К вопросу наблюдаемости упругих свойств жидких сред в вискозиметрическом эксперименте по Швидковскому Е. Г. Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.137.3

К ВОПРОСУ НАБЛЮДАЕМОСТИ УПРУГИХ СВОЙСТВ ЖИДКИХ СРЕД В ВИСКОЗИМЕТРИЧЕСКОМ ЭКСПЕРИМЕНТЕ ПО ШВИДКОВСКОМУ Е.Г.

И. В. Елюхина

Изучены возможности наблюдения и измерения слабо упругих свойств жидких сред методом крутильных колебаний.

Введение. В режиме затухающих колебаний можно реализовать как малые скорости деформаций, так и предельно малые полные деформации. Это позволяет сделать наблюдаемыми отдельные неньютоновские эффекты у жидкостей, обычно считающихся ньютоновскими. Данные условия, реализуемые в крутильно-колебательном вискозиметре Швидковского Е.Г. (рис. 1) [1], и неосуществимые в других реометрических методиках, дают возможность предположить обнаружение новых классов сред со слабо выраженными неньютоновскими свойствами.

Подобные эксперименты обладают метрологической точностью, т.е. позволяют не только продемонстрировать сам факт вязкоупругости жидкости, но и количественно определить ее возможный модуль сдвига. А это в свою очередь дает возможность решить фундаментальную задачу о реологической принадлежности рассматриваемого класса жидкостей и делает правомочной постановку проблемы о микроскопических причинах ненъютоновского поведения сред.

Вязко-упругие жидкости можно отличить от ньютоновских в экспериментах, позволяющих осуществить предельно малые скорости деформации, а также способных отразить временную сторону процессов изменения напряжений и деформаций [2-4]. Состояние простой жидкости с затухающей памятью, совершающей крутильные колебания в вискозиметре (рис. 1), можно охарактеризовать как линейно-вязкоупругое, т.е. отбросить члены выше первого порядка тензора деформации Коши [2], а течение описать единственной материальной функцией - комплексной вязкостью г] - у*р, включающей динамическую вязкость т]г и динамическую жесткость С [2-4]:

г/* -т]г+ /'/7,, (1)

где г/1 - С! со\ со- 2тг !т; со - частота и г - период колебаний заполненного жидкостью цилиндра; у - кинематическая вязкость; р - плотность среды; / = Т .

Впервые понятие комплексной вязкости в отношении применения его к заполненному исследуемой жидкостью цилиндру, совершающему вынужденные колебания, было проанализировано Клейманом Р.Н. [4]. Работа [4] носит скорее теоретический характер и ввиду неучета многих факторов затрудняет использование полученных результатов на практике и не способствует распространению методологии исследования на другие режимы колебаний.

Практически представляет интерес случай слабо выраженных упругих свойств и изучение возможностей их наблюдения и корректного оценивания. В связи с этим достаточно своевременным является проведение математического моделирования реометрического эксперимента по изучению слабо упругих свойств жидких сред методом крутильных колебаний.

Основные положения теории метода и оценка чувствительности вязкоупругих свойств жидкости к ошибкам в измерении параметров установки и колебаний. Геометрическое уравнение, связывающее наблюдаемые в эксперименте параметры: период г и декремент затуха-

♦

2 Я

Рис. 1. Схема вискозиметра: 1 - упругая нить; 2 - цилиндр, совершающий собственные затухающие крутильные колебания с периодом гь вокруг своей оси симметрии и имеющий относительно данной оси момент инерции К; 3 - исследуемая жидкость массой М с плотностью р , вязкостью у и жесткостью С

ния 8 колебаний, с реометрическими характеристиками среды: кинематической вязкостью у и жесткостью С , для вязко-упругой жидкости имеет вид аналогичный зависимости для ньютоновской среды (см. (1), (2) в работе [5], представленной в настоящем сборнике), где вместо вязкости

у используется комплексное выражение для у* (1), для данной реометрической системы равное

V —-(2)

р(8г + 2я)

Неизвестные реологические параметры: ньютоновскую кинематическую вязкость у и жесткость С, определим методами параметрической идентификации из условия минимума функции качества

Ау, О) - ^-Ке2(Р) + с1т.1т\Р), (3)

где ^ - вискозиметрическая функция, входящая в реометрическое уравнение (см. (1), (2) в [5]);

весовые коэффициенты.

