CC BY
34
УДК 517.942:539.3
К ВОПРОСУ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ НЕАВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ИМЕЮЩЕЙ ПРИЛОЖЕНИЕ В ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Ю. Э. Сеницкий
Самарский государственный архитектурно-строительный университет,
443001, Самара, ул. Молодогвардейская, 194.
E-mail: sgasuSsgasu.smr.ru
Показана возможность построения нового точного решения системы двух обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами достаточно общего вида, которая определяет собственные функции начально-краевой осесимметричной динамической задачи теории упругости для неоднородного анизотропного цилиндра в процедуре метода конечных интегральных преобразований. Рассмотрен частный случай, соответствующий однородному анизотропному цилиндру. В процессе исследования использовалось преобразование переменных в сочетании с методом факторизации и введением порождающих дифференциальных уравнений.
Ключевые слова: неавтономная система ОДУ, динамическая задача теории упругости, анизотропный цилиндр.
Для анизотропного неоднородного цилиндра упругие постоянные а^, являются функциями радиальной координаты ж, то есть а^, = ат,f (ж) [1]. Здесь ат, —соответствующие постоянные однородного материала, а f (ж) — функция неоднородности. При динамическом анализе осесимметричного напряжённо-деформированного состояния кругового толстостенного короткого неоднородного анизотропного цилиндра структурным методом конечных интегральных преобразований [1] задача сводится к исследованию следующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений для компонентов вектор-функции ядра (АггаХ), С2(ЛггаX) преобразования:
G"1 +
F (ж) + -ж\
G1 +
—f(ж)- - ^22J_
Lan ж ац
a55 2 n _
G1---------------an GlT
all
a13 + a55 w Г a13 \ . a13 - a23 1
T------------anG T — F(ж) +---------------------------------
a11 a11 a11 ж
an G2 + Ajn Gi — 0;
F (ж) + -ж
a33 2 si i
G2---------anG2 ±
ai3 + a55
a55
±
F (ж) +
a55 a23 + a55 1
a55 ж -
anG ±
an G1 + Ain—G2 — °
a55
(1)
где G1, G2 € C2 —искомые функции; ж € I (a, b) —открытый интервал вещественной оси; Ain — положительные параметры, образующие счётное множество (i € N); an — np, l — const, n € N; штрих означает производные.
Сеницкий Юрий Эдуардович — зав. кафедрой сопротивления материалов и строительной механики Самарского государственного архитектурно-строительного университета; д.т.н., профессор.
Верхние и нижние знаки соответствуют двум вариантам смешанных краевых условий, задаваемых на торцах цилиндра:
Р (ж) =
/' (ж) /(ж)'
(2)
Очевидно, что в общем случае для произвольной функции Р(ж) система (1) не интегрируется. Ниже рассмотрим возможность построения решения системы уравнений (1) и определим те условия, при которых она интегрируется. Пусть выполняются два функциональных равенства:
1
«11
«13Р(ж) + (аіз - «23)X = 0,
«12Р(ж)1 - 022-^ = Р(ж)+ — 2
*лу *лу —I I— *лу -
(3)
(4)
(5)
(6)
«22 + «12 «23
Без ограничения общности постоянную А можно при этом считать равной единице: А =1. Имея в виду (3) и (4), систему дифференциальных уравнений можно представить следующим образом:
из которых с учётом (2) немедленно следует, что
Р (ж) = —, f (ж) = Ажй, к = — — 1
и такое соотношение между упругими константами материала:
ац + а12 а1з
+ Р (ж) +— С1 + Р (ж) +—
Гр
*ЛУ —I I— *ЛУ -
_«13 + «55
Т-
«11
/^< «55 2 п _
^1-----------ап^1Т
«11
ага С2 + Аіга С1 = 0,
1_1 ~ / «33 2^ , «13 + «55 ,
~2^ ^ -а„С1 ±
Р (ж) + - С2 - — аП^2 ±
ж -I «55
(7)
«55
±
а13 + а55 Гр, ч 1] ^ \ 2 а11^ _п
--------- Р(ж) +— ага^1 + Ап—^2 — 0.
