К вопросу интегрирования уравнения Пфаффа с суммой линейного и билинейного операторов в R3 Текст научной статьи по специальности «Математика»

2010

УДК 517.943

Доклады БГУИР

№ 3 (49)

К ВОПРОСУ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЯ ПФАФФА С СУММОЙ ЛИНЕЙНОГО И БИЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРОВ В Я

.3

Н.В. СПИЧЕКОВА

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь

Поступила в редакцию 12 января 2010

Построен интегрирующий множитель для невырожденного вполне интегрируемого уравнения Пфаффа с суммой линейного и билинейного операторов в Я3.

Ключевые слова: вполне интегрируемое уравнение Пфаффа, общий интеграл, частное решение, интегрирующий множитель, линейный и билинейный операторы.

широко применяются в дифференциальной геометрии, теоретической физике, электродинамике, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории оптимального управления и др. Систематическое изложение теории таких уравнений и их обобщений в произвольных банаховых пространствах — уравнений в полных производных — дано в [1-5]. Там же приведен подробный обзор литературы.

Уравнение в полных дифференциалах является частным случаем уравнения Пфаффа

где х-(х1,...,хи) —вектор из области С ей",« >3; / = 1,и; Т7 = (/,..., /и) е С\С); (.,.)

— скалярное произведение в Я".

Среди уравнений (1) выделяют класс вполне интегрируемых [6, с. 93] уравнений, обладающих тем свойством, что через каждую неособую точку ^ области О (/' (с,) Ф 0 ) проходит единственное интегральное многообразие размерности п — 1. Интегрирование таких уравнений сводится [7, с. 355-364] к интегрированию систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

В случае п = 3 условие полной интегрируемости может быть записано в виде

В этом случае левая часть уравнения (1) является полным дифференциалом некоторой функции от трех переменных. Поэтому при выполнении условия (3) уравнение (1) называют

{Р{х),сЫ) = О,

(1)

Условие полной интегрируемости (2), в частности, будет выполнено, если гсЛ^ОО^О.

(2)

(3)

уравнением в полных дифференциалах. Общий интеграл [8] такого уравнения записывается

и

в виде J(-F(v), dv) = с, где с — произвольная постоянная.

и0

Таким образом, при выполнении условий (3) нахождение общего интеграла уравнения (1) сводится к вычислению квадратур. Если же условие (3) не выполняется, то, вообще говоря, построение общего интеграла уравнения (1) сопряжено с определенными трудностями. Известно несколько работ, посвященных интегрированию уравнения (1). Так, в работе [8] строится общий интеграл однородного уравнения (1) при условии, что (F (x), x) не равно тождественно нулю.

В работе [9] исследуется ряд случаев, когда уравнение (1) интегрируется либо квадратурами, либо с помощью рядов. В частности, в [9] доказано, что линейное уравнение

(Ax,dx) = О,

где A — линейный оператор в R3, интегрируется в элементарных функциях. В [9] также показано, что если уравнение (1) линейно относительно одной из переменных, то оно всегда может быть проинтегрировано в квадратурах.

В [10] рассматривается вполне интегрируемое уравнение Пфаффа

(Аи + В(и, и), dii) = 0, (4)

3 3

где и = (x,y,z) е R , А — линейный; B — симметрический билинейный операторы в R

такие, что выражение (Аи + В(и,и),du) нельзя представить в виде произведения двух множителей, каждый из которых отличен от константы. Среди уравнений (4) выделяются [10] три простейших типа - вырожденные и квазиоднородные уравнения, приводящиеся соответственно к обыкновенным дифференциальным уравнением или однородным уравнениям, а также уравнения в полных дифференциалах. Исследование таких уравнений не представляет значительного труда. Показано [10], что невырожденное уравнение (4), не являющееся квазиоднородным уравнением или уравнением в полных дифференциалах, композицией невырожденного линейного преобразования и параллельного переноса приводится к одному из 12 интегрируемых

в элементарных функциях канонических видов сог =0, i = 1,12, (здесь и далее значения

0)(, i — 1,12 , заимствованы из [10]). В работе [10] также приведены общие решения уравнений канонических видов.