я = Р/ ■%

р /2п

При организации режима крутильных колебаний путем варьирования частотой так, что обеспечивается равенство толщины пограничного слоя 8} и длины упругой волны Л:

линии уровня функции (3) при ск&~с1т на плоскости (у,С) - окружности. В этой точке =у'Ст , где - соответствующие производные в относительных единицах. При усиле-

нии, например, упругих свойств линии уровня вытягиваются вдоль оси вязкости, и в пределе образуется овраг, локальная ось

N \

Рис. 2. Линии уровня и оси оврагов функции (3): ...... - линии уровня при л;

- — - линии уровня при 8'ф л: а) 5'< л; б) 8'> л;

— - оси оврагов при 8'ф л: а) 8' л; б) 8'» л

которого перпендикулярна оси жесткости (рис. 2).

Характерной особенностью здесь является тот факт, что при 8'ф Л оси оврагов перпендикулярны соответствующим осям ( у , g) при равенстве весовых коэффициентов в (3), в то время как угол наклона локальных осей оврагов функций R e(F) и lm(F) различен и составляет ni2 только при 8'» Л (оси Re(F) и Im(F) ± оси у ) или 8*« Л (оси || оси у ). При этом для различных значений 84X отношение |Re(F)/Im(F)| различно, всегда меньше единицы и падает с усилением упругих свойств (т.е. при росте Я i 8').

Установлено, что точке 8' = Л соответствует максимум кривой 8 -8(т0) (рис. 3), когда остальные параметры установки и свойства среды фиксированы. Ошибку в определении точки г = ts*=¿ --= r¿max (или т0) можно проанализировать в рамках чувствительности дт0/88, приняв в качестве начального приближения результаты Швидковского Е.Г. [1] (рис. 4): дт0/д8 ~

8 Ái ! = (dt/dg)! (д%/д8), где $ = R!S\ где R -радиус тигля.

Как было указано выше, рассмотрим случай слабо упругих свойств и остановимся на области при 8*>Л, например, для слабовязких жидкостей, т.е. для которых £ >4.2 (рис. 4) [1]. Примем точность всех измеряемых параметров не хуже 1(Г4, а интервал изменения периода ко-8х~Л 0 лебаний пустого тигля г0 = О Л... 100 с.

Рис. 3. Зависимость 8 от го

Елюхина И.В.

К вопросу наблюдаемости упругих свойств жидких сред в вискозиметрическом эксперимента по Швидковскому Е.Г.

Анализ чувствительности проведем в терминах функций чувствительности вида

V,.

дх,

(5)

" /ду, '

где х, - оцениваемые параметры: у,0 ; у/ - измеряемые величины: р,М,Я,К,т,тй,6 (т.е. г = 1,2, / = 1,2. ..7), знак соответствует безразмерным производным в некоторой исследуемой точке ( х, *, у ] * ): - •У' * .

Для анализа слабо упругих свойств акцентируем внимание на характере поведения функций на множестве Л е [0,6']. Представим данные функции как

и/ =9Сг/ /ду,

(6)

где у/2 - чувствительность, определенная в точке с 3' = Л; к - коэффициент, отражающий

I о —Л '

ослабление наблюдаемости упругих свойств сред при росте и зависящий, в частности, от

отношения 03,=Я/С*; С*- искомое значение.

Выделим наиболее важные особенности, затрудняющие оценку упругих свойств.

1. При уменьшении С на порядок от точки (О - /к0 , ка = 10 ) чувствительность по всем параметрам изменялась в среднем в 7-9 раз и всякий раз приблизительно на порядок при его дальнейшем уменьшении (к0 =102, 103...) ввиду соответствующего роста (рис. 5). В пределе при О 0 производная 0\ -» оо , и ошибка в определении О также стремится к бесконечности.

