CC BY
33
УДК 517.911, 517.968
К ВОПРОСУ КОЛЕБЛЕМОСТИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
(с) А.И. Булгаков, A.B. Щербакова
Ключевые слова: нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, правильное решение, колеблющееся решение.
Для нелинейной системы обыкновенных дифференциальных неравенств и уравнений второго порядка сформулированы теоремы о колеблемости решений.
Вопрос о колеблемости решений дифференциальных уравнений и систем второго порядка достаточно полно изучен (см. [1]). Он также остается и сегодня в поле зрения многих исследователей (см., например, [2-4]). Изучение таких уравнений и систем основывалось в первую очередь на доказательстве тонких неравенств и не отражало в полной мере геометрическую сторону этого вопроса. Наш подход к одному классу дифференциальных систем второго порядка учитывает главным образом геометрические соображения. Это позволило получить новые утверждения о колеблемости решений таких систем.
Рассмотрим систему
x(t) = f(t, x{t), y(t)), ÿ{t) = g{t, x{t), y{t)), (1)
где функции f(t,x,y), g(t,x,y) измеримы в [0,oo) x M2 ( Ш2 - пространство векторов rc,y) и для любого 7 > 0 существует такая локально суммируемая функция а7(£), что при почти всех (я, у) G {{х,у) : х2 + у2 ^ 7} выполнены неравенства \g(t, х,у)\ ^ а7(£), \f(t,x,y)\ ^ а7(*), t G [0, оо).
Обозначим
m{F(t, х,у)} = lim vraimin{F(i, г) : .г G U(x, у, <5)},
¿->о
M{F(t, х,у)} = lim vraimax{F(i, z) : z G U(x,y, <$)},
S—^0
где U(я, у, 6) - 6 -окрестность точки (х, у).
Следуя [1], под правильным решением системы (1) понимаем такую вектор-функцию {x(t),y(t)} с локально абсолютно непрерывными на некотором промежутке [io? со) С [0, оо) компонентами, что при почти всех t G [¿(ьсю) выполняются соотношения
m{f(t,x{t),y(t)} < x{t) ^ M{f(t,x(t),y{t)}
m{g(t, x(t),y(t)} ^ ÿ(t) ^ M{g{t,x{t),y{t)}
и {|rc(s)| + \y{s)\ : s ^ t} > 0 при t ^ to. Правильное решение называется колеблющимся, если для любых a,ß функция ax(t) + ßy(t) имеет бесконечную последовательность нулей, сходящихся к оо. Отметим, что решение здесь определено в смысле А.Ф. Филиппова (см. [5]).
Пусть Q е IR2 ; int Q - множество всех внутренних точек множества Q .
Задача колеблемости решений дифференциальных неравенств второго порядка возникает при исследовании аналогичного вопроса для систем уравнений, правая часть которых не удовлетворяет условиям Каратеодори. Рассмотрим систему неравенств
x{t) sign[y(í) -<p{x(t))] ^ Фх{t,x{t),y{t)),
(2)
-y{t)sign[x{t)] ^ y2{t,x{t),y{t)),
где Ф* : [0, оо) х Ш2 —> [0, оо) (г = 1,2) измеримы по первому аргументу, полунепрерывны снизу по последнему аргументу и для любого 7 > 0 существует такая локально суммируемая функция a7(í), что при почти всех (х,у) Е {(я,у) : |я| + \у\ ^ 7} выполнены неравенства |(í,гг, г/)| ^ a7(í), t G [0,оо) (г = 1,2). Функция (р : Ш —> Ш непрерывна. Пусть <¿>(0) = 0 . Обозначим
х = sup{a; 6 [0, оо) :Уу е [0, х] (р(у) = 0},
(3)
х = inf-frc 6 (—оо,0] : Vy 6 [0,я] <р{у) = 0}.
