а01 (т + 2 )р 2 + к + к2а 201 + к (— /0а02 )р2 — к1 — к2а201

а31 а32 а33

(/0а02 ) р2 + к2а10а01 (—/0а02 ) р2 — к1 — к2а201 (/0а02 ) р2 + к1 + к2а201 + к01

иркутским государственный университет путей сообщения

yw = y0 + z, х = y-yгде y0 = ayx + . Запишем выражения для кинетической и потенциальной энергий системы

гг 1 -2,1 -2,1 -2

r = -/wv +-щух +-т2у2,

1 , 1 ,

П = -k(y-z) + -k(yi-Zi) +

(40)

+1 k2( у 2 -Z 3)2 + 1 k01( y-yi)2 + 1 k0 ( Уо Z2

1

2'

(41)

Произведем ряд преобразований:

a l2 i

У2 = Уо-ayi = aoУО-У,i = т = т ; a0 = 7";

b li b

У2 = aoyio + aoz2 -iy + хУо = yio + х '

тогда получим

1 . 2 1 о 1 • • • 2 //1

Т = —my"н—ffij(y-x)*' +—»г2(ао>1о +

2

2

2

1 9 1 9

П = — k(y-z)2 + — к (y-x-z)2 +

2 2 1 (43)

+1 k2(aoУ10 -iy + ix +z0)2 +1 k01(x)2 +1 k0(ую)2.

где z0 = a0z2 - z3 . Сделав ряд вспомогательных выкладок, аналогичных вышеприведенным при выводе уравнений Лагранжа II рода, получим уравнения движения

y (m + m2i2 + m) + y(k + k + k2i2) +

+ x (- m1 - m2(2 ) + x(-k1 - k2i 2) + (44) + y 10(- m2ia 0 )+ У10(- k 2 aoi ) =

= m2a0iz2 + kz + kjZj + k2z0i;

y (-m - m2i2) + y(-k - k2i2 ) +

,-2ч

+ x (m, + m2i )+ xikj + k01 + k2i ) +

+ y 10 Cm2ia0 ) + У10 (k2 a0i ) =

- ^^ Q i z 2 z z Q i ;

v{-mnian ) + v{-kni2an ) + x(tnnian ) + x{knian ) + +У10 ("b«!2 ) + >10 (kao + к ) = -m2alz2 - k2a0z{

ний (44)-(46).

Обобщенные силы в данном случае имеют

вид

ô = m2a02 + kz + k1 z1 + k2z0^ ôx =

= -a0im2z2 - k1 z1 - k2iz0 , 6y0 = (47) — 2 a 02 z 2 k^a {^z çi.

200

Исключаяиз матрицы столбцы и строки по координатам х и у10, получим уравнение движения для системы с координатой у

у (т1 + т + т212)+ у(к + к + к212 )= = т2а0й 2 + кг + к^ + к2г0г.

(48)

Для построения передаточной функции «смещение у по входу г2 » примем, что г = г2, г1 = 0 , г3 = г2, к1 = 0, к2 = 0 .

В этом случае k W = У =

oi

при этом

m2a0ip2 + к

( m + mi + m 2 i2 ) p2 + к

(49)

Отметим, что — = b

li +12 1 ■

= i + i ; в этом случае

li

W = У =

mi

( i+1) p 2

(50)

(45)

(46)

г2 (т + т1 + т 2 г2 ) р2 + к

Выражения (6) и (50) полностью совпадают, что, собственно, и требовалось доказать.

На рис. 5 представлено семейство амплитудно-частотных характеристик, соответствующих (50) при т = 100кг;т1 = т2 = 10кг; к = 10000Н/м и передаточных отношениях г = 0 ^ 3 (шаг изменения г равен 1). Увеличение передаточного отношения г, в физическом плане, означает, что в системе с изменением г происходит изменение значений приведенной массы, что вносит соответствующие изменения в параметры системы.

В табл. 6 приведены коэффициенты уравне-

Таблица 6

Значения коэффициентов уравнений (44)-(46) в координатах y, х и Ую

z

2

a11 a12 a13

(m1 + m + m2i2) p2 + к + k + к2 (-m1 -m2i2)p2 -к i к2 -m2ia0p2 - ^agi

a21 a22 a23

(-m1 - m2i2 )p2 - к --к27 (m1 + m2i2) p2 + +к i +ко1 + к2 m2i'a0 p + ka0i'

a31 a32 a33

-m2ia0p2 - к^т m2ia0 p + к2a0i m2a0 p + к^ + к0

Рис. 5. Семейство амплитудно-частотных характеристик системы с передаточной функцией (50)

Частота динамического гашения колебаний определяется выражением

2 _ к

(51)

дин 1Ч '

m2i(i +1)

а частота собственных колебаний -

к

2

=

соб 2 *

m + m1 + m2i

(52)

«Запирание» на высоких частотах определяется из выражения

m2i(i +1)

2* (53)

R =-

т + т1 + ш21 Частоты динамического гашения обозначены через < + <3 . Соответствующие значения частот собственных колебаний в сопоставлении с частотами приведены в табл. 7.

Таблица 7

Значения частот собственных колебаний в сопоставлении с частотами <1 < для системы на рис.5

i 1 2 3

Значение частот динамического гашения с1 с2 сз

22,36 12,9 9,1

Значение частот собственных колебаний Ссоб1 Ссоб 2 Ссоб3

9,53 8,16 7,07

IV. Заключение

Таким образом, выбирая систему обобщенных координат соответствующим образом, можно построить математическую модель механической системы с сочленениями. В этом случае система с сочленениями получает меньшее число степеней свободы, чем у исходной системы. Сочленение возможно между двумя телами при соединении

двух тел в кинематическую пару вращательного вида (V класса). Однако возможны и соединения твердого тела и с другим телом с потерей возможности относительного движения. Использование сочленений в технологии построения математических моделей позволяет развить обобщенный подход, в рамках которого становится «прозрачным» направление поиска и разработки способов и средств защиты машин и оборудования от вибрационных воздействий.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Коренев Б. Г., Резников П. М. Динамические гасители колебаний. Теория и технические приложения. - М. : Наука, 1963. - 635 с.

2. Елисеев С. В., Нерубенко Г. П. Динамические гасители колебаний. - Новосибирск : Наука, 1982. - 142 с.

3. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов / Елисеев С. В., Резник Ю. Н., Хоменко А. П., Засядко А. А. - Иркутск : Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2008. - 523 с.

4. Трофимов А. Н., Зарубина В. А. Динамическое гашение колебаний // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2010. -Вып. 1 (25). - С. 44-49.

5. Dynamics of Mechanical Systems with Additional Ties / Eliseev S. V., Lukyanov A. V., Reznik Yu. N., Khomenko A. P. - Irkutsk : Irkutsk State University of Railway Engineering, 2006. - 310 р.

6. Елисеев С. В., Хоменко А. П., Упырь Р. Ю. Рычажные связи в задачах динамики вибрационных воздействий на машины и оборудование // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2009. - Вып. 3 (23). -С.104-120.

7. Елисеев С. В., Ермошенко Ю. В., Большаков Р. С. Обобщенная теория динамического гасителя колебаний в системе с несколькими степенями свободы // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2011. - Вып. 1 (29). - С. 45-52.

8. Хоменко А. П., Елисеев С. В. Виброзащитные системы с сочленениями. Технология построения математических моделей // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование.

- 2010. - Вып. 3 (27). - С. 8-18.

9. Климов А. В. Динамика рычажной релаксационной подвески с прерывистым демпфированием : автореф. дис. ... канд. техн. наук / ОрелГТУ.

- Орел, 2001. - 26 с.