2. Все функции чувствительности у/ \ принимали значения порядка единицы (в среднем

равные 2... 5) за исключением чувствительности по периоду г (дх1 ¡дх~дх1 /Зг0 ). Чувствительность дх,/дт, рассчитанная через функцию качества (3) с учетом и действительной, и мнимой части при комплексе МЯ2 /(2К) порядка Ю-1 составляла несколько сотен, а при уменьшении порядка Ш2 /(2К) на порядок увеличивалась приблизительно также на порядок.

{ ,-]--1-, 1Щт(¥у)

5

Рис. 4. Зависимость 8 от £ Значения декремента приведены в условных единицах § (£) ГП

3 4

Рис. 5. Зависимость функций чувствительности от порядка жесткости при сКе = 1 и с-,т = О

Вспомним, что для ньютоновских жидкостей следует обращать особое внимание на точки, где £ близко к 4.2 [1] (рис. 4), т.к. здесь наблюдается слабая зависимость декремента от вязко-

- 1 2 -"1

сти, и, например, у%5 оказывается порядка 10 при МК /(2К) порядка 10 и растет при уменьшении МЯ2 /(2К). При наличии упругости, например, в точке ¿Г-Л, данной ситуации не наблюдается.

Планирование оптимального реометрического эксперимента по наблюдению и оцениванию слабо упругих свойств жидких сред. На основе проведенного анализа принят следующий алгоритм оптимального реометрического эксперимента по исследованию слабоупругих

свойств жидких сред. Прежде всего, необходимо проанализировать вид функции /(к, О) на плоскости при т0 = г0тах -100 с. Если линии уровня вытянуты вдоль оси вязкости, т.е. по-

лученная точка находится в «упругой» области (С> Об,=я), то:

1. Уменьшая т0 , определяется точка 81 = X ? соответствующая максимуму функции 3 = 3(т0).

Еще раз подчеркнем, что в расчетах необходимо учитывать ошибку в значении г^=х , оцененную с использованием теории чувствительности для каждого отдельного случая и, в частности, различных комплексов параметров 84X > 84 Я, МЯ2 /(2 К) и т.д. Приводимые ниже в алгоритме количественные характеристики получены для наихудших с позиций чувствительности случаев.

2. С ошибкой менее 1 % определяются коэффициенты у и С из системы двух уравнений:

2.1) при сЯе-сТт= 1 и 8' = Л (при МЯ2/К> 10~3)или

2.2) при сКе=1, с1т = 0 с использованием двух точек = 1.01 А и Л = 1.018'.

Если охватываемый интервал г0 не позволяет найти режим, где 8' = Л, т.е. исследуемая точка лежит в «вязкой» области (С < Од<=х ), то:

1. Определяется нижняя граница Стт = С5<=х /кс .

Установлено, что при О* > (?тт можно получить оценку жесткости С с ошибкой менее 1 % при ка =102 (например, для свойств воды: р-1? у = 0.01, Отт ~10~5 в системе СГС). Стоит отметить, что при истинном значении С*, на много порядков отличающимся от , и, следовательно, сильно чувствительного к ошибкам в измеряемым параметрам, возможно получение неверной оценки жесткости порядка 03, хотя с другой стороны область при к(} = 103 еще удовлетворяет условию ошибки в С менее 1 %.

2. Пусть, например, значение вязкости известно из других независимых экспериментов или оценено из области, где упругие эффекты ненаблюдаемы. Тогда путем минимизации функции

качества (3) при сКе = 1 и сЬп - 0 находится оценка С*.

2.1) Если О* ><-7тт (т.е. 05^х > О* >(7тш), то считаем это значение жесткости истинным с ошибкой менее 1 %.

2.2) Если С* <Отхп, то делаем вывод, что в пределах указанной точности получить надежной оценки жесткости не удалось.

Проводя детальный анализ чувствительности жесткости к неточностям в измерениях всех параметров установки и колебаний, можно найти более точную границу для каждой конкретной задачи, которая может составлять в ряде случаев Отт = С§<=х /104 с ошибкой менее 10 %.