а55 ж а55
Если продифференцировать по ж второе уравнение (7) и ввести функцию ^(Аггаж) по формуле
^(Ат ж) = С2(Ат ж), то система дифференциальных уравнений (7) записывается в виде
новую
(8)
+ Р (ж) +— С1 + Р (ж) +—
Гр
*ЛУ —I I— *ЛУ ■
«55 2
^1-------------ап^1 Т
«11
«13 + «55 , . , 2 г< п
Т-------апф + Атос1 = 0,
«11
ф” + Р(ж) + 1 ф; + Р(ж) + 1 ф — — аПф ± «13 + «55 ап х
^ Г ж] «55 «55
71 + Р (ж) + — ^1
«55
х / + Р (ж) +— С1 + Р (ж) +— ^1І + А2п—ф
ж ж «55
Введём дифференциальный оператор
d2
Vp (■ ) = (■)+ F (x) +
і
dx2 ' ' l ' ' x с учётом которого система уравнений (9) запишется в виде
dx(■) + [F (x) + xl'^ (10)
w2 ^ a55 2^ al3 + a55 , . ,2 „ „
VpGl---anGl Т -anф + ЛтGl = Ої
a11a11 т-,2 і a33 2 і , al3 + a55 -r-,2 ^ , \2 all , n
Vpф--anф і-------anVfGl + Л^—ф — О.
a55 a55 a55
(11)
Выражаем из первого уравнения (11) функцию ф и действуем затем на обе части полученного равенства оператором (10). После подстановки соотношений для ф и Урф во второе уравнение (11) в результате приходим к такому разрешающему дифференциальному уравнению 1У-того порядка:
VF Gl + binVp Gl + cin Gl = °-
(12)
Здесь
i, (1 , all )\ 2 , a23 + 2al3a55 _ alla33 2
bin = (і + — )Лт + ———-----------------------------an >
a55 alla55
all 4 a33 + a55 2 2 a33 2
c- = _____A- __ _____________a- Л- +_____a
in in in in n
(13)
Введём порождающие дифференциальные уравнения II-го порядка:
Vp Gi = і^і. (14)
Тогда, действуя на обе части (14) оператором Vp, находим
VF Gl = VF Gl = e4nGl. (1Б)
Подстановка выражений (14) и (1Б) в (12) приводит к двум биквадратным уравнениям для определения параметров £,п. Имеем
Cin ^ bin Cin + cin = О.
Соответственно,
C(l)
in
і- f b2 ) 11
in I (bin _ ' 2
^ + It _c
in
C (2) = in
_^in + (_ c,
2 + I 4 Cin
(16)
Принимая во внимание соотношения (10) и (5), порождающие дифференциальные уравнения (14) записываем в виде
d2Gll) k + і dGll)
-----l—+----------------l—+
dx2 x dx
d2Gl2) + k + і dGl2)
dx2
x
dx
(c“ Г _ ^ (d?)2+
x
k + і
G(ll) = О,
Gl2) = О.
(17)
Заменой функции и независимой переменной по формулам G(11,2) (Ai„ x) = x — U(1,2) (Ci„ x), z = Ci„x
(18)
уравнения (17) приводятся к обычному и видоизмененному уравнениям Бесселя. Имеем
d2U(1) 1 dU(1)
dz2 z dz
d2U(2) + 1 dU(2)
dz2 z dz
Ч1 - f) u (1)=o
- fl + ^^ U(2) =0,
(19)
где V = 2 + 1.
Общее решение уравнений (19) записывается следующим образом:
и(1) (г) = СЛ (г) + С^У, (г), и(2) (г) = С3/, (г) + С4К (г). (20)
Здесь ^(г), У,(г), /^(г), К(г) —обычные и модифицированные функции Бесселя порядка V; С1 С2, Сз, С4 —произвольные постоянные. Имея в виду равенства (18), (16), а также (20), общее решение линейного дифференциального уравнения (12) представим в ввиде суммы решений О^ и О^2, то есть
G1 (Amx)=x-2 CJ(C^x) + C2Y,(Cinx) + Ca/v(C^X + C4K(C^x) • (21)
(1)
(2)
(2)
Из первого уравнения (11) с учётом (14) и (21) следует
«11
Ф = ——— an 1 (CL T — аП ± AL) G1 = i v «11 /
C2 T «55~2 ^ ^2
«13 + «55 П V ™ «11
= en’x-2 [C Jv (C'^x + C2i"v (C(n) x)
k
—
+ e£) rn k Ca /v (Cin x + C4 Kv (C(2) x)
где
e(j) =
I in
«11 n1 -a
«13 + «55
(C(jV t —a2 ± A2
\Sin / ' Л ^n -1- /vin
«11
j = 1, 2.
Принимая во внимание соотношение (8), определяем вторую компоненту О2:
G2(Ainx)= I xn2 C1 Jv (Cinx) + C2Yv (Cinx)
(1)
(1)
dx—
+ x-k
C3/v(Ci,2)x + C4Kv (Cinx dx. (22)
v\ x)
В выражении (22) содержатся такие квадратуры [2]:
У У 2 Zfc +1 (y)dy = ^ y v+1Zv(y)dy = -y v+1Zv-i(y)
(23)
z
Здесь ^ (у) —соответствующие функции Бесселя порядка V.