Под правильным решением системы (2) понимаем такую вектор-функцию {x(t),y(t)} с локально абсолютно непрерывными на некотором промежутке [¿(ь°°) С [0,оо) компонентами, что при почти всех t £ [¿о?00) x(t),y(t) удовлетворяют системе неравенств (2) и sup{|z(s)| + \y{s)\ : s ^ t} > 0 при t ^ to .
Теорема 1. Пусть функция Фх не убывает на интервале (0, оо) и не возрастает на интервале (—оо, 0) по у при каждом фиксированном í Е [0, оо) и х €Ш. Кроме того, пусть выполняются следующие условия:
1) lim (р(х) = оо, lim ip(x) = —00;
х—¥оо х—>00
2) существует е > 0, что х(р(х) ^ 0 при |ж| ^ е;
оо
3) для любых ß > 0 и y€y>{[—ß,ß]) f inf{^i[t,x,y) : |аг| ^ ß}dt = 00;
0
00
4) для любых a,ß,j (а < ß,aß > 0,7 > 0) f inf{^2(t,x,y) : x E [a,ß],\y\ ^ 7}dt = 00.
0
Тогда любое правильное решение x(t),у(t) системы неравенств (2) либо является колеблющимся, либо существует такое t*, что y(t) = 0, a x(t) ф 0 и x(t) Е [х,х\ при t^t* или y(t) Ф 0, a x(t) = 0 при t^ U .
Теорема 2. Пусть функции Фх (t,x,y) и Ф 2{t,x,y) не убывают на интервале (0,оо) и не возрастают на интервале (—со, 0) по х, у соответственно. Кроме того, пусть выполнены предположения 2), 3) теоремы 1 и условия
1) sup \ч>{х)\ : х Е Ш < со;
оо
2) для любых 7 > 0, х ф0 f т{{^2^, х,у) : \у\ ^ 7 }dt = 00.
о
Тогда любое правильное решение x(t),y(t) системы неравенств (2) либо является колеблющимся, либо существует такое t+, что y(t) = 0, a x(t) ф 0 и x(t) Е [я,а;] при t ^ í* или y[t) Ф 0, a x(t) = 0 при t ^ í* .
Рассмотрим систему неравенств
x(t) sign[y(í) - ip{x(t))] ^ axW^i(^W,2/W), i/(t) sign[rc(í)] ^ a2(t)<Ü2(x(t),y(t)), (4)
где Фг : [0, оо) х IR2 —У [0, оо) (г = 1,2) полунепрерывны снизу по совокупности аргументов, а функции ai : [0,00) ->• [0,оо) (г = 1,2) суммируемы на каждом конечном отрезке промежутка [0, со).
Теорема 3. Пусть функция <р(х) удовлетворяет условиям 1), 2) теоремы 1. Кроме того, соблюдаются предположения:
1) при каждом а:€М и уф(р(х) '¡'\(х,у)> 0, а ty2(x,y)>0 при всех уеШ и хфО;
2) для любого 7 > 0 lim ^i(x,y) > 0 равномерно сходится к нулю при |ге| ^ 7;
у—*± оо
оо
3) / Oi(t)dt = 00 (i = 1,2). о
Тогда каждое правильное решение системы (4) является колеблющимся.
Теорема 4. Пусть функция tp( х) удовлетворяет условиям 1), 2) теоремы 1, условию 1) теоремы 2 и условиям 1) — 3) теоремы 3. Кроме того, пусть для любого 7 > 0 Пт Ф2{х,у) > 0 равномерно сходится при \у\ < 7.
у->±оо
Тогда каждое правильное решение системы (4) является колеблющимся.
Рассмотрим колеблемость решений системы уравнений (1). Справедливо следующее утверждение.
Теорема 5. Пусть в области [0,00) х IR2 выполняются неравенства
f(t,x,y)sign[y-ip(x)\^Vi[t,x,y), -g{t,x,y) sign[x] ^ y2{t,x,у), (5)
где функции Ф 1,Фг удовлетворяют условиям теоремы 1 или теоремы 2.