3. Иногда на практике трудно реализовать точность измерения момента подвесной системы без жидкости К и внутреннего радиуса цилиндра Я порядка 10 4 (например, при использовании

керамического тигля ошибка АЯ~1%). Тогда необходимо уточнить имеющиеся значения К и Я пугем минимизации функции качества на множестве четырех параметров (у,С,К,Я) (случай 3.1) или трех (случай 3.2) при уже известной вязкости. Установлено, что для получения оптимального распределения измерений необходимо использовать:

3.1) Две точки при жесткости С порядка ¿>' = 1.01/1 и Я = 1.01<У| (в общем случае 8' = кхЛ и X = кд.3')9 при весовых коэффициентах в функции качества (3) равных между собой:

СКе ~ С1т = * '

3.2) Три точки при сКе -1, с1т - 0, соответствующие параметрам эксперимента

1: (Тотж>Мтзх)> 2: ( Гогаах > Мтт )> 3: <Л ' ^тах > ГДС МаССЫ И Коэффициенты кТ < 1 И кх

выбираются при оптимальном планировании эксперимента в конкретном исследуемом случае в терминах матрицы Якоби.

Елюхина И.В.

К вопросу наблюдаемости упругих свойств жидких сред в вискози метрическом эксперимента по Швидковскому Е.Г.

Рассмотрим подробнее более интересный случай 3.2. Минимизируемая функция

Z(G,K,R) = ^fn(G,K,R),

(7)

П=\

где п-1...3 - номера экспериментальных точек, /{С,К,К) - действительная часть вискозимет-рической функции (см. (1), (2) в [5]), имеет трехмерный овраг в пространстве (СКЯ ). Варьирование периодом приводит к углублению минимума оврага в плоскости (КЯ ), а массы - в плоскостях, связанных с С. Уменьшение периода от готах до г0 = кТ - готах увеличивает ошибку в определении жесткости, но позволяет улучшить оценки К и К. Оптимальная выборка измерений следует из анализа матрицы чувствительности функций чувствительности Ь ;

дтj

8G

дт,

сЖ

дтV

DG

dXj

'до

дт/

2 /дК

дт

3 /

дК

дт/ ZdR

дт/

2 /dR

дт '

3 /

'dR

(8)

где нижние индексы соответствуют n-1...3. Так, например, в начальном приближении допустимо определять массу из условия 0.1 • 2Ятах / R = 2Ятш / К -1, а коэффициент пропорциональности kt принять кт - 0.1.

Заключение. В настоящей работе проведено математическое моделирование оптимального реометрического эксперимента по обнаружению и корректной параметрической идентификации слабо выраженных упругих свойств жидкостей методом крутильных колебаний.

Результаты работы могут быть использованы во всех отраслях, где применяются жидкости со слабо неньютоновскими свойствами: в химической, металлургической, биологической, пищевой промышленности, в энергетике и медицине:

1) при проведении исследований в теории наследственных сред и разработке микроскопических моделей жидкостей, интерпретирующих их реологическое поведение;

2) при проектировании технологических процессов с участием текучих компонентов, разработке средств транспортировки жидкостей и контроля их состояния.

Работа выполнена при поддержке РФФИ-Урал (№ 01-01-96424) и программы поддержки научного творчества молодежи в вузах Челябинской области.

Литература

1. Швидковский Е.Г. Некоторые вопросы вязкости расплавленных металлов. - М.: ГИТТЛ, 1955.-206 с.

2. Астарита Дж., Марручи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. - М.: Мир, 1978.-309 с.

3. Mason W.P. // Trans. ASME. - 1947. - № 69. - P. 359.

4. Kleiman R.N. Analysis of the oscillating-cup viscometer for the measurement of viscoelastic properties // Phys. Rev. - 1987. - V. 35, № 1. - P. 261-275.

5. Елюхина И.В. Планирование оптимального эксперимента по одновременному определению вязкости и плотности ньютоновской среды - См. в наст, сборнике.