В данной работе для невырожденного уравнения (4), не являющегося квазиоднородным уравнением или уравнением в полных дифференциалах, построен интегрирующий множитель, после умножения на который (4) становится уравнением в полных дифференциалах. Существование интегрирующего множителя для вполне интегрируемого уравнения (1) при п — 3 показано в [7, с. 363]. Полученные результаты позволяют интегрировать уравнение (4), не приводя его к каноническому виду.

Интегрирование уравнения (Au+B(u, u), du)=0

Далее будем полагать, что (4) есть невырожденное вполне интегрируемое уравнение, не являющееся квазиоднородным уравнением или уравнением в полных дифференциалах.

Теорема 1. Уравнение (4) может иметь не более двух различных частных решений, задаваемых алгебраическим уравнением первого порядка

ax + by + cz + d = 0, a,b,c,d е R. (5)

Теорема 2. Пусть уравнение (4) не имеет частных решений вида (5). Тогда оно допускает не более одного частного решения Ф(и) = 0, удовлетворяющего следующим условиям: 1) Ф(и) = 0 есть алгебраическое уравнение второго порядка, т.е.

Ф {и) = а1х + а2у +а3г +а4ху + а5уг + а6хг + а7х + а%у +а9г +а10 = О,

6 (6)

а,, е Я,/ = 1,10; ф0>

г= 1

2) уравнение (6) определяет многообразие размерности к> 1.

Для доказательства теорем 1 и 2 достаточно найти частные решения вида (5) и (6) канонических видов сог. = 0, / = 1,12, уравнения (4). Несложно видеть, что уравнение юг = 0 при / = 1,6,7,10,11,12 имеет единственное частное решение вида (5), которое соответственно задается формулой х = 0, у = 0, у = 0, х = 0, х = 0, Ъ\ — а^х — 0. Уравнение со3 = 0 имеет два решения х — 0 и у = 0 вида (5). Уравнения оо4 = 0 и со9 = 0 имеют лишь решения вида (6). Эти решения задаются соответственно формулами схх — 1,5у2 —0 и х2 + г2 =0 и определяют многообразия размерностей 2 и 1. Уравнение со2 = 0 имеет лишь одно решение Ъх + Ъ2х = 0 вида (5) при Ь2 Ф 0 ; имеет два решения у = 0 и г = 0 вида (5) при Х = ах= = Ъ2 = 0. Уравнение со5 = 0 имеет лишь одно решение оЛ + а2у — 0 вида (5) при а2 Ф 0 . Уравнение со8 = 0

2 2

имеет лишь одно решение ах + а2у = 0 вида (5) при Ф 0 и одно решение х + г =0 вида (6), определяющее многообразие размерности 1, при — — Я — 0. Если в уравнениях со2 = 0, ю5 = 0, со8 = 0 соответственно Х + а^ Ф 0,Ъ2 =0; а2 - 0; а2 - 0, Ъ2 + X2 Ф 0, то упомянутые уравнения не имеют ни решений вида (5), ни решений вида (6), определяющих многообразия размерности к > 1.

Теорема 3.1. Пусть уравнение (4) имеет V, V = 1 или V = 2, различных частных решений Фх(и) = 0 вида (5). Тогда уравнение (4) допускает интегрирующий множитель

—1 | \А

\х,(и) = Фу(и)Ф2(и) , если V = 2, и \а(и) = | Ф1 (г/)| , Ае Я, если V = 1.

II. Пусть уравнение (4) не имеет решений вида (5). Тогда если уравнение (4) имеет частное решение Ф(и) = 0 вида (6), которое задает многообразие размерности к > 1, то (4)

I

допускает интегрирующий множитель )х(и) = Ф(м) , А& Я. В противном случае (4) допускает интегрирующий множитель = еах+ьУ+с:!+'1 ^ а, с,е .

Доказательство. Так как уравнение (4) композицией невырожденного линейного преобразования и параллельного переноса приводится [10] к одному из 12 канонических видов, то обратный переход — от уравнения канонического вида к уравнению (4) — задается преобразованием такого же вида. Поэтому достаточно доказать теорему для уравнений канонических

видов со =0, / = 1,12 .