Таким образом, равенства (21), (22) представляют точное (при условиях (3), (4)) решение системы дифференциальных уравнений (1). Интересно отметить, что оно справедливо для степенного закона неоднородности /(ж) (5) и соотношения (6) для упругих постоянных материала цилиндра.
В случае, когда
и построенное решение оказывается справедливым для однородного материала (к = 0), у которого независимыми являются пять упругих констант анизотропии.
Частный случай. Рассмотрим подробнее отмеченный выше случай к = 0 однородного анизотропного цилиндра:
Система дифференциальных уравнений при этих условиях принимает вид
Общее решение системы (25) представляют равенства (21)—(23) при к = 0. Полагаем, что это решение может быть получено независимо от предыдущего, если воспользоваться методом факторизации. Действительно, имея в виду, что Й13 = Й23, выражаем С2 из первого уравнения (25) и подставляем это соотношение во второе равенство (25). Затем, воспользовавшись этим уравнением, выражаем опять из него С2, после подстановки которого в первое равенство (25) окончательно имеем:
«13 — «23,
(24)
из равенства (6) следует, что
«11 — «22,
а11 ж2 а11
' «13 + «55 ^ .
---------------^2 +
«1 1
«13 — «23 1
а11 ж
(25)
- С1І + л2п «іі ^2 — о.
ж 1 «55
(26)
Здесь Сіп определяются по формулам (13), а
Если принять, как и прежде в (24), что
8 = 1, 0,11 = «22,
то дифференциальное уравнение (26) допускает коммуникативную факторизацию:
й2 1 й ( 2 1
йж2 + ж йж + V т ж2
+ 1 ± _ г^(2) + 1 )
йж2 ж йж V т ж/
С = 0. (27)
Приравнивая нулю каждый сомножитель (27), получаем обычное и видоизмененное уравнения Бесселя, поэтому общий интеграл (27) можно представить в виде суммы:
С1 (А,,ж) = ад, (ж + ж + СзЛ (С ж + С4К1 (4? ж). (28)
Таким образом, (28) представляет частный случай решения (21) при к = 0. Соответственно С может быть представлено таким выражением:
(1)
(2)
(2)
С2(А,„ж) = (апй,)-1 {(е,„ _ ({“)2) [адс(ж + С2Уо({™ж) +С® (е.„ + («,(,2))2) [Сз 1о(С®ж) + С,Кс({®ж)
где
= 013 + °55 Л 2 _ 033 а2 йгп — I Ат а,
055
011
ет = Агп +
2 °13(°13 + 2й55 ) 2
°11°55
а,
+
В заключение следует отметить, что в работе [3] получено точное решение системы дифференциальных уравнений (25) в случае, когда лишь 013 = 023, а 011 = 022, то есть независимыми являются шесть упругих констант анизотропного материала цилиндра.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Сеницкий, Ю. Э. К проблеме интегрируемости осесимметричной краевой задачи динамики для неоднородного анизотропного конечного цилиндра [Текст] / Ю. Э. Сеницкий // Прикл. механика. — 1999. —Т. 35, № 4. — С. 19-29.
2. Коренев, Б. Г. Введение в теорию бесселевых функций [Текст] / Б. Г. Коренев.—М.: Наука, 1974. — 287 с.
3. Сеницкий, Ю. Э. Динамическая задача теории упругости для анизотропного короткого цилиндра с учётом сил вязкого сопротивления [Текст] / Ю. Э. Сеницкий, В. В. Епишкин // Известия вузов. Строительство. — 2008. — № 3. — С. 29-41.
Поступила в редакцию 18/1У/2008; в окончательном варианте — 12/У1/2008.
MSC: 74H99, 74E10
ON INTEGRABILITY OF NONAUTONOMOUS SYSTEM OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS APPLIED IN DYNAMIC THEORY OF ELASTICITY
Yu. E. Senitskiy
Samara State Academy of Architecture and Construction,
443001, Samara, Molodogvardeyskaya st., 194.
E-mail: [email protected]
The article demonstrates the possibility of generating a new and accurate solution of the system of two ordinary linear homogeneous differential second-order equations with variable general coefficients. It is essential that the integrability identifies its own functions of initial-boundary ax symmetric dynamic problem of theory of elasticity for anisotropic cylinder in the procedure of final integral transformational method. A specific case with the heterogeneous anisotropic cylinder is analyzed. During the research transformation of variable data was used together with the method of factorization and, introduction of inducing differential equations.
Key words: nonautonomous ODE systems, dynamic problem of elasticity theory, anisotropic cylinder.
Original article submitted 18/IV/2008; revision submitted 12/VI/2008.
Senitskiy Yuriy Eduardovich, Dr. Sci. (Tech.) Prof., Dept. of materials resistance and the building mechanics of Samara State Academy of Architecture and Construction.