Тогда каждое правильное решение x(t),y(t) системы уравнений (1) либо является колеблющимся, либо существует такое , что y(t) = 0, а x(t) ф 0 и x(t) 6 [äf, х\ при t^t* или y(t) ф 0, а x(t) = 0 при t^t*.
Замечание. Если функции / и д непрерывны на 0 х R и на \х, х\ х 0 соответственно, то в условиях теоремы 5 любое правильное решение системы (1) является колеблющимся.
Теорема 6. Пусть в области [0,00) х R2 выполняются неравенства
f{t,x,y)sign[y - v(x)] ^ ai{t)tyi(x,y), -g(t, х, у) sign[rc] >а2ЙФ2(х,у),
где функции ip, ФьФг удовлетворяют условиям теорем 3 « 4.
Тогда каждое правильное решение x(t),y(t) системы уравнений (1) является колеблющимся.
Далее предположим, что функция /(¿, х, у) непрерывна на кривой у = ip(x), а функция g(t, я, у) непрерывна на 0 х IBL
Теорема 7. Пусть соблюдаются неравенства (5) и пусть функции Ф \(t,x,y) и Ф2(t,x,y) удовлетворяют условиям теоремы 1. Далее, пусть выполнены условие 2) и условие 1) теорем 1 и 2 соответственно. Кроме того, пусть соблюдаются предположения:
1) найдется такое т € [0,оо), что при фиксированных х,у £ Ш функция Ф2{t,x,y) не убывает по £;
2) для каждого 7 > 0 существует такое число п{7), что \f{t,x,y)\ ^ 71(7) при
te[ 0, 00), хеШ и \у\ ^ 7;
3) для каждых k Е (0,1], 7 > 0 выполняется
оо 0
J inf{У2{кх,х, у) : \у\ ^7}dt = 00, J mf{V2(-kx,x1y) : |з/| ^ y}dt = -00.
0 —оо
Тогда любое правильное решение системы уравнений (1) является колеблющимся.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кигурадзе И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. — Тбилиси: Изд. Тбил. гос ун-та, 1975.
2. Булгаков А.И., Сергеев Б.А. Осцилляционные свойства решений одной нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Дифференциальные уравнения, 1984. Т. 20. JV* 2. С. 207-214.
3. Мирзов Дж.Д. О колеблемости решений одной системы дифференциальных уравнений // Матем. заметки, 1979. Т. 23. Вып. 3. С. 401-404.
4. Евтухов В. М. Об условиях колеблемости решений одного нелинейного дифференциального уравнения 2-го порядка // Матем. заметки, 2000. Т. 67. Вып. 2. С. 150-153.
5. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука. 1985.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (гранты №№ 09-01-97503, 11-01-00626, 11-01-00645), Министерства образования и науки РФ (АВЦП "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы) проект № 2.1.1/9359; ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы госконтракты JW» П688, 14.740.11.0682, 14.740.11.0349; темплан 1.8.11).
Поступила в редакцию 10 ноября 2010 г.
Bulgakov A.I., Scherbakova A.V. To the question of fluctuating solutions to a nonlinear system of second order ordinary differential equations. For a nonlinear system of second order ordinary differential inequalities and equations there are formulated theorems on fluctuating solutions.
Key words: nonlinear system of second order ordinary differential equations; well-defined solution; fluctuating solution.
Булгаков Александр Иванович, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и геометрии, e-mail: [email protected]
Щербакова Антонина Васильевна, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, кандидат педагогических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики, e-mail: [email protected]
УДК 517.911, 517.968
ОЦЕНКА БЛИЗОСТИ РЕШЕНИЙ ВОЗМУЩЕННОГО ВКЛЮЧЕНИЯ К НАПЕРЕД ЗАДАННЫМ ФУНКЦИЯМ
(с) A.A. Григоренко, В.В. Скоморохов
Ключевые слова: возмущенное включение; оценка решений.
В работе сформулировано утверждение об оценки близости решения возмущенного включения к наперед заданной непрерывной функции. Рассмотрим приложение этого утверждения к дифференциальным включениям.