В [10] для уравнений юг =0, / = 1,12, канонических видов выписаны общие интегралы ЧЛ(н) — с (с — произвольная постоянная). Так как дифференциал функции (//) удовлетворяет [7, с. 363] соотношению бЛР((//) = |_1((//)0)(, где = |_1((и) — интегри-

, ч сШ>г(и)

рующий множитель, то цди) =-. Простые вычисления показывают, что:

со,

/ \ I \а41Ъг-\ . ч

щ(и) = Ы ; ц2(и) =

,6 х/1>1

17 7 \аг1Ъг-\ 7

\ЬХ + Ь2х\ , если о2 Ф 0, _!

Из(м)= ху

если К = 0:

2|-5/2

ц4(и)= ^-1.5^ ; ц5(и) =

i \ь21а2-\

к+а2.У , если а2 Ф 0, ^ х

,, Цб(м) = М ;

е у 1, если а2 = 0;

i |2 b2/a2-\

I i264 / a2 -i , ч к+я2>1 , если a2 Ф O, -i

[e если a2 = 0;

Выразим |_i( (// ), / = 1,12 , через левые части выписанных при доказательстве теорем 1 и 2 формул частных решений уравнения юг = 0 вида (5) или (6), определяющих многообразия размерности к> 1. Легко видеть, что для уравнения co¡. = 0 при / = 1,4,6,7,9,10,11,12, име-

I

ющего лишь одно частное решение Ф( (и) — 0 вида (5) или (6), выполняется (и) = Ф( (/./) , А е R. Для уравнения соз = 0, допускающего два решения Ф| (и) — 0 и Ф2(и) — 0 вида (5), имеем /¿з(г/) = С3!(и)Ф2• Уравнение 0)¡ =0, где / = 2,5,8 и соответственно Ь2 Ф 0 . а2 , а2 ф0, имеет одно частное решение Фг (и) = 0 вида (5) и ц, (//) = Ф((//)| , А е R. Если же / = 2,5,8 и соответственно д + с/2 ^ 0,é2 =0; а2 — 0; а2 — 0, Л2 + л2 ^ 0, то уравнение юг =0 не имеет решений вида (5) или (6) и допускает интегрирующий множитель (и) — eax+by+cz+d^ a,b,c,d^R. Непосредственной проверкой легко убедиться, что если X = ах = Ь2 = 0, то уравнение со2 = 0, имеющее два решения Ф^//) = 0 и Ф2(и) = 0 вида (5),

допускает интегрирующий множитель 4^>\{и)Ф2{и) или eL,x 1 hv с:: J, a,с,d е R. Также несложно проверить, что при а2 =ЪХ = к = 0 уравнение = 0, имеющее решение Ф8(м) = 0

вида (6), допускает интегрирующий множитель А ^ R. или ,

а,b,c,d е . Теорема доказана

TO THE QUESTION OF INTEGRATION OF THE PFAFF EQUATION WITH THE SUM OF LINEAR AND BILINEAR OPERATIONS IN R3

N.V. SPICHEKOVA

Abstract

Integrating multiplier for non-degenerate completely integrable Pfaff equation in

R3

is constructed.

Литература

1. Амелькин В.В. Автономные и линейные многомерные дифференциальные уравнения. Минск, 1985.

2. Гайшун И.В. Вполне разрешимые многомерные дифференциальные уравнения. Минск, 1983.

3. Гайшун И.В. Линейные уравнения в полных производных. Минск, 1989.

4. Горбузов В.Н. Интегралы дифференциальных систем. Гродно, 2006.

5. Makarov E.K. //Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics. 2003. Vol. 29. P. 47-74.

б. Рашевский П.К. Геометрическая теория уравнений с частными производными. М., 1947.

7. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М., 1958.

8. КожероМ.В. //Уч. зап. Смоленск. гос. пед. ин-та. 1969. Вып. 8. С. 58-63.

9. Хаимова П.Л. //Учен. зап. Сталинаб. пед. ин-та. Сер. физ-мат. 1958. Т. 20. Вып. 3. С. 69-90.

10. КожероМ.В., Спичекова Н.В. // Вестн. Белорус. гос. ун-та. Сер. 1. 2003. № 2. С. 95-